多边形及其内角和

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多边形及其内角和

11.3多边形及其内角和状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360° B．540° C．630° D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．基础知识一、选择题1．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或74．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30° B．40° C．80° D．不存在5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形6.若一个多边形共有20条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形7．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形8.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°B.105°C.130°D.120°11．一个多边形截去一个角后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．15 B．16 C．17 D．15或16或1712.下列说法正确的是（）A.每条边相等的多边形是正多边形B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形D.以上说法都对13.正多边形的一个内角的度数不可能是（）A ．80° B．135° C．144° D．150°14．多边形的边数增加1，则它的内角和（）A ．不变B ．增加180° C．增加360° D．无法确定15.在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于（）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°二、填空题1．每个内角都为135°的多边形为_________边形.2．一个多边形的每一个外角都等于15°,这个多边形是________边形.3.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.4．多边形的内角和与其一个外角的度数总和为1300°，则这个外角的度数为________．5．如图,小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了米．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数是 .7.如图，在六边形ABCDEF 中，AF ‖CD,AB‖DE,且∠A=120°,∠B=80°,，，则∠C 的度数是，的度数是．ABCD A ∠B ∠C ∠D ∠D∠D∠。

专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)

专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。

(完整版)多边形及其内角和知识点

(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。

根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。

三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。

三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。

这个定理叫做“三角形内角和定理”。

我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。

接下来我们来谈谈四边形。

四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。

其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。

这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。

接下来是多边形。

多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。

不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。

例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。

五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。

如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。

在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。

例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。

在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。

此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。

专题11.3 多边形及其内角和

第十一章三角形11.3 多边形及其内角和1．多边形及其相关概念（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的___________叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的___________．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的___________．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的___________．2．多边形的对角线（1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的__________，叫做多边形的对角线．（2）规律总结：①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．②n边形共有(3)2n n-条对角线．3．凸多边形与正多边形（1）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的___________，那么这个多边形叫做凸多边形．（2）正多边形：各个角都相等，各条边都___________的多边形叫做正多边形．4．多边形内角和定理n边形内角和等于___________．正多边形的每个内角的度数为(2)180nn-⋅︒．5．多边形的外角和定理（1）多边形的外角和为___________．（2）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；②已知正多边形的边数求外角的度数．K知识参考答案：1．（1）封闭图形（2）内角，外角，对角线2．（1）线段3．（1）同一侧（2）相等4．(2)180n-⨯︒5．360︒K—重点（1）多边形内角和定理；（2）多边形外角和定理．K—难点（1）多边形内角和定理的推理过程；（2）多边形外角和定理的推理过程．K—易错多边形外角和定理的应用．一、多边形及其相关概念1．多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．【例1】下列说法中，正确说法有①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误．②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误．③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．【名师点睛】（1）多边形有几条边就是几边形，三角形是最简单的多边形．（2）三角形的三个顶点确定一个平面，但边数大于3的“多边形”的顶点有不共面的情况，所以在多边形的定义中要加上“在平面内”这个条件．（3）多边形用表示它的各个顶点的字母表示，表示多边形的字母要按顶点的顺序书写，可以按顺时针顺序，也可以按逆时针顺序．二、多边形的内角和1．多边形内角和定理：n 边形内角和等于(2)180n -⨯︒．2．多边形内角和定理的推理过程：（1）从n 边形的一个顶点出发，可以引出(3)n -条对角线，这(3)n -条对角线把n 边形分成(2)n -个三角形，又每个三角形的内角和是180︒，所以n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒．（2）在n 边形内任取一点P ，连接1PA ，2PA ，…，n PA ，把n 边形分成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为180n ⋅︒，再减去中间的一个周角，即得n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒． 3．多边形的内角和的应用：（1）己知多边形的边数，求内角和．（2）已知多边形的内角和，求边数．