2019版高考数学(文)一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-7a含解析

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2019届高考数学文科江苏版1轮复习练习：第8平面解析几何8第8讲分层演练直击高考含解析

2019届高考数学文科江苏版1轮复习练习：第8平面解析几何8第8讲分层演练直击高考含解析1 / 11 / 12x21． (2018 ·江调研镇 )已知点 A (0， 2)及椭圆 4 ＋ y ＝ 1 上随意一点 P ，则 PA 的最大值为 ________．[分析 ] 设 P( x 0， y 0)，则－ 2≤ x 0≤ 2，－1≤ y 0≤ 1，因此 PA 2＝ x 20＋ (y 0－ 2)2.2由于 x 0＋ y 02 ＝ 1，因此 PA 2＝ 4(1－ y 02 )＋ (y 0－ 2)24＝－22 228 .3y 0－ 4y 0＋8＝－ 3 y 0＋＋332由于－ 1≤ y 0≤ 1，而－ 1<－ 3<1，因此当 y 0＝－ 2时，PA max2＝28，即 PA max ＝221 .3 332 21[答案 ]322xy2．设椭圆 m 2＋ m 2－1＝ 1(m ＞ 1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 P 到右准线的距离为 ________．[分析 ] 由于 m 2＞ m 2－ 1，因此 m 2＝ a 2，m 2－ 1＝ b 2.因此 c 2＝ 1.又 3＋ 1＝2a? a ＝ 2，1a因此 dP － l 右＝＝＝ 2.[答案]2x 2 y 23．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝ 3x ，它的一个焦点在抛物线 y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．[分析 ]由于一条渐近线方程是y ＝b3x ，因此 a ＝3.①由于双曲线的一个焦点在y 2＝ 24x 的准线上，因此c ＝6.② 又 c 2＝ a 2＋ b 2， ③由 ①②③ 知， a 2＝ 9， b 2＝ 27，。

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-1a含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D.2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140° 答案 B解析将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4 答案 D解析由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D. 4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3答案 A解析直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D解析因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·浙江诸暨质检)直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1 答案 B解析将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B .∵1B ＝－1，∴B ＝－1.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B.7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为x a ＋yb ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1.a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小．所以直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·新乡一中月考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝⎛⎭⎪⎫16，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－16，12 答案 B解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫12，－16.故选B. 10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ→的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.12．(2018·石家庄校级期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y12－a＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0. 13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°； ④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)；⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．B 级三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

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[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3答案 C解析抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38 C.233 D.433 答案 D解析由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( )A ．2－55B ．25－1C ．1－2121 D.21－1答案 A解析因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析由双曲线方程x 2－y23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析由抛物线的定义可知，9＋p 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x＝－p2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ，又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35， ∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎨⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝p 2×45＝25p . ∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58， ∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)．所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS→＝0，求|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程； (3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.由韦达定理⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k ，得B (1＋2k 2，－2k )，∴|AB→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝ 4k 4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)，所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF→＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →，即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF→＝λTB →－FT →，即探求直线AB 是否过定点．由(2)知，直线AB 的方程为 y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)，使得AF→＝λTB →－FT →.。

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-6a Word版含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.解法二：当直线l 无斜率时同解法一，且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种，其他直线得到的|AB |>4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x 轴上方或x 轴下方两种情况．综上所述，共有三条直线满足条件，故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A.6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ， ∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B. 8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2， ∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10，可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1<25c 2<4，则有125c 2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________．答案102解析圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1，则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ， e ＝c a ，a ＝ce .|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看作是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时，有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，②①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即双曲线的离心率为 3.B 级三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB→>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。

2019版高考数学(文)一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-5a含解析

[重点保分两级优选练]
A 级
一、选择题
1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1的焦点坐标为( )
A ．(±3，0)
B ．(0，±3)
C ．(±3，0)或(±5，0)
D ．(0，±3)或(±5，0)
答案 B
解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲
线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B. 2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方
程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )
A ．焦点在x 轴上的双曲线
B ．焦点在y 轴上的双曲线
C ．焦点在x 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的椭圆
答案 D
解析因为(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ
＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ
＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.
3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，。

