人教版初三数学上册一元二次方程解法---因式分解法
人教版数学九年级上学期课时练习- 一元二次方程解法-因式分解法(知识讲解)(人教版)
专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）【学习目标】1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】知识要点一：因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。
知识要点二：换元法解一元二次方程1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.【典型例题】类型一、用因式分解法解一元二次方程1．用适当的方法解下列方程：(1)2430x x -+= (2)2(3)2(3)x x x -=-【答案】(1)11x =，23x = (2)13x =-，23x =【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．(1) 解：2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得11x =，23x =(2) 2(3)2(3)x x x -=-(3)(32)0x x x ---=(3)(3)0x x ---=解得13x =-，23x =【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】用适当的方法解方程：(1)23210x x +-=． (2)()()2122x x x +-=-．【答案】(1)11x =-，213x =； (2)11x =，24x =- 【分析】()1将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案；()2先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．(1) 解：()213210x x +-=，()()1310x x +-=，则10x +=或310x -=，解得11x =-，213x =， 所以，原方程的解为11x =-，213x =； (2) ()()2122x x x +-=-()()()21210x x x ∴+-+-= ，则()()140x x -+=，10x ∴-=或40x +=，解得11x =，24x =-．所以，原方程的解为11x =，24x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式2】解方程： (1)x 2－x －2＝0； (2)3x (x －2)＝2－x ．【答案】(1)x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 1＝－13，x 2＝2 【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；(1) 解：x 2－x －2＝0，(x －2)(x ＋1)＝0，x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1．(3) 3x (x －2)＝2－x ，3x (x －2)＋(x －2)＝0，(3x ＋1)(x －2)＝0，3x ＋1＝0或x －2＝0，x 1＝－13，x 2＝2． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．类型二、用换元法解一元二次方程2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知()()3410x y x y +-++=-，求x y +的值．解：设t x y =+，则原方程变形为()()3410t t -+=-，即220t t +-=∴()()210t t +-=得t 1＝﹣2，t 2＝1∴2x y +=-或1x y +=已知()()2222427+-++=x y x y ，求22x y +的值． 【答案】5【分析】先换元，再求出t 的值，最后求出答案即可．解：设220=+≥t x y∴()()427-+=t t即22150--=t t ，∴()()530-+=t t ，解得：15t =，23t =-（舍去）∴225x y +=即22x y +的值为5．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．举一反三：【变式1】解方程：22110x x x x+++=． 【答案】1x =- 【分析】设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x +的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设1y x x =+， 则222211()22x y x x x+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x+=1，即210x x -+=．由30=-＜，此方程无实根， 当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=， 解得：121x x ==-，经检验，x ＝－1是原分式方程的解，∴原方程的解为x ＝－1．【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用22211()2x x x x+=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程． 【变式2】解方程：256022x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭【答案】1125x =，21x = 【分析】先设：2x y x =-得到2560y y --=解出y 的值，再求解x 的值并把结果进行检验即可得到答案； 解：设2x y x =- ， 原方程化为：2560y y --=，运用十字相乘法得到：()()610y y -+=，解得126,1y y ==-，当16y =时62x x =-，解得1125x =， 当21y =-时12x x =--，解得21x =， 经检验，1125x =和21x =原方程的分母均不为0， 故原方程的解为：1125x =或21x =； 【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．类型三、因式分解法解一元二次方程的应用3．阅读例题，解答问题：例：解方程220x x --=． 解：原方程化为220x x --=． 令y x =，原方程化成220y y --=解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．∴原方程的解是12x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()215160x x ----=．【答案】17x =，25x =-【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可． 解：原方程化为215160x x ----=． 令1y x =-，原方程化成2560y y --=．解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）． 16x ∴-=，16x ∴-=±．∴原方程的解是17x =，25x =-．