（3）求正n 边形的每个内角的度数．【例2】内角为108°的正多边形是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【名师点睛】一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180︒．三、多边形的外角和1．多边形的外角和定理：多边形的外角和为360︒． 2．多边形的外角和定理的推理过程：多边形的每个内角同与它相邻的外角都是邻补角，所以n 边形的内角和加上外角和为180n ⋅︒，外角和等于180(2)180360n n ⋅︒--⨯︒=︒． 3．多边形的外角和定理的应用：（1）已知正多边形的外角度数，求边数．（2）已知正多边形的边数，求外角度数．【例3】十五边形的外角和等于__________°．【答案】360°【解析】根据任意多边形的外角和等于360°，∴十五边形的外角和等于360°．故答案为：360°．【名师点睛】（1）n边形的外角和与边数无关，总是等于360︒．（2）正n边形的每个内角都相等，则每个外角都相等，又其外角和为360︒，所以正n边形的每个外角度数为360n︒．1．若一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是A．6 B．7 C．8 D．92．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为A．540°B．720°C．900°D．1080°3．下列图形中，内角和与外角和相等的是A．B．C．D．4．一个正八边形的每个内角的度数为___________．5．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．6．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．7．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是__________边形；8．一个四边形三个内角度数分别是80°、90°、100°，则余下的一个内角度数是__________．9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．11．某多边形的内角和与外角和的总和为1620°，求此多边形的边数．12．多边形中小于120°的内角最多有A．4个B．5个C．6个D．不能确定13．下列说法正确的有①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的A．内角和增加180°B．外角和增加360°C．对角线增加一条D．内角和增加360°15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．17．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，则∠A的取值范围__________．18．已知：四边形ABCD如图所示，（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．（2）请用两种方法证明你的结论．19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440︒，求原多边形的边数．20．如图所示，求A B C D E F G∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．21．（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．722．（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为A．120°B．135°C．140°D．144°23．（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=A．50°B．55°C．60°D．65°24．（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．925．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__________．26．（2018•聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．1．【答案】C【解析】因为多边形外角和为360°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．3．【答案】B【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．4．【答案】135°【解析】180°–360°÷8=180°–45°=135°．故答案为：135°．5．【答案】9【解析】(n−2)⋅180°=3×360°+180°，所以(n−2)⋅180°=6×180°+180°，n−2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．6．【答案】5【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．7．【答案】十二【解析】360°÷（180°–150°）=12．故答案为：十二．8．【答案】90°【解析】360°–80°–90°–100°=90°．故答案为：90°．12．【答案】B【解析】∵多边形的内角小于120°，∴外角大于60°，∵360°÷60°=6，∴这个多边形小于120°的内角的个数最多有5个，故选B．13．【答案】A【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．14．【答案】A【解析】因为n边形的内角和是（n–2）•180°，外角和为360°，对角线的条数为(3)2n n，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n–1）•180°，内角和增加：（n–1）•180°–（n–2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变；对角线的条数为(2)(1)2n n-+．所以只有A正确，故选A．15．【答案】120【解析】根据多边形的外角和为360°，因为360°÷30°=12，所以他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．16．【答案】360°【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案为：360°．17．【答案】60°<∠A<120°【解析】由“四边形内角和为360°”得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即∠D=360°–∠A–∠B–∠C，因为0°<∠D<180°，所以0°<360°–3∠A<180°，即180°<3∠A<360°，即60°<∠A<120°．故答案为：60°< ∠A<120°．18．【解析】（1）四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360︒．（2）证法一：如图1，连接AC，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．证法二：如图2，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．19．【解析】设原多边形的边数为n，则增加一边后的边数为1n+．由多边形内角和定理得(12)1801440n +-⨯︒=︒，解得9n =，故原多边形的边数为9．解答本例也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180︒这一规律来解，即原多边形的内角和为1440180︒-︒，若设原多边形的边数为n ，则可得方程(2)1801440180n -⨯︒=︒-︒，解得9n =．20．【解析】连接BE ，设DE 与BC 的交点为M ，如图．在CDM △与BEM △中，CMD BME ∠=∠． ∴C D MBE MEB ∠+∠=∠+∠，∴A ABC C D DEF F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ A ABC MBE MEB DEF F G =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ A ABE BEF F G =∠+∠+∠+∠+∠(52)180=-⨯︒540=︒．23．【答案】C【解析】∵在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =300°，∴∠ECD +∠BCD =240°，又∵DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，∴∠PDC +∠PCD =120°， ∴△CDP 中，∠P =180°-（∠PDC +∠PCD ）=180°-120°=60°．故选C ． 24．【答案】D【解析】正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选D ． 25．【答案】8【解析】设多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．故答案为：8．26．【答案】540°或360°或180°【解析】n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°．。

