数值积分与积分变换第2 章.

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大学数学课程目录一、基础数学课程1. 高等数学1.1 微积分1.2 数列与级数1.3 多元函数微积分2. 线性代数2.1 矩阵与向量2.2 行列式与矩阵的逆2.3 线性方程组与解空间二、概率与统计1. 概率论与数理统计1.1 概率空间与事件1.2 随机变量与概率分布1.3 参数估计与假设检验三、离散数学1. 图论1.1 图的基本概念1.2 最短路径与最小生成树1.3 匹配与网络流四、数值计算方法1. 数值计算方法1.1 插值与逼近1.2 数值积分与数值解微分方程1.3 线性方程组的数值解法五、数学分析1. 实分析1.1 极限与连续1.2 一元函数微积分1.3 常微分方程六、复变函数1. 复变函数1.1 复变函数与解析函数1.2 留数与积分变换1.3 应用：调和函数与辐角原理七、偏微分方程1. 偏微分方程1.1 一阶与二阶偏微分方程1.2 分离变量法与叠加原理1.3 积分变换法与解析解八、拓扑学1. 拓扑学1.1 拓扑空间与连续映射1.2 连通性与紧致性1.3 定向和同伦等价九、几何学1. 解析几何1.1 空间点、直线与平面1.2 圆锥曲线与二次曲面1.3 空间位置关系与投影几何以上为大学数学课程目录的一个简要概述。

大学数学课程的目标是培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

不同课程之间存在一定的联系和依赖，学生可以按照自己的兴趣和发展方向选择适合的课程进行学习。

这些数学课程将为学生日后的学术研究、工程技术和各类应用领域提供坚实的数学基础。

通过大学数学课程的学习，学生将掌握数学的基本概念、方法和技巧，培养逻辑思维和分析问题的能力，为未来的发展打下坚实的基础。

积分变换 ppt课件

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为连续函数）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求指数衰减函数 f(t) e 0 ,t,
t0的傅氏变换及其 t0
积分表达式 ,其中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

第2章数值微分和数值积分概论

h0
h
lim f (x) f (x h)
h0
h
lim f (x h) f (x h)
h0
2h
向前差商
f (x0 )
f (x0 h) h
f (x0 )
向后差商中心差商
f (x0 )
f (x0 ) f (x0 h) h
f (x0 )
f (x0 h) f (x0 h) 2h
本节内容可以主要由学生讨论完成。
考虑1：插值解决了函数的近似问题；导数是由函数定义的，研究导数的近似方法是否与插值有关？
考虑2：导数的定义是什么？几何意义？在这里有什么直接意义？
回答：数值微分有几种形式？每一种方法是如何讨论的？
看书，回答上述问题。
导数的三种定义形式：
f (x) lim f (x h) f (x)
x
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
f (x) 5.06 5.07
5.065 5.05 5.055
计算 f (0.02), f (0.06), f (0.10), f (0.08)
解： f (0.02) (7.07 5.06) 0.5 0.04 0.02
f (0.06) 5.05 5.07 0.5 0.08 0.04
但是，误差的表达式中还有高阶导数，用此公式确定步长，难度较大。实际使用中可使用事后估计法。
通常用 D(h) ，D( h)
2
给定误差界，当
表示步长为
h
h
，
2
D(h) D(h)
2
h 2
时的差商计算公式，
为合适的步长。
注意：所谓的“事后估计法”，是近似计算常用的估计误差方法。

《数值积分方法》课件

数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值）和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值积分的精度。这种方法能够根据积分区间和积分函数的特性，自动选择合适的插值方法，以获得更高的积分精度。同时，自适应插值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计算数学的重要研究内容，推动了科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间上的定积分进行数值逼近的方法。
思想
通过选取适当的积分点和权函数，将定积分的计算转化为数值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式、复合梯形公式、复合辛普森公式等。