高三数学一轮复习第8章平面解析几何检测文 A 试题

卜人入州八九几市潮王学校单元质量检测(八)一、选择题1．(2021·模拟)设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，那么a，b满足() A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝0解析：由sinα＋cosα＝0，得tanα＝－1.∴α＝135°，即a＝b，a－b＝0.答案：D2．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是() A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0解析：由题意知所求直线与2x－y－2＝0垂直．又2x－y－2＝0与y轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.答案：D3．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0解法一：因为直线x－2y＋3＝0的斜率是，所以所求直线方程为y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.解法二：设所求直线方程为x－2y＋c＝0，将点(－1,3)代入得－1－2×3＋c＝0，解得c＝7，∴所求直线方程为x－2y＋7＝0.答案：A4．过点M(2,1)的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|＝|MQ|，那么l的方程是() A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0解析：由题意知，M是线段PQ的中点．设直线的方程为y＝k(x－2)＋1，分别令y＝0，x＝0，得P(2－，0)，Q(0,1－2k)，由中点坐标公式得＝2，∴k＝－，所以直线的方程为y＝－(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.答案：D5．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，那么△ECF的面积为() A. B. C．2 D.解析：圆心(2，－3)到EF的间隔d＝＝.又|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝×4×＝2.答案：C6．双曲线－＝1的焦点坐标为() A．(－，0)、(，0) B．(0，－)、(0，)C．(－5,0)、(5,0) D．(0，－5)、(0,5)解析：c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，c＝5.答案：C7．双曲线－＝1(a>)的两条渐近线的夹角为，那么双曲线的离心率为() A. B.C. D．2解析：如右图所示，双曲线的渐近线方程为：y＝±x.假设∠AOB＝，那么θ＝，tanθ＝＝.∴a＝>.又∵c＝＝＝2，∴e＝＝＝.答案：A8．圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD 的面积为() A．10 B．20C．30 D．40解析：由题意知圆的HY方程为(x－3)2＋(y－4)2＝52，点(3,5)在圆内，点与圆心的间隔为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为2＝4，∴四边形ABCD的面积S＝×10×4＝20.答案：B9．(2021·模拟)设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，假设|PF1|＝3，那么|PF2|＝() A．7 B．6C．5或者1 D．9解析：由题意知双曲线焦点在x轴上，∴＝，∴＝，∴a2＝4，∴a＝2，又双曲线实轴长为4>3，∴点P在双曲线左支上，∴|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋4＝7.答案：A10．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点．假设|PF1|∶|PF2|＝3∶2，那么△PF1F2的面积为()A．6 B．12C．12 D．24解析：由题意2a＝2，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2∴|PF1|＝6，|PF2|＝4，又2c＝2由余弦定理得：cos∠F1PF2＝＝0∴三角形为直角三角形，∴S△PF1F2＝×6×4＝12答案：B11．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是() A．a B．bC. D.解析：圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的间隔，渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以r＝＝b.答案：B12．设x1，x2∈R，常数a>0，定义运算“*〞；x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，假设x≥0，那么动点P(x，)的轨迹方程是() A．y2＝4ax B．y2＝4ax(y≥0)C．x2＝4ay(x≥0)D．x2＝4ay解析：∵x a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax，∴动点P的轨迹方程为y2＝x a＝4ax(y≥0)．答案：B二、填空题13．在坐标平面内，与点A(1,3)的间隔为，且与点B(3,1)的间隔为3的直线一共有________条．解析：以A(1,3)为圆心，以为半径作圆A，以B(3,1)为圆心，以3为半径作圆B.∵|AB|＝＝2＝3－，∴两圆内切，公切线只有一条．答案：114．(2021·模拟)在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：123解析：假设条件是①，那么|AB|＋|AC|＝6>4，故A点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C3.假设条件是②，那么×|BC|×|y|＝10，∴|y|＝5，即y2＝25，故方程为C1，假设条件是③，那么A点轨迹是以BC为直径的圆(去掉B、C两点)，故方程为C2.答案：C3，C1，C215．正方形ABCD，那么以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________．解析：设正方形边长为1，那么AB＝2c＝1，∴c＝.AC＋BC＝1＋＝2a，∴a＝∴e＝＝＝－1.答案：－116．在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，那么＝__________.解析：由题意知椭圆的焦点是(－4,0)和(4,0)，点B在椭圆上，∴|AB|＋|BC|＝2a＝10，AC＝8.由正弦定理得＝＝＝.答案：三、解答题17．方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)假设此方程表示圆，求m的取值范围；(2)假设(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；解：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，那么x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0①∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0由得5y2－16y＋m＋8＝0∴y1＋y2＝，y1y2＝代入①得，m＝.18．(2021·模拟)点M，N分别在直线y＝mx和y＝－mx(m>0)上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|＝2，动点P的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；(2)设m＝时，过点A(－，0)的直线l与曲线C恰有一个公一共点，求直线l的斜率．解：(1)设P(x，y)，M(x1，mx1)，N(x2，－mx2)，依题意得消去x1，x2，整理得＋＝1，当m>1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当0<m<1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，当m＝1时，方程表示圆．(2)当m＝时，方程为＋＝1，设直线l的方程为y＝k(x＋)，消去y得(1＋4k2)x2＋k2x＋－2＝0，根据可得Δ＝0，故有(k2)2－4(1＋4k2)(－2)＝0，k2＝.∴直线l的斜率为k＝±.19．直线l：x－y＋3＝0，一光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点．(1)试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC的方程．解：(1)如右图所示，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)．点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)．根据光学性质，点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上．求得A′B的直线方程为y＝(x－m)．由，得x c＝.B′A的直线方程为y－2＝(x－1)．由，得x c＝.那么＝，得3m2＋8m－3＝0，∴m＝或者m＝－3.而当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能成为三角形，故这样的△ABC只有一个．(2)当m＝时，B(，0)，C(－，)．∴线段BC的方程为3x＋y－1＝0(－≤x≤)．20．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2＋y2－4x－2y＋＝0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB的斜率为－，求此椭圆的方程．解：圆的方程变为(x－2)2＋(y－1)2＝，其圆心为(2,1)，直径|AB|＝.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又k AB＝－，即＝－.A、B在椭圆上，有＋＝1，＋＝1，得＋＝0，＝－＝.∴a2＝4b2.∴椭圆方程变为x2＋4y2＝4b2.直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2.把直线方程代入椭圆方程得x2＋4(－x＋2)2＝4b2，即x2－4x＋8－2b2＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.∵|AB|＝|x1－x2|，∴10＝[1＋(－)2][(x1＋x2)2－4x1x2]＝[16－4(8－2b2)]，解得b2＝3，∴a2＝12.所求椭圆方程为＋＝1.21．如右图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.假设△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．解：(1)解法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，那么A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意，得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4，∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，那么c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴曲线C的方程为－＝1.解法二：同解法一建立平面直角坐标系，那么依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4，∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，那么由，解得a2＝b2＝2.∴曲线C的方程为－＝1.(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴⇔，∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，那么由①式得x1＋x2＝，x1x2＝－，于是|EF|＝＝＝·＝·，而原点O到直线l的间隔d＝，∴S△OEF＝d·|EF|＝···＝.假设△OEF面积不小于2，即S△OEF≥2，那么有≥2⇔k4－k2－2≤0，解得－≤k≤.③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]．22．定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．(1)假设线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使·为常数？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．解：(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，得y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么由线段AB中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得k＝±，适宜①.所以直线AB的方程为x－y＋1＝0，或者x＋y＋1＝0.(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.③所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.注意到·是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－，此时·＝.(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(－1，)、(－1，－)，当m＝－时，亦有·＝.综上，在x轴上存在定点M(－，0)，使·为常数．。

