14.1.3 函数图象第一课时

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14.1.3：函数的图像-人教版八年级上册

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人的心电图对照图
下图是自动测温仪记录的图象
股市指数走势图
活动一:
正方形的边长为X.面积为S,面积是不是边长X的函数?如果是, 它们的函数关系式怎样表示?
s x（2 x>0）的图象
画图象的规律
❖ 一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。
函数图象的定义：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．右图中的曲线即为函数Ｓ＝x2 （x>0）的图象。
对于一些函数，我们通过列表、描点、连线画出它们的图象。
活动二:
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了图象中得到了哪些信息？
从图象上能获得哪些信息
由图象可得到的信息：
１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．２．这天中凌晨4时气温最低为－ 3℃，14时气温最高为 8℃．
３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降。从4时至14•时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态。
４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．同学们还能得到其他的信息吗？

八年级数学上册《14.1.3 函数的图像》课件人教新课标版

由表可看出，三角形内角和为180°，边数每增加1条，内角和度数就增加180°．故此m、n函数关系可表示为：
m=（n-2）·180° （n≥3的自然数）
用解析式与图象法表示等边三角形周长L 是边长a的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a的3 倍．所以周长L与边长a的函数关系可表示： L=3a （a>0）我们可以用描点法来画出函数 L=3a的图象．
1 y=x+1
（ 2） y = 6 x > 0 x
解：（1）yx1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -2 -1 0 1 2 3 …4
y
6
从函数图象可以看出，
-6 -4 ·-2·-·24o2 ··2··4
6
x
直线从左到右上升，即当x由小到大时， y=x+1随之增大．
根据表中数值描点（x，y），并用
随堂练习
1. 图为世界总人口数的变化图．根据该图回答：
(1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？逐渐增多
(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？ 1976-1987
行早锻炼，主要活动是爬
山．有一天，孙子让爷爷先
上，然后追赶爷爷．图中两
条线段分别表示孙子和爷爷
孙子
离开山脚的距离（米）与爬
山所用时间（分）的关系
（从孙子开始爬山时计
时）．
问：图中有一个直角
坐标系，它的横轴（x
轴）和纵轴（y轴）各
孙子
表示什么？
答：横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．
问：如图，线段上有一
点P，则P的坐标是多少？

2019-2020学年八年级数学上册《14.1.3 函数的图像》(第1课时)讲学稿新人教版.doc

2019-2020学年八年级数学上册《14.1.3 函数的图像》（第1课时）讲学稿新人教版学习目标：1、学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象；2、结合函数图象，能体会出函数的变化情况；3、增强动手意识和合作精神。

学习重点：画出较为简单的函数图形。

学习难点：认识图形上的每一点与函数的对应值之间的对应关系。

学习过程：一、导学提纲：（一）复习导入：我们在前面学习了函数的意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，这时我们可以用图来直观地反映。

例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。

即使对于能用关系式表示的函数关系，如果也能用画图来表示，则会使函数关系更清晰．我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．（二）阅读导学：自学课本P99~100内容，完成下列问题:1、探究函数图象的画法：正方形的面积S与边长x的函数关系为_______________，其中自变量x的取值范围是__________，我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x 的关系．（2）描点：（建立直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）表示x与S的对应关系的点有个，我们只能描出个点，同时（3）连线：（按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来）强调：用表示不在曲线上的点；在函数图象上的点要画成的点．2、图象的概念：一般地对于一个函数，如果，就是这个函数的图象；3、阅读P100“思考”，从图象中能得到信息；在这个变化关系中，可以认为，_____是____的函数，上图就是这个函数的图象。

二、应用举例：例 1、如图中的折线ABCD 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了______km；(2)汽车在行驶途中停留了______h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为____km/h.三、自我测试（A组为必做题）A组1、一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位上涨．小明以警戒水位为原点，用折线统计图表示某一天江水水位情况．请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（）．A．8时水位最高 B．这一天水位均高于警戒水位C．8时到16时水位都在下降 D．P点表示12时水位高于警戒水位0.6米2、李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（）．A．李华先到达终点 B．弟弟的速度是8米／秒C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒四、学后反思：1、列出画函数图象的一般步骤：2、本节课学习过程中你有哪些不足？3、写下你在本节课的感言：。

