贵阳专版中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形四边形第一节线段角相交线和平
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步
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Jie Shu Yu
中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形的
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贵阳专版中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形四边形第五节多边形与平行四边
第五节多边形与平行四边形1．(2016长沙中考)六边形的内角和是( B )A．540°B．720°C．900°D．360°2．(2016益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( D )A．360°B．540°C．720°D．900°3．(2016丽水中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )A．13 B．17 C．20 D．26,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2016泰安中考)如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于( C )A．2 B．3 C．4 D．65．(2016原创)如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为( B )A．8 B．10 C．12 D．14,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2016绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( D )A．①②B．①④C．③④D．②③7．(2016原创)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( C ) A．66°B．104°C．114°D．124°,(第7题图)) ,(第9题图))8．(2016扬州中考)若多边形的每个内角均为135°，则这个多边形的边数为__8__．9．(2016河南中考)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是__110°__．10．(2016原创)如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是__1<a<7__．11．(2016巴中中考)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE ＋CD ＝AD.连接CE ，求证：CE 平分∠BCD.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠E＝∠DCE，∵AE＋CD ＝AD ，∴BE＝BC ，∴∠E＝∠BCE ，∴∠DCE＝∠BCE ，即CE 平分∠BCD.12．(2016宿迁中考)如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC.求证：BE ＝CF.证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBD＝∠DBC ，又∵ED ∥BC ，∴∠EDB＝∠DBC ，∴∠EBD＝∠EDB ，∴BE＝ED.又∵EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴CF＝ED ，∴BE＝CF.13．(2016凉山中考)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且与BC ，AD 分别交于点E ，F.试猜想线段AE ，CF 的关系，并说明理由．解：AE ＝CF ，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，OA ＝OC ，∴∠ACB＝∠CAD ，在△AOF 和△COE 中，∠AOF ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOF≌△COE(ASA )，∴OE＝OF.∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE＝CF ，AE∥CF.14．(2016陕西中考)如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.又∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，∴DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.15．(2016梅州中考)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE ＝DF，连接EF交BD于点O.(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．∠BOE＝∠DOF，解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.在△OBE与△ODF中，BE＝DF，∴△OBE≌△ODF(AAS)，∴BO＝DO；(2)∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°.∴AE＝GE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°.∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝1.由(1)可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3.。
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(贵阳专版)中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形
（贵阳专版）中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形（精讲）试题,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答18 正方形的性质以正方形为背景考查全等三角形的判定，直角三角形的判定10解答22 菱形的性质在直角坐标系中，以菱形为背景考查反比例函数、一次函数的有关知识10 202015解答18 菱形菱形的性质与判定10 102014解答18 菱形菱形的性质与判定10 102013解答20 菱形利用菱形的性质：(1)证线段相等；(2)探索点的位置10 102012解答21 正方形利用正方形的性质：(1)证线段相等；(2)求正方形的周长10 10命题规律纵观贵阳市5年中考，特殊的平行四边形内容是必考内容，并且基本固定在18题位置，分值为10分，考查内容为特殊平行四边形的性质与判定．命题预测预计2017年中考，特殊的平行四边形内容仍为重点考查内容，且以解答题形式出现，平时训练要加大对性质与判定的训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟)菱形的性质与判定(4次)1．(2016贵阳22题10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴上，反比例函数y ＝x k(x ＞0)的图象经过菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F ，点A 的坐标为(4，2)．(1)求反比例函数的表达式； (2)求点F 的坐标．解：(1)∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A ，A 点的坐标为(4，2)，∴2＝4k，∴k＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝x 8；(2)过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，由题意可知，CN ＝2AM ＝4，ON ＝2OM ＝8，∴点C 的坐标为C(8，4)，设OB ＝x ，则BC ＝x ，BN ＝8－x ，在Rt △CNB 中，x 2－(8－x)2＝42，解得x ＝5，∴点B 的坐标为B(5，0)，设直线BC 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b ，直线BC 过点B(5，0)，C(8，4)，∴8k1＋b ＝4，5k1＋b ＝0，解得：，20∴直线BC 的表达式为y ＝34x －320，根据题意得方程组，8解此方程组得：，4y2＝－8，x2＝－1，∵点F 在第一象限，∴点F的坐标为F(6，34)．2．(2015贵阳18题10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，且AE ∥CD ，CE ∥AB. (1)证明：四边形ADCE 是菱形；(2)若∠B ＝60°，BC ＝6，求菱形ADCE 的高．