2019版高考数学(文)一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-3a含解析

四边形
)
B．6 5 D．2 15
ABCD ＝ S △ ABD ＋ S △ BDC ＝
1 1 1 1 BD·EA ＋ BD·EC ＝ BD·(EA ＋ EC) ＝ BD·AC ＝ 2 2 2 2
1 ×2 3×2 5＝2 15.故选 D. 2 10．已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，则 x＋y 的最大值与最小值是( ) B．6＋ 2，6－ 2 D．4＋ 2，4－ 2 A．6＋2 2，6－2 2 C．4＋2 2，4－2 2 答案 A
[基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1．(2017·豫北名校联考)圆(x－2)2＋y2＝4 关于直线 y＝ ( ) A．(x－ 3)2＋(y－1)2＝4 B．(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－ 3)2＝4 答案 D 解析设圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心(2,0)关于直线 y＝ b 3 · ＝－1， a－2 3 3 x 对称的点的坐标为(a， 3 3 x 对称的圆的方程是 3
A．－4 2≤m≤4 2 C．－4≤m≤4 答案 B
B．－4≤m≤4 2 D．4≤m≤4 2
解析由题意知方程 16－x2＝x＋m 有实数解，分别作出 y＝ 16－x2与 y＝x＋ m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4 2.故选 B. 7．(2017·广东七校联考)圆 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 关于直线 ax－by＋3＝0(a>0， 1 3 b>0)对称，则＋的最小值是( a b A．2 3 C．4 答案 D 解析由圆 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆 x2 ＋y2＋2x－6y＋1＝0 关于直线 ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－ 1 3 ＋ 1 3 1 1,3) ，即－ a － 3b ＋ 3 ＝ 0 ，∴ a ＋ 3b ＝ 3(a>0 ， b>0) ．∴ ＋＝ (a ＋ 3b) a b ＝ a b 3 3a 3b 1 1＋＋＋9 1 10＋2 ≥ b a 3 3 选 D. 8．(2018·唐山一中调研)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 答案 A 3a 3b · 16 3b b a ＝，当且仅当＝，即 a＝b 时取等号，故 3 a b ) 20 B. 3 D. 16 3

