定解条件和定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
第一章 数学物理中的偏微分方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
数学物理方法
x l
2、第二类边界条件 A）、如细 杆的纵振动，
x=a 处受力 0
f(t)
如杆端自由 f(t)=0
x a
B）、热传导 如细杆热传导端
点有热量流出 0
如细杆热传导端 点有热量流入
x a
3、第三类边界条件
如细杆热传导，
一端自由冷却
0
x a
则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系
H k/h
考虑弦的振动方程 表示为：
或：
令：
令：
再积分
对积分
表示以速度a沿x正负方向的行波
函数 f1 和 f2 的确定
考虑定解问题
求导有
积分有
（二）、端点反射
例：求一端固定弦的振动情况 （反射波定解问题）
O
x
代入初始条件
代入边界条件 令
（1）、x at, 即 x - at 0
（2）、x at, 即 x -at 0
例：求解半无限长问题
杆端点自由， 相对伸长量 为0 提示无限长杆u(x,t)是偶函数
提示无限长杆初始位移 (x)和初始 (x)是偶函数
修改为
代入边界条件
令：
例：求定解问题
（ห้องสมุดไป่ตู้）
解：方程（1）对t求导后减去（1）对x求导变化为
解为 代入（1）式有
即
物理意义：
解与达朗贝尔解一致，说明端点的 影响未传到。
为讨论方便计设初速为0
O
x
为入射波。
为反射波。
x =0处为波节。
x =0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。
（三）、延拓 半无限长问题
求解中有 提示无限长杆u(x,t)是奇函数
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
偏微分方程答案
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。
由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。
同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。
利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。
偏微分方程
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
2定解条件
而常说恒定表面浓度扩 散，是指硅片表面杂质 浓度维持一定，向内部 扩散。
ut u
t 0
0
0 x l / 2 2lh x 2 h (l x ) l / 2 x l l
t 0
稳定场问题与时间无关，不存在初始条件的问题． 二、边界条件： 研究具体的物理系统，还必须考虑系统
的边界上的物理状况，即边界条件． 常见的线性边界条件有三种。 1、第一类边界条件：直接可写出边界上物理量的表达式。
u s f ( x0 , y0 , z0 , t )
2、第二类边界条件：可写出边界上物理量沿边界法向方向 导数的表达式
u n
f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
s
3、第三类边界条件： 可写出边界上物理量沿边界法向方向导数与边界上物理 量的线性组合的表达式
u （ hu) f 2 ( x0 , y0 , z0 , t ) n s
ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z )
从数学角度看，输运过程方程含时间一阶导数，须有一个初始条件， 振动过程含时间二阶导数，须有两个初始条件。 注意：初始状态指的是整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初
始态．例如：长为L两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h， 然后放手任其振动.
就时间t这个目变数而论，振动方程是 t的二阶微分程，输运 方程是t的一阶微分方程，所以初始条件的提法有所不 同．对了输运过程(热传导、扩散)，初始状态指的是所研 究物理量 u(温度、浓度)初始分布.
