最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积》的物理背景及其含义
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
|b|cos θ 的乘
温馨提示：投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为 负，也可为零．
3．向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝ |a||b| ； 当a与b反向时，a·b＝ －|a||b| .
(3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2. a·b
[规律方法] (1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a|·|b|，因
此，当a∥b时，有0°或180°两种可能；(2)非零向量a⊥b⇔a·b
＝0；(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos θ，与它们的夹角有关， 夹角范围是[0°，180°]．
【活学活用2】 若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝ 1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a.
＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
答案 C
2．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )． A.0，π2 B.π2，π C.π2，π D.π2，π 解析 ∵a·b＝|a||b|cos θ<0，∴cos θ<0，又θ∈[0，π]， ∴θ∈π2，π.
于是有77aa22＋ －1360aa··bb－ ＋185bb2＝2＝00. ，
① ②
①－②得2a·b＝b2.
③
将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cos α＝|aa|·|bb|＝2|b|b|2|2＝12.
∵0°≤α≤180°，∴α＝60°.
[规律方法] 要注意向量数量积性质的正确运用，以及向量夹角 的范围，这时由2a·b＝b2，不能推出2a＝b，同样由a2＝b2也不能 得出a＝b或a＝－b.
解 ①当a∥b时， 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝9.
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真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
(2) a b =-5
2 2
0
(3)(2a b) (a 3b) =-34 (4) a b 7
19
5 133 (6)(a b)与(a b)夹角的余弦值为 133
结论： 前提： a与b是非零向量
(1) a b 0 a b
(2) 当a与b同向时， a b | a || b | ； 当a与b反向时， a b | a || b |
(3) a a | a | 或 | a | a a
2
(4) a b | a || b |
a b | a | | b | cos
的几何意义？
练一练：
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 时a在b上的投影为 2 3
0
（2）当 90 时a在b上的投影为
0 0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2 （4）当 120 时b在a上的投影为 4
a b | a | | b | cos
二、向量 a 与 b 的数量积的概念
已知两个非零向量 a 与 b ，它们
的夹角为θ，则我们把数量
| a | | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积(或
内积)，记作：
a b | a | | b | cos
规定：零向量和任一向量的数量积为0
B
三. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
a
高中数学教案 必修4教案 第二章 平面向量 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。
3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下 产生位移s（如图）
F
θ
S
思考1：如何计算这个力F所做的功？ W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考2 力做功的大小与哪些量有关？ 答与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
思考3 用文字语言表达功的计算公式 W=|F| |S|cosθ 答：功是力与位移的大小及其夹角的余弦的乘积
(2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
合作探究
2、平面向量的数量 积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)c
a
(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.
(2)当a∥b时，求a与b的数量积. (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积. （4）当a·b=10时，求a与b的夹角.
反思与感 解析答案
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos 60°
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
最新人教版高中数学必修四平面向量数量积的物理背景及其含义 (2)优质课件
4、a向、量b、 数量c是积任 满足意的三运个算律向量, λ R
（1）a b b a;
(2)(λa) b a ( λb) λ(a b) λa b;
(3)(a b) c a c b c
但：(a
b)
c
a
(b
c)
四、例题研究
例(12)2((、aa求 bb证))2：(aa2b) 2aa2bbb22
3
自主学习书P105例4
例4.已知a e, e 1.对任意t R,恒有
a te a e，则(B)
A.a e B.e (a e) C.a (a e) D.(a e) (a e)
五、能力训练
1、已知a b 1, a与b夹角为1200， 问t取何值时，a tb最小？
2、已知a b c 0,且a 3, b 5, c 7,
求a与b的夹角 θ .
解:由题可知, a b c 0 a b c
| a b |2 ( a b ) • ( a b ) | c |2
2 a • b | c |2 (| a |2
| b |2 )
a• b
15 2
故cosθ
a• b
1 ,
2
| a || b |
又0θθπ,即π a 与b 的夹角是π .
