勾股定理专题---勾股定理与全等
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理(原卷版)
专题02勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 (2)【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 (5)【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 (7)【课后练习】 (10)【方法归纳】模型1.倍长中线模型模型2.手拉手模型，如下图：模型3.三垂直全等模型，如图：【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】例．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若12AB =，8AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，依据是___________．A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS（2）由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】（3）如图2，AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =．若3EF =，2EC AE =，求线段BF 的长．【灵活运用】（4）如图3，在ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，试猜想线段BE ，CF ，EF 三者之间的等量关系，并证明你的结论．变式1．【证明体验】(1)如图1，在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．求证：ACD EBD △≌△．【迁移应用】(2)如图2，在ABC 中，5AC =，13BC =，D 为AB 的中点，DC AC ⊥．求ABC 面积．【拓展延伸】(3)如图3，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是BC 延长线上一点，BC CD =，F 是AB 上一点，连接FD 交AC 于点E ，若2AF EF ==，6BD =，求ED 的长．变式2．[方法储备]如图1，在ABC 中，CM 为ABC 的中线，若2AC =，4BC =，求CM 的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM 至点D ，使得MD CM =，连结BD ，可证明，由全等得到2BD AC ==，从而在BCD △中，根据三角形三边关系可以确定CD 的范围，进一步即可求得CM 的范围．在上述过程中，证明ACM BDM △≌△的依据是______，CM 的范围为______；[思考探究]如图3，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M 为AB 中点，D 、E 分别为AC 、BC 上的点，连结MD 、ME 、DE ，90DME ∠=︒，若1BE =，2AD =，求DE 的长；[拓展延伸]如图4，C 为线段AB 上一点，AC BC >，分别以AC 、BC 为斜边向上作等腰Rt ACD △和等腰Rt CBE △，M 为AB 中点，连结DM ，EM ，DE ．①求证：DME 为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰Rt CBE △绕点C 转至图5的位置（A ，B ，C 不在同一条直线上），连结AB ，M 为AB 中点，且D ，E 在AB 同侧，连结DM ，EM ．若5AD =，3EB =，求DAM △和EBM △的面积之差．变式3．【问题背景】（1）如图1，点P 是线段AB ，CD 的中点，求证：AC BD ∥；【变式迁移】（2）如图2，在等腰ABC 中，,AB BC BD =是底边AC 上的高线，点E 为ABD △内一点，连接ED ，延长ED 到点F ，使ED FD =，连接AF ，若BE AF ⊥，请判断AF 、BE 、BC 三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点D 为AB 中点，点E 在线段BD 上（点E 不与点B ，点D 重合），连接CE ，过点A 作AF CE ⊥，连接FD ，若10,4AF CF ==，求FD 的长．【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】例．如图，在ABC 中，以AC 为边向外作等边ACD ，以AB 为边向外作等边ABE ，连接CE 、BD ．求证：BAD EAC ≌．【知识应用】如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ACB △是等腰直角三角形，=45°ADC ∠，2AD =，4CD =，求BD 的长．【拓展提升】如图，四边形ABCD 中，AB AC =，90ABC ADC ∠+∠=︒，BD =，则BAC BDC ∠-∠=________．变式1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是直线AC 上的一点，连接BP ，过点C 作CD BP ⊥，交直线BP 于点D ．(1)当点P 在线段AC 上时，如图①，求证：BD CD -=；(2)当点P 在直线AC 上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD ，BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式2．如图1，在Rt ABC 中，90AC BC ACB =∠=︒，，E 为AC 上一点，D 为BC 延长线上一点，且CE CD =，连接AD BE ，，并延长BE 交AD 于F ．(1)求证：BF AD ⊥．(2)若点N 与C 关于直线AD 对称，连接CN ，连接AN ．①如图2，作ACB ∠的角平分线CM 交BE 于点M ，连接AM ．判断DAN ∠与DAM ∠的数量关系，并证明你的结论．②如图3，若14AF CN ==，，求AB 的长．变式3．如图所示，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒．(1)如图1，若D 是ABC 内一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，连,AD BE ，求证：AD BE =；(2)若D 是ABC 外一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，且AE AB =，连结BD ，猜想：线段CD 和BD 满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明；(3)如图，若O 是斜边AB 的中点，M 为BC 下方一点，且2OM =，7CM =，45BMC ∠=︒，则BM =___________．变式4．【探索研究】已知：ABC 和CDE 都是等边三角形．(1)如图1，若点A 、C 、E 在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD 与BE 的数量关系为：，线段AD 与BE 所成的锐角度数为︒；(2)如图2，当点A 、C 、E 不在一条直线上时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；【灵活运用】(3)如图3，某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：45m AB =，60m BC =，且30ABC ∠=︒，60DAC DCA ∠=∠=︒，试求圆形水池两旁B 、D 两点之间的距离．【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】例．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】(3)如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）(4)如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG D 的面积是__________．变式1．（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，请直接写出AD 、DE 、BE 之间的数量关系：______．（2）在（1）的条件下，当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．（3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为1，2l ，3l 之间的距离为3，求AC 的长．