2011年中考数学真题分类汇编之第二十三章等腰三角形及参考答案
2011年中考数学试题含答案
2011年中考数学试题(含答案)班级:姓名:全卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.全卷满分120分,考试时间共120分钟.一、选择题:(每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意.1.4的平方根是()A.4 B.2 C.-2 D.2或-22.如图1,在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有()A.D点B.A点C.A点和D点D.B点和C点3.下列运算正确的是()A.(ab)5=ab5 B.a8÷a2=a6 C.(a2)3=a5 D.(a-b)2=a2-b24.如图2,CA⊥BE于A,AD⊥BF于D,下列说法正确的是()A.α的余角只有∠B B.α的邻补角是∠DACC.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补5.下列说法正确的是()A.频数是表示所有对象出现的次数B.频率是表示每个对象出现的次数C.所有频率之和等于1D.频数和频率都不能够反映每个对象出现的频繁程度6.2008年5月5日,奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种,离开海拔5200米的“珠峰大本营”,向山顶攀登.他们在海拔每上升100米,气温就下降0.6°C的低温和缺氧的情况下,于5月8日9时17分,成功登上海拔8844.43米的地球最高点.而此时“珠峰大本营”的温度为-4°C,峰顶的温度为(结果保留整数)()A.-26°C B.-22°C C.-18°C D.22°C7.已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0的根的情况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根8.已知矩形ABCD的边AB=15,BC=20,以点B为圆心作圆,使A、C、D三点至少有一点在⊙B内,且至少有一点在⊙B外,则⊙B的半径r的取值范围是()A.r>15 B.15<r<20 C.15<r<25 D.20<r<259.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A.y=2(x-2)2 + 2 B.y=2(x + 2)2-2C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x + 2)2 + 210.如图3,已知Rt△ABC≌Rt△DEC,∠E=30°,D为AB的中点,AC=1,若△DEC绕点D顺时针旋转,使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N,则当△DMN为等边三角形时,AM的值为()A .3B .233C .33D.12011年高中阶段学校招生统一考试数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号二三总分总分人17 18 19 20 21 22 23 24得分二、填空题:(每小题3分,共18分)把答案直接填在题中横线上.11.如图4,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,请你写出其中的一对全等三角形_________________.12.计算:cot60°-2-2 + 20080+233=__________.13.若A(1x,1y)、B(2x,2y)在函数12yx=的图象上,则当1x、2x满足_______________时,1y>2y.14.如图5,校园内有一块梯形草坪ABCD,草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口,可是有少数同学为了走捷径,在草坪内走了一条直“路”EF,假设走1步路的跨度为0.5米,结果他们仅仅为了少走________步路,就踩伤了绿化我们校园的小草(“路”宽忽略不计).15.资阳市某学校初中2008级有四个绿化小组,在植树节这天种下柏树的颗数如下:10,10,x,8,若这组数据的众数和平均数相等,那么它们的中位数是________颗.16.如图6,在地面上有一个钟,钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位置.根据图中时针与分针(长针)所指的位置,该钟面所显示的时刻是______时_______分.三、解答题:(共72分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分7分)先化简,再求值:(212x x--2144x x-+)÷222x x-,其中x=1.18.(本小题满分7分)如图7,在△ABC中,∠A、∠B的平分线交于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.(1)点D是△ABC的________心;(2)求证:四边形DECF为菱形.19.(本小题满分8分)图4图2图5图1图7图3图6惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后,某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资,准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨,乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨,但由于时间仓促,只招募到9名长途驾驶员志愿者.(1) 3名驾驶员开甲种货车,6名驾驶员开乙种货车,这样能否将救灾物资一次性地运往灾区? (2)要使救灾物资一次性地运往灾区,共有哪几种运货方案?20.(本小题满分9分)大双、小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票,兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球,各自设计一种游戏确定谁去.