3
3
六、小结： 1、平面向量数量积的物理背景 2、向量数量积的定义 3、向量数量积的几何意义 4、投影 5、运算律
拓展研究
直径所对的圆周角是直角。 C
Aபைடு நூலகம்
B
O
记为a b,即：a b a b cos θ
再规定零向量与任意向量的数量积为0
0a 0
2、投影
定义：b cosθ叫做b在a方向上的投影
人教版高中数学必修四二十二平面向量数量积的物理背景及其含义含解析
课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：C2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形 答案：B3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34 D.32答案：D4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( )A.49B.43C ．－43D ．－49 答案：A5.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD ，|AD |＝1，则AC ·AD 等于( )A ．2 3 B.32C.33D. 3 答案：D二、填空题6．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC ＝________.答案：167．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角θ为________．答案：2π3 8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________. 答案：233三、解答题9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )；(4)|a ＋b |.解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3； (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5；(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a |·|b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34；(4)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2.∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)．∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0， 解得cos θ∈[12，1]． 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 故当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，|a ＋b |＝3|a －b |成立．11．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12. (1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值．解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12. ∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22. (2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2， |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1， ∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1.令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24， 即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
人教版高中数学必修四第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义含解析
第24课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．识记强化 1．已知两个非零向量a ，b ，我们把|a |·|b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a |·|b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a 与b 的夹角．2．|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫做b 在a 方向上的投影．3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a ·b ＝0.4．a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．5．向量数量积的运算律为：(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .课时作业一、选择题1．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77C ．－1 D.277答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D. 5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3. 9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7，|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12， 所以a 与b 的夹角为120°.11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°.(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2.∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0，∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12. 能力提升12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12， ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π.13．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课新知探究提出问题①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥b⇔a·b=0.3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.a∙.特别地a·a=|a|2或|a|=a4°cosθ=||||b a b a . 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积. 应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求·+·+的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与BC 的夹角是120°,而不是变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43.也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直.点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+++=0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD 是平行四边形. 故=-,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即⊥.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,=b ,则=a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2, ① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |. ② ∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m. ① 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. ② 联立①②得2m 2=12,即m 2=6.∴m=±6.故m=±6,n=-4.知能训练课本本节练习.解答:1.p ·q =24.2.a ·b <0时,△ABC 为钝角三角形;a ·b =0时,△ABC 为直角三角形.3.投影分别为32,0,-32.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A组2、3、4.。
第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
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知识预览
1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
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(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2， 代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝ ＝ ＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝ ， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
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数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
人教版高中数学必修4学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a ⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a ＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b|a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ． 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.自测自评1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34 B．34C．55 D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且||a＝3，||b＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－92 B.92C．－8 D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6|i|2＋7|i||j|cos 60°－2|j|2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC→·CA →＝－20．基础提升1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 2 3．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若⎝⎛⎭⎫CA →＋CB →·⎝⎛⎭⎫CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC→·CB →＝0， 所以AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D.巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴⎩⎨⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴⎩⎨⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②；∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°， ∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，∴⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b <0.又⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b ＝λa 2＋⎝⎛⎭⎫λ2＋1a ·b ＋λb 2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，5－212∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋212，＋∞. 9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ⎝⎛⎭⎫π－C ＝－||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ⎝⎛⎭⎫π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ⎝⎛⎭⎫π－B ＝－||c ||a cos B . ∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD→|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ， ∴|CD→|＝|AD →|. ∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB→|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB→·DA →.解析：(1)因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD→·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB→|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律． 3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。
数学人教版必修4(A)平面向量的数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得=b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca =c 如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α =|b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θC2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：。
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
人教版高中数学版必修四学案 平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义 【学习目标】 1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义； 2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功，其中θ是F 与s 的夹角.（二）自主探究：（预习教材P103—P105）探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
__________叫做向量a b 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非空向量：①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝________，=⋅a a __________或a =___________。
③a b ⋅≤____________ ④cos =θ___________⑤.b a ⋅____________________________________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。
向量数量积的物理背景与定义
（2）当θ = 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当θ = 120 时a在b上的投影为 − 2
0
（4）当θ = 120 时b在a上的投影为 − 4
0
例1：已知轴l （ ）向量 OA = 5, < OA, l >= 60 求OA在l上的 1
0
正射影的数量OA1
1 5 解：)OA1 = 5 cos 60 = 5 × = (1 2 2
0⋅a = 0
思考：两非零向量 a 与 b 的数量积 思考： 是一个实数，不是一个向量，其值可以 是一个实数，不是一个向量， 实数 为正，也可以为负，还可以为零，请说 为正，也可以为负，还可以为零， 出什么时候为正，什么时候为负，什么 出什么时候为正，什么时候为负， 时候为零？ 时候为零？
测一测： 测一测： 提a b 非 向 前 ： 是 零 量 与
2 2
− a b
___________
特别地：a ⋅ a = a = a 即 a =
( 4 ) cos < a , b >=
____________
a ⋅a =
≤
a
2
a ⋅b a b
.
