第5讲 数列的综合应用

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第5讲数列的综合应用

一、选择题

1.已知{a n}为等比数列.下面结论中正确的是().A.a1+a3≥2a2B.a21+a23≥2a22

C.若a1=a3,则a1=a2D.若a3>a1,则a4>a2

解析设公比为q,对于选项A,当a1<0,q≠1时不正确;选项C,当q=-1时不正确;选项D,当a1=1,q=-2时不正确;选项B正确,因为a21+a23≥2a1a3=2a22.

答案 B

2.满足a1=1,log2a n+1=log2a n+1(n∈N*),它的前n项和为S n,则满足S n>1 025的最小n值是().A.9 B.10 C.11 D.12

解析因为a1=1,log2a n+1=log2a n+1(n∈N*),所以a n+1=2a n,a n=2n-1,S n =2n-1,则满足S n>1 025的最小n值是11.

答案 C

3.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生

产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=1

2n(n+1)(2n+1)吨,但如

果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是().

A.5年B.6年C.7年D.8年

解析由已知可得第n年的产量a n=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合,据题意令a n≥150⇒n≥52,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.

答案 C

4.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n=().

A.7 B.8 C.9 D.10

解析设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),

所以d =-4

33a 1<0.

解不等式a n >0,即a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫

-433a 1>0,

所以n <37

4,则n ≤9,

当n ≤9时,a n >0,同理可得n ≥10时,a n <0. 故当n =9时,S n 取得最大值. 答案 C

5.设y =f (x )是一次函数,若f (0)=1,且f (1),f (4),f (13)成等比数列,则f (2)+f (4)+…+f (2n )等于

( ).

A .n (2n +3)

B .n (n +4)

C .2n (2n +3)

D .2n (n +4)

解析 由题意可设f (x )=kx +1(k ≠0), 则(4k +1)2=(k +1)×(13k +1),解得k =2,

f (2)+f (4)+…+f (2n )=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n +1)=2n 2+3n . 答案 A

6.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1

a 1a 2+

1

a 2a 3

+…+

1

a n a n +1

的结果

可化为( )

A .1-1

4n

B .1-1

2

n

C.23⎝

⎛⎭⎪⎫1-14n D.23⎝

⎛⎭⎪⎫1-12n 解析 a n =2n -1

,设b n =1a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1,

则T n =b 1+b 2+…+b n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭

⎪⎫

122n -1

=12⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1-14n 1-14

23⎝

⎛⎭⎪⎫

1-14n . 答案 C

二、填空题

7.设关于x 的不等式x 2-x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 100的值为________.

解析 由x 2-x <2nx (n ∈N *),得0<x <2n +1,因此知a n =2n . ∴S 100=100(2+200)

2=10 100.

答案 10 100

8.已知a ,b ,c 成等比数列,如果a ,x ,b 和b ,y ,c 都成等差数列,则a x +c

y =________.

解析 赋值法.如令a ,b ,c 分别为2,4,8,可求出x =a +b 2=3,y =b +c

2=6,a x +c y =2. 答案 2

9.设曲线y =x n +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n

=lg x n ,则a 1+a 2+a 3+…+a 99的值为________.

解析 由y ′=(n +1)x n (x ∈N *),所以在点(1,1)处的切线斜率k =n +1,故切线方程为y =(n +1)(x -1)+1,令y =0得x n =

n

n +1

,所以a 1+a 2+a 3+…+a 99=lg x 1+lg x 2+…+lg x 99=lg(x 1·x 2·…·x 99)=lg 12×23×…×9999+1=lg 1

99+1=

-2. 答案 -2

10.数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }的各项按如下规律排列:

12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,1n ,2

n ,…,n -1n ,…,有如下运算和结论: ①a 24=38;

②数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…是等比数列;

③数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…的前n 项和为T n =n 2+n

4; ④若存在正整数k ,使S k <10,S k +1≥10,则a k =57.

其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)

解析 依题意,将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组,第n 组中的

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