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z), 为已知函数。
对于振动过程(弦、杆、膜的振动，传输线上电振动，声振动、 电磁振动)，初始状态包括初始“位移” 和初始“速度” u ( x, y, z , t ) t 0 ( x, y, z )
第二章定解问题
（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
拉普拉斯算符的运算法则
拉普拉斯算符的运算法则1.基本法则：（1）加法性：对于两个标量函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，拉普拉斯算符满足∇²(f+g)=∇²f+∇²g。
（2）标量函数乘法法则：对于一个标量函数 f(x, y, z) 和一个常数 k，拉普拉斯算符满足∇²(kf) = k∇²f。
（3）链式法则：对于两个函数f(x,y,z)和g(t)，其中f只依赖于变量t，而g只依赖于变量x、y和z，拉普拉斯算符满足∇²(f∘g)=(∇²f)⋅g+2(∇f)⋅(∇g)+f(∇²g)。
（4）乘积法则：对于两个函数 f(x, y, z) 和 g(x, y, z)，拉普拉斯算符满足∇²(fg) = f∇²g + g∇²f + 2(∇f)⋅(∇g)。
2.定解问题法则：在求解偏微分方程时，拉普拉斯算符的运算法则还包括定解问题法则。
（1）边值定解问题法则：在求解偏微分方程的边值问题时，根据拉普拉斯算符的性质，我们可以通过给定边界值来确定解的行为。
比如，在求解二维泊松方程时，可以通过在边界上给定函数值来确定解的形状。
（2）初始条件定解问题法则：在求解时间相关的偏微分方程时，除了边值条件外，还需要给定初始条件。
在这种情况下，需要将初值问题转化为一个定解问题，通过迭代求解来确定解的行为。
（3）分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，我们可以使用分离变量法来求解，其中包括将解表示为两个或多个独立变量的乘积形式，然后逐个求解子问题。
总结起来，拉普拉斯算符的运算法则包括基本法则和定解问题法则。
基本法则是对于标量函数的运算法则，包括加法性、标量函数乘法法则、链式法则和乘积法则。
定解问题法则是在求解偏微分方程时的运算法则，包括边值定解问题法则、初始条件定解问题法则和分离变量法。
这些运算法则是求解偏微分方程和计算物理量的重要工具，对于理解和应用偏微分方程具有重要意义。
微分方程定解问题的基本概念
微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。
微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。
微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。
二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。
定解问题可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。
初值问题通常用初值问题解法求解。
边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。
边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。
三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。
例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。
2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。
3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
微分方程定解问题解析
微分方程定解问题解析微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的很多现象和规律。
在微分方程中，定解问题是一个常见的研究对象，它要求在给定的边界条件下，找到满足微分方程的特解。
本文将对微分方程定解问题进行详细解析，并讨论求解定解问题的一些常见方法和技巧。
1.微分方程的类型微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中，未知函数只依赖于一个变量，而偏微分方程中，未知函数依赖于多个变量。
2.定解问题的定义定解问题是给定一个微分方程和一组边界条件，要求找到满足这些条件的特解。
边界条件可以是函数在某个点上的给定值，或者是函数的导数在某个点上的给定值。
3.常见的定解问题类型常见的定解问题类型包括：3.1. 初值问题：在微分方程中给定函数在某点上的值，求解满足该条件的特解。
3.2. 边值问题：在微分方程中给定函数在多个点上的值，求解满足这些条件的特解。
3.3. 自由边值问题：在微分方程中给定函数在某些点上的值，以及函数的导数在另外一些点上的值，求解满足这些条件的特解。
4.求解定解问题的方法求解定解问题的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
4.1. 分离变量法：对包含未知函数及其导数的微分方程两边进行适当的变换，将未知函数和其导数分离到方程的两边，最后通过积分得到解。
4.2. 线性微分方程方法：对于一阶线性微分方程，可以通过乘以适当的积分因子，将其转化为可积的形式，并求解。
4.3. 变量替换法：通过对未知函数和自变量的合适替换，将原微分方程转化为更简单的形式，再进行求解。
4.4. 数值方法：对于复杂的微分方程，常常无法通过解析方法求解，此时可以利用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，来近似求解微分方程。
