高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程教案新人教A版必修2

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高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0；条件：A ，B 不同时为零；简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。

高中数学人教a版必修二3.2.2《直线的两点式方程》

练习4.已知点A(1，2)，B(3，1),求线段AB的垂直平分线的方程.
解：由中点公式可知,AB中点M的坐标为：(2, 3 ) 2
直线AB的斜率为：kAB
1 2 31
1 2
设线段AB的垂直平分线的斜率为k,
则有kAB·k=-1 ，求出k=2.
过点 (2, 3 ) ，斜率为2的直线方程为：y 3 2( x 2)
究为主，让学生自己开动脑筋思考直线上任意一点的坐标满足的关系式，并利用几何画板进行动态的计算直线的斜率，引导学生思考直线的两点式的特点和使用的前提条件。
运用由一般到特殊的思想方法得到直线的截距式方程，引入直线在两轴上的截距，探究直线的截距式方程的特点和使用条件。通过例1、例2巩固掌握直线的两点式方程和截距式方程的结构特点，初步学会用方程研究直线及直线的位置关系。运用方程思想、转化思想和由一般到特殊的思想，由直线的两点式方程，转化为直线的截距式方程。
(2) C(-4，-5)，D (0，0)
(3) A (0，5)，B (5，0)
解：（1）将P，Q两点的坐标代入两点式可得：y311
x 0
2 2
化简，整理得2x-y-3=0
（2）将C，D两点的坐标代入两点式可得： y 0 x 0 5 0 4 0
化简，整理得5x-4y=0
（3）将A，B两点的坐标代入两点式可得：y 5 x 0 05 50
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。

高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案新人教A版必修2

§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。

本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。

另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。

但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。

[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。

但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。

本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。

另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。

通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。

通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。

同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。

以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。

[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

高中数学 3.2直线的两点式方程教案学案新人教A版必修2

山东省泰安市肥城市第三中学高一数学人教A 版必修2学案：3.2直线的两点式方程教案学习内容即时感悟【情境导入】1、直线方程的点斜式、斜截式方程2、两点确定一直线，那么如何求过两点的直线方程？【精讲点拨】一、直线的两点式方程探究1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。

直线的两点式方程探究2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1、已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

二、直线的截距式方程探究3、已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。

直线的截距式方程对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．例2、求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

探究4、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的使用范围写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：直线方程形式限制条件点斜式斜截式两点式截距式问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？三、直线和二元一次方程的关系探究1、直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）都表示直线吗？①当0B ≠,0Ax By C ++=可化为 ,这是直线的式.②当0B =,0A ≠时, 0Ax By C ++=可化为 .这也是直线方程.定义：关于,x y 的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.探究2、直线方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0），A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线（1）平行于在x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合；（5）与x 轴y 轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等；（7）直线过一、二、三象限。

人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.2 直线的方程教案

第九章解析几何初步【课题】第一节直线的倾斜角与斜率【教学目标】1．知识与技能:（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．情感、态度、价值观：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神3．过程与方法:通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。

掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

【教学重点难点】1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式【教法学法】启发式教学法、对话式教学法【教学准备】多媒体、实物模型【教学安排】2课时【教学过程】一、复习引入：直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。

初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。

本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。

⑴回顾一次函数的图象及性质形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。

⑵画出下列一次函数的图象①y = 2x + 4 ② y = －2x + 2小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。

研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。

由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。

高中数学必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)，则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。

高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2

3．如图，直线 l 的截距式方程是ax＋by＝1，则 a________0， b________0.
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
14
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________．－32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
34
2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知 BC 的中点为52，－3，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
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直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
12
2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
13
【例 3】已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．思路探究：(1) B，C两点坐标两――点→式求方程 (2) 求中点坐标两――点→式求直线方程

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》教案_17

3.2.2 直线的两点式方程一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2. 过程与方法让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识.3. 情态与价值观感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感.二、教学重点、难点：1. 重点：直线方程两点式。

2. 难点：两点式推导过程的理解及截据式方程.三、教学方法启发，引导探究，练习四、教学过程（一）复习旧知，导入课题复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点思考：已知直线经过两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，(x 1≠x 2 ,y 1≠y 2),如何求出这两个点的直线方程呢？生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.（二）师生互动，探究新知1. 利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点12(8,1),(2,4)P P --,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）11(8)2y x +=-- （2）)(112121x x x x y y y y ---=- 教师指出：当21y y ≠时，方程可以写成 ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.2. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =.(三) 概念辨析，巩固提高例 3 已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程.中，b a ,的几何意义和截距式方程的概念. 教师指出：在方程例4 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。