14.1.3函数的图象(1)

“龟兔赛跑”是人们熟悉的寓言故事，下面表示的是“龟兔赛跑”时路程 s 与时间 t 之间的关系，那么可以知道： (1)赛跑中，兔子共睡了多少分钟？ (2)乌龟在这次赛跑中的平均速度是多少米/分钟?
s(米) 500
200
O 10 20 30 40 50 60 t(分钟)
小明的父亲饭后去散步，从家中走２０分钟到离家1000米的报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家里，下列各图中表示小明父亲离家的时 C 间与距离之间关系的是（）
下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后走到文具店去买笔，然后散步回家。其中x表示时间，y表示张强离家的距离根据图象回答下列问题：
y/千米
2.5
1.5
0 15 30 45 65
100 x/分
(1)体育场离张强家多远?张强从家到体育场用了多少时间？ (2)体育场离文具店多远？ (3)张强在文具店停留了多少时间？ (4)张强从文具店回家的平均速度是多少？
函数图象
一般来说，对于一个函数，如果把自变量和函数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。
思考如图，是自动测温仪记录的图像，它
反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化。你从图像中得到了哪些信息？
正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图，反映了一天24h内小明体温的变化情况。 (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)这一天小明在什么时候体温最高,什么时候体温最低？
S（千米） S（千米）
0
A S（千米）
t（时）
0
B S（千米）
t（时）
0

新人教版初中数学八年级上册《14.1.3函数的图象》PPT

2、点A(1，m )在函数 y 2 x 的图象上，则点 A的坐标是
(1，2) 。 3、P104练习第1题。
正方形的面积 S 与边长 2 x 的函数关系式是 S=x ，自变量 x 的取值范围是 x >0 。如何画出它的图象呢？
1、列表
x S 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9
s=60t
y=10x
Hale Waihona Puke l =10+0.5x解析式法 (关系式法)
r
s

S=x(5-x)
图象法
横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流。
中国人口数统计表
年份 1984 1989 1994 1999 人口数(亿) 10.34 11.06 11.76 12.52
列表法
如何画出函数的图象呢？例1、作出下列函数的图象: (1) y = x+1
6 ( 2) y x
(3) y =
2 x
1、列表
表中给出一些自变量的值并计算其对应的函数值。
2、描点
在平面直角坐标系中以自变量为横坐标，相应的函数值为纵坐标描出表格中的各点。
3、连线用平滑的线条(直线或曲线)连接这些点。
我们把这种方法称为描点法。
函数图象定义：
一般地，对于一个函数, 如果把自变量和函数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。
t(时) 0 1 2 3 4 5
y(米) 10 10.05 10.10 10.15 10.20 10.25
(1) 由记录表推出这5小时中水位高度 y (米)随时间 t (时)变化的函数解析式，并画出函数图象。

人教版八年级上册14.1.3：函数的图像教学设计 (2)

人教版八年级上册14.1.3：函数的图像教学设计1. 教学目标本节课的教学目标是：•理解函数图像是如何描述数学函数的；•理解函数图像中的自变量、函数值和坐标轴之间的关系；•掌握一些简单函数的图像，如一次函数、二次函数、绝对值函数等；•能够根据函数公式和相关图像进行函数的分类和判断。

2. 教学重点本节课的教学重点是：•理解函数图像的概念、性质和应用；•掌握函数图像中常见函数的形态、特征和应用；•能够对函数进行分类和判断。

3. 教学准备1.PPT课件2.画板和彩色粉笔3.相关教具和实例。

4. 教学内容和步骤第一步：引入1.学生自我介绍2.通过生活常识，引出函数与图像的关系（如“小马过河”故事：已知小马速度为10km/h，河宽为200m，问小马需要多长时间才能过河。