多边形及其内角和知识点汇编

多边形知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。

拼成360度的角：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

(完整版)多边形及其内角和知识点

知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。

拼成360度的角3、4。

知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。

多边形及其内角和

多边形及其内角和知识点：多边形的内角和定理1.四边形内角和等于，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．3.一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．结论：多边形的内角和与边数的关系是4.镶嵌的定义：用相状、大小________的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间________、不重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。

记忆再现1.多边形的内角和【例1】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7练习1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9练习2．（四边形的内角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°2.正多边形的内角和问题【例2】正八边形的每个内角为（）A．120°B．135°C．140°D．144°练习3.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．9 B．8 C．7 D．4练习4.已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边是__________．3.外角和问题【例3】（五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°练习5．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形练习6.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．94.内角和和外角和综合问题【例4】已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为_____边形．练习7.若一个正多边形的一个外角为40o，则这个正多边形是_______边形．练习8.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形5.对角线问题【例5】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．练习9．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形练习10.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8 D．9条6.综合问题【例6】如图，依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为S n．则S90的值为_________________．（结果保留π）练习11.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线L∥CD，则∠1= ．练习12.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

多边形内角和和外角和的公式

多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。

在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。

本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。

1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。

对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。

每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。

举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。

对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。

对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。

依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。

2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。

对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。

根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。

因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。

举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。

对于一个四边形，其外角和为360度。

对于一个五边形，其外角和为360度。

可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。

3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。

这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。

根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。

因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。

由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。

举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。

多边形及其内角和(能力培优)

多边形及其内角和一、多边形1、概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.（注意：三角形是最简单的多边形）2、内角：相邻两边组成的角.3、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.4、分类：①凸多边形：任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形.②凹多边形：只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.5、正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形.二、n边形1、n个顶点2、n个内角3、n条边4、过一个顶点有（n-3）条对角线5、过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形6、共有2)3n(n条对角线7、内角和为（n-2）180°8、外角和为360°三、多边形的内角和推理方法一：从n边形的一个顶点引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.四、多边形外角和的推理多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，外角和等于n×180°-（n一2）×180°=360°.题型讲解【题型1】多边形内角和公式的运用例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG=( )A. 141°B. 144°C. 147°D. 150°迁移训练1.如图，若干全等正五边形排成环状。

图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需( )个五边形。

A. 6B. 7C. 8D. 9迁移训练2.在凸四边形ABCD中，∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数。

【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合例2、（2018·南京）如图，五边形ABCDE是正五边形。

人教版八年级上册_多边形及其内角和(解析版)