高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程讲义含解析新人教A版必修20517123.doc

第2课时直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 95～P 97，回答下列问题：某区商业中心O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km 和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A 、B 两处，并使区商业中心O 到A 、B 两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB ，那么直线AB 的方程确定后，点A 、B 能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A 、B 两点的坐标值相当于在x 轴、y 轴上的什么量？提示：在x 轴、y 轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．2．归纳总结，核心必记 (1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． ②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． (2)直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb＝1，叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x 轴的交点 (a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用范围相同吗？提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程x 2－y 3＝1和x 2＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线的两点式方程是什么？怎样求？；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？；(3)中点坐标公式是什么？ .观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 怎样利用点P 1，P 2的坐标写出直线l 的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2] 给定两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是否就可以用两点式写出直线AB 的方程？名师指津：不一定．只有在x 1≠x 2，y 1≠y 2的前提下才能写出直线的两点式．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3] 直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？名师指津：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(链接教材P 96—例4) (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[尝试解答] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－2－－＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b )，利用两点式可求出直线的方程． [思考2] 怎样理解直线的截距式方程？名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距．(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线．(3)过原点的直线可以表示为y ＝kx ；与x 轴垂直的直线可以表示为x ＝x 0；与y 轴垂直的直线可以表示为y ＝y 0.讲一讲2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． [尝试解答] 法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . (1)当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上， ∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. (2)当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．练一练2．求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0.讲一讲3．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可． [尝试解答] 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋x b＝1(a ＞0，b ＞0)，则由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4(舍去)；当a ＜b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．练一练3．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1. (2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2. (3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005 D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －－5－－＝x －－2－－，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23C.25D ．2 解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32.题组2 直线的截距式方程5．(2016·淄博高一检测)过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.题组3 直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[能力提升综合练]1．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 4－y 3＝1 C.x 3＋y4＝1 D.x 3－y6＝1 解析：选B A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为x a ＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a ＝4，则该直线的方程为x 4－y3＝1.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0 B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0 C ．若c ＜0，则a >0，b <0 D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－ab ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a、－c b .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－c b＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．(2016·唐山高一检测)下列命题中正确的是( ) A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示 B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝m nx －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则a ＋b ＝12.① 又直线l 过点(－3,4)， ∴－3a ＋4b＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y16＝1，即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.2.2直线的两点式方程的教学设计

第三章直线与方程 3.2 直线的方程3.2.2直线的两点式方程（2课时）主备教师：李劲东一、内容及解析本节课要学的内容直线的两点式方程指的是已知两点坐标，确定过此两点的直线方程，其核心是直线的两点式方程及推导过程,理解它关键就是要理解过直线的点斜式方程。

学生已经学过直线的点斜式方程和斜截式方程，本节课的内容直线的两点式方程就是在此基础上的延伸。

由于它还与直线的一般方程有紧密的联系,所以在本章有重要的地位，并有着重要的作用,是本章的重点内容。

教学的重点是直线的两点式方程和截距式方程，解决重点的关键是理解直线的点斜式方程，即由直线的点斜式方程推导出两点式方程。

二、目标及解析目标定位：1、掌握直线的两点式.；2、掌握直线的截距式.目标解析：1、掌握直线的两点式，截距式就是经过两点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程，即1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--；2、截距式：与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中0,0a b ≠≠的直线方程为：1x ya b+=（0,0a b ≠≠）三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是由直线的点斜式方程推导两点式方程的理解，产生这一困难的原因是学生对直线的点斜式方程理解不透彻。

要解决这一困难，就要让学生理解直线的点斜式方程，熟练应用方程，其中关键是直线的两点式方程推导过程的理解。

四、教学支持条件分析在本节课的教学中，可以使用多媒体教学，使用多媒体可以增加教学容量，提高教学效率。

五、教学过程设计（一）温故知新1、直线的点斜式方程，过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线方程为00()y y k x x -=-。

2、已知直线上两点的斜率公式：111(,)p x y ,222(,)p x y ，12()x x ≠，过12,p p 的直线的斜率2121y y k x x -=-.（二）探究新知问题一：什么是直线的两点式方程？【设计意图】遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。

人教A版高中数学必修二课件3.2.2直线的两点式方程(共28张PPT)

题型三直线方程的应用
例3 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
跟踪训练
3．如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求： (1)直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少行李？
答案：B
想一想
截距式方程
想一想2.过原点的直线能写为截距式吗？提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
做一做 2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
答案：A
做一做 4.若已知A(1,2)及AB中点(2,3)，则B点的坐标是______．答案：(3,4)
典题例证技法归纳
【题型探究】题型一直线的两点式方程
4．已知直线l经过点(2，－3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
知能演练轻松闯关
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【方法感悟】
1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线方程时，通常用两点式，如例1. 但若x1＝x2，则直线方程为x＝x1，若y1＝y2，则直线方程为y＝y1. 2．由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距，反之，若已知直线在x轴、y轴上的截距(都不为0)也可直接由截距式写出方程．如例2，例3.但过原点或垂直于坐标轴的直线不能用截距式表示．
例1 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)， C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．

高中数学第三章直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2(2021

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3．2.3 直线的一般式方程学习目标1。

掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0）都表示直线；3。

会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0）来表示吗？答案能．思考2 关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）表示怎样的直线？B＝0呢？答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－错误!x－错误!，所以该方程表示斜率为－错误!,在y轴上截距为－错误!的直线；当B＝0时,A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－错误!,所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1 设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.(1）若直线l在x轴上的截距为－3,则m＝________。

高中数学第三章直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件新人教A版必修2

() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义．我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程．解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式，得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55）），整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件【新人教A版】