(计算结果保留根号)解：(1)∵AE ∥CD ，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD＝BD ＝AD ，∴平行四边形ADCE 是菱形；(2)如图，过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，则DF 即为菱形ADCE 的高，∵∠B＝60°，CD ＝BD ，∴△BCD 是等边三角形．∵CE ∥AB ，∴∠BCE＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD ＝BC ＝6，∴在Rt △CDF 中，DF ＝3.3．(2014贵阳18题10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF.(1)求证：四边形ADCF 是菱形；(2)若BC ＝8，AC ＝6，求四边形ABCF 的周长．解：(1)∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE.∴AE ＝CE ，DE ＝FE ，∴四边形ADCF 为平行四边形．∵点D ，E 是AB 与AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°即BC ⊥AC ，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF 为菱形；(2)∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB＝10.∵点D 是AB 边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF 为菱形，∴AF＝FC ＝AD ＝5，∴C 四边形ABCF ＝8＋10＋5＋5＝28.4．(2013贵阳20题10分)已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC.(1)求证：AE ＝EC ；(2)当∠ABC ＝60°，∠CEF ＝60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．解：(1)连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∴AE＝EC ；(2)点F 是线段BC 的中点，理由如下：易得△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC ，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝21∠BAC＝30°，∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于点F ，∴AF 是△ABC 边BC 上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．正方形的性质(2次)5．(2016贵阳模拟卷②15题)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，……，S n ，则S n 的值为__24n －5__．(用含n 的代数式表示，n 为正整数)6．(2012贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上． (1)求证：CE ＝CF ；(2)若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长．解：(1)易证△ABE ≌△ADF ，∴BE＝DF ，又BC ＝DC ，∴BC－BE ＝DC －DF ，∴CE＝CF ；(2)连接AC ，交EF 于G点，易得AC ⊥EF ，EC ＝，设BE ＝x ，则AB ＝x ＋，在Rt △ABE 中，(x ＋)2＋x 2＝4，∴x＝26，∴AB＝26＋＝26，∴正方形的周长为2＋2.7．(2015贵阳适应性考试)如图，E ，F 是菱形ABCD 对角线AC 上的两点，且AE ＝CF. (1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若∠DAB ＝60°，AD ＝6，AE ＝DE ，求菱形BEDF 的周长．解：(1)∵菱形ABCD ，∴AB＝AD ，对角线AC 平分∠BAD ，∴∠BAE＝∠DAE ，又∵AE ＝AE ，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED.连接BD 交AC 于点O ，则OD ＝OB ，OA ＝OC ，∵AE＝CF ，∴OA－AE ＝OC －CF ，∴OE＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴▱BEDF 为菱形；(2)在菱形ABCD 中，连接BD 交于AC 于O 点，∴DB⊥AC，又∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴在Rt △ADO 中，DO ＝21AD ＝3，∵AE＝ED ，∴∠DAE＝∠ADE ，∠ADE＝∠EDO ＝30°，在Rt △DEO 中，可求得DE ＝2，∴菱形BEDF 的周长为8.,中考考点清单)矩形的性质与判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)． 2．性质文字描述 字母表示[参考图(1)] (1)对边平行且相等 AD 綊BC ，AB 綊CD (2)四个内角都是直角 __∠DAB__＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° (3)两条对角线相等且互相平分 AC ＝__BD__，OA ＝OC ＝OB ＝OD (4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述 字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABCD 是平行四边形，且∠BAD ＝90°，则四边形ABCD 是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形若∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°，则四边形ABCD 是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形若AC ＝__BD__，且四边形ABCD 是平行四边形，则四边形ABCD 是矩形 菱形的性质与判定(高频考点)4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2)5文字描述字母表示[参考图(2)] (1)菱形的四条边都相等AB ＝__BC__＝CD ＝DA (2)对角相等 ∠DAB ＝∠DCB ，∠ADC ＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD ，∠DAC ＝∠CAB ＝∠DCA ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠BDC ＝∠ABD ＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCD 是平行四边形，且AD ＝AB ，则四边形ABCD 是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形正方形的性质与判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)8．性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形若∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD 平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的有关计算【例1】(2016天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，则下列结论一定正确的是( )A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE【解析】由折叠的性质得：∠CAB′＝∠CAB.又∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝∠CAB′，∴AE＝CE.【学生解答】D1．(2016海南中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2016南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展开纸片后∠DAG的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°3．(2016巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.菱形的性质与判定【例2】(2016南充中考)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是________cm.【解析】菱形的四边形相等，故AB＝8÷4＝2(cm)．【学生解答】24．