变式2．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB CB =；DEF中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒．(1)如图1，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，请在图1中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图2，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想线段AE 、PE 、CP 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则AEC △的面积为．【课后练习】1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，ABC 和ADE V 都是等边三角形，点D 在BC 上．求证：以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】小明通过探究发现：连接CE ，根据已知条件，可以证明BD CE =，120DCE ︒∠=，从而得出DCE △为钝角三角形，故以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】如图②，四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形，点E 在BD 上．①猜想：以DE 、EF 、BE 为边的三角形的形状是________；②当2223BE ED +=时，直接写出正方形AEGF 的面积．2．如图，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 中点，MDN ∠的两边DM ，DN 分别与直线AB ，AC 交于点E ，F ，且DE DF =，连接EF(1)如图1，当点E ，F 分别在AB ，AC 上时，猜想DEF 形状是______三角形；线段AE 、AF 、AB 的数量关系是______(2)如图2，当点E ，F 分别在AB ，CA 延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)的条件下，6AB =①连接AD ，直接写出AED AFD S S -=△△______②当EB BD =时，求AF 的长3．已知：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC AC =．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =．①线段BE 和线段AD 存在何种数量关系？请说明理由．②请直接写出线段AD 、BD 、DE 之间满足的数量关系_________．(2)如图2，若点D 在线段AB 延长线上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =，则线段AD 、BD 、CD 之间满足的数量关系是_________．(3)如图3，若点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的左侧作CE CD ⊥，当3AD =，9AB =时，CDE 的面积为_________．4．在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠︒，点E 是直线AB 上一点，作BF CE ⊥于点F ，AH BF ⊥于点H ．(1)如图1，点E 在线段AB 上，BH 交AC 于点M ，若F 为MB 的中点，1BE =，则AB =______；(2)如图2，取AC 中点D ，连接DH ．①若点E 在线段AB 上，求证：HF =②若点E 在直线AB 上，60CEB ∠=︒，2DH =，求AB 的长．5．【证明体验】如图1，向ABC 外作等边三角形ABD △和等边三角形ACE △，连接BE DC ，，求证：BE DC =；【思考探究】如图2，已知ABC ，以BC 为边作等边BCD △，连接AD .若60CAD ∠=︒，4=AD ，3AC =，求AB 的长；【拓展延伸】如图3，在ABC 中，8BC =，以AB 为边作等腰ABD △，AB AD =，连接CD .若10CD =，2DAB ACB ∠=∠，直接写出ABC 的面积.6．如图1，在四边形ABCD 中，,120,90AB AD BAD B ADC =∠=︒∠=∠=︒，E F 、分别是,BC CD 上的点，且60EAF ∠=︒，探究图中线段,,BE EF FD 之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒，E ，F 分别是,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰直角三角形ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M ，N 在边BC 上，45MAN ∠=︒，若10,26BM MN ==，则CN 的长为．6【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．（1）如图1，ABC 和ADE V 均为等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，4BC =，点O 为AC 边中点，连接CE ，写出图中全等的三角形______．线段OE 的最小值______．【问题探索】（2）ACB △是等腰直角三角形，90ACB CA CB ∠=︒=，，点E 是AB 上一点，45CED ∠=︒，交BC 于D ．①如图①试探究AE BE EC 、、的数量关系，并给予证明；②如图②，若26AE BE ==，，点F 是BE 的中点，求CF 的长．【灵活运用】（3）如图3，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点E ，AB AD =，150308BAD ACD ACB AC ∠+∠=︒∠=︒=，，，求四边形ABCD 的面积．7．问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在ABC 中，8,6,AB AC AD ==是中线，求AD 的取值范围．他的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BDE CDA △≌△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明BDE CDA △≌△的判定理由是______；（填写“ASA ”或“SAS ”）（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图2，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点E ，连接BE ，使得BE AC =，延长BE 交AC 于点F ．求证：AF EF =；（4）如图3，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒为BC 的中点，90EDF ∠=︒．求证：222BE CF EF +=．8.（1）问题发现：如图1，ABC 和DCE 均为等边三角形，当DCA 应转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证BCE ACD ≌，则①BEC ∠=；②线段AD ，BE 之间的数量关系；（2）拓展研究：如图2，ACB 和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==︒，点A ，D ，E 在同一直线上，若12AE =，7DE =，求AB 的长度；（3）如图3，P 为等边三角形ABC 内一点，且150APC ∠=︒，30APD ∠=︒，4AP =，3CP =，7DP =，求BD 的长．。
勾股定理与全等三角形
第二章勾股定理与全等三角形
探索直角三角形三边的关系：
观察图中用阴影画出的3个正方形，我们可以知道两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积。
那AC+BC=AB说明，任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，只要是直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？
概括：
数学上可以证明，对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c则有：a+b=c
例：已知一个直角三角形的一个边长为3c m，斜边长为5c m,求另一直角边的长。
、
解：在RtABC中如图所示B C=3cm AB=5cm
根据勾股定理的：AC+BC=AB
AC=√AC-BC=√25-9=4cm
答：另一直角边的长为4cm.