(A)1
(B)-1
(C)7
(D)-7
4.(中点坐标公式)若已知A(1,2)及AB中点(2,3),则B点的坐标是答案:(3,4) 5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是答案:x-y-1=0 .
.
课堂探究
题型一直线的两点式方程
【教师备用】
1.直线的两点式方程运用条件是什么?
综上,直线 l 的方程为 y=
1 x 或 x+y=6 或 x-y=2. 2
题型三直线方程的应用
【例 3】直线过点 P（
4 ,2）且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐 3
标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12; (2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
三边所在直线的方程.
解:由两点式,直线 AB 方程为
0 1
y 1
=
x3 ,即 x+4y+1=0. 1 3
同理,直线 BC 方程为即 2x+y-5=0. 直线 AC 方程为即 3x-2y+3=0.
y 3 x 1 = , 1 3 3 1
y 3 x 1 = , 0 3 1 1
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为
x y + =1,即 x+4y-8=0. 8 2
【思维激活】 (2015日照一中月考)过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有条.
解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0)共三条. 答案:3
【备用例1】 (2015青岛一中联考)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1, 且过定点(6,-2),求直线l的方程.

高中数学第三章3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案含解析新人教A版必修0

3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程直线的一般式方程两点式、截距式[提出问题]某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？提示：可以确定．问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[提出问题]观察下列直线方程：直线l 1：y －2＝3(x －1)；直线l 2：y ＝3x ＋2；直线l 3：y －23－2＝x －14－1；直线l 4：x 4＋y3＝1.问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？提示：能．问题3：二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？提示：能． [导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x＋BA y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y＋C B ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B.(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为y －－10－－1＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0. [类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．已知直线经过点A (－3，－1)和点B (3,7)，则它在y 轴上的截距是________．答案：32．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案：－ 2直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪3，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． [解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.直线方程的一般式应用[例3] (1)12m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，l 1⊥l 2， ①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，l 1⊥l 2. 法二：由l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用](1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．[解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x . 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1①.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |②.由①②联立方程组，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2. 综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x ＋y ＝6或x －y ＝2.[多维探究] 1．截距相等问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋ya＝1，又过A (4,2)， ∴a ＝6，∴方程为x ＋y －6＝0.综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0.2．截距和为零问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a －ya＝1.又过A (4,2)，∴4－2a＝1，即a ＝2，∴x －y ＝2.综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x －y ＝2.3．截距成倍数问题求过点A (4,2)且在x 轴上截距是在y 轴上截距的3倍，求直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x 3a ＋y a ＝1，又直线过A (4,2)，所以43a ＋2a＝1，解得a ＝103，方程为x ＋3y －10＝0.综上，所求直线方程为y ＝12x 或x ＋3y －10＝0.4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0. [方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7答案：B2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．a ＝2，b ＝5 B ．a ＝2，b ＝－5 C ．a ＝－2，b ＝5 D ．a ＝－2，b ＝－5 答案：B3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0，直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[课时达标检测]一、选择题1．平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3答案：B2．直线ax ＋by ＝1(a ，b 均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12ab B.12|ab |C.12ab D.12|ab |答案：D3．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0答案：D4．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，点P (x 0，y 0)在l 上，则l 的方程可化为()A ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＋C ＝0B ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＝0C ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0D ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0答案：D5．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.12B.12或0 C ．0D ．－2 答案：A二、填空题6．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________. 答案：1或－37．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案：3或－38．过点P (2，－1)，在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线方程为____________．答案：x ＋3y ＋1＝0或x ＋2y ＝0三、解答题9．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－3.∴点C 的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知，点M ，N 的坐标分别为M 0，－12，N 52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即y ＝15x －12.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意；当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0，所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎨⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．。

高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2

2．直线的截距式方程 (1)定义：如图所示，直线 l 与两坐标轴的交点分别是 P1 (a,0)，P2(0，b)(其中 a≠0，b≠0)，则方程为__ax_＋__by_＝__1____叫做直线 l 的截距式方程，简称截距式．
(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在 x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
则方程yy2－－yy11＝_xx_2－－__xx_11_____叫做直线 l 的两点式方程，简称两点式．
(2)说明：与坐标轴___垂__直_____的直线没有两点式方程．
[破疑点] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2， y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
[答案] C
5．已知直线的斜截式方程是y＝x－1，那么此直线的斜率是____1______，倾斜角是____4_5_°____.
6．已知直线l在y轴上的截距等于它_ ．
●自主预习
1．直线的两点式方程 (1)定义：如图所示，直线 l 经过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)，
[拓展]求直线方程时方程形式的选择技巧一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距；已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．

高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版

3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上，则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解方法一由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程．解设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1，即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程．反思与感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________．对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________．答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)，故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时，设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0；当a ≠0，且截距互为相反数时，设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ，由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________．答案 x 2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析该直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时，设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)，即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________．答案 3x ＋2y －6＝0解析由题意知，直线在y 轴上的截距为3，则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。

高中数学 §3.2.2 直线的两点式方程教案新人教A版必修2

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

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