1.1.1正弦定理
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
课件6：1.1.1 正弦定理
解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°， ∴asinB＝5sin120°＝5 2 3， 又∵b＜asinB，∴此题无解． [点评] 已知三角形两边及一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解，但 要注意判定解的情况，要注意讨论．
〔跟踪练习 2〕
已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( D )
预习自测
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；
④在△ABC 中，∠A︰∠B︰∠C＝a︰b︰c.
其中正确的个数是 A．1
(A) B．2
C．3
D．4
【解析】因为正弦定理适用于任意三角形，故①、②不正确；由正弦定理知sianA＝ sibnB＝sincC＝2R，三角形确定，则其外接圆半径 R 为定值，故③正确；④显然不正 确，故选 A．
[正解] ∵∠C＝30°，∴∠A＋∠B＝150°.
由正弦定理，得sina
A＝sin15b0°－A＝
6＋ 2 sin 30°.
因此，a＋b＝2( 6＋ 2)·[sinA＋sin(150°－A)]＝(8＋4 3)cos(A－75°)≤8＋4 3.
故 a＋b 的最大值为 8＋4 3.
本课结束 更多精彩内容请登录：
5．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 cosA＝45，cosC＝153，
21
a＝1，则 b＝____1_3___.
【解析】由条件可得 sinA＝35，sinC＝1123，
从而有 sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6635.由正弦定
1.1.1正弦定理
B
CBD 90, C C c sin C sin C 2R
c O
a
C
c A b 2R sin C a b 同理， 2 R, 2R sin A sin B C/ a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它 所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
2R
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;
b sin A 3 sin 45 = = 2 ∴ a sin B sin 60
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
a b 解： ∵ sin A sin B
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
a
B
c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin C
b c 由正弦定理 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
1.1.1正弦定理
[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形 评析] 已知三角形的任意两个角和一边 评析 已知三角形的任意两个角和一边， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计 算出三角形的另两边． 算出三角形的另两边． (2)运算过程中， 运算过程中， 要注意三角函数公式的应用， 运算过程中 要注意三角函数公式的应用， 此题中对 105°作了“拆角”处理． 作了“ 作了 拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦 评析] 已知两边及一边对角时， 评析 已知两边及一边对角时 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无 解的情况． 解的情况． (2)在三角形中， 在三角形中， 在三角形中 注意运用大边对大角或大角对大边的性 局限于一个三角形中)． 质(局限于一个三角形中 ． 局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况 ． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一边 用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角， 已知两边及其中一边的对角， 用正弦定理， 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理， 可能有两 一解或无解． 解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 ， 况如下： 况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图 形
①a＝ ＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解 解的个数 一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
课件8：1.1.1 正弦定理
小结
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对 的边就越长． 2．应用正弦定理得出角的大小时特别要注意是一 个解还是两个解．
【答案】都适用.
2．由方程的思想，用正弦定理解三角形需要多少个 已知条件？哪几个？
【答案】三个，任意两角及其一边或任意两边与其中 一边的对角．
3．在△ABC 中，为什么说 A>B 等价于 sinA>sinB? 解：
典例精析 题型 1 已知两角及一边解三角形
例 1：在△ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°， 求 A，b，c.
bsinA＜a＜b a＜bsinA
a＞b
解的个数 一解 两解 无解 一解
a≤b 无解
题型 3 正弦定理的简单应用
例3：在△ABC，若a：b：c =2:3:4，求
2sin A sin B sin C
解：∵sianA＝sibnB＝sincC ， ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶3∶4. 不妨设 sinA＝2x，sinB＝3x，sinC＝4x(x≠0)， ∴2sinsAin－CsinB＝4x－ 4x3x＝14.
6＋ 2
2；
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
综上可知：当 A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
1.1.1正弦定理2012.4.26
(正确解法 正确解法)解：根据正弦定理， 正确解法
b ⋅ sin A 25 ⋅ sin 133 sin B = = ≈ 0.8311 a 22
0
∵00<B<1800且a<b 而A=1330 ∴这样的三角形不存在！ 这样的三角形不存在！
练习:P4 2
正弦定理的另一种证法
证二:如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
0
∴B≈640
错！
∵00<B<1800且a<b ∴B≈640或B≈1160 (1)当B≈640时，… (2)当B≈1160时，… 特别注意！
20 3 变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= 3
cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精 确到1cm）. 解：根据正弦定理，
3 20 ⋅ sin 60 0 b ⋅ sin A 1 3 sin B = = = 20 2 a
例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm， ABC中 已知a=20cm，b=28cm， a=20cm 解三角形（角度精确到1 A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到 1cm） 1cm）.