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-4a含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－ab ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.2．(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为120°，则直线6x cos α－6y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是( )A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离答案 A解析由题意可得a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a |·|b |cos120°＝2×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以圆心(cos β，－sin β)到直线6x cos α－6y sin α＋1＝0的距离d ＝|6cos αcos β＋6sin αsin β＋1|6＝|－3＋1|6＝13<1，故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选A.3．(2015·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过圆心C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.4．(2017·湖南三模)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos α＋cos β＝( )A.1817 B ．－1217 C ．－417 D.417 答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由三角函数的定义得cos α＋cos β＝x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝2，x 2＋y 2＝1，消去y ，得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝417，即cos α＋cos β＝417.故选D.5．(2017·湖北模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0) D ．(9,0)答案 A解析因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的动点，所以设P (9－2m ，m )，因为圆x 2＋y 2＝4的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，设其圆心为C ，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫9－2m 2，m 2，且半径的平方是r 2＝(9－2m )2＋m 24，所以圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝4，②②－①得，(2m －9)x －my ＋4＝0，即公共弦AB 所在的直线方程是(2m －9)x －my ＋4＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋4＝0，得x ＝49，y ＝89，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，故选A.6．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案 B解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y ＋4k＝0.则有|3k－2|k2＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.故选B.7．(2018·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C 在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，所以点(a，b)到圆心的距离d＝(a＋1)2＋(b－2)2＝(a＋1)2＋(a－3－2)2＝2a2－8a＋26＝2(a－2)2＋18.所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4，故选C.8．(2017·安宁模拟)已知a，b是实数，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是() A．[2－22，2＋2]B．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)C．(－∞，－22]∪[22，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2＋22，＋∞) 答案 B解析 ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝1，即ab ＝a ＋b ＋1， ∴a ＋b ＋1≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，故选B.9．(2017·定州市校级期末)曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 答案 D解析根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，直线l 过 A (2,4)，B (－2,1)，又曲线y ＝1＋4－x 2图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为4－12－(－2)＝34，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.故选D.10．(2017·晋中模拟)若圆C 1：(x －m )2＋(y －2n )2＝m 2＋4n 2＋10(mn >0)始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2的周长，则1m ＋2n 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．6 D ．3答案 D解析把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l 方程为(m ＋1)x ＋(2n ＋1)y ＋5＝0，由题意知直线l 经过圆C 2的圆心(－1，－1)，因而m ＋2n ＝3. ∴1m ＋2n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋2n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥13(5＋4)＝3，m ＝n 时取等号．∴1m ＋2n 的最小值为3，故选D. 二、填空题11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.答案 1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a ＝22－(3)2＝1⇒a＝1.12．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．答案－33解析曲线y ＝1－x 2的图象如图所示．若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2kk 2＋1，又S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以2k 2k 2＋1＝12.∴k 2＝13，∴k ＝－33.13．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )． ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，整理得：x 2＋y 2＋12x －6y －20≤0，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.∴点P 在以(－6,3)为圆心，65为半径的圆面上(包括边界)，又∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，∴点P 的横坐标的取值范围为[－52，52]．当x ＝－52时，y ＝0满足(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋12x －6y －20＝0 ①，x 2＋y 2＝50 ②，得：2x －y ＋5＝0. 代入②得x 2＋4x －5＝0， x 1＝－5，x 2＝1，∴点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．14．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切； ②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3； ④若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号)答案 ①③④解析对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C 1的半径为1，圆心为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2，又两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C 1和圆C 2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝π6时，圆C 1的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆C 1的圆心为(3，1)，设其被直线l 所截弦为CD ，易知圆心到直线l 的距离为|3×3－1－1|(3)2＋(－1)2＝12，又圆C 1的半径为1，所以弦CD 的长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确；对于④，由①知两圆相切(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C 1的直径为2，圆C 2的直径也为2，所以|PQ |的最大值为2＋2＝4，所以④正确．B 级三、解答题15．(2017·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．16．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ，M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋5＝0，y ＝mx ，得(1＋m 2)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－20(1＋m 2)>0，解得－255<m <255，故x 0＝31＋m 2，且53<x 0≤3.因为m ＝y 0x 0，所以x 0＝31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 02，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 所以M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3. (3)存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．由(2)得M 的轨迹C 为一段圆弧，其两个端点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，直线L ：y ＝k (x －4)过定点E (4,0)，①k PE ＝25353－4＝－257，k QE ＝－25353－4＝257，当－257≤k ≤257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．②当直线L 与曲线C 相切时，L 的方程可化为kx －y －4k ＝0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 综上所述，当－257≤k ≤257或k ＝±34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线