大双:A 袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球,B 袋中放着分别标有数字4、5的两个小球,且都已各自搅匀,小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球,若两个小球上的数字之积为偶数,则大双得到门票;若积为奇数,则小双得到门票.小双:口袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球,且已搅匀,大双、小双各蒙上眼睛有放回地摸1次,大双摸到偶数就记2分,摸到奇数记0分;小双摸到奇数就记1分,摸到偶数记0分,积分多的就得到门票(若积分相同,则重复第二次). (1)大双设计的游戏方案对双方是否公平?请你运用列表或树状图说明理由; (2)小双设计的游戏方案对双方是否公平?不必说理.21.(本小题满分9分)若一次函数y =2x -1和反比例函数y =2kx 的图象都经过点(1,1). (1)求反比例函数的解析式;(2)已知点A 在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A 的坐标;(3)利用(2)的结果,若点B 的坐标为(2,0),且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点P 的坐标.22.(本小题满分10分)如图8,小唐同学正在操场上放风筝,风筝从A 处起飞,几分钟后便飞达C 处,此时,在AQ 延长线上B 处的小宋同学,发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上.(1)已知旗杆高为10米,若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°,A 处测得点P 的仰角为45°,试求A 、B 之间的距离;(2)此时,在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,若绳子在空中视为一条线段,求绳子AC约为多少米?(结果可保留根号)23.(本小题满分10分) 阅读下列材料,按要求解答问题:如图9-1,在ΔABC 中,∠A =2∠B ,且∠A =60°.小明通过以下计算:由题意,∠B =30°,∠C =90°,c =2b ,a =3b ,得a2-b2=(3b)2-b2=2b2=b·c .即a2-b2= bc .于是,小明猜测:对于任意的ΔABC ,当∠A =2∠B 时,关系式a2-b2=bc 都成立.(1)如图9-2,请你用以上小明的方法,对等腰直角三角形进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;(2)如图9-3,你认为小明的猜想是否正确,若认为正确,请你证明;否则,请说明理由; (3)若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数,且∠A =2∠B ,请直接写出这个三角形三边的长,不必说明理由.24.(本小题满分12分)如图10,已知点A 的坐标是(-1,0),点B 的坐标是(9,0),以AB 为直径作⊙O′,交y 轴的负半轴于点C ,过A 、B 、C 三点作抛物线.(1)求抛物线所对应的函数关系式;(2)点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ,连结BD ,求直线BD 所对应的函数关系式;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得∠PDB =∠CBD?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.图8 图9-1图9-2图9-3图10图72011年中考数学试题参考答案及评分意见 说 明:1. 解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得分数的累计分数;2. 参考答案中的解法只是该题解法中的一种或几种,如果考生的解法和参考答案所给解法不同,请参照本答案中的标准给分;3. 评卷时要坚持每题评阅到底,当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变问题的内容和难度,可视影响程度决定后面部分的给分,但不得超过后继部分应给分数的一半;如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分;若是几个相对独立的得分点,其中一处错误不影响其他得分点的得分;4. 给分和扣分都以1分为基本单位;5. 正式阅卷前应进行试评,在试评中须认真研究参考答案和评分意见,不能随意拔高或降低给分标准,统一标准后须对全部试评的试卷予以复查,以免阅卷前后期评分标准宽严不同. 一、选择题:(每小题3分,共10个小题,满分30分) 1-5. DCBDC ;6-10. AACBB.二、填空题:(每小题3分,共6个小题,满分18分)11.答案不唯一,ΔAOB ≌ΔCOD 、ΔAOD ≌ΔCOB 、ΔADB ≌ΔCBD 、ΔABC ≌ΔCDA 之一均可;12.3434+(或34+3);13.x1<x2<0或 0<x1<x2; 14.4;15.10 ; 16.9,12;三、解答题:(共9个小题,满分72分)17.原式=[1(2)x x -–21(2)x -]×(2)2x x - 3分=1(2)x x -×(2)2x x -–21(2)x -×(2)2x x -=12–2(2)xx - 4分=22(2)x x --–2(2)xx -=12x - 5分 当x=1时,原式=121- 6分 = 1 7分说明:以上步骤可合理省略 . 18.(1) 内. 2分(2) 证法一:连接CD , 3分 ∵ DE ∥AC ,DF ∥BC ,∴ 四边形DECF 为平行四边形, 4分又∵ 点D 是△ABC 的内心,∴ CD 平分∠ACB ,即∠FCD =∠ECD , 5分又∠FDC =∠ECD ,∴ ∠FCD =∠FDC ∴ FC =FD , 6分 ∴ □DECF 为菱形. 7分 证法二:过D 分别作DG ⊥AB 于G ,DH ⊥BC 于H ,DI ⊥AC 于I . 3分 ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC , ∴DI=DG , DG=DH .