习题：
1.在RtABC中AB=c BC=b AC=b∠B=90
⑴已知a=6 b=10 求c.⑵已知a=5 c=12,求b.
2直角三角形的斜边比一直角边长2c m，另一直角边长为6cm求它的斜边长？
3如图所示，为了求出湖两岸的两点A B之间的距离。
一个观测者在点C设桩，是三角形AB C恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
习题：。
等腰三角形勾股定理及全等的综合应用
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD-DF=12-5=7；
(2)证明：如图2，在BF上取一点H使BH=EF，
连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
=
∵ ∠ = ∠ = ° ，
=
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x,则
EB=ED=x,CE=4-x,
∵∠C=∠PDE=90°，
2
2
2
2
2
∴PC +CE =PE =PD +DE
，
2
2
2
2
∴2 +(4-x) =1 +x ，
解得：x=
．
则DE=
，
证：CD⊥BF；
2
2
2
(2)连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC =BE +CD ，试判断
CD与BE的位置关系，并证明．
解:(1)证明：在△ACD和△AFE中
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ACD≌△AFE(SAS)，
∴∠DCA=∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
(2)解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF=AC，连接EF，
∵BA⊥CF，AC=AF，
∴BC=BF，
由(1)可知CD∥EF，CD=EF，
2
2
2
∵BC =BE +CD ，
2
2
2
∴BF =BE +EF ，
勾股定理与全等三角形
1、已知:如图,△ABC中,△C=90°,D为ＡB得中点,E、Ｆ分别在AC、BC上,且ＤＥ△DF.求证:AE2+BF2=EF２。
２、如图,△ACＢ与△ECＤ都就是等腰直角三角形,∠AＣB=∠ECＤ=90°,Ｄ为AB边上一点,求证:(1)△ＡＣE≌△BＣD;(2)AD２+DB2=DＥ２.3、如图,△ABC中,AB=BC,BＥ⊥ＡC于点E,AＤ⊥BＣ于点Ｄ,∠BAD=４5°,AD与ＢE交于点Ｆ,连接ＣＦ.(１)求证:BF=2AE;ﻫ(２)若CD＝2,求AD得长、4、如图①,已知点Ｄ在ＡＢ上,△ABC与△AＤE都就是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=９0°,且M为ＥC得中点。
ﻫ)1)求证:△BMD为等腰直角三角形、(思路点拨:考虑M为EＣ得中点得作用,可以延长DM交BC于N,构造△ＣMＮ≌△EMD,于就是EＤ=ＣN=DA,即可以证明△BND也就是等腰直角三角形,且BM就是等腰三角形底边得中线就可以了。
)请您完成证明过程:(2)将△AＤE绕点Ａ再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△ＢＭD为等腰直角三角形得结论就是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由。
1、证明:延长EＤ到G,使DG=DE,连接ＥF、FG、CG,如图所示:△△DＦ=ＤF,△EDF=△FDG＝90°,DG=ＤＥ△△△EDＦ△△GDＦ(SAS),△△EF=FG△又△Ｄ为斜边BC中点△BD=ＤC又△△BDE=△CＤG,ＤＥ=ＤＧ△△BDE△△CDG(SＡS)△BE=ＣG,△B=△BCG △△AB△CG△△△GCA＝１80°－△A=１80°－9０°=90°在Rt△FCG中,由勾股定理得:FＧ2=ＣF2+CG2=CF2+BE2ﻫ△EF2＝ＦG２=BE2+CF２.证明:过点Ａ作AM△BC,交ＦD延长线于点M,连接ＥＭ、△AM△ＢC,△△MAE=△ACB=90°,△MAD=△B.△△AD=BD,△ADM=△BDF,△△ＡＤM△△BDF.△AM=ＢF,MD＝ＤF、又DE△DF,△EF=EM、△AE2+BＦ2=AＥ2+AM2＝EＭ2=ＥF２、２、证明:(1)∵∠ACB＝∠ECD,ﻫ∴∠ACＤ+∠ＢＣＤ=∠AＣD+∠ＡCE,ﻫ即∠BCD=∠AＣE.ﻫ∵BC=AC,DC=EＣ,∴△ACE≌△ＢCD。
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理与全等三角形
1、已知：如图，△ ABC中，/ C=90° D为AB的中点，E、F分别在AC BC上，且DE丄DF.求ffi： AE2+BF2=EF2.32、如图，△ ACB和^ ECD都是等腰直角三角形，/证：(1 )△ ACE^A BCD; (2) AD2+DB2=D呂.3、如图，△ ABC 中，AB=BC BE丄AC于点E, AD丄BC 于点D,Z BAD=45°, AD 与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE(2)若CD= 2,求AD 的长.4、如图①，已知点D在AB上, △ ABC和^ ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ ADE=90°,c1、证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:•/ DF=DE / EDF=Z FDG=90 ,° DG=DE:.△ EDF^A GDF ( SAS ,•••EF=FG又••• D为斜边BC中点•••BD=DC又•/ / BDE=/ CDG, DE=DG•••△ BDE^A CDG (SAS••• BE=CG / B=/ BCG ••• AB// CG ••• / GCA=180-° A=180 -90 =90 在RtA FCG中，由勾股定理得:FG2=CF+CG=CF+BE ••• EF2=FG=Be+CF.3证明：过点A作AM // BC,交FD延长线于点M，连接EM.•/ AM // BC,••• / MAE=/ ACB=90 ,° / MAD= / B.•/ AD=BD, / ADM= / BDF, •••△ ADM^A BDF.••• AM=BF, MD=DF.又DE丄DF, ••• EF=EM.••• AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=E^.2、证明：（1）v/ ACB=^ ECD •••/ ACD+Z BCDK ACD+Z ACE 即/ BCD=^ ACE ••• BC=AC DC=EC(2)v^ ACB是等腰直角三角形,• / B=/ BAC=45度.•••/ B=/ CAE=45 •••/ DAE=^ CAE+Z BAC=45+45°90°, • AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB• AD2+DB2=DE23、解答：(1)证明：T AD丄BC,Z BAD=45,:.