(2016无锡中考)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直5．(2016雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm6．(2016遵义中考)在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( C )A．AB＝AD B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC7．(2016苏州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△A DE的周长为AD＋AE＋DE ＝5＋5＋8＝18.正方形的性质与判定【例3】(2016广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A .B ．2C .＋1D ．2＋1【解析】由题意可知，正方形ABCD 的边长为1，则CE ＝ CF ＝21.由勾股定理，得EF ＝＝）21＝22，故正方形EFGH 的周长为2.【学生解答】B8．(2016益阳中考)下列判断错误的是( D ) A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．四个内角都相等的四边形是矩形 C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9．(2016陕西中考)如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M ，N 是AD 上的两点，连接MO ，NO ，并分别延长交边BC 于M′，N ′两点，则图中全等三角形共有( C )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对,(第9题图)) ,(第10题图))10．(2016西宁中考)如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE ＝1，则FM 的长为__25__．。
(遵义专版)中考数学总复习 第一篇 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第5节
第五节矩形、菱形、正方形,某某五年中考命题规律)年份题号题型考查点分值总分201724 解答题菱形的判定、面积10 1020168，11选择题，选择题菱形的判定，正方形的性质3，3 6201524 解答题菱形的判定和性质10 10 2014未考查201316，24填空题，解答题矩形的判定和性质，矩形的判定和性质4，10 14命题规律纵观某某近五年中考，除2014年没考外，每年都在考查，有填空题、选择题和解答题，题目有基础题也有综合题，其中矩形考查了两次，菱形考查了三次，正方形考查了一次，呈现一定的规律性．预计2018年某某中考，仍然会考矩形或菱形，不过复习时除了重视这两类特殊平行四边形外，正方形的性质也不能忽视.,某某五年中考真题及模拟)菱形的判定和性质1．(2016某某中考)如图，在▱ABCD中，，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(C)A ．AB ＝AD B ．AC ⊥BD C ．AC ＝BD D ．∠BAC ＝∠DAC2．(2017某某中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积． 解：(1)连接AO ，BO. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP ＝∠OBP＝90°，PA ＝PB ， ∠APO ＝∠BPO＝12∠APB＝30°，∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA，∴∠AOP ＝∠CAO＋∠ACO， ∴∠ACO ＝30°，∴∠ACO ＝∠APO， ∴AC ＝AP ，同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ，∴四边形ACBP 是菱形； (2)连接AB 交PC 于D ，∴AD ⊥PC. ∵OA ＝1，∠AOP ＝60°， ∴AD ＝32OA ＝32， ∴PD ＝32，∴PC ＝3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝12AB·PC＝332.3．(2015某某中考)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB； (2)求证：四边形ADCF 是菱形；(3)若AC ＝4，AB ＝5，求菱形ADCF 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点， ∴AD ＝12BC ＝DC ＝BD.∵AF ∥BC ，∴∠DBE ＝∠AFE. 又∵E 是AD 中点，∴ED ＝EA ， 又∠BED＝∠FEA， ∴△BDE ≌△FAE(AAS )；∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF ＝AB ＝5，∴S 菱形ADCF ＝12AC·DF＝12×4×5＝10.矩形的判定和性质4．(2013某某中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则△AEF 的周长＝__9__ cm .,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2013某某中考)如图，将一X 矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN 的值．解：(1)由折叠的性质可得∠ANM＝∠M. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ANM ＝∠CMN， ∴∠CMN ＝∠M， ∴CM ＝;(2)过点N 作NH⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1， ∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH12·DN·NH ＝MC ND＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ，∴MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝.在Rt△CDN中，DC＝2－DN2＝22x，∴HN＝22x.在Rt△MNH中，MN＝MH2＋HN2＝23x，∴MNDN＝23xx＝2 3.正方形的判定和性质6．(2016某某中考)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，CD上的点，且∠CFE＝60°.将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是(C)A．33－4 B．42－5C．4－23D．5－2 3,(第6题图)) ,(第8题图)) 7．(2017改编)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，连接AF，那么∠FAD＝__°__．8．(2017改编)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC 上一个动点，则PF＋PE的最小值为__17__．9．(2016某某十一中二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形.,中考考点清单)矩形的性质与判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图①.2．性质文字描述字母表示[参考图①](1)对边平行且相等(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图①]若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形90°，则四边形ABCD是矩形若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形(2)有三个角是直角的四边形是矩形ABCD是矩形若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边(3)对角线相等的平行四边形是矩形形，则四边形ABCD是矩形菱形的性质与判定4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图②.5．性质文字描述,字母表示[参考图②](1)菱形四条边都相等,AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等,∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角,__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形,6.判定文字描述字母表示[参考图②](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形正方形的性质与判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图③.8．