解析设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y2＝4x 的焦点F的坐标为(1,0)． ∵M是FQ的中点，
x＝1＋x2， 2 ∴ y2 y＝ 2 x2＝2x－1， ⇒ y2＝2y，
又Q是OP的中点，
x ＝x1， 2 2 ∴ y1 y2＝ 2
2．(2017· 保定二模)若点P(x，y)坐标满足ln 1|，则点P的轨迹图象大致是( )
1 y
＝|x－
解析由题意，x＝1时，y＝1，故排除C，D；令x＝ 1 2，则y＝± e，排除A.故选B.
3．(2018· 安徽模拟)点集{(x，y)|(|x|－1)2＋y2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( ) 16π 16π A. 3 ＋2 3 B. 3 ＋4 3 24π 24π C. 3 ＋2 3 D. 3 ＋4 3
2 x2 2 y C. 4 －y ＝1(y≠0) D．x2－ 4 ＝1(y≠0)
解析设AB，AC边上的中线分别为CD，BE， 2 2 ∵BG＝3BE，CG＝3CD， 2 ∴BG＋CG＝3(BE＋CD)＝6(定值)．因此，G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，2a＝6，c＝ 5， x 2 y2 ∴a＝3，b＝2，可得椭圆的方程为 9 ＋ 4 ＝1.
5 x2 y2 解析由4－t＝t－1，可得t＝ 2，方程＋＝1表 4－t t－1 示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或 x2 y2 t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故②正确； 4－t t－1
解析将圆F改写成标准方程(x－1)2＋y2＝12，则圆心 F的坐标为(1,0)，半径r＝2 3，由题意可知|PA|＝|PB|.又点P 在圆F的半径BF上，故|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2 3>2 ＝|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，2 3 为长轴长的椭圆，则2a＝2 3 ，2c＝2，所以b＝ 2 .故动点P的轨迹 x2 y2 方程为 3 ＋ 2 ＝1.故选D.