高等数学研究生教材目录

高等数学研究生教材目录第一章极限与连续1.1 实数及其性质1.2 数列与极限1.3 函数与极限1.4 极限运算法则1.5 连续与间断1.6 中值定理与极值问题第二章导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 微分的概念与计算方法2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一元函数的积分学3.1 不定积分3.2 定积分与积分的几何意义3.3 定积分的计算方法3.4 反常积分3.5 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用3.6 微积分基本定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 二元函数的极限与连续4.2 二元函数的偏导数4.3 隐函数与参数方程的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的极值及条件极值第五章重积分与曲线曲面积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线积分的概念与计算方法5.6 曲面积分的概念与计算方法第六章微分方程6.1 常微分方程的基本概念与解的存在唯一性6.2 一阶线性微分方程6.3 高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程6.4 高阶线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程6.5 常微分方程的近似解与级数解法6.6 常微分方程的应用与控制问题第七章空间解析几何与向量代数7.1 空间中的点、直线及其方程7.2 空间中的平面及其方程7.3 空间曲线及其参数方程7.4 向量的概念与运算7.5 向量的线性相关与线性无关7.6 空间中的向量积与混合积第八章多元函数积分学8.1 二重积分的曲线坐标与极坐标化法8.2 三重积分的柱面坐标、球面坐标与轮换对称性8.3 曲线积分的参数化与曲线坐标法8.4 曲面积分的参数化与曲面坐标法8.5 多元函数积分学在物理与工程中的应用8.6 曲线积分与曲面积分的变量替换第九章常微分方程数值解9.1 常微分方程初值问题的数值方法9.2 常微分方程边值问题的有限差分方法9.3 常微分方程边值问题的轮换对称法9.4 常微分方程边值问题的变分法9.5 常微分方程初值问题与边值问题的MATLAB解法9.6 常微分方程数值解方法的应用示例第十章特殊函数与积分变换10.1 常见特殊函数的性质与应用10.2 变限积分与非定积分10.3 积分变换的基本概念与性质10.4 拉普拉斯变换与傅里叶变换10.5 微分方程的解法应用于积分变换10.6 积分变换在控制与信号处理中的应用每一章节内容都经过仔细编排，涵盖了高等数学研究生教材的核心知识点。

《积分变换法》课件

信号处理
在频域中，积分变换法可用于滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的建模、参数估计和控制器设计。

高等数学理工版教材目录

高等数学理工版教材目录第一章导数与微分1.1 函数与映射1.2 限制与连续1.3 导数的定义1.4 导数的计算1.5 高阶导数1.6 微分学中的应用第二章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数的极限2.3 无穷小与无穷大2.4 极限存在准则2.5 连续的概念与性质2.6 连续函数的运算第三章一元函数微分学3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式与运算法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与函数的逼近第四章一元函数积分学4.1 不定积分与定积分4.2 积分基本公式与运算法则4.3 第一类换元积分法4.4 第二类换元积分法4.5 定积分的几何应用4.6 牛顿—莱布尼茨公式与不定积分的逆运算第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一阶线性微分方程5.3 高阶线性齐次微分方程5.4 二阶线性非齐次微分方程5.5 线性微分方程的解法总结5.6 非线性微分方程与常微分方程的初步第六章多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程的微分6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 二重积分的计算6.6 重积分的计算与应用第七章多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法7.5 曲线积分与曲面积分7.6 广义积分的概念与收敛性第八章空间解析几何8.1 坐标系与向量8.2 空间平面与直线8.3 点、直线与平面的位置关系 8.4 球面与圆锥面8.5 空间曲线与曲面8.6 曲线与曲面的参数表示第九章数值级数9.1 级数的概念与性质9.2 正项级数的审敛法9.3 收敛级数的性质9.4 幂级数与函数展开9.5 函数项级数的收敛性9.6 反常积分与反常级数第十章复变函数与积分变换10.1 复数及其运算10.2 复变函数的概念10.3 解析函数与全纯函数10.4 积分变换的基本概念10.5 拉普拉斯变换10.6 傅里叶变换第十一章偏微分方程11.1 偏微分方程的基本概念 11.2 一阶线性偏微分方程11.3 二阶线性偏微分方程11.4 热方程与波动方程11.5 椭圆型方程与抛物型方程 11.6 解的存在唯一性与稳定性第十二章线性代数初步12.1 行列式与矩阵的运算12.2 矩阵的秩与逆12.3 矩阵方程与向量空间12.4 线性方程组12.5 特征值与特征向量12.6 对角化与二次型以上是《高等数学理工版教材》的目录内容，涵盖了导数与微分、极限与连续、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、空间解析几何、数值级数、复变函数与积分变换、偏微分方程、线性代数初步等重要的数学知识点。

数值积分和数值微分ppt课件

5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未知函数 f(x)
y3
已知结点
线性插值函数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项