△ ABD是等腰直角三角形, /. AD=BD, •/ BE丄AC, AD 丄BC, ：•/ CAD+Z ACD=90 ,/ CBE+/ ACD=90 , ：•/ CAD=/ CBE在^ ADC和^ BDF中,/ CAD=Z CBEAD= BD/ ADC=Z BDF= 90°•: △ ADC^^ BDF (ASA),•: BF=AC •/ AB=BC BE丄AC, •: AC=2AE •: BF=2AE(2)解：•••△ ADC^^ BDF, •: DF=CD=在RtA CDF中，CF=DF+CD22=2,•/ BE丄AC,AE=EC•••AF=CF=2/. AD=AF+DF=2+團①4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,:EDA=Z ABC=90 ,/. DE//BC,•••/ DEM=Z MCB,在^ EMD和^ CMN中/ DEM=Z NCMEM = CM/EMD=Z NMC,.•.△ EMD" CMN, •••CN=DE=DA MN=MD ,•/ BA=BC /. BD=BN, •: △ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM，/ DBM=/ DBN=45=/ BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.(2)解：△ BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明：作CN// DE交DM的延长线于N,连接BN, ：•/ E=Z MCN=4° , vZ DME=Z NMC, EM=CM,：.△ EMDW CMN (ASA),：.CN=DE=DA MN=MD , 在^ DBA和^ NBC中DA= CNZ DAB=Z BCN,BA= BC•••/ DBA=Z NBC, DB=BN, /•Z DBN=Z ABC=90 , •/△ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM , Z DBM=Z DBN=45=Z BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
期中难点特训(二)勾股定理与全等结合的压轴题(解析版)
期中难点特训（二）勾股定理与全等结合的压轴题1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C 重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．，根据正方形的性质利用边角边证明ABE ADE≌，得，再由两角互余的关系，以及邻补角和四边形的内角和证出⊥交；②过点E作EG EC利用角角边可证EBG EFC△≌△，，由此可以证明结论∴()ABE ADE SAS ≌DE BE ABE =∠=，ABE EBC ADE ∠+∠=∠EBC EDC ∠=∠．又∵DEF DCF ∠=∠=，即ECG是等腰直角三角形，EFB，在EBG和△G ECGEBGGE CE∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩EBG△≌△GB CF=，又∵等腰直角ECG中，CF+；CD CF-，理由如下：EC⊥交CB，即ECG 是等腰直角三角形．CEF ∠，在EFG 和△GEF CED CE =∠=EFG △≌△GF CD =，又∵等腰直角ECG中，CF -．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是要熟练地掌握相关性质和判定定理，并能够分析出几何图形中有关线段和角之间的关系，作出辅助线构造全等三角形．2．如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边AC 上，CD ⊥DE ，且CD ＝DE ，连接BE ，取BE 的中点F ，连接DF ．(1)请直接写出∠ADF 的度数及线段AD 与DF 的数量关系；(2)将图1中的△CDE 绕点C 按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF 的度数及线段AD 与DF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF ，若AC ＝3，CD ＝1，求S △ADF 的取值范围．（1）解：∠ADF=45°，AD=2DF，理由如下：延长DF交AB于H，连接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中点，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH为等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠F AD=∠ADF=45°，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=2DF;（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=2DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=2DF．②由①知，S△ADF=12DF2=14AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD 是△ABC的一条双腰分割线．(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．①求∠C的度数．②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧；点P；5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，连接CD ，若BD =13，CD =5，DE =12，求∠ADC 的度数．(3)如图3，取BD ，CE 的中点M ，N ，连接AM ，AN ，MN ，判断△AMN 的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)45°(3)等腰直角三角形【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ∆∆≌即可；（2）通过全等三角形的性质证得BD =CE ，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质可证得AM =AN ，MAD NAE ∠=∠，由此不难判断△AMN 的形状．（1）证明：90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，AB AC AD AE ==，，()ABD ACE SAS ∆∆∴≌（2）解：由（1）知ABD ACE ∆∆≌，BD CE ∴=，13BD =，13CE ∴=，512CD DE ==，，222CD DE CE ∴+=，90CDE ，在Rt ADE ∆中，AD AE =，45ADE AED ∴∠=∠=︒，’904545ADC CDE ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（3）解：△AMN 是等腰直角三角形，理由如下：由（1）知，ABD ACE ∆∆≌，BD CE ∴=，点M ，N 是BD ，CE 的中点，AM AN ∴=，MD NE = ()AMD ANE SSS ∴∆∆≌，MAD NAE ∴∠=∠，90DAE DAN NAE ∠=∠+∠=︒，90DAN MAD ∴∠+∠=︒ ，90MAN ∴∠=︒ ，MAN ∴∆是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用图形的性质是解题的关键．