C b A a c B
解：根据正弦定理，
b ⋅ sin A 28 ⋅ sin 40 sin B = = ≈ 0.8999 a 20
π
a C
a = sin A c
B
b = sin B c
c A
b
二、提出问题： 提出问题： 三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子准 确量化的表示？ 确量化的表示？ 探究一： 探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究 △ 中 结合三角函数， 边角关系？ 边角关系？
A
a b = sin A = sin B c c a b ⇒ = = c sinC=1 sin A sin B a b c ⇒ = = sin A sin B sin C
1.1.1正弦定理
C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形 且角 如图2, 若三角形是钝角三角形,且角 是钝角如图 钝角三角形 且角C是 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形 的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时
高中数学第1章1.1.1正弦定理课件新人教A必修5.ppt
思考感悟 正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示：正弦定理对任意的三角形都适用．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法 是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的 对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边．
方法感悟
1．在△ABC 中，a、b 分别为 A、B 的对边．由 正弦定理：sina A＝sinb B，再由大角对大边知 A＞ B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦 值大．
2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三 边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好 地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正 弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具 备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状， 常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时 结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公 式)，得出角的大小或等量关系．
3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求 解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合 恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两 角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另 3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些 抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进 行分析与证明．
由sina A＝sinc C，得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
【名师点评】 已知三角形的两个角求第三个角
时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正
弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来
教学设计7：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理知识梳理1．正弦定理在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 2．扩充的正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . 3．正弦定理的变形a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .a ＝2R sin A .b ＝2R sin B .c ＝2R sin C .4．正弦定理解决的两个问题(1)已知两角和一边，求另两边和一角；(2)已知两边和一边的对角，求另两角和一边．5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 小问题·大思维1．课本是以锐角三角形为例给出的正弦定理，直角三角形和钝角三角形适合吗？[提示] a sin A ＝b sin B ＝c sin C 适用于任意三角形． 2．在△ABC 中，根据正弦定理，你认为，a >b ，A >B ，sin A >sin B 之间有什么关系？[提示] 在△ABC 中，由“大边对大角”可知，若a >b ，则A >B ，反之亦成立．由a sin A ＝b sin B，A ，B ∈(0，π)可知a >b ⇔sin A >sin B ．因此，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B . 考察点一 已知两角及一边解三角形例1.在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由a sin A ＝c sin C，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． 规律小结 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．变式训练1．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，求b ，c .解：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 即b ＝4，c ＝2＋2 3. 考察点二 已知两边及其中一边的对角解三角形例2.在△ABC 中，已知下列条件解三角形．(1)a ＝2，b ＝2，A ＝30°；(2)a ＝2，b ＝2，A ＝45°；(3)a ＝5，b ＝2，B ＝120°.[解] (1)由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a， ∴sin B ＝2sin 30°2＝22， ∵a <b ，∴B >A ＝30°，∴B 为锐角或钝角，∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，C ＝180°－(A ＋B )＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 30°＝3＋1； 当B ＝135°时，C ＝180°－(A ＋B )＝15°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 15°sin 30°＝3－1. ∴B ＝45°，C ＝105°，c ＝3＋1，或B ＝135°，C ＝15°，c ＝3－1.(2)由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝2×222＝12， ∵a ＞b ，∴A ＞B ，∴B 必为锐角．∴B ＝30°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1， ∴B ＝30°，C ＝105°，c ＝3＋1.(3)由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5sin 120°2 ＝534>1， ∴A 不存在．故此题无解．规律小结已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．已知a ，b ，A 解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：(1)当A 为锐角时，(2)当A 为直角或钝角时，变式训练2．已知在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解：由正弦定理得a sin A ＝c sin C， 即sin C ＝62sin 45°＝62×22＝32， 因为A ＝45°，c >a ，所以C ＝60°或120°，所以B ＝180°－60°－45°＝75°或B ＝180°－120°－45°＝15°.又因为b ＝a sin B sin A，所以b ＝3＋1或3－1. 所以C ＝60°，B ＝75°，b ＝3＋1或C ＝120°，B ＝15°，b ＝3－1.例3.在△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．[解] 由S ＝12ab sin C 得153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故B ＝C ＝30°.∴A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B， ∴b ＝215.故边b 的长为215.规律小结对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形的考察点三 三角形的面积公式与正弦定理的应用面积公式进行求解．变式训练3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解：cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. [随堂体验落实]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1B ．23＋1C ．26D ．2＋23【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60°， ∴b ＝2 6.【答案】C2．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．183【解析】∵C ＝180°－30°－120°＝30°，∴AB ＝BC ＝6，∴S ＝12×6×6×sin 120°＝9 3. 【答案】C3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定 【解析】∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．【答案】A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝________.【解析】由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33. 【答案】33 5．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解：a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.。
第一章1.1 1.1.1正弦定理