多边形的内角和与外角和1. 多边形的相关概念（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（5）凸多边形：如果整个多边形都在其任何一边所在直线的同一侧的多边形．2. 内角和与外角和如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．3. 正多边形正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.考点：1. 对角线条数；2.内角和与外角和；3. 正多边形重难点：1. n边形形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．2. 要计算正多边形的内角度数，除了可以拿内角和（）除以边数（n）以外，还可以通过利用外角和（）除以边数（n），得到一个顶点处外角的度数，再拿180减去它即可.易错点：每个多边形在其一个顶点处对应的外角也都只有一个，它们的和等于.题模一：对角线条数例1.1.1若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.70例1.1.2若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形例1.1.3从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是____个．例1.1.4观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线；（2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有___________条对角线．例1.1.5一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是______边形题模二：内角和与外角和例1.2.1一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数为（）A.11或12B.12或13C.13或14D.12或13或14题模三：正多边形例1.3.1已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形例1.3.2已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（）A.6B.7C.8D.10例1.3.3如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米随练1.1如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是______随练 1.2一个多边形的每一个内角都是140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______随练1.3一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7∠3=32°，那么∠1+∠2=____度．随练1.5请总结规律，完成下表：拓展1下列说法中错误的有（）①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与180°的乘积．A.2个B.3个C.4个D.5个拓展2一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数__________拓展3一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9拓展4如图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？拓展5 如图，∠1=m°，∠2+∠4+∠6+∠8=n°，则∠3+∠5+∠7的大小是__．A222220︒20︒20︒答案解析多边形的内角和与外角和题模一：对角线条数例1.1.1【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∵144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．例1.1.2【答案】13【解析】该题考查的是多边形对角线计算公式．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n-条对角线，（n为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n边形．代入公式，得310n-=，∴13n=．例1.1.3【答案】7【解析】从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个例1.1.4【答案】（1）2；5；9，（2）14；(3)2n n-【解析】（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n边形有(3)2n n-条对角线．例1.1.5【答案】5【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得15n =，20n =（舍）故多边形的边数为5题模二：内角和与外角和例1.2.1 【答案】C【解析】该题考查的是多边形的角度计算．多边形内角和公式为()2180n -⨯︒，外角度数和为定值360︒，本题中，()21801980n -⨯︒=︒，解得13n =而多边形从某一个顶点出发截去一个角，边数有两种可能，一种是边数不变，一种是边数减少1条，所以原来的多边形边数可能是13或14，故答案是C ．题模三：正多边形例1.3.1 【答案】B【解析】设所求正n 边形边数为n ，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B ．例1.3.2 【答案】C【解析】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解． ∠正n 边形的一个内角为135°，∠正n 边形的一个外角为180°-135°=45°， n=360°÷45°=8．故选C ．例1.3.3 【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米．随练1.1【答案】7【解析】设原来多边形的边数是n ，则()221802160n -⨯︒=︒，解得7n = 随练1.2 【答案】6【解析】由于一个多边形的每一个内角都是140°，因此其外角都是40°，则这个多边形的边数为360940=，因此从九边形的每一个顶点出发的对角线的条数为936-= 随练1.3 【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．设内角和为720°的多边形的边数是n ，则（n -2）•180=720，解得：n=6．则原多边形的边数为5或6或7．故选：D ．随练1.4 【答案】70∠∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°， ∠∠4=180°-60°-32°=88°， ∠∠5+∠6=180°-88°=92°， ∠∠5=180°-∠2-108° ∠， ∠6=180°-90°-∠1=90°-∠1 ∠，∠∠+∠得，180°-∠2-108°+90°-∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．随练1.5【答案】见下表：【解析】n 边形过一个顶点可作()3n -条对角线，而n 边形共有n 个顶点，则共可作()3n n -条对角线，而这()3n n -条对角线中，有一半是重复计算的，抛去重复的这一半对角线，共有()32n n -条对角线．拓展1 【答案】D【解析】只有⑥是正确的，其余说法均错误拓展2【答案】14【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+= 拓展3 【答案】D【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．拓展4【答案】能回到出发点，第一次回到出发点共走了36m ．【解析】根据题意可知，小明所走的路线为一个正多边形，其边数为3601820=，即左拐18次后回到出发点．因此小明从点A 出发，第一次回到出发点共走了18236⨯=（m ）．拓展5【答案】m°+n°【解析】如图，连结AB 、BC 、CD ．∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，∴∠3+∠5+∠7=540°﹣（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=（m°+n°）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣（m°+n°）．∴∠3+∠5+∠7=540°﹣[540°﹣（m°+n°）]=m°+n°．。