【分层演练系列】2019届高考数学(江苏版文)一轮复习题：第8章平面解析几何 8 第8讲

1．(2018·镇江调研)已知点A (0，2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则PA 的最大值为________．[解析] 设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，所以PA 2＝x 20＋(y 0－2)2.因为x 204＋y 20＝1，所以PA 2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 2－4y 0＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋283.因为－1≤y 0≤1，而－1<－23<1，所以当y 0＝－23时，PA 2max ＝283，即PA max ＝2213.[答案] 22132．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为________．[解析] 因为m 2＞m 2－1，所以m 2＝a 2，m 2－1＝b 2.所以c 2＝1.又3＋1＝2a ⇒a ＝2，所以dP －l 右＝1e ＝ac＝2.[答案] 23．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．[解析] 因为一条渐近线方程是y ＝3x ，所以b a＝ 3.① 因为双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上，所以c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27，此双曲线方程为x 29－y 227＝1.[答案] x 29－y 227＝14．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l的距离为m ，则m ＋PC 的最小值为________．[解析] 由题意得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m ＋PC 最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即m ＋PC ＝（－3－2）2＋（－4）2＝41.[答案] 415．(2018·南通质量检测)若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率e＝________．[解析] 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.[答案] 546．若直线y ＝kx 交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，且AB ≥10，则k 的取值范围为________．[解析] 由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1得x 2＝44k 2＋1.不妨设⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝24k 2＋1，y A＝2k 4k 2＋1，⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝－24k 2＋1，y B ＝－2k4k 2＋1.由两点间距离公式得AB 2＝16（1＋k 2）4k 2＋1≥10，解得k 2≤14.所以k 的取值范围为－12≤k ≤12.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，127．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ＞1)，则λ的值为________．[解析] 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.[答案] 48．(2018·湖北省华中师大附中月考)已知F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，抛物线的准线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点．若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．[解析] 设AB 与x 轴交点为M ，由△AFB 为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有MA ＝MB＝MF ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，把x ＝－p2代入双曲线的渐近线方程y ＝±bax ，得A ，B 的纵坐标为±bp 2a ，因此有bp 2a ＝p ，所以b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，因此e ＝ca＝ 5.[答案] 59．(2018·无锡调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．[解析] 如图，设右准线与x 轴的交点为H ，则PF 2≥HF 2.又因为F 1F 2＝PF 2，所以F 1F 2≥HF 2，即2c ≥a 2c －c ，所以3c 2≥a 2.所以e 2≥13，即e ≥33.又因为e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，110．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AB ＝5，则满足条件的l 的条数为________．[解析] 因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以AB ＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a ＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．[答案] 311．(2018·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点． [解] (1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y .所以E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．12．(2018·南京调研测试)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k2－8，因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2，所以OE →·OF →的取值范围是[－8，2]．1．已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：(x －1)2＋y 2＝15相切，且双曲线的右焦点为抛物线y 2＝45x 的焦点，则该双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可知双曲线的c ＝ 5.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为kx －y ＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径15，得k 2＝14，即b 2a 2＝14.又a 2＋b 2＝(5)2，则a 2＝4，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.[答案] x 24－y 2＝12．已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，若M 为右准线上一点，A 为椭圆的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，则PMAP的取值范围是________．[解析] 设P 点横坐标为x 0，则PM AP ＝8－x 0x 0＋4＝12x 0＋4－1，因为－4<x 0≤4，所以PM AP ＝8－x 0x 0＋4＝12x 0＋4－1≥12. 所以PM AP 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞3．抛物线C 1：y 2＝4mx (m >0)和椭圆x 24m 2＋y 23m2＝1的交点为P .F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，若存在实数m ，使得△PF 1F 2的边长是连续的自然数，则m ＝________．[解析] 在△PF 1F 2中，PF 1最长，PF 2最短，F 1F 2＝2c ＝2m ，所以F 1F 2＝2m ，PF 1＝2m ＋1，PF 2＝2m －1，又因为P 在C 1上，所以P ()m －1，4m （m －1），将其代入椭圆x 24m 2＋y 23m2＝1得m ＝3.[答案] 34.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率的取值范围为________． [解析] 依题意切线长PT ＝PF 22－（b －c ）2，所以当且仅当PF 2取得最小值时PT 取得最小值，而(PF 2)min ＝a －c ，所以（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以0<b －c a －c ≤12，所以⎩⎨⎧b >c ，2b <a ＋c ，所以⎩⎨⎧a 2－c 2>c 2，4（a 2－c 2）<a 2＋c 2＋2ac ，所以⎩⎨⎧a 2>2c 2，5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以⎩⎨⎧e 2<12，5e 2＋2e －3≥0，从而解得35≤e <22，故离心率的取值范围是35≤e <22.[答案] 35≤e <225．(2018·苏州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(2，0)，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－153在椭圆C上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得F 1M ＝F 1N (F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)法一：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2，椭圆C 的左焦点为F 1(－2，0)．由椭圆的定义可得2a ＝（1＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1532＋（1－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1532＝969＋ 249＝26，解得a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝6－4＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.法二：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2，故a 2－b 2＝4，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－153在椭圆C 上，则1a 2＋159b 2＝1，故1b 2＋4＋159b 2＝1，化简得3b 4＋4b 2－20＝0，得b 2＝2，a 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1y ＝－x ＋t得x 2＋3(－x ＋t )2－6＝0，即4x 2－6tx ＋(3t 2－6)＝0，Δ＝(－6t )2－4×4×(3t 2－6)＝96－12t 2>0，解得－22<t <2 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3t 2，x 1x 2＝3t 2－64，由于F 1M ＝F 1N ，设线段MN 的中点为E ，则F 1E ⊥MN ，故kF 1E ＝－1k MN＝1，又F 1(－2，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4，t 4，所以kF 1E ＝t43t 4＋2＝1，解得t ＝－4.当t ＝－4时，不满足－22<t <22，所以不存在满足条件的直线l .6．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． [解] (1)因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意知点A 在第二象限，点B 在第四象限．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2b2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ，22b .又AB ＝210，所以OA ＝10，即2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明：由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2. 从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)，由⎩⎨⎧y ＋2＝－14k 1（x －22），y －2＝k 2（x ＋22），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1，y ＝2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1.从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1，2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1. 用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22（－4k 1k 2－4k 2＋1）4k 1k 2＋1，2（－4k 1k 2＋4k 1＋1）4k 1k 2＋1. 所以k PQ ＝2（－4k 1k 2＋4k 2＋1）4k 1k 2＋1－2（－4k 1k 2＋4k 1＋1）4k 1k 2＋122（－4k 1k 2－4k 1＋1）4k 1k 2＋1－22（－4k 1k 2－4k 2＋1）4k 1k 2＋1＝42（k 2－k 1）82（k 2－k 1）＝12. 即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－22，－2＋2k .又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.。