∴DH=DI . 4分 ∵DE ∥AC ,DF ∥BC , ∴四边形DECF 为平行四边形, 5分∴S□DECF=CE·DH =CF·DI , ∴CE=CF . 6分∴□DECF 为菱形. 7分19.(1) ∵3×5+6×3=33>30,3×1+6×2=15>13, 1分∴3名驾驶员开甲种货车,6名驾驶员开乙种货车,这样能将救灾物资一次性地运到灾区. 2分 (2) 设安排甲种货车x 辆,则安排乙种货车(9–x)辆, 3分由题意得:53(9)30,2(9)13.x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 5分解得:1.5≤x ≤5 6分注意到x 为正整数,∴x=2,3,4,57分∴安排甲、乙两种货车方案共有下表4种:方 案 方案一 方案二 方案三 方案四 甲种货车2345乙种货车7 6 5 48分说明:若分别用“1、8”,“2、7”等方案去尝试,得出正确结果,有过程也给全分. 20.(1) 大双的设计游戏方案不公平. 1分 可能出现的所有结果列表如下:1 23 4 4 8 12 551015或列树状图如下:4分∴P(大双得到门票)= P(积为偶数)=46=23,P(小双得到门票)= P(积为奇数)=13, 6分∵23≠13,∴大双的设计方案不公平. 7分(2) 小双的设计方案不公平. 9分参考:可能出现的所有结果列树状图如下:21.(1) ∵反比例函数y=2kx 的图象经过点(1,1),∴1=2k1分解得k=2, 2分∴反比例函数的解析式为y=1x . 3分(2) 解方程组211.y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得11x y =⎧⎨=⎩,;122.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,5分∵点A 在第三象限,且同时在两个函数图象上, ∴A(12-,–2). 6分(3) P1(32,–2),P2(52-,–2),P3(52,2).(每个点各1分) 9分22. (1) 在Rt △BPQ 中,PQ=10米,∠B=30°, 则BQ=cot30°×PQ =103,2分 又在Rt △APQ 中,∠PAB=45°, 则AQ=tan45°×PQ=10,即:AB=(103+10)(米); 5分 (2) 过A 作AE ⊥BC 于E ,在Rt △ABE 中,∠B=30°,AB=103+10,∴ AE=sin30°×AB=12(103+10)=53+5, 7分∵∠CAD=75°,∠B=30°, ∴ ∠C=45°, 8分在Rt △CAE 中,sin45°=AEAC ,∴AC=2(53+5)=(56+52)(米) 10分 23. (1) 由题意,得∠A=90°,c=b ,a=2b , ∴a2–b2=(2b)2–b2=b2=bc . 3分 (2) 小明的猜想是正确的. 4分理由如下:如图3,延长BA 至点D ,使AD=AC=b ,连结CD , 5分则ΔACD 为等腰三角形.∴∠BAC=2∠ACD ,又∠BAC=2∠B ,∴∠B=∠ACD=∠D ,∴ΔCBD 为等腰三角形,即CD=CB=a , 6分大双积 小双 图9-3图8图10答案图2图10答案图1又∠D =∠D ,∴ΔACD ∽ΔCBD , 7分∴ADCD CD BD =.即baa b c =+.∴a2=b2+bc .∴a2–b2= bc 8分(3) a=12,b=8,c=10.10分24.(1) ∵以AB 为直径作⊙O′,交y 轴的负半轴于点C , ∴∠OCA+∠OCB=90°, 又∵∠OCB+∠OBC=90°, ∴∠OCA=∠OBC , 又∵∠AOC= ∠COB=90°, ∴ΔAOC ∽ ΔCOB , 1分∴O A O C O CO B=.又∵A(–1,0),B(9,0),∴19O CO C=,解得OC=3(负值舍去). ∴C(0,–3),3分设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9),∴–3=a(0+1)(0–9),解得a=13,∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9),即y=13x2–83x –3. 4分 (2) ∵AB 为O′的直径,且A(–1,0),B(9,0), ∴OO′=4,O′(4,0), 5分∵点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ,∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45°,连结O′D 交BC 于点M ,则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=12AB=5.∴D(4,–5). 6分∴设直线BD 的解析式为y=kx+b (k≠0)∴90,4 5.k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 7分解得1,9.k b =⎧⎨=-⎩∴直线BD 的解析式为y=x –9. 8分(3) 假设在抛物线上存在点P ,使得∠PDB=∠CBD ,解法一:设射线DP 交⊙O′于点Q ,则BQ C D =.分两种情况(如答案图1所示):①∵O′(4,0),D(4,–5),B(9,0),C(0,–3).∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°,使点D 与点B 重合,则点C 与点Q1重合, 因此,点Q1(7,–4)符合BQC D =,∵D(4,–5),Q1(7,–4),∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=13x –193.9分解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩,;2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∴点P1坐标为(9412+,29416-+),[坐标为(9412-,29416--)不符合题意,舍去].10分②∵Q1(7,–4),∴点Q1关于x 轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合BQ C D =.