多边形及其内角和知识点

多边形及其内角和知识点多边形是由线段组成的闭合图形，它拥有多个边和多个顶点。

多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。

首先，我们需要了解多边形的基本概念和性质。

1.多边形的定义：多边形是由一系列线段组成的闭合图形。

每条线段称为多边形的一条边，相邻两个边的交点称为多边形的一个顶点。

多边形至少有三条边和三个顶点。

2.多边形的性质：-每个顶点至少有两个邻接的边；-每个边至少有一个邻接的顶点；-每条边的两个端点都是相邻的顶点。

接下来，我们来探讨多边形的内角和的计算方法。

假设一个n边形的内角和为S。

从一个顶点出发，画一条射线，与相邻的两个边相交。

这样，一个n边形就被分成了n个三角形。

由三角形的内角和的性质可知，每个三角形的内角和为180°。

因此，n个三角形的内角和为n×180°。

但是我们需要注意的是，从同一个顶点出发的n个射线会有重叠的部分，即每个内角都重叠了两次。

因此，我们需要减去这些重叠的部分。

由于每个内角重叠了两次，重叠的部分的度数等于(n-2)×180°。

因此，最终的计算公式为：S=n×180°-(n-2)×180°简化后可得到：S=(n-2)×180°通过这个公式，我们可以方便地计算多边形的内角和。

举例来说，如果一个五边形的内角和是多少呢？根据公式S=(5-2)×180°=3×180°=540°所以，五边形的内角和为540°。

通过上面的例子，我们可以看出多边形的内角和的计算方法。

除了计算多边形内角和的方法，我们还可以根据多边形的性质来推导一些结论。

比如：1.任意n边形的内角和等于(n-2)×180°，这个结论适用于所有的多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。

2.任意n边形的外角和等于360°。

外角是顶点的补角，即一个内角与相邻的外角之和等于180°。

多边形及其内角和知识点总结

多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。

3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。

4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。

5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。

6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。

7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。

二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。

2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。

同时，也需要理解该公式的推导过程。

3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。

同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。

4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。

5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。

6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。

7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。

总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。

多边形及其内角和

五十三边形的53个顶点. 由n边形的对角线条数公式
，
得
.
所以五十三边形的边数与其对角线条数的和是1325+53=1378. 答：该班每周师生之间至少要通1378次电话.
变式练习： 1. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则 =
解析：由m-3=7，得m=10.由n边形没有对角线，所以n=3.由 k(k-3)=k,得k=5.故 n 3 3 (m-k) =(10-5) =5 =125.
探究类型二
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
，
解得 n=8. 答：这个多边形的边数是8.
拓展延伸：
现有四种地面砖，他们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形，正八边形，且他们的边长相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ B ） A.2种 B.3种 C.4种 D. 5种
课堂总结：
n边形内角和等于 (n-2)·180°；
任意多边形外角和等于360°； 1 凸n边形共有 2 n(n 3)条对角线. 平面镶嵌：几个正多边形的同一个顶点的几个角的和等于360°.
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了（）
C
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
类似性问题：
2. 一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
4. 如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度.