1．1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．()(3)在△ABC中，若A>B，则必有sin A>sin B．()答案：(1)×(2)×(3)√2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC的长为()A．43B．2 3C. 3D.3 2解析：选B.由正弦定理得：32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.3．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：A4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________．答案：595．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________． 答案：2 5探究点一 已知两角及一边解三角形在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，c ＝32，求a ，b .[解] 由三角形内角和定理，得C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理可知b ＝c sin B sin C ＝32sin 45°sin 60°＝23，a ＝c sin A sin C ＝32sin 75°sin 60°＝26sin 75°，其中sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以a ＝26sin 75°＝3＋3.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1.在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，a ＝2，求b ，c .解：因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝45°. 因为a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以b ＝a sin B sin A ＝2sin 45°sin 30°＝22，c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 30° ＝2＋ 6.所以b ，c 的长分别为22和2＋ 6.探究点二 已知两边及一边的对角解三角形在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝30°，解这个三角形. [解] 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.因为a <b ，所以B >A ＝30°. 所以B 为锐角或钝角． 所以B ＝45°或B ＝135°.(1)当B ＝45°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°. 因为c sin C ＝asin A，所以c ＝a sin Csin A ＝2sin 105°sin 30°＝2×6＋2412＝3＋1.(2)当B ＝135°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋135°)＝15°. 所以c ＝a sin C sin A ＝2sin 15°sin 30°＝2×6－2412＝3－1.综上可得B ＝45°，C ＝105°，c ＝3＋1或B ＝135°，C ＝15°，c ＝3－1.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.2.根据下列条件解三角形．(1)a ＝2，b ＝2，A ＝45°； (2)a ＝5，b ＝2，B ＝120°.解：(1)由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝2sin 45°2＝2×222＝12. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B 为锐角，所以B ＝30°， 所以C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°， 所以c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1， 所以B ＝30°，C ＝105°，c ＝3＋1. (2)由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5sin 120°2＝534＞1， 因此A 不存在，故此题无解．探究点三 利用正弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，因为sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，所以a 2＝b 2＋c 2， 所以A 是直角，B ＋C ＝90°， 所以2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B ) ＝2sin 2B ＝sin A ＝1， 所以sin B ＝22. 因为0°<B <90°，所以B ＝45°，C ＝45°， 所以△ABC 是等腰直角三角形． 法二：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 因为sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， 所以a 2＝b 2＋c 2，所以A 是直角．因为A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， 所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 所以sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，所以B －C ＝0，所以B ＝C ， 所以△ABC 是等腰直角三角形．若将例题中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．解：由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ， 从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .因为b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， 所以b ·b 2R ＝c ·c 2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，所以b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， 所以b ＝c ，A ＝90°.所以△ABC 为等腰直角三角形．利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．3.(1)在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2 C ，则△ABC 是________三角形．(2)在△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解：(1)由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．故填直角．(2)由正弦定理得： a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B. 因为a 2tan B ＝b 2tan A ， 所以sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A ，即sin A cos B ＝sin B cos A， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B . 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．正弦定理的推广及其变形(1)正弦定理的推广：设△ABC 外接圆的半径为R ，则a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(2)正弦定理的常见变形①边化角公式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②角化边公式：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ④a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； ⑤a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B. 2．正弦定理的两个作用利用正弦定理，一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．3．易误防范已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，如例2及跟踪训练2，这三个小题解的情况分别为两解、一解或无解三种情况．1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得a sin B ＝b sin A .2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45°D ．135°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝22.因为a >b ，所以A >B ， 所以B ＝45°.3．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：24．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，B ＝30°，解三角形． 解：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B. 于是sin A ＝a sin B b ＝3sin 30°＝32.故A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝2. 当A ＝120°时，C ＝30°，c ＝b ＝1.[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，则△ABC 的外接圆半径是( ) A.32 B ．3 C ．3 3D ．6解析：选B.△ABC 的外接圆直径2R ＝a sin A ＝3sin 30°＝6，所以R ＝3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3B.33C.63D ．－63解析：选B.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B ·sin A ，故sin B ＝33. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin Bb ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.因为sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ，所以cos A a ＝sin Aa ，所以sin A ＝cos A ，tanA ＝1.