5.案例分析为了更好地理解微分方程定解问题的解析过程，考虑一个具体的例子。
假设有一个一阶常微分方程：dy/dx = x，边界条件为y(0) = 1。
首先，我们可以使用分离变量法，将方程变形为 dy = xdx。
数理方法-第一讲-定解问题
（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：
u h
(f和h—与源有关的已知函数) 1-3
其中
2 x2
2 y2
2 z2
, utt
2u t 2
,ut
u t
,u
u(x, y,z, t)
2、用数理方程研究物理问题的步骤
1. 导出或写出定解问题，包括数理方 程和定解条件两部分。
du dx
u t x ux
x
对微元应用物理定律：
设杆材料的杨氏模量Y x x dx
两端应力分别为：
x
u
F1 YS x
YSux
x
u
F1 udx
x
F1
u F2du
F2
F2 YS x
YSux
xdx
xdx
应用牛顿定律：YSux xdx YSux
x
(1) 牛顿第二定律: F=ma
(2)傅立叶实验定律（热传导定律）
当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流 强度q,与温度的下降率成正比：q ku
k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。
分量形式为： qx
k
u x
,qy
k
u y
,qz
k
u z
(3)牛顿冷却定律 物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温
2. 求解已导出或写出的定解问题。
3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否 存在唯一且稳定的解）并作适当的物 理解释。
3、求解数理方程的方法
行分 波离 法变
量 法
积 Green 保 复 变
数学物理方法 第7章 定解问题
2
2
T
，
f ( x, y, t )
1
F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )
这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
1.3 定解条件
，即单位长度上的形变
l 则 u ( x,0) x ——x点处的形变 l
t=0，l点处的力平衡方程
l F F1 Y S l
l F l YS
F1
F
F u ( x, 0) x YS
l
∴初条件
F u ( x, 0) x YS ut ( x, 0) 0
方程导出过程小结： 1）建立合适的坐标系
2）确定描述系统状态的物理量—未知函数 3）作出合理的简化假设 4）找出系统所遵从的主要物理规律
5）利用小块分析法导出方程
各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、
瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程 所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动 规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t>0 以后各个时刻的运动规律。
作业
1、一根重量不可忽略的均匀弹性杆垂直放置，上端固定在 自由下落的电梯天花板上，设此电梯速度达到时突然静止， 写出定解问题。引力场忽略。
2、两端固定，长为l的均匀弦，在阻力与速度成比例的介 质中作微小横振动，求定解问题。 3、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零，另一端有 恒定热流密度q流入，杆的初始温度分布函数是 x l x ， 2 写出相应的定解问题。 4、长为l的水平杆以常速度v顺水平轴方向运动，若杆的中 点处突然被钳住，写出相应的定解问题。
结论：第二类齐次边条件在杆纵振动中的物理 意义就是自由端不受力。
【例2】侧面绝热细杆热传导问题，求x=0端边条件
已知：x=0端 1）有热流密度q流入 2）绝热 解：1）有热流q流入的情况： 如图取小块（含端点x＝0） 左端：q 流入（所给边条件） 右端：q1 流出 q
偏微分方程的解法
n
n
一定可以改写为如下“形式”：
d u
i
n
i x i'x i'
D D D D b ' cu ' f ' 0 x y y x iu x ' i
n i
4
根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 di 所有 di
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
a u
i, j
n
ij xi x j
biuxi cu f 0
i
n
中, 所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为:
d 'u
i i
n
xi xi
c 'u f ' 0
7
行波法 d’Alembert公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进 行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有 效.
解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
u u1 u2
其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
2 u a uxx 0, x , t 0 tt u x, 0 x , ut x, 0 x
u2 是上述纯强迫振动问题的解.