6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，过点A 作射线l ∥BC ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿射线l 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），作∠PCB 的平分线交射线l 于点D ，记点D 关于射线CP 的对称点是点E ，连接AE 、PE 、BP ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）当△PBC 是等腰三角形时，求t 的值；（3）是否存在点P ，使得△P AE 是直角三角形，如果存在，请直接写出t 的值，如果不存在，请说明理由．27．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．（1）OP＋OQ＝________cm；（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）8；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在，t＝4，PQ2的最小值为32【分析】（1）由题意得出OP ＝8－t ，OQ ＝t ，则可得出答案；（2）由等腰直角三角形PCQ 可得∠PCQ ＝90°，CP ＝CQ ，再结合∠MON ＝90°，可证得∠CP A ＝∠CQO ，由此可证得CQO ≌CP A （SAS ），再根据全等三角形的性质即可证得等腰直角三角形OAC ；（3）先根据等腰直角三角形的性质可将求线段PQ 的最小值转化为求线段CP 的最小值，再根据垂线段最短可得当CP ⊥OA 时，CP 取得最小值，由此即可求得答案．【详解】解：（1）由题意可得：OQ ＝AP ＝t ，∵OA ＝8cm ，∴OP ＝OA －AP ＝8－t ，∴OP ＋OQ ＝8－t ＋t ＝8（cm ），故答案为：8；（2）OAC 为等腰直角三角形，理由如下：∵PCQ 为等腰直角三角形，∴∠PCQ ＝90°，CP ＝CQ ，又∵∠MON ＝90°，∴∠CQO ＋∠CPO ＝360°－∠MON －∠PCQ ＝180°，又∵∠CP A ＋∠CPO ＝180°，∴∠CP A ＝∠CQO ，由题意可得：OQ ＝AP ＝t ，∴在CQO 与CP A 中，CQ CP CQO CPA OQ AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CQO ≌CP A （SAS ），∴OC ＝AC ，∠OCQ ＝∠ACP ，∴∠OCQ ＋∠OCP ＝∠ACP ＋∠OCP ，∴OAC）∵PCQ∵OAC8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，①求证：AF⊥BD；②AF的长度为直接写出答案）；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到P A，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝．10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD ＝A'D'．（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60或42【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△A'B'D'，Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，得到∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，利用“AAS”证明△ABC≌△A'B'C'即可；（2）根据题意画图即可；（3）分两种情况：①当BC边上的高AD在△ABC的内部时，根据勾股定理求出BD、DC的长，继而可得BC的长，然后计算△ABC的周长即可；②当BC边上的高AD在△ABC的外部时，根据勾股定理求出BD、DC的长，继而可得BC的长，然后计算△ABC的周长即可．【详解】（1）证明：∵AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°∵在Rt△ABD和△Rt A'B'D'中，∠ADB＝∠A'D'B'＝90°，AB＝A'B'，AD＝A'D'∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'（HL）∴∠B＝∠B'同理可得∠C＝∠C'∵在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，AC＝A'C'∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）（2）解：反例如图．如图，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD＝A'D'，但△ABC与△A'B'C'不全等．（3）解：①如图，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，11．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝12，CN ＝16，则MN 的长为______ ． 【答案】（1）EF =BE +FD ；（2）仍然成立，说明见详解；（3）20【分析】（1）延长DC 作辅助线DG =BE ，再证明△ADG ≌△ABE ，再由△ADG ≌△ABE 得到条件AG =AE ，∠GAF =∠EAF 证明△GAF ≌△EAF ，进而得出EF =GF =GD +DF =BE +DF ．（2）延长DC 作辅助线DH =BE ，再证明△ADH ≌△ABE ，再由△ADH ≌△ABE 得到条件AH =AE ，∠BAE =∠DAH 证明△HAF =△EAF ，进而得出EF =HF =HD +DF =BE +DF ．（3）过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE =BM ．连接AE 、EN ．先证明△ABM ≌△ACE ，再证明△AMN ≌△AEN ，再根据勾股定理求出NE ，再根据全等，MN =NE 求出MN ．【详解】解：（1）在△ADG 和△ABE 中AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ABE （SAS ）∴BE =DG∵∠BAD ＝120°，∠EAF ＝60°60BAE FAD ∠+∠=︒BAE DAG ∠=∠60=GAD FAD FAE∠+∠=︒∠∴12．