又0°<A <180°，所以A ＝45°.4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( ) A ．有一个 B ．有两个 C ．不存在D ．不能确定解析：选C.由正弦定理，得6sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝2>1，所以满足条件的B 不存在，因此满足条件的△ABC 不存在．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B －b cos A ＝c ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.利用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 化简已知的等式得：sin A cos B －sin B cos A＝sin C ，即sin (A －B )＝sin C ，因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以A －B ＝C ，即A ＝B ＋C ＝90°，则△ABC 为直角三角形．故选B.6．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．解析：由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B，所以sin B ＝12，因为C 为钝角，所以B 为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π6，所以a ＝b ＝1.答案：17．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则c ＝________，b ＝________．解析：因为A ＝60°，B ＝30°，所以C ＝90°，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝12c .又c ＋b ＝12，所以c ＝8，b ＝4.答案：8 48．(2016·银川一中质检)△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cosB ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案：29．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C ＞B ＞A ，所以最小边为a .又因为c ＝1，由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin Bsin C 的值．解：由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，所以sin A ＝15sin C ，同理可得sin B ＝35sin C .所以2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.[B 能力提升]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3 B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0， 所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理得：sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0＜C ＜π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，B ＝π6.2．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得ADsin B ＝ABsin ∠ADB ，所以 sin ∠ADB ＝22. 所以 ∠ADB ＝45°，所以 ∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以 ∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以 BC ＝AB ＝2，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，所以 AC ＝ 6. 答案： 63．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求a 的值．解：(1)因为B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3，所以由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sinπ3＝65.4．(选做题)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .(1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ， 根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a，所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ， 所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2. 所以△ABC 是直角三角形．(2)由(1)知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜π2，所以π4＜A ＋π4＜3π4. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤1，所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤2， 即a ＋cb 的取值范围是(1， 2 ]．。
1.1.1正弦定理
1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。
正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。
在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。
则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。
正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。
以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。
则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。
解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。
所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。
）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。
例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。
因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。
第一部分 第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边 所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
返回
π π 3．若把本例中 C＝3改为 A＝4，其他条件不变，求 C，B，b.
π 解：∵ 6sin4＜2＜ 6， ∴本题有两解． a c csin A 3 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状． [思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的 形状．
返回
[精解详析]
a b c 法一：设sin A＝sin B＝sin C＝k， (2 分)
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴(ksin A)2＝(ksin B)2＋(ksin C)2. ∴a2＝b2＋c2. ∴A＝90° ，B＋C＝90° .
6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
a b 解：由正弦定理，设sin A＝sin B＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B， ∴由 acos A＝bcos B，得：sin Acos A＝sin Bcos B. 即 sin 2A＝sin 2B. ∵2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B 或 2A－π＝2π－2B. π 即 A＝B 或 A＋B＝2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
A为钝角或直角
图形
关系 ①a＝bsin A bsin A＜a 式 解的 ②a≥b 一解 ＜b 两解
a＜bsin A
a＞b
a≤b
个数
1.1.1正弦定理课件(PPT)
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
1.1.1 正弦定理
a b c 1.正弦定理 sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一. 2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及任意一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
【拓展提升】用正弦定理进行边角互化的两种方法
（1）边化角 a c b 根据sin A= ，sin B= ，sin C= 化边为角(其中 2R 2R 2R R为△ABC外接圆的半径).
（2）角化边
根据a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C化角为边(其中R
为△ABC外接圆的半径).
O a b B c A` A
一、正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b c . 即 sin A sin B sin C 注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ）
(2)在△ABC中，等式asinA=bsinB总能成立.（
）
(3)在△ABC中，已知a=30，b=23，A=130°，则此三角形
பைடு நூலகம்
有唯一解.（
）
提示：(1)错误.正弦定理对于任意三角形都适用. (2)错误.由正弦定理得asinB=bsinA. (3)正确.由A=130°>90°，a=30>b=23.根据大边对大角 知，三角形有唯一解. 答案：(1)× (2)× (3)√
） C. 无解 D. 不确定
B. 两解
解答：b＞c,一解
3.（2012·福建高考）在△ABC中，已知∠BAC=60°，
人教版高中数学必修五 1.1.1 正弦定理
AC 等于( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
3 D. 2
【解析】由正弦定理可知，sAinCB＝sBinCA，
所以 AC＝BCsisniAnB＝3
2× 3
2 2 ＝2
3.故选 B.