(5 ) a ⋅ b
a b
三、向量在轴上的正射影： 向量在轴上的正射影： A
已知向量 a和轴 l , 作 OA = a，过点 O， A分别作轴 l的垂线， 垂足分别为 O1， A 1，则向量 O1A 1叫做向量 a在轴 l上的正 射影（简称射影）该射 影在 轴 l上的坐标称作 a在轴 l上的 数量或在轴 l的方向上的数量。
0
= −10
a ⋅b
0
2 2
∴θ = 135
例2：如图，∆ABC为等腰直角三角形, 且直角边AB = 1, 求AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ BA的值.
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2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc a ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )． 其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．向量数量积的性质(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；(3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )． 【做一做3－1】 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________.【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________.【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12. 【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1.2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0.【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】 0 cos θ＝a·b |a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a ，b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ；在向量的数乘中，若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；在实数的乘法中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.在向量的数量积中，a ·b ＝b ·c b ＝0或a ＝c 或b ⊥(a －c )；在向量的数乘中，λa ＝λb (λ∈R )a ＝b 或λ＝0；在实数的乘法中，ab ＝bc a ＝c 或b ＝0.在向量的数量积中，(a ·b )c ≠a (b ·c )；在向量的数乘中，(λm )a ＝λ(m a )(λ∈R ，m ∈R )；在实数的乘法中，有(ab )c ＝a (bc )．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab 的几何意义就是数轴上ab 到原点的距离等于a ，b 到原点的距离的积．题型一 求向量的数量积【例1】 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(3a ＋b )的值为__________． 反思：已知向量a 与b 的夹角为θ，且|a |＝m ，|b |＝n ，求(x a ＋y b )·(s a ＋t b )，其中x ，y ，s ，t ，m ，n ∈R ，且m ＞0，n ＞0，其步骤是：①先求a ·b ；②化简(x a ＋y b )·(s a ＋t b )＝xs |a |2＋(xt ＋ys )a ·b ＋yt |b |2；③将a ·b ，|a |，|b |代入即可．题型二 求向量的长度【例2】 若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则|a ＋b |等于( )A ．3B ．2 2C ．10 D.10反思：已知不共线的向量a 与b ，求|x a ＋y b |(x ，y ∈R )时，其步骤是：①求a ·b ；②求|x a ＋y b |2＝x 2|a |2＋2xy a ·b ＋y 2|b |2；③求|x a ＋y b |.题型三 求两向量的夹角【例3】 已知|a |＝1，|b |＝4，(a －b )·(a ＋2b )＝－29，求a 与b 的夹角θ.分析：求出a ，b 的数量积a ·b ，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a 与b 的夹角θ的步骤：(1)计算a ·b ，|a |，|b |；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |计算cos θ； (3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )．分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零．反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12. 又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2.因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12 D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0，∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0，所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |.3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |.5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.(2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。