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造∴PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE =AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标；（2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（3）在线段PE 上取点F ，使PF =2，过点F 作MN ∴PE ，截取FM = ，FN =1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）32t =，（ 92，0）；（2）见解析；（3） 121t =-，t 2=1.5. 【分析】 （1）由C 是OB 的中点求出时间，然后确定OP ，即可求出点E 的坐标；（2）连接CD ，根据平行四边形的性质可得：OG GP =，CG GD =，在由线段的数量关系可得：AG GE =，依据平行四边形的判定定理即可证明；（3）C 的坐标是()062t ，﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -，设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得DE 的解析式，然后分两种情况讨论：当M 在CE 上时，M 的坐标是(t +；当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，；将M 、N 两点坐标分别代入求解即可． （1）解：132BC OC ==， 则 32t = ，32OP = ， 则39322OE OP PE OP OA =+=+=+=， 则E 的坐标是9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）解：连接CD ，如图所示：∴四边形PCOD 是平行四边形，∴OG GP =，CG GD =，∴AO PE =，∴OG AO GP PE +=+，即：AG GE =∴四边形ADEC 是平行四边形；（3）解：C 的坐标是()062t ，﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -．设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，则()62{30b tt k b =-++=， 解得：62{263b tt k t =--=+， 则CE 的解析式是()26623t y x t t -=+-+， 同理DE 的解析式是()2262339t t y x -+-=， 当M 在CE 上时，M的坐标是(t +，, 则()()262623t t t t -++-=+，解得：21t =-当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，，则 ()()226133922t t t -+-+=-， 解得： 1.5t =，综合可得： 121t =-2 1.5t =．【点拨】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……按照以上规律，解决下列问题：(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；(3)若有n （n 为偶数，且2n ≥）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n 的代数式表示）【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3)122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n +，将6n =代入求解即可；（2）由题意知，()21130n n n ++=，求出满足要求的n 值，进而可得盆景，盆花的数量； （3）根据推导出的一般性规律作答即可．(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：12⨯、22⨯、32⨯、42⨯、52⨯······盆花的数量依次为：12⨯、23⨯、34⨯、45⨯、56⨯······∴可推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n + ∴图6中盆景的数量为：2612⨯=；盆花的数量为：()66142⨯+=故答案为：12；42．(2)由题意知，()21130n n n ++=整理得+-=231300n n()()10130n n -+=解得10n =，13n =-（不合题意，舍去）当10n =时，盆景数量为221020n =⨯=，盆花数量为13020110-=∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．(3)由一般性规律可知，当有n 盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．。
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法(因式分解法)优秀教学案例
本节课的教学目标是培养学生的问题解决能力和团队合作精神。学生需要通过自主学习、合作交流等方式，掌握一元二次方程的因式分解法，并能够运用该方法解决实际问题。
为了实现这一目标，我将在教学中采用启发式教学方法，引导学生主动探究一元二次方程的解法，鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的创新意识和批判性思维。同时，我还将通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队合作精神，使学生在交流中互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
反思与评价是本节课的重要教学策略。我通过引导学生进行自我反思和评价，培养学生的自我监控和反思能力，提高学生的学习效果。
在教学过程中，我可以引导学生对自己的学习过程进行反思，思考自己在解决问题过程中的优点和不足，总结经验教训，提高解题能力。同时，我还可以组织学生进行互评和小组评价，让学生从不同角度获得反馈和建议，促进学生的全面发展。通过反思与评价，学生可以更好地了解自己的学习情况，优化学习方法，提高学习效果。
（二）讲授新知
讲授新知是学生掌握知识的关键环节。我通过生动的语言、清晰的讲解和形象的图示，引导学生理解和掌握一元二次方程的因式分解法。
首先，我会讲解一元二次方程的基本概念，包括方程的定义、形式以及解的概念。然后，我会介绍因式分解法的原理和步骤，通过具体的例题演示因式分解法的应用过程。在讲解过程中，我会注意引导学生思考和探究，鼓励学生提出问题和观点，培养学生的创新意识和批判性思维。
2.问题导向引导学生深入思考：我通过提出一系列递进式的问题，引导学生从一元二次方程的基本概念入手，逐步深入到因式分解法的原理和应用。这种问题导向的教学方法激发了学生的思考和探究欲望，培养了学生的创新意识和批判性思维。
3.小组合作促进学生互动交流：我将学生分成若干小组，让学生在小组合作和讨论中共同解决问题。通过小组合作，学生不仅可以相互学习，还可以培养团队合作精神和沟通能力，提高解决问题的能力。
人教版九年级上册21.2.3解一元二次方程---因式分解法 课件(共19张PPT)
2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，
数学人教版九年级上册一元二次方程的解法——因式分解法.2.3 因式分解法
4x2 10.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得
1 1 x1 , x2 . 2 2
典例精析
例2 用适当的方法解方程： （1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 分析：方程一边以平方形式出现， 所以用因式分解法解答较快. 另一边是常数，可直接开平方法.