∵D(4,–5),Q2(7,4).∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x –17. 11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩, ∴点P2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去].12分∴符合条件的点P 有两个:P1(9412+,29416-+),P2(14,25).解法二:分两种情况(如答案图2所示): ①当DP1∥CB 时,能使∠PDB=∠CBD . ∵B(9,0),C(0,–3).图10答案∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y=13x –3.又∵DP1∥CB ,∴设直线DP1的解析式为y=13x+n .把D(4,–5)代入可求n= –193,∴直线DP1解析式为y=13x –193. 9分解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩,;2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∴点P1坐标为(9412+,29416-+),[坐标为(9412-,29416--)不符合题意,舍去].10分②在线段O′B 上取一点N ,使BN=DM 时,得ΔNBD ≌ΔMDB(SAS),∴∠NDB=∠CBD .由①知,直线BC 解析式为y=13x –3.取x=4,得y= –53,∴M(4,–53),∴O′N=O′M=53,∴N(173,0),又∵D(4,–5),∴直线DN 解析式为y=3x –17. 11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩,∴点P2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去].12分∴符合条件的点P 有两个:P1(9412+,29416-+),P2(14,25).解法三:分两种情况(如答案图3所示): ①求点P1坐标同解法二. 10分②过C 点作BD 的平行线,交圆O′于G , 此时,∠GDB=∠GCB=∠CBD . 由(2)题知直线BD 的解析式为y=x –9,又∵ C (0,–3)∴可求得CG 的解析式为y=x –3,设G (m,m –3),作GH ⊥x 轴交与x 轴与H ,连结O′G ,在Rt △O′GH 中,利用勾股定理可得,m=7, 由D (4,–5)与G(7,4)可得, DG 的解析式为317y x =-,11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩,∴点P2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去]. 12分∴符合条件的点P 有两个:P1(9412+,29416-+),P2(14,25).说明:本题解法较多,如有不同的正确解法,请按此步骤给分.。
广东省广州市白云区中考数学试题分类汇编考点25 等腰三角形2
等腰三角形一、选择题36,AB的中垂线MD交AC于点D、交AB 1.(2011某某某某,13,3分)如图,已知AB=AC,∠A=于点M。
下列结论:①BD是∠ABC的平分线;②△BCD是等腰三角形;③△ABC∽△BCD;④△AMD≌△BCD,正确的有( )个A.4 B.3 C.2 D.1(第13题)【答案】B2. (2011某某某某,12,3分)如图4, △ABC与△DEF均为等边三角形, O为BC、EF的中点,则AD:BE 的值为( )A. 3:1B.2:1C. 5:3D. 不确定【答案】A3. (2011某某呼和浩特市,7,3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm ,那么它的周长是()A. 9cmB. 12cmC. 15cm或12cmD. 15cm【答案】D4. (2011某某某某,7,4分)等腰三角形的两条边长分别为3、6,那么它的周长为()A.15B.12 C【答案】A5. (2011某某某某,20,3分)如图在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B 与AC 上的点E 重合,展开后,折痕AD 交BO 于点E ,连结DE 、EF.下列结论:①tan ∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形 ③将△DEF 沿E 折叠,则点D 不一定落在AC 上 ④BD=BF ⑤AOF DFOE S S ∆=四边形,上述结论中正确的个数是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【答案】C6. (2011某某某某,8,3分)如图,直线1l ∥2l ,点A 在直线1l 上,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点,连结AC 、BC .若54ABC ∠=,则1∠的大小为(A )36.(B )54.(C )72.(D )73.【答案】(C )7. (2011年某某地区,7,4分)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合D.等腰三角形是轴对称图形. 【答案】C8. (2011某某某某,8,3分)如图,在△ABC 中,AB =20㎝,AC =12㎝,点P 从点B 出发以每秒3㎝的速度向点A 运动,点Q 从点A 同时出发以每秒2㎝的速度向点C 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ 是等腰三角形时,运动的时间是 ( ) A . 2.5B .3秒C .3.5秒D .4秒QCBPA【答案】D9. (2011某某某某,8,3分)如图,直线1l ∥2l ,点A 在直线1l 上,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点,连结AC 、BC .若54ABC ∠=,则1∠的大小为(A )36. (B )54.(C )72.(D )73.