积分变换第2讲

同前面一样,此时仍然可以这样说: 象函数 F(w) 仍然可以这样说: w 亦构成一个傅氏变换对. 和象原函数 f (t) 亦构成一个傅氏变换对.
例2
1, u(t ) = 0,
t > 0, 称为单位跃阶函数. 称为单位跃阶函数 t <0
1 u 证明 (t )的傅氏变换为 + πδ (ω). iω
证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 我们用考察逆变换的方法证明. 逆变换的方法证明
事实上，事实上，设 F ( ω ) = 1 iω + πδ ( ω ), 则
1 f (t ) = 2π
1 [ + πδ (ω )]e iω t d ω ∫− ∞ iω
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
dq(t ) q(t + ∆t ) − q(t ) i(t ) = . = lim ∆t → 0 dt ∆t
所以, 由于q(t)不连续不连续, 所以当t≠0时, i(t)=0, 由于不连续从而在普 ≠ 时通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的
设F[ f (t )] = F(ω) ，则对于实常数0 ,ω0 , 有 t
F[ f (t ± t0 )] = e±iωt0 F(ω)] .
证明：根据定义，证明：根据定义，得
F[ f (t ± t0 )] = ∫
t ±t0 =u
+∞
−∞
f (t ± t0 )e−iωt dt
du
=
∫
+∞

积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT

= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件：即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际应用中受到一些限制.

数值积分实用PPT课件PPT课件

二simpson积分法抛物线积分法第20页共39页3几何意义第21页共39页4复合抛物线积分法分成n偶数个相等的小区间每个区间的长度第22页共39页计算公式几何意义第23页共39页5定步长抛物线积分抛物线积分较梯形积分更精确
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
第27页/共39页
龙贝格算法
第28页/共39页
数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
第37页/共39页
程序例子：P207
作业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
第38页/共39页
感谢您的观看。

用matlab求数值积分的方法

用matlab求数值积分的方法
数值积分也称为数值积分法，是一种用计算机来近似求解定积分的方法。

在MATLAB中，可以使用三种数值积分方法：梯形法、辛普森法和积分变换法。

梯形法是最简单的数值积分方法之一，它通过将被积函数在区间上近似为一条直线，然后计算这条直线下的面积来近似定积分。

在MATLAB中，可以使用trapz函数来使用梯形法进行数值积分。

辛普森法是梯形法的改进版，它通过将被积函数在区间上近似为一个二次函数，然后计算这个二次函数下的面积来近似定积分。

在MATLAB中，可以使用quad函数来使用辛普森法进行数值积分。

积分变换法是一种更加精确的数值积分方法，它通过将被积函数进行一定的变换，然后将变换后的函数在区间上近似为一个多项式函数，最后计算这个多项式函数下的面积来近似定积分。

在MATLAB中，可以使用quadgk函数来使用积分变换法进行数值积分。

总之，MATLAB提供了许多数值积分的函数，选择合适的数值积分方法可以根据具体问题的要求来确定。

数值分析高斯求积课程设计

数值分析高斯求积课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析中数值积分的基本概念，掌握高斯求积公式的原理及其数学背景；2. 掌握高斯-勒让德求积公式及其在数值积分中的应用，能够准确计算出给定函数的数值积分；3. 了解高斯求积的误差分析，掌握误差估计的方法，并能够分析其收敛性。

技能目标：1. 能够运用高斯求积方法解决实际问题中的数值积分问题，提高计算精度和效率；2. 学会使用计算工具（如数学软件）实现高斯求积算法，进行数据分析和处理；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模和数值计算技巧。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的兴趣，激发其探索数值计算领域的热情；2. 增强学生的团队协作意识，培养在小组讨论和合作中主动分享、倾听他人意见的习惯；3. 培养学生严谨的科学态度，使其认识到数值方法在科学研究和技术应用中的重要性。

本课程设计针对高年级本科生或研究生，学生在具备一定的高等数学和数值分析基础之上，通过本课程的学习，能够深入理解并掌握高斯求积方法。

课程强调理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力和解决复杂问题的能力。

通过具体案例的分析，让学生在实际应用中感受数值分析的魅力，从而提高其学习的积极性和主动性。

二、教学内容1. 数值积分基本概念：回顾数值积分的定义、特点和分类，重点介绍高斯求积方法；教材章节：第二章数值积分，第三节高斯求积方法。

2. 高斯-勒让德求积公式：讲解高斯-勒让德求积公式的推导过程，以及其在数值积分中的应用；教材章节：第二章数值积分，第四节高斯-勒让德求积公式。

3. 高斯求积的误差分析：分析高斯求积的误差来源，探讨误差估计方法及其收敛性；教材章节：第二章数值积分，第五节高斯求积误差分析。

4. 实际应用案例：结合实际问题，展示高斯求积方法在数值分析中的应用，如求解常微分方程初值问题、计算积分变换等；教材章节：第二章数值积分，第六节高斯求积应用实例。