【情景呈现】画90AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ．（1）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与AOB ∠的两边,OA OB 垂直，垂足为,E F （如图1）．则________PE PF ．（选填：“<”、“>”或“=”）（2）把三角尺绕点P 旋转（如图2），PE 与PF 相等吗？猜想,PE PF 的大小关系，并说明理由．【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点P 作直线GH OC ⊥，分别交,OA OB 于点,G H ，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）②猜想,,GE FH EF 之间的关系为___________．【拓展延伸】（4）如图4，画60AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，作120EPF ∠=︒，EPF ∠的两边分别与,OA OB 相交于,E F 两点，PE 与PF 相等吗？请说明理由．【答案】（1）=；（2））PE =PF ，理由见解析；（3）①3对；②GE 2+FH 2=EF 2；（4）PE =PF ，理由见解析．【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE =PF ；（2）PE =PF ，利用条件证明△PEM ≌△PFN 即可得出结论；（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP =PG =PH ，证明△GPE ≌△OPF （ASA ），△EPO ≌△FPH ，△GPO ≌△OPH ，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；（4）作PG ⊥OA 于G ，PH ⊥OB 于H ，证明△PGE ≌△PHF ，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】解：（1）∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC =∠BOC ，∵PE ⊥OA ，∴∠OEP =90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90°∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=；（2）PE=PF，理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，与（1）同理可证PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，PME PNFPM PNMPE NPF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF；（3）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH =∠OHG =45°，∴OP =PG =PH ，∵∠GPO =90°，∠EPF =90°，∴∠GPE =∠OPF ，在△GPE 和△OPF 中，PGE POF PG POGPE OPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△GPE ≌△OPF （ASA ），同理可证明△EPO ≌△FPH ，∵GP PH GPO OPH OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GPO ≌△OPH （SAS ），∴全等三角形有3对，故答案为：3；②GE 2+FH 2=EF 2，理由如下：∵△GPE ≌△OPF ，∴GE =OF ，∵△EPO ≌△FPH ，∴FH =OE ，在Rt △EOF 中，OF 2+OE 2=EF 2，∴GE 2+FH 2=EF 2，故答案为：GE 2+FH 2=EF 2；（4）PE =PF ；理由：作PG ⊥OA 于G ，PH ⊥OB 于H ．在△OPG 和△OPH 中，PGO PHO POG POH OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OPG ≌△OPH ，∴PG =PH ，∵∠AOB =60°，∠PGO =∠PHO =90°，∴∠GPH =120°，∵∠EPF =120°，∴∠GPH =∠EPF ，∴∠GPE =∠FPH ，在△PGE 和△PHF 中，PGE PHF PG PHGPE FPH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGE ≌△PHF ，∴PE =PF ．【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题．13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ ．求证：PQ 是APD ∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP ，DP 的中点M ，N ，如图2．请在BC 上找点E ，F ，使EM 为APE ∆的“周长平分线”，FN 为DPF ∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E ，F 的位置（保留画图痕迹）；②若AB =CD =EF 的长．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，作等腰Rt DCE ，且90DCE ∠=︒，连接AE ．(1)求证：CEA CDB ≌△△；(2)求证：222BD AD DE +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC BC =，CD EC =，90ACB DCE ∠=∠=︒，根据角的和差关系可得ACE BCD ∠=∠，利用SAS 即可证明△CEA ≌△CDB ；（2）根据△CEA ≌△CDB 可得∠CAE =∠B =45°，BD =AE ，即可得出∠EAD =90°，根据勾股定理即可得结论．(1)∵ABC 和DCE 都是等腰直角三角形，∴AC BC =，CD EC =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠，∴ACE BCD ∠=∠，在CDB △与CEA 中，AC BC ACE BCD EC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDB CEA ≌△△．(2)∵ABC 是等腰直角三角形，∴45B BAC ∠=∠=︒，由（1）得CDB CEA ≌△△，∴45EAC B ∠=∠=︒，BD AE =，∴454590EAD EAC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴222AE AD DE +=，∴222BD AD DE +=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．