多边形及其内角和

形状
多边形的形状也会影响其内角和。例如，正多边形的内角和比非正多边形的内角和要大。这是因为正多边形的每个内角相等，而非正多边形可能存在较小的内角，从而使得内角和减小。
04
多边形内角和的应用举例
正多边形的内角和
01
02
03
04
正三角形内角和：正三角形每个内角为60度，因此其内角
和为180度。
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内角的定义
定义
多边形的内角是指多边形各顶点与相邻两顶点连线所夹的角。
性质
多边形的内角大小与其形状和边数有关。
内角的计算公式
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03
公式
对于正n边形，其每个内角的度数可以用公式（n2）×180°/n来计算，其中n是多边形的边数。
适用范围
该公式适用于正多边形，即各边相等、各角相等的多边形。
构成要素
多边形主要由边、顶点和内部区域构成，其中边的数量和形状决定了多边形的特性。
多边形的分类
按边数分类
多边形可以根据其边数分为三角形、四边形、五边形等，一般我们用“n边形”来表示一个具有n 条边的多边形。
凸多边形与凹多边形
根据多边形所有内角的大小是否小于180度，可以分为凸多边形和凹多边形。若所有内角小于 180度，则为凸多边形；若存在至少一个内角大于等于180度，则为凹多边形。
按角度分类
多边形还可以根据其内角的大小和特性进行分类，如等角多边形、等边多边形等。等角多边形是所有角度相等的多边形，等边多边形是所有边长相等的多边形。
正多边形
正多边形是一种特殊的多边形，它既是等边的，又是等角的，即所有边相等，所有角相等。如正三角形、正四边形（正方形）等。

11.3.2 多边形及其内角和

解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．
知3－讲
知1－讲
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360° ∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
2
2× 180º
5
2
3
3× 180º
6
3
4
4× 180º
…… ……
n
……
n－3
…… ……
n－2 (n－2)×180º
知1－讲
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
知1－讲
例2 〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是____9____．
导引：设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
知1－讲
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程求出n，即得多边形的边数；

11.3 多边形及其内角和

解:设这个多边形的边数是n,
根据题意,得(n-2)•180=4×360+180. 解得n=11.
则这个多边形的边数是11,内角和度数是1620度.
使用多边形内角和与外角和时注意
(1)多边形的内角和是多边形所有内角的和,它的外角和是每个顶点处只取一个
外角的和. (2)n边形的内角和是(n-2)·180°,外角和等于360°,两者不要混淆.
1.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( A (A)十三边形 (C)十一边形 (A)正方形 (B)十二边形 (D)十边形
)
2.如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个正多边形是( C (B)正五边形
)
(C)正六边形
(D)正八边形
8 1800°. .
3.一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数 4.一个正多边形的一个外角为30°,则它的内角和为
11.3
多边形及其内角和
一、多边形 1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形;如果一
பைடு நூலகம்
个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形. 2.各角都相等 ,各边都相等的多边形叫做正多边形.
3.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 4.从n边形的一个顶点出发,可以作 (n-3) 条对角线,它们将n边形分成 (n-2) 个三角形.
二、多边形的内角和外角 1.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的延长线 . 组成的角叫做多边形的外角. 2.n(n≥3)边形的内角和等于 (n-2)·180° 3.多边形的外角和等于 360° . .
探究点一:多边形的有关概念

多边形及其内角和

知识点1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形。

多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的外角：多边形的边与它的邻边延长线组成的角叫做它的外角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那，整个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边形。

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

知识点2、多边形的内角和N边形内角和等于（N-2）×108°。

知识点3、多边形外角和多边形的外角和等于360°。

知识点4、多边形中锐角、钝角的个数多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如长方形）。

多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。

知识点5、n边形共有对角线的条数为n（n-3）/2。

例1、下列命题：①多边形的外角和小于内角和②三角形的内角和等于外角和③多边形的外角和大于内角和④多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和⑤四边形的内角和等于它的外角和。

正确的有（）A、0个B、1个C、2个 D3个例2、已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数。

例3、若一个多边形的内角和与外角和之比等于9:2，求此多边形的边数。

例4、某多边形的内角和与外角和的总度数为2160°，求此多边形的边数。

例5、一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，则这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？练一练：1、若N边形的内角和为2160°，求N得值。

2、多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°。

<1>求多边形的边数。

<2>此多边形必有一个内角为多少度？3、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）。