【答案】(C )11. (2010乌鲁木齐,10,4分)如图,等边三角形ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且1BP =,点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒,则CD 的长为A.12 B.23 C.34【答案】B12.13. (2011某某某某,10,3分)如图6,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADB +∠EDC =120°,BD =3,CE =2,则△ABC 的边长为A .9B .12C .16D .18【答案】A二、填空题1.(2011某某某某,12,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,则∠A=.【答案】100°;2. (2011某某,8,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A =36°,则∠BDC的度数为.【答案】723. (2011某某某某,15,3分)如图4,等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm,将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,则图中阴影部分面积等于_________cm2.AB′C′图4【答案】34. (2011某某莱芜,15,4分)如图,已知在△ABC 中,AB=B C,∠B=0120,AB 的垂直平分线交AC 于点D.若AC=6cm ,则AD=___________cm.(第15题图)DCBA【答案】25. (2011某某,14,3分)如图,在△A BC 中,A B =AC ,∠A =80°,E ,F ,P 分别是A B ,A C ,BC 边上一点,且BE =BP ,CP =CF ,则∠EPF =度.【答案】506. (2011某某某某,12,3分)如图,在△ABC 中,∠B=30°,ED 垂直平分BC ,ED=3,则CE 的长为_________.【答案】67. (2011某某某某,19,3分)如图4,△ABD 与△AEC 都是等边三角形,AB ≠AC ,下列结论中:①BE=DC ;②∠BOD=60°;③△BOD ∽△COE.正确结论的序号是.图4BA CEO【答案】①8. (2011某某某某,12,3分)如图,在△ABC 中,∠B=30°,ED 垂直平分BC ,ED=3,则CE 的长为_________.【答案】69. (2011某某,15,3分)如图,△ABC 中,AB=AC ,点D 为BC 的中点,∠BAD=20°,则∠C=.【答案】70° 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题1. (2011某某某某,21,本题满分9分)如图9,已知线段AB 的长为2a ,点P 是AB 上的动点(P 不与A ,B 重合),分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD .(1)当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时,AP=___________;(直接写结果)(2)连结AD 、BC ,相交于点Q ,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P 的移动而变化?请说明理由;ACDB(3)如图10,若点P 固定,将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)【答案】(1)223a ;(2)α的大小不会随点P 的移动而变化, 理由:∵△APC 是等边三角形,∴PA=PC, ∠APC=600,∵△BDP 是等边三角形,∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD ≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB,∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200=600; (3) 此时α的大小不会发生改变,始终等于600.2. (2011某某随州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4,FC=3,求EF 长.【答案】连结BD ,证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ,求得EF=5 3. (2011某某襄阳,21,6分)如图6,点D ,E 在△ABC 的边BC 上,连接AD ,AE . ①AB =AC ;②AD =AE ;③BD =CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答);第18题图BAEDF C(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).【答案】(1)①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①. ·········· 3分 (2)(略) 6分4. (2011某某达州,20,6分)如图,△ABC 的边BC 在直线m 上,AC⊥BC,且AC=BC ,△DEF 的边FE 也在直线m 上,边DF 与边AC 重合,且DF=EF .(1)在图(1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)(2)将△DEF 沿直线m 向左平移到图(2)的位置时,DE 交AC 于点G ,连结AE ,BG .猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合?请证明你的猜想.【答案】解:(6分)(1)AB=AE, AB ⊥AE(2) 将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合),理由如下:∵AC ⊥BC ,DF ⊥EF ,B 、F 、C 、E 共线,∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ,DF=EF ,∴∠DFE=∠D=45°,在△CEG 中,∵∠ACE=90°,∴∠CGE=∠DEF=90°, ∴CG=CE , 在△BCG 和△ACE 中E DCB A图6∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE (SAS )∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合)5. (2011某某省随州市,18,8分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ABC =90°,D 为AC 边的中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F 。