15．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE ＝FE．(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；[初步运用]延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；[灵活运用]延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．(1)解：在△ADC和△EDB中，CD BD CDA BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB (SAS)，故选：A ；(2)解：由(1)得：△ADC ≌△EDB ，∴AC =BE =6，在△ABE 中，AB −BE <AE <AB +BE ，即8−6<2AD <8+6，∴1<AD <7，故答案为：1<AD <7；(3)解：延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，如图②所示：∵AD 是△ABC 中线，∴CD =BD ，在△ADC 和△MDB 中，DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△MDB (SAS)，∴BM =AC ，∠CAD =∠M ，∵AC =BF ，∴BM =BF ，∴∠M =∠BFM ，∵∠AFE =∠BFM，∴∠BFM =∠CAD =∠M ，∴AE =FE ；(4)解：线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系为：BE 2+CF 2=EF 2；理由如下：延长ED 到点G ，使DG =ED ，连接GF ，GC ，如图③所示：∵ED ⊥DF ，DG =ED ，∴EF =GF ，∵D 是BC 的中点，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDG 中，ED GD BDE CDG BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△DCG (SAS)，∴BE =CG ，∠B =∠GCD ，∵∠A =90°，∴∠B +∠ACB =90°，∴∠GCD +∠ACB =90°，即∠GCF =90°，∴Rt △CFG 中，由勾股定理得：CF 2+GC 2=GF 2，∴BE 2+CF 2=EF 2．【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．。
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。
证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。
拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。
勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。
此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。
记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。
专题03 勾股定理与全等三角形
勾股定理与全等三角形1．如图．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上．求证：AE2+AD2＝AB2．2．已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．3．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结P A，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC ＝∠P AB，AD＝AP，连结DP，DC．（1）求证：△ADC≌△APB．（2）若P A＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．4．如图，已知P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP 按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．（1）连接PG，求出PG的长度；（2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．5．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．（1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．（2）求∠APB的度数．6．如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2＝BE2+CF2．7．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接DE．（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．i）求证：CE＝AF；ii）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝3，∠AED＝45°，求线段CE的长．8．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：△BCO≌△ACD．（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．9．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN．（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE ＝90°，DB＝DE（DE在BD的左侧）．（1）直接写出AB长为；（2）若点D在线段AC上，AD＝，求EC长；（3）当BE＝2时，直接写出CD长为．11．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点A，D重合），连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交GD延长线于点H．（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE12．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．（1）求证：BD＝AE；（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，BC＝2时，求线段AM的长．（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：EF2＝BE2+CF2．14．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，点E、点F是BC上的点，且∠CDF＝∠CEA，CF＝CA．（1）如图1，若AE平分∠BAC，∠DFC＝25°，求∠B的度数；（2）如图2，若过点F作FG⊥AB于点G，连接GC，求证：AG+GF＝．15．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．。