2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练及答案解析：第8章平面解析几何8-7a

3．(2018 ·广东广州模拟 )如果 P1， P2，…， Pn 是抛物线 C：y2＝ 4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，…， xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋ x2＋…＋ xn＝10，则 |P1F|＋ |P2F|＋…＋ |PnF|＝ ( )
[重点保分两级优选练 ]
A级一、选择题 1．(2017 ·皖北协作区联考 )已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，若直线
y＝2x 被抛物线所截弦长为 4 5，则抛物线 C 的方程为 ( )
A ． x2＝ 8y
B．x2＝ 4y
C． x2＝ 2y
D．x2＝ y
答案 C
x2＝2py，
x＝ 0，
x＝4p，
解析由
得
或
即两交点坐标为
y＝ 2x，
y＝ 0
y＝8p，
(0,0)和(4p,8p)，则 4p 2＋ 8p 2＝4 5，得 p＝1(舍去负值 )，故抛物线 C 的方程为 x2＝2y.故选 C.
2．(2014 ·全国卷Ⅱ )设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则 |AB|＝( )
30 A. 3
B．6
C． 12
D．7 3
答案 C
解析
抛物线
C：y2＝3x 的焦点为
F
3 4，0 ，所以
AB －4
，将
y＝
3 3
3 x－ 4
代入
y2＝3x，消去
y 整理得
x2
21 9 － 2 x＋ 16＝ 0.设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系得 x1＋ x2 ＝221，由抛物线的定义可得 |AB|＝x1＋x2＋p＝221＋32＝12.故选 C.

2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何

第
七
节
双曲线
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点

课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课前双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必
过
教
材
关
1．双曲线的定义平面内与两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线 ______
2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 y2 y2 x2 －＝1(a＞0，b＞0) 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a b
图形
性质
范围对称性
x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称轴：坐标轴对称中心：原点
标准方程顶点渐近线离心率性质 a，b，c 的关系
2 y 即其标准方程为x2－＝ 1. 2 2 y 答案：x2－＝1 2
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一双曲线的标准方程
[题组练透]
x2 y2 1． (2017· 天津高考 )已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a>0， b>0)的左焦点 a b 为 F，离心率为 2 .若经过 F和 P(0,4)两点的直线平行于双 ( )
x2 y2 解析：设要求的双曲线方程为 2－ 2＝ 1(a>0， b>0)， a b x2 y2 由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(± 1,0)，顶点为(± 2,0)． 4 3 所以双曲线的顶点为(± 1,0)，焦点为(± 2,0)．所以a＝ 1， c＝ 2，所以b2＝ c2－ a2＝ 3，

2019版高考数学理高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y ＝|x －1|，则点P的轨迹图象大致是( )答案 B解析由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D ．x 2－y24＝1(y ≠0)答案 B解析设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1 B ．y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1) D ．y 2＝x －12答案 D解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)．∵M 是FQ 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝1＋x 22，y ＝y 22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 12，y 2＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)，所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|P A |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案 A解析设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. y ＝y 1＋y 2＝4k ，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案 x 212＋y 216＝1解析由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案 x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎨⎧x 1＝2x ，y 1＝2y x ，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)．14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案 3＋224解析设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1. ∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)， ∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r.∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝2(4＋r )＋4(4－r )(4－r )(4＋r )＝24－2r 16－r 2＝2(12－r )－(12－r )2＋24(12－r )－128＝2－(12－r )－12812－r＋24 ≥2－2(12－r )·12812－r ＋24 ＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r，即r ＝12－82时，取“＝”．所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]．16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。

2019版高考数学文培优增分一轮全国经典版增分练：第8

板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p 2. ∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4. ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A解析由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2， 5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.4．[2018·运城模拟]已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y 答案 D解析设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .5．已知直线ax ＋y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，点F 在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a ＋1＝0，即a ＝－1，∴直线方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.6．[2018·郑州模拟]已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若|AF |＋|BF |＝5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 94解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝5，即x 1＋14＋x 2＋14＝5，解得x 1＋x 2＝92，所以线段AB 的中点到y轴的距离x 1＋x 22＝94.7．[2017·河北六校模拟]抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p 2.又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p 2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .8．[2017·天津高考]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠F AC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.9.如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点D .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程；(2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解 (1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝±3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)．(2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下：设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)．所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)，整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．10．[2018·湖南模拟]已知过A (0,2)的动圆恒与x 轴相切，设切点为B ，AC 是该圆的直径．(1)求C 点轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．解 (1)设C (x ，y )，A (0,2)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋22，又因为圆与x 轴切于B 点，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，圆的半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋22. 根据AC 是圆的直径得，|AC |＝|y ＋2|，即x 2＋(y －2)2＝|y ＋2|，两边平方整理得x 2＝8y ，所以C 点的轨迹E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：设AC 所在直线的方程为y ＝kx ＋2，与曲线E 联立得x 2－8kx －16＝0，设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝－16.曲线E ：x 2＝8y 在点P (x 2，y 2)处切线的斜率为k 1＝x 4| x ＝x 2＝x 24，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，直线BC 的斜率为k 2＝y 1x 1－x 12＝x 218x 12＝x 14，所以k 1·k 2 ＝x 24×x 14＝x 1x 216＝－1616＝－1，所以PQ ⊥BC ，即△PQC 为直角三角形．[B 级知能提升]1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2答案 C解析过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.2．[2018·安徽模拟]过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322 D ．2 2答案 C解析焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.3．[2017·山东高考]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .4．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 坐标为(x p ，y p )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理l 2：y ＝－14x －1，联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎨⎧ x p ＝－2，y p ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1，由PM →＝λP A →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎨⎧ y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎨⎧ λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.5．[2018·合肥模拟]已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2. F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x ，得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)(k <0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ，点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1. 令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，S △PMN 有最小值8，此时k ＝－1. 即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。