积分变换东南大学第四版第二章1-2节

使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C-R条件. iii) 求导数：
∂u ∂v 1 ∂u ∂v f '( z) = + = +i ∂x ∂x i ∂y ∂y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
Δ v = bΔ x + aΔ y + ρ 2Δ x + ρ 1Δ y .
Q lim ρ ( Δ z ) = 0
Δz → 0
Δx→ 0 Δy→ 0 Δx→ 0 Δy→ 0
∴ lim ρ 1 = lim ρ 2 = 0
= 0,
Δx → 0 Δy→ 0
⇒ lim
ρ 1Δ x − ρ 2Δ y
Δz
lim
ρ 2Δ x + ρ 1Δ y
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
Δz
= 0
Δx → 0 Δy→ 0
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微，且 ∂u ∂v a= = , ∂x ∂y
记忆
∂u ∂v −b= =− ∂y ∂x
定义方程
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u − ∂y ∂v ∂y
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂x ∂y

积分变换(Fourier)课件与习题

的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1

18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。

数理方法-第一章-积分变换

2.1.2 复数形式的傅立叶级数
从复变函数的知识中，我们知道，由欧拉公式，三角函数与复指数函数有着密切的联系：
eiθ = cos θ + i sin θ, (2.9)
因此，我们可以进一步来构造复数形式的傅立叶级数。将上述欧拉公式代入（2.3 ）式中的傅立叶级数中，得 ) ∞ ( ∑ kπx kπx f (x) = ak cos + bk sin l l k=0 ( ) kπx kπx kπx kπx ∞ ∑ ei l + e− i l ei l − e− i l = ak + bk 2 2i k=0 ( ) ∞ ∑ ak − ibk kπx ak + ibk −i kπx l = ei l + e 2 2 k=0 因此，我们可以将上式归纳为
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
ck ei
kπx l
,
其中的展开系数可如下求得：
ck = 1 2l ˆl
−l
0 ˆ ˆl x kπx kπx x kπx 1 1 − (−1)k e−1 e l e−i l dx + e− l e−i l = f (x)e−i l dx = , 2l 1 + k2 π2
f (x) = a0 + 1 l ˆl f (x) dx,
0 ∞ ∑ k=1
ak cos
kπx , x ∈ [0, l] l 2 ak = l ˆl f (x) cos
0
a0
=
kπx dx. l
(2.20)
注意以上有限区间傅里叶级数展开系数表达式中的积分区间和积分号前面的系数。
F (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin

积分变换第二章拉氏变换

L [ f ( t )] = F ( s )
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数的拉氏变换为实数) 例4 求为实数的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理若函数 (t)满足拉氏变换的存在定理若函数f 满足满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数即存 →+∞时的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程的代数方程. 转化为的代数方程

积分变换第二章课件6

j
则得
F (s) f (t )estd t 0
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第第‹#2›页
Laplace变换的概念
积分变换
设函数 f (t) 当t 0时有定义, 而且积分
f (t)estd t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为
F (s) f (t)estd t 0
L [ f n(t)] snF(s) sn1 f 0 sn2 f 0 f n1 0
n1
snF (s) sn1i f i 0 Re s c i0
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第第‹#6›页
Laplace变换的性质
积分变换
特别得，当 f 0 f 0 f n1 0 0时，有
F(s) L [tf (t)]Res c
推论:
F (n)(s) 1n L [tn f n (t)] Re s c
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第第‹#8›页
Laplace变换的性质
积分变换
三、积分性质
如果L
f (t) F s,则 L
t
0
f
(t
)dt
1 s
F
s
t
t
t
1
L
dt
0
函数 f (t) 的Laplace变换式
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第第‹#3›页
Laplace变换的概念
积分变换
记作: F(s) L [ f (t)], F (s)
称为 f (t) 的Laplace变换.
若F(s) 是 f (t) 的Laplace变换,则称 f (t)
为 F(s) 的Laplace逆变换.

积分变换第讲

(n, m = 1,2,3, , n m ),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
整理课件
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
sin x lim = 1 x0 x 所以定义 sinc( 0) = 1, 用不严格的形式就写作
sin x
= 1, 则函数在整个实轴连续
x x=0
整理课件
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
整理课件
27
前面计算出
cn =12sincw(n) (n=0,1,2,)
wn
=nw=n2p
T
=
np
2
,可将cn以竖线标在频率
整理课件
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3,),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3,),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3,),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
2
nw t - j sin nw t] d t
= 1 T
T
2 -T
f T (t )e - jn w t d t
2
整理课件
21
而
c - n
=
an
jbn 2