2
【答案】B
3．在△ABC 中，sinA＝sinC，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
课堂小结： 1．对正弦定理的理解 (1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角
形外接圆的直径 2R.即sianA＝sibnB＝sincC＝2R.
(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转 化．这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能．
c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°， c＝2 3.
变式训练 2：在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，
则 B 等于( )
A．45°或 135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
【解析】由sianA＝sibnB，
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的_对___边__叫做三角形 的元素．已知三角形的几个元素求_其__他__元__素___的过程叫做解
三角形．
典例探究 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1：在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求
A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。
1.1.1正弦定理 课件(人教B必修五)
引导学生回答所提问题，理解正弦定理成立的条件、特征及 由正弦定理可求解的三角形的类型； 通过例题与练习让学生在应 用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用， 以强化重 点．
课 标 解 读
1.掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2．会判断三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、 易错点)
已知两角及一边解三角形
1 在△ABC 中，∠A＝60° ，sin B＝2，a＝3，求三角 形中其他边与角的大小．
1 【思路探究】 (1)由 sin B＝2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯
一吗？ (2)能用正弦定理求出边 b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？
【自主解答】
1 ∵sin B＝2，∴∠B＝30° 或 150° ，
【答案】 A
已知两边及一边的对角解三角形
π 在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝3.求∠C.
【思路探究】 (1)由已知边 a，b 及边 a 的对角 A，能否用
正弦定理求得 B 呢？ (2)求出 B 值后，怎样求∠C 呢？
【自主解答】 在△ABC 中，由正弦定理得 3 3× 2 sin A 1 sin B＝b a ＝ 3 ＝2. π ∵a>b，∴∠A>∠B，∴∠B＝6， π π π ∴∠C＝π－3－6＝2.
3.情感、态度与价值观 (1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动 的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律， 培养探索精神和创新意识； (2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用 价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数 学的价值，不断提高自身的文化修养．
2．对于锐角三角形中，问题 1 中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立．
正弦定理知识点
1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R其中R 为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形： ①π=++C B A②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+ ③C ab S abc sin 21=∆题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1. 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.变式练习1：1.已知ΔABC ，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.2 2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-8 3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x 的性质决定） 例2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆变式练习1：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆变式练习2：0135,ABC a A b B ∆===中，求变式练习3： 在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15变式练习4：在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。
题型三：外接圆问题 例3. 试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径变式练习1：在△ABC 中，kCcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A 2R B RC 4RD R 2(R 为△ABC 外接圆半径)变式练习2：在ABC ∆中，5,40,20===c B A oo ，则R 2为 （ ）A 、3310 B 、10 C 、25 D 、210变式练习3：在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （ ） A 、B A sin sin + B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -变式练习4：设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．题型四：比例问题 例4.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．变式练习1：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
a sin A b sin B c sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如
a b sin A sin B
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如
a b sin A sin B
②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如
sin A a b sin B
解三角形： 一般地，已知三角形的某些边
和角，求其他的边和角的过程叫作
解三角形.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知A＝32.0 ， B＝81.8 ，a＝42.9cm，解三角形.
A C B
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式是否仍然成立？
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形 两种情况.
讲授新课
思考2：
还有其方法吗？
讲授新课
思考2：
还有其方法吗？ 用向量来研究这问题.
正弦定理：
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
o o
练习： 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
o
(1) A＝45 ，C＝30 ，c＝10cm；
(2) A＝60 ，C＝45 ，c＝20cm.
o o
o
o
讲解范例： 例2. 在△ABC中，已知a＝20cm， b＝28cm，A＝40 ，解三角形(角).
1.1.1正弦定理
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
A
C
B
A C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？
A C B
A C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
o
练习： 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
o
(1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30 ；
(2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115 .
o
o
思考： 在△ABC中，
a sin A b sin B c sin C
k ( k 0),
这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
a sin A b sin B c sin C abc sin A sin B sin C k ( k 0)
课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及 一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一 边的对角.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B