以及通过函数图像解决这个问题的过程。

）第二步：导入1.师生对话，学生介绍自己在初中时学习过哪些函数。

2.让学生在小组内设计一个任务，总结一下所学函数的图像。

第三步：新知讲解1.数学函数的概念–函数的定义–自变量、函数值和坐标轴之间的关系–函数的图像–函数的性质2.常见函数图像的性质–一次函数的图像–二次函数的图像–绝对值函数的图像–指数函数的图像–对数函数的图像3.函数图像的应用–函数图像的分类–根据函数公式和函数图像进行分类和判断第四步：例题演练1.让学生上台，根据所给函数，画出它的图像，并根据图像进行分类。

2.让学生在小组内评价彼此的表现，并不断调整、优化策略和方法。

第五步：巩固反馈1.让学生总结此次课的收获和体验。

2.让学生预习下一节的内容。

5. 教学总结本节课通过引入故事和生活中的例子，将抽象的函数与图像串起来，使学生更好地理解了函数图像的概念、性质和应用，掌握了一些常见函数图像的形态、特征和应用，可以通过函数公式和相关图像进行函数的分类和判断。

同时，通过授权学生，提高了学生的动手能力和创造性，也激发了学生的学习兴趣和自信心。

八年级数学上册 14.1.3.1函数的图象(一). 上册人教版

得到函数 s x（2 x＞0）的图象
总结：画函数图象的步骤是什么？
看图像：从图像可以直观的看出S随x的增大而增大。
一般地，对于一个函数,如果把自变量和函
数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐
标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,叫
做这个函数的图象.
画函数图象的步骤
1、列表
在自变量范围内取一些特殊自变量的值，计算出相应的函数值。
x
X ┅ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 ┅
y ┅ 12 6 4 3 2.4 2 1.7 1.5 1.2 1 ┅
(2)描点:
(3)连线:
通过这节课的学习，你有什么收获？
画函数图象的步骤
1、列表
在自变量范围内取一些特殊自变量的值，计算出相应的函数值。
2、描点
在平面直角坐标系中以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的点。
即使对于能列式表示的函数关系, 如能画图表示则会使函数关系更清晰
写出正方形的边长x与面积s的函数关系式，并
指出自变量x的取值范围。 s x 2 （x＞0） 1.列表
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 s 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
2.描点在平面直角坐标系中以x为横坐标，以s为纵坐标描出上述点； 3.连线用平滑曲线连接这些点
2、描点
在平面直角坐标系中以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的点。
3、连线按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
想一想如何作出y=2x+1的图象？
解：列表
x … -2 -1 0 1 2 …

八年级数学上册《14.1.3函数的图象》教学设计2 新人教版

《函数的图象》教学设计说明一、教材分析这节课的内容是八年级(上册)第十四章“一次函数”的第一节“变量与函数”中的“函数的图象”, 内容是用描点法绘制简单函数的图象和观察、分析函数图象的信息。

学生在本节课之前已经学习变量、常量、自变量、函数值和函数的相关概念，通过本节的教学，可加强这些知识间的联系，了解函数是描述千变万化的现实世界的数量关系最基本、最重要的数学模型。

通过图象，可以很直观地理解函数的概念，同时图象也是实际生活中经常使用的描述工具。

函数图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系，从而培养学生用数形结合的思想来研究问题，促进学生良好知识结构的形成，同时也为进一步学习“一次函数”打下基础.二、教学目标分析（一）教学知识点１．学会用列表、描点、连线绘制简单函数的图象。

２．学会观察、分析函数图象信息。

（二）能力训练要求１．提高识图能力、分析函数图象信息能力。

２．渗透数形结合思想，体会到数学来源于生活，又运用于生活，提高解决实际问题的能力。

（三）情感与价值观要求１．经历实际问题的探究过程，提高解决实际问题的能力和抽象概括能力，体会数学与现实的密切联系、数学方法的多样性，激发学习数学的兴趣。

２．通过师生交流、生生交流，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。

3、通过实际操作经历对实际问题的数据关系的探索，培养学生积极探索的精神以及善于观察、分析、归纳、总结的学习态度。

（四）教学重点、难点函数图象的画法和观察分析图象信息。

三、教学问题诊断在学习本课内容时,学生已经学习了函数的概念及相关的知识，大部分的学生正在艰难的由形象思维向抽象思维发展.观察力偏重于第一印象，仍用自己原有的认识与知识结构作出判断，不会自觉利用直角坐标系从函数的这种数形结合的角度出发思考问题，很难利用图象中的信息分析和解决问题。