高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-5aWord版含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆答案 D解析因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 2 2＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r)(n＋r)．∴b＝(m＋r)(n＋r)，∴短轴长为2b＝2(m＋r)(n＋r)千米，故选A.7．(·九江期末)如图，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为()A.32 B.12C.3－1D.2 2答案C解析连接AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝12∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝12|F1F2|＝c，|F2A|＝32|F1F2|＝3c.根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋3)c，解得a＝1＋3 2c，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 C解析设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22 )x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°，在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°，∴cos∠AOP＝b |OP|＝12，∴|OP|＝b12＝2b，∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2＝b2＋c2，即4(a2－c2)≤a2，∴3a2≤4c2，即c2a2≥34，∴e≥32，又0<e<1，∴32≤e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围是32≤e<1.故选D.二、填空题11．(·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆x24＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案733解析依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d＝x2＋(y－1)2＝－3y2－2y＋5＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y＋132＋163，∵－1≤y≤1，∴当y＝－13时，d取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析设F (1,0)关于直线y ＝12xx 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1.14．(·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF→·CF →＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12x d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2. 而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2 ＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得， k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23. 设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2| ＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2，所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-2a Word版含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.2．(2017·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4 答案 B解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴m －4×25＝－1，∴m ＝10，直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2.把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0答案 A解析要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直．由k OP ＝2－01－0＝2，则直线l 的斜率为－12，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即为x ＋2y －5＝0.故选A.4．(2018·贵州六校联盟联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标是( )A ．(－4,0)B ．(0，－4)C ．(4,0)D ．(4,0)或(－4,0)答案 A解析当顶点C 的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．故选A.5．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)答案 C解析设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.与y ＝2x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析由正弦定理，得a sin A ＝b sin B .∵两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ， ∴k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，∴两直线垂直．故选C.7．(2017·聊城三模)已知两点A (－m,0)和B (2＋m,0)(m >0)，若在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得P A ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,4)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋m ，k PB ＝y x －2－m ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －9＝0，y x ＋m ·yx －2－m ＝－1，消去x 得4y 2－163y ＋63－m 2－2m ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－163)2－4×4×(63－m 2－2m )≥0，解得m ≥3.故选C.8．(2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝0答案 A解析由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.故选A.9．(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94 C ．1 D ．9答案 B解析因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又因为Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.10．(2016·四川高考)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析设l 1是y ＝－ln x (0<x <1)的切线，切点P 1(x 1，y 1)，l 2是y ＝ln x (x >1)的切线，切点P 2(x 2，y 2)，l 1：y －y 1＝－1x 1(x －x 1)，①l 2：y －y 2＝1x 2(x －x 2)，②①－②得x P ＝y 1－y 2＋21x 1＋1x2，易知A (0，y 1＋1)，B (0，y 2－1)， ∵l 1⊥l 2，∴－1x 1·1x 2＝－1，∴x 1x 2＝1，∴S △P AB ＝12|AB |·|x P |＝12|y 1－y 2＋2|·|y 1－y 2＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋1x 2＝12·(y 1－y 2＋2)2x 1＋x 2x 1x 2＝12·(－ln x 1－ln x 2＋2)2x 1＋x 2＝12·[－ln (x 1x 2)＋2]2x 1＋x 2＝12·4x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，又∵0<x 1<1，x 2>1，x 1x 2＝1，∴x 1＋x 2>2x 1x 2＝2，∴0<S △P AB <1.故选A. 二、填空题11．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．(2018·南昌模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．答案－13或－79解析由题意及点到直线的距离公式，得 |－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 13．(2017·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．答案 y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0解析当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.14．(2018·南京期末)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是________．答案 6x －8y ＋1＝0解析由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ， ∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.B 级三、解答题15．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎨⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x－2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．16．(2018·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．解 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1，即|PM |·|PN |为定值．(2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋12x 0.所以|OM |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0. 连接OP ，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，2019版高考数学（文）2019版高考数学（文）则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.。