05-专题五：勾股定理与全等构造
专题：勾股定理与全等构造【引例1】如图，等边AACB'等边ACDE,连接BD、AE.求证：AE=BD：【引例2】如图，AD=AE, AB=AG ZDAE=ZBAC=90o .求证:CE=BD目t⅛tlg通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形，再运用勾股定理进行证明与计算。
图形特点：共顶点，等线段1、遇45°、135°构造方法：作共顶点的等腰三角形（或将三角形绕共顶点旋转90°）2、遇60°、120°作等边三角形构造方法：作共顶点的等边三角形（或将三角形绕共顶点旋转60°）例L如图1,点P是等边△48C内一点，已知PZ=3, PB=* PC=S,求N4P4的度数.分析：要直接求N4的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，解:如图2,作NR4O=60°AD=AP.连接PO, CD,则AP∕1O是等边三角形.Λ=AD=AP=Z, ZADP= ZPAD=GQ oV ∆ABC是等边三角形：.AC=AB. ZBAC=60o：・NBAP=:AABP 父AACD：・BP=CD=4, =ZADC•••在APCO 中，尸0=3, PC=5, CD=A9 PACDi l=PC I ：.NPDC=°工NAPB=NADC=N4DP+NPDC=60° ÷90β =150°【答案】Λ PD =AD =AP=39 ZADP= ZPAD=60O•••△/8C是等边三角形：.AC=AB, NA4C=60°：・NBAP= NCAD:AABP 迫AACDIBP=CD=4∙ ZAPB =ZADC•••在APCQ 中，PD=3, PC=5, C0=4, PD1+CD1=PC2Λ ZPDC= 90 °；• NAPB=NADC=NADP+/PDC=W ÷90o =150°变式：如图，∆J3C是等边三角形，ZJDC= 30o , Xo=3,80=5,求CO的长.【答案】解：以DC为边作等边三角形DCE,（或将△阳绕点。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
专题三：勾股定理与全等构造
勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB的长。
.勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45 ，135 作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP 的长。
解：将△CPB 绕点C 旋转，使得BC 与AC 重合，点P 与点D 是对应点，∴PC=DC ，∠DCA=∠CBP ，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP 是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22， ∵PB=AD=1， ∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在△ABD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P 在△ABD 外，且∠APB=45°，求PD 的长；（2）若点P 在△ABD 内，且∠APB=135°，求PD 的长.解：（1）如图所示，过点A 作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∵∠HAP=∠BAD=90°，∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB ，即∠HAB=∠PAD ，在△AHB 与△APD 中，AH=AP ，∠HAB=∠PAD ，AB=AD ，∴△AHB ≌△APD ，∴HB=PD.∵∠APB=45°，∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，在Rt △HPB 中，HB=22PB PH + =224)23(+=34∴PD=HB=34.（2）如图所示，作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∴HB=PD.∵∠APB=135°，∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，∴在Rt △HPB 中， HB=22PB PH +=224)23(+=34∴PD=HB=34.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC 为边在△ABC 外作正△ACD ，则BD 的长为.解：以AB 为边作等边三角形AEB ，连接CE ，如图所示，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB ，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE=AB ，∠EAC=∠BAD ，AD=AC ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD=EC ，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC 中，BC=5，EB=3，过点E 做BC 的垂线交BC 于点F ，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=233，FB=23，FC=5+23=213， ∴EC 2=FC 2+EF 2=49∴BD=EC=7.4、如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.解：如图，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得CE ，连接DE 、AE ，则△CDE 是等边三角形.∵△ABC 为等边三角形，△CDE 是等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠ACB=60°，CD=EC=DE ，∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=BC ，∠ACE=∠BCD ，CD=EC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE=BD=5，∵∠CDE=60°，∠ADC=30°，∴∠ADE=90°.∵∠ADE=90°，AD=3，AE=5，∴DE=22AD AE =4.∵DE=CD ，DE=4，∴CD=4.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB 的长。