性质文字描述字母表示[参考图③](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠A DB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图③](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形(2)有一角是直角的__菱形__是正方形若∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形若在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的相关计算【例1】(汇川升学模拟)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点D在AB上，点E在AC上，分别过B，E作AC，BC的平行线，两平行线交于点H.(1)求证：四边形BCEH为矩形；(2)求CDBE的值．【解析】本题主要考查矩形的的判定以及相关计算． 【答案】解：(1)∵BC∥HE，BH ∥AC ， ∴四边形BCEH 是平行四边形．∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCEH 为矩形； (2)连接DH ，CH. ∵四边形BCEH 为矩形，∴HE ＝BC ，∠HEC ＝90°，CH ＝BE ， ∴∠AEH ＝90°.∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∠ACB ＝∠ADE＝90°，∴∠A ＝∠AED＝∠ABC＝45°，AD ＝DE ，AC ＝BC ， ∴AC ＝HE ，∠A ＝∠DEH＝45°. 在△ACD 和△EHD 中，∴△ACD ≌△EHD(SAS )， ∴CD ＝HD ，∠ADC ＝∠EDH， ∴∠CDH ＝∠ADE＝90°， ∴CD BE ＝CD CH ＝22.1．(2016某某升学样卷)已知：如图，把矩形AOBC放在直角坐标系xOy中，使OB，OA分别落在x轴，y轴上，点B的坐标为(6，0)，连接AB，∠OAB＝60°，将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD 交x轴于点E，则D点坐标为(A)A．(3，－3) B．(23，－3)C．(3，－3) D．(3，－23)2．(2017某某中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.(1)求证：四边形BPEQ是菱形；(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．解：(1)∵PQ垂直平分BE，∴QB＝QE，OB＝OE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO.在△BOQ与△EOP中，{∠QBO＝∠PEO，OB＝OE，∠QOB＝∠POE，∴△BOQ≌△EOP(ASA)，∴PE＝QB.又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形．又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；(2)∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18. 设AE ＝x ，则BE ＝18－x.在Rt △ABE 中，62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8， ∴BE ＝18－x ＝10，∴OB ＝12BE ＝5.设PE ＝y ，则AP ＝8－y ，BP ＝PE ＝y.在Rt △ABP 中，62＋(8－y)2＝y 2，解得y ＝254，在Rt △BOP 中，PO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154， ∴PQ ＝2PO ＝152.3．(2017某某中考)如图，在▱ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC.(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________ 时，四边形BECD 是矩形． 解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB ＝CD ，∴∠OEB ＝∠ODC， 又∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ，在△BOE 和△COD 中，{∠OEB＝∠ODC，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ， ∴△BOE≌△COD(AAS )，∴OE ＝OD ， ∴四边形BECD 是平行四边形； (2)100°菱形的相关计算【例2】如图，菱形ABCD 各边中点连线所围成的四边形EFGH 的面积为43，已知∠B＝60°，则菱形的周长为()A ．83B ．163C ．8D ．16【解析】由中位线的性质可得矩形EFGH ，进而可求菱形ABCD 的面积是矩形EFGH 的2倍，最后由等边三角形ABC 的面积可求出边长，从而可得解．【答案】D4．(2017贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC，AC ⊥BD ，垂足为点O. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积． 解：(1)∵AB＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD， ∴∠ADB ＝∠CBD.∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO.在△AOD 与△COB 中，{∠AOD＝∠COB，OD ＝OB ，∠ADB ＝∠CBD ， ∴△AOD ≌△COB ，∴AO ＝OC ， ∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴OD ＝12BD ＝5，∴OC CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝4，∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD＝4 5.正方形的相关计算【例3】(汇川升学一模)如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，DF ⊥BE 交BE 的延长线于点G ，交BC 的延长线于点F.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠DBE＝∠CBE，求证：BD ＝BF ； (3)在(2)的条件下，求CE∶E D 的值． 【解析】本题主要考查正方形及相关计算． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF＝90°， ∴∠CBE ＋∠BEC＝90°，又∵BG⊥DF，∴∠CBE ＋∠F＝90°， ∴∠BEC ＝∠F，∴△BCE ≌△DCF ； (2)∵BG⊥DF，∴∠BGD ＝∠BGF， 又∵BG＝BG ，∠DBG ＝∠FBG， ∴△DBG ≌△FBG ，∴BD ＝BF ； (3)延长AD ，BG 交于点H. ∵AD ∥BC ，∴∠H ＝∠FBG. 又∵∠DBG＝∠FBG， ∴∠DBH ＝∠H，∴DB ＝DH. ∵AH ∥BC ，∴△BCE ∽△HDE ，∴CE ∶DE ＝BC∶DH，∴CE ∶DE ＝BC∶DB.∵四边形ABCD是正方形，∴BC∶BD＝1∶2，∴CE∶DE＝1∶2，∴CE∶DE的值为22.5．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(B)A．30°B．45°C．60°D．90°6．(2017某某中考)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO ＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．解：(1)连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF＝∠EDF＝90°， ∴△EDF 为等腰直角三角形． ∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ， ∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ， ∴四边形EDFG 是正方形；(2)过点D 作DE′⊥AC 于E′，如图②所示． ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E′为AC 的中点，∴2≤DE＜22(点E 与点E′重合时取等号)． ∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8，∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4.。
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第四章 图形的初步认识与三角形、四边形
第一节 线段、角、相交线和平行线
,贵阳五年中考命题规律)
填空.
