7-2定解条件

此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
定解条件
丁成祥
(,t) k u n
即
u 1 (,t)
n k
是表示沿着法向求导，是有方向的. n
例如，对一维问题，在 x=0 处，u n
u (x)
u x
，
从而，x=0 处的边界条件为
u 1 (,t) .
x x0
k
如果杆子温度比外界高，显然，热流的实际方向是向左的， (,t) 实际为负值，即实际为
解：初始位移
初始速度
u
t0
tan
x
tan
l
x
x
l 2
x
l 2
u 0 （还没来得及运动） t t0
3. 稳定方程：与时间无关，没有初始条件
二. 边界条件 描述边界上各点在任一时刻的状况.
1. 弦振动边界条件 例如两端固定的弦：
2. 杆振动边界条件 ①两端固定的杆：
u u
x0 xl
0 0
t≥0
“流出”，而非“流入”，或者说“流入为负”. 如果左端绝热，则边界条件为
③边界按“牛顿冷却定律”散热；则
u 0 x x0
k
u n
H[u(,t) u0 ]
例如一维问题，如右图，介质边界温度为 u，介质外的空气温度为 u0，则按牛顿冷却定律， 有：
k
u x
xl
H[u(l,t) u0 ]
即
u x
H k
u
xl
H k
u0
或
u x
hu
xl
hu0
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
类型 一类 二类
三类
定解条件
丁成祥
总结：三类边界条件
表达式
u (,t)
u f (,t) n
u n
hu
f
(, t )
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
F l,t f t
又因为 F l,t Es u 所以
x
u 1 f t
x xl Es
这就是 x=l 端的边界条件，若 f(t)=0，则回到自由端的情况.
④如果是一个弹簧提供拉力，如图所示，则 F k[u(l, t) l x0 ]
注：k 为弹簧的劲度系数，u0 不是 u(x=0)，而是弹簧的平衡位置，此时边界条件为
u u
x0 xl
0 0
②一端固定，一端自由的杆
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
定解条件
u
x0
0
（固定端位置总为零）
u x
xl
0 （自由段不被被压缩）
③一端固定，一端受 x 方向上的作用力 f(t).
丁成祥
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解：
s
2u t 2
x l
f
(x) F (l ,t) ，当
0 ，等式左边为零，从而
u x
xl
k [u(l,t) Es
l
x0 ]
即
u x
k Es
u
xl
k Es
( x0
l)
3. 热传导问题的边界条件 ①知道边界点上的温度
u (,t)
例如：如图所示，左端与温度为 T1 的大热源接触， 右端为 T2 的大热源，则边界条件为
u u
x0 xl
T1 T2
②单位时间，通过边界单位面积流入的热量已知为 (,t) ，则
数学物理方法
定解条件
丁成祥
§7.2 定解条件
一. 初始条件 给出初始时刻（t=0）介质上任一质点的状况.
1. 对波动方程，要给出初始位移和初始速度
u t0 x, y, z
u t
t0
x, y, z
2. 对于热传导方程，只须给出初始时刻的温度分布
u t0 x, y, z
例. 如右图所示，将弦轻轻拉起，再突然放开，试写出振动方程的初始条件（θ 很小）.