15
求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问
题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，
直接求出定解问题的解。
16
1.行波法；
力的分解中定解条件的讨论
力的分解中定解条件的讨论
在力的分解中，我们需要讨论定解条件。
定解条件是指在分解力的过程中，我们需要满足的条件，以确保分解后的力能够准确地描述原始力的性质和作用。
1. 作用线与力的方向：首先，我们需要确保分解后的力的作用线与原始力的方向一致。
也就是说，分解后的力所作用的线应该经过原始力的作用点，并且与原始力的方向相同。
这是因为力的分解是将一个力分解成两个或多个力的合力，而这些分解力的作用线应当与原始力的作用线相同，以保持力的性质不变。
2. 力的大小和方向关系：其次，我们需要确保分解后的力的大小和方向之间存在明确的关系。
具体而言，分解后的力的大小应当与原始力的大小成比例，而它们的方向应当相互垂直。
这是因为力的分解是将一个力分解成两个或多个力的合力，而这些分解力的大小和方向之间应当有一个确定的关系，以确保它们的合力等于原始力。
3. 力的平衡条件：最后，我们需要确保分解后的力能够满足力的平衡条件。
力的平衡条件是指合力为零的条件，也就是说，分解后的力在合成时应当能够产生一个力的合力为零的状态。
这是因为力的平衡是物体保持静止或作匀速直线运动的条件之一，而在力的分解过程中，我们需要确保分解后的力能够满足这一条件，以保持物体的平衡状态。
总结起来，力的分解中的定解条件包括作用线与力的方向一致、力的大小和方向之间存在明确的关系，以及力的平衡条件能够得到满足。
这些定解条件能够确保分解后的力能够准确地描述原始力的性质和作用，并帮助我们更好地理解和分析力的作用。
第五章 数理方程的建立,定解条件,傅里叶级数和傅里叶变换(简介),代尔塔函数的简介
ut = a2uxx + f ( x,t ) （有热源） 或 ut = a2uxx （无热源）。
若用 u 代表物体内某种物质的浓度。则扩散方程与热传导方程是一样的。
（3）泊松方程和拉普拉斯方程
若温度达到了稳定分布，即温度分布不随时间变化， ut = 0 ，则由热传 导方程可得温度稳定分布满足的方程为
dv
（积分形式），
∫v ∇ ⋅
JK Edv
=
1 ε
∫v
ρ dv
⇒
∇⋅
JK E
=
ρ ε
（微分形式）。
( ) 又
v∫l
JK E
⋅
d
K l
=
0
⇒
∫∫s
JK ∇×E
⋅
K ds
=
0
⇒
∇
×
JK E
=
0
，
∇
×
JK E
=
0
⇒
JK E
=
−∇u
，
u
为静电势（无旋场必为梯度场）
72
∴∇2u = − ρ ， 静电势满足的方程为泊松方程。
74
初始条件所反映的必须是物体上各点的初始状态，而不是仅仅某一点。
边界条件
一共有三类边界条件：
1.给定要求解的函数 u 在边界上的值 u ( x, y, z,t ) 边界上的x0 , y0 , z0
=
f
( x0, y0, z0,t ) ，称为
第一类边界条件。
例如：若研究长为 l 、两端固定的弦的振动情况，既然弦的两端 x = 0 ， x = l
所满足的方程。
设弦的质量密度为 ρ ，现在研究位于 x 到 x + dx 这一段弦的运动状况。这
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定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。
方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。
如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。
非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。
一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。
对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。
描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( 2
(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>)
|
初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。
若以()x ϕ，
()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件
为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。
（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。
(
（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界
条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,0)(),
0(,0)(),
t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨
=⎩
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2、热传导方程（
2
(x,t),x ,)n
t u a u f t o -=∈Ω⊂>
初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。
式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
]
边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。
（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。
（2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己
知。
（3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律
已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。
(,,,0)(,,)
T x y z x y z ϕ=0
(,)S T
p t ϕ==, (,)n S
T T
q K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)
S
T T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫
-=-+= ⎪∂∂⎝⎭
>
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。
定解条件不含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
：
二、定解问题
()
S
f p
ϕ=
()
S
f p
n
ϕ
∂
=
∂
()
S
h f p
n
ϕ
ϕ
∂
+=
∂
，
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。
对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。
在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。
如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。
如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。
例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。
三、例题
1、长为l的弦，两端固定于0和l。
在中点位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
^
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
!
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。
电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。
试写出杆振动的定解问题。
四、 总结
l
x
！
l/2 h 0
==(,)
t t u x t 0
2 0222=⎧∈⎪⎪=⎨
⎪-∈⎪⎩[,](,)
()[,]t h
l x x l u x t h l l x x l l
22
2
220,
(0,),0(,0)0,(,0),(0,)
(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪
⎨==∈⎪
⎪==≥⎩。