,贵阳五年中考真题及模拟)
相交线(2次)
1．(2015贵阳2题3分)如图，∠1的内错角是( D ) A ．∠2 B ．∠3 C ．∠4 D ．∠5
(第1题图)
(第2题图)
2．(2014贵阳2题3分)如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于( A )
A．50°B．40°C．140°D．130°
平行线的性质及判断(3次)
3．(2016贵阳3题3分)如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC.若∠1＝38°，则∠2的度数为( B ) A．38°B．52°C．76°D．142°
(第3题图)
(第4题图)
4．(2013贵阳3题3分)如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是( B )
A．40°B．50°C．90°D．130°
(第5题图)
(第6题图)
5．(2015贵阳适应性考试)如图，直线c与直线a，b交于点A，B，且a∥b，线段AC垂直于直线b，垂足为点C，若∠1＝55°，则∠2的度数是( B )
A．25°B．35°C．45°D．55°
6．(2016贵阳模拟)如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝100°，则∠ECD等于( B )
A．50°B．40°C．30°D．20°
7．(2012贵阳12题4分)如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是__AB∥CD__．
,(第7题图)) ,(第8题图)) 8．(2016贵阳适应性考试)如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数__50°__．
,中考考点清单)
线段与直线
1．线段
(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．
(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．
(3)线段的和与差：如图(1)，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．
如图(2)，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.
(4)线段的中点：如图(3)，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就
叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝21
AB ，AB ＝2AM ＝2MB.
2．直线
(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．
(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
角及角平分线
3．角的分类 (1)分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 度数 0°<α<90° α＝90° 90°<α＜180° α＝180° α＝360°
1周角＝2平角＝4直角＝360°，
1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，
1°＝60′，1′＝60″，1′＝(601)°，1″＝(601
)′. 4．角平分线的概念及性质
(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角
(1)余角：如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；同角(等角)的余角相等． (2)补角：如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；同角(等角)的补角相等．
(3)邻补角：两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；互为邻补角的两个角的和为180°.
相交线
三线八角(如图)
6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7. 7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5. 8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．
9．对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__∠4__为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__∠8__为对顶角．
垂线及其性质
10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．
14．线段的垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离__相等__． (2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
平行线的判定及性质(高频考点)
15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 16．两条平行线之间的距离处处相等．
17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__. (2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．
(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.
18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． (2)同位角相等，两直线平行． (3)内错角相等，两直线平行． (4)同旁内角互补，两直线平行．
(5)平行于同一条直线的两条直线平行．
,中考重难点突破)
补角、余角的计算
【例1】(2016原创)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( ) A ．130° B ．140° C ．50° D ．90°
【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．
【学生解答】A
1．(2016长沙中考)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )
,A ) ,B ) ,C ) ,D )
2．(2016贵阳模拟)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这把直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
(第2题图)
(第3题图)
平行线的性质
【例2】(2016陕西中考)如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E.若∠C ＝50°，则∠AED ＝( ) A ．65° B ．115° C ．125° D ．130°
【解析】∵AB ∥CD ，∠C ＝50°，∴∠BAC ＋∠C ＝180°，∴∠BAC ＝130°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝21
∠BAC ＝65°，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠AED ＝180°，∴∠AED ＝115°.
【学生解答】B
3．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( A )
A．115°B．125°
C．155°D．165°
4．(2016贺州中考)如图，已知∠1＝60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( D )
A．70°B．100°
C．110°D．120°
,(第4题图)) ,(第5题图)) 5．(2016苏州中考)如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C.若∠1＝58°，则∠2的度数为( C )
A．58°B．42°C．32°D．28°
6．(2016连云港中考)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2＝__72°__．
,(第6题图)) ,(第7题图)) 7．(2016扬州中考)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝__80°__．
8．(2016西宁中考)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝__2__．9．(2016原创)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31°__．
,(第9题图)) ,(第10题图)) 10．(2016菏泽中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．。