基于上述情况，预测学生在结合问题的实际背景观察分析函数图象时会产生困难。

四、教法特点（一）突出数形结合的数学思想由于数和形是数学中主要研究对象，它们各有所长，因此若能将二者结合起来，则可发挥各自的优势．正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。

人教版八年级上册14.1.3：函数的图像教学设计

人教版八年级上册14.1.3：函数的图像教学设计教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.理解函数的概念，知道函数的自变量和因变量；2.掌握函数的图像在直角坐标系中的绘制方法；3.了解常见函数的图像特征。

教学重点和难点1.函数的概念及其图像的绘制方法；2.常见函数图像的特征。

教学内容和步骤1. 引入（5分钟）老师可以简单介绍一下函数的概念，如何从一个自变量得出一个因变量，并给出一些实际的例子，例如：温度是一个函数，它的自变量是时间，因变量是温度；人体质量指数也是一个函数，它的自变量是身高，因变量是体重等等。

2. 展示（10分钟）接着，老师可以将几个常见的函数的图像展示给学生看，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过图像展示让学生初步了解这些函数的特征，并了解这些函数的自变量之间的关系。

3. 实践（20分钟）让学生自行动手在平面直角坐标系中绘制这几种函数的图像，并在自己的笔记本上标注出这些函数的特征，如零点、极大值、极小值、对称轴等等。

4. 练习（15分钟）练习构建各种简单的函数，调整参数，观察图像在坐标系上的变化，并在笔记本上标注出这些函数的特征。

5. 小结（5分钟）最后，老师可以对本节课的内容进行简单的总结和回顾，强调一些重要的概念和特征。

思考题1.如何快速了解一个函数的特征?2.怎样构建自己想要的函数图像?课堂扩展学生可以通过使用数学软件或者手绘一副有趣的函数图像，并在上面加入一些自己的想法和创意，例如：把函数图像变成一只动物或者一个具有寓意的符号等等。

总结通过本节课的学习，学生应该对函数的概念和图像的绘制方法有了更加深刻的理解，同时也学会了通过掌握函数的特征来快速了解函数图像的方法。

14.1.3 函数图像(第1课时)

第 1页共 2 页图y/千米14.1.3 函数图像（第一课时）一、学习目标：学会观察函数图象，从函数图像中获取信息，解决问题。

二、学习过程：（一）自学课本99页---100页上，完成下列问题若正方形的边长为x ，面积为S 。

1、S 与x 之间的函数关系式为。

23的取值范围是。

4、根据以上问题的回答，你认为：①函数的表示方法有种，分别是。

②函数的图像是指。

（二）学以致用1、如图一，是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t 变化的图象，看图回答：（1）气温最高是___℃，在___时，气温最低是___℃，在______时；（2）12时的气温是_____℃，20时的气温是_____℃；（3）气温为-2℃的是在_______时；（4）气温不断下降的时间是在______________；（5）气温持续不变的时间是在______________。

2、小明的爷爷吃过晚饭后，出门散步，再报亭看了一会儿报纸才回家，小明绘制了爷爷离家的路程s （米）与外出的时间t （分）之间的关系图（1）报亭离爷爷家________米；（2）爷爷在报亭看了________分钟报纸；（3）爷爷走去报亭的平均速度是________米∕分。

3、图三反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄地，然后回家，。

其中x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。

第 2 页共 2 页根据图像回答下列问题：1）菜地离小明家？小明家到菜地用了多少时间？到菜地的平均速度是多少？2）小明给菜地浇水用了多少时间？3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？4）小明给玉米地除草用了多少时间？5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地回家的平均速度是多少？三、巩固练习4、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h （厘米）与点燃时间t 之间的函数关系的是（）.5、图中的折线表示一骑车人离家的距离y 与时间x 的关系。

14.1.3 函数的图象(1)