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地 面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离 地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上
述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确
到0.01s)? 提示： 设物体经过xs落回地面，这时它离地面
的高度为0，即
10x-4.9x2 =0
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
开平方,得
2 7 2 7 x ,x . 解得 x1= 6 2 10 , x2= 6 2 10. 1 2 3 3
x-6 21 0 .
（ -4 ） 2 8 2 7 x . 2 3 3
要点归纳
解法选择基本思路
(1)一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解：开平方,得 5x + 1 = ±1.
5 x ,x 5. 1 2 3
2 解得, x 1= 0 , x2 = . 5
（3）x2 - 12x = 4 ;
分析：二次项的系数为1,一次项的系
21.2.3一元二次方程的解法-因式分解法教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在解决实际问题中具有重要作用，如计算面积、速度等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用因式分解法解决实际问题，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调因式分解法的步骤和一元二次方程在实际问题中的应用这两个重点。对于难点部分，如配方法和解的识别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示因式分解法的基本原理。
2.教学难点
（1）难在对一元二次方程的一般形式进行因式分解，特别是无法直接分解时需要运用配方法；
（2）难在理解如何将实际问题抽象为一元二次方程，进而运用因式分解法求解；
（3）难在灵活运用因式分解法解决各种变形的一元二次方程；
举例：对于方程2x^2 - 8x + 6 = 0，学生在分解因式时可能会遇到困难，需要引导学生通过配方法将方程转化为(x-1)^2 - 1 = 0，进而求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
课程围绕以下例题展开讲解：
21.3 一元二次方程的解法(三)-公式法,因式分解法(基础巩固)九年级数学上(人教版)
第二十一章 一元二次方程21.3 一元二次方程的解法（三）——公式法，因式分解法（基础巩固）【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程例1．用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0． 【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1 ∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17； ∴x==，∴x 1=，x 2=．例2．用公式法解下列方程： (1)2x 2+x=2； (2) 3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可. 【答案与解析】 解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b 2﹣4ac=9+28=37. x== ，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21222x -±-==⨯∴ 112x -=212x -+=． 类型二、因式分解法解一元二次方程例3．一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（ ） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【答案】B 【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x +2）（x ﹣6）=0， 解得：x 1=﹣2，x 2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．例4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-． 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0， 所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=. 例5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2）3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0 x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x 2+13x+3=0x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．【巩固练习】一、选择题1．方程x 2﹣2x=0的根是（ ） A ．x 1=x 2=0B ．x 1=x 2=2C ．x 1=0，x 2=2D ．x 1=0，x 2=﹣22．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x = 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( ) A ． 2011 B ．2012 C ． 2013 D ．2014 二、填空题7．方程x 2+x ＝0的解是___ _____；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 13．解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．答案与解析一、选择题 1.【答案】C【解析】解：x 2﹣2x=0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2．故选：C ． 2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2．12.【答案】19或21或23．【解析】由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23.三、解答题13. 【解析】解：（1）（x﹣3）2=4x﹣3=2或x﹣3=﹣2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1=﹣4，x2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴18x=，22x=-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0，∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-． 15.【解析】(1)(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根．(3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．。