面积s与边长x的函数关系式为: s = x2 (X＞0)
从式子s = x2来看,边长x越大,面积 s 也越大。能不能用图象直观的反映出来呢？
八年级数学
第十九章函数
19.1.3 函数的图象作函数的图象
s=x2
1、列表： 2、描点： 3、连线：
0.25 1 2.25 4 6.25 9
八年级数学
八年级数学
人教实验版
八年级数学
第十九章函数
19.1.3 函数的图象观察思考
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息？
O4
14
-324 t/时来自年级数学第十九章函数
问题 19.1.3 函数的图象观察思考
正方形的边长为x,面积为s,面积s是不是边长x的函数,它们的函数关系式怎样表示?
(2)描点: (3)连线:
练习
我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？
（1）判断下列各点是否在函数 y=x+0.5的图象上？
①（-4，-4.5）； ②（4，4.5）．
（2）判断下列各点是否在函数
y=
6 x（x＞0）的图象上？
①（2，3）；②（4，2）．
（3）教科书P79练习第3 题．
思考
怎样从图象的特征分析中发现函数变化规律和变化趋势？
图象特征 ——坐标特征 ——变量的变化规律和变化趋势
课堂小结
（1）函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么？（2）画函数图象时，怎样体现函数的自变量取值范围？（3）用描点法画函数图象按照哪些步骤进行？（4）怎样从图象上看出当自变量增大时，对应的函数

函数图像一

②这一天中0时，6时，12时，15时，18时，21时，这一天中时时时时时时 24时的气温分别是多少？时的气温分别是多少？时的气温分别是多少
T(°C) ° 13 12 11 10 O 3 6 9 12 15 18 21 24
t(小时小时) 小时
0 6 T 12 13
t
12 15 18 21 24 11 12 11.5 10.5 10.5
(X＞0) ＞
从式子s = x2来看,边长x越大,面积 s 也越大。能不能用图象直观的反映出来呢？
八年级数学
第十四章函数
14.1.3 函数的图象
作函数的图象
1
1
s=x2
x s
0 0 0.5
0.25
1.5
2.25
2
4
2.5
6.25
3
9
八年级数学
第十四章函数
14.1.3 函数的图象
作函数的图象
3.柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅柿子熟了，从树上落下来，柿子熟了图可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况？ ) 化情况？( C
速度速度
0 速度
A
时间
0 速度
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
4、在某高速公路上，一辆轿车和一辆货车、在某高速公路上，沿相同路线从A地到地到B地沿相同路线从地到地，所经过的路程 y(千米与时间小时的函数关系图像如图千米)与时间小时)的函数关系图像如图千米与时间x(小时所示，试根据图像，回答下列问题：所示，试根据图像，回答下列问题：小时，（1）货车比轿车早出发 1 _小时，轿车追上货车）货车比轿车早出发__ 小时时行驶了_______千米。A地到地的距离为 300 _千米。千米。地到地的距离为__ 地到B地的距离为千米。时行驶了 150 千米千米 (2) 货车的速度是 60 千米时。千米/时

14.1.3函数的图象(第一课时)

D
1.1
E O0
15 25 37 55 80
x/分
14.1.3 函数的图象(1)
应用举例
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
y/千米
解：∵2－1.1=0.9 ∴菜地离玉米地0.9千米， ∵37 － 25=12 D ∴小明从菜地到玉米地用了12分钟。
2
C A B
1.1
E O
小明从家到菜地用了15分钟。
2
C A B
D
1.1
E O0
15 25 37 55 80
x/分
14.1.3 函数的图象(1)
应用举例
（2）由横坐标看？出，小明给菜地浇水用了10分。（25-10）
问题2：小明给菜地浇水用了多少时间
y/千米
解：∵25-15=10 ∴小明给菜地浇水用了10分钟。
2
C A B
挑战中考
1.小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40
分钟的书后，用20分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ D )
y（米）
y（米）
y（米）
y（米）
1000
1000
1000
1000
x（分） O 20 60 75 O 20 75
x（分） O 60 75
14.1.3 函数的图象
如图，是自动测温仪记录的图像，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化。
(1)温度T是时间 t的函数吗？哪个是自变量？哪个是函数？
(2) 你从图像中得到了哪些信息？
物体的抛射曲线图
h/米
3
2 1
0 1 2 3 4 5 6