中考数学真题分类汇编之第二十三章等腰三角形及参考答案
第23章 等腰三角形一、选择题1. (2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( ) (A )32(B )33(C )34(D )36【答案】B2. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论:①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个MECA【答案】D3. (2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE =90°,四边形ACDE 是平行四边形,连结CE 交AD 于点F ,连结BD 交 CE 于点G ,连结BE . 下列结论中:① CE =BD ; ② △ADC 是等腰直角三角形; ③ ∠ADB =∠AEB ; ④ CD ·AE =EF ·CG ; 一定正确的结论有 (第7题)A BCD EA .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D4. (2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC 中,以B 为圆心,BC 长为半径画弧,分别交AC 、AB于D 、E 两点,并连接BD 、DE .若∠A =30∘,AB =AC ,则∠BDE 的度数为何?A . 45B . 52.5C . 67.5D . 75 【答案】C5. (2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC 、DEF ,且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心.固定D 点,将△DEF 逆时针旋转,使得A 落在DE 上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?A .2:1B . 3:2C . 4:3D . 5:4 【答案】C6. (2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ,那么此三角形的周长是A .15cmB .16cm ABCDEF GC .17cmD .16cm 或17cm 【答案】D7. (2011四川凉山州,8,4分)如图,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于( )A .1013 B .1513 C .6013 D .7513【答案】C二、填空题1. (2011山东滨州,15,4分)边长为6cm 的等边三角形中,其一边上高的长度为________.【答案】2. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 . 【答案】4或63. (2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,过点C 作直线l ∥AB ,F 是l 上的一点,且AB =AF ,则点F 到直线BC 的距离为 .4. (2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ,G ,若∠ADF=80º ,则∠EGC 的度数为【答案】80º5. (2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,︒=∠40A ,则△ABC 的外角∠BCD = °.【答案】1106. (2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠B=50°,则∠A=_______。
湖北省2011年中考数学 专题9三角形精品试题分类解析汇编
某某2011年中考数学试题分类解析汇编专题9:三角形一、选择题1.(某某某某3分)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一X宽为3c的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为A.3cmB.6cmC.32cmD.62cm【答案】D。
【考点】含300角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定,勾股定理。
【分析】过点C作CD⊥AD,∴CD=3。
在直角三角形ADC中,∵∠CAD=30°,∴AC=2CD=2×3=6。
又三角板是有45°角的三角板,∴AB=AC=6。
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72,∴BC=62。
故选D。
2.(某某某某3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合。
过角尺顶点C作射线OC。
由做法得△MOC≌△NOC的依据是【答案】D。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】∵OM=ON,CM=,OC为公共边,∴△MOC≌△NOC(SSS)。
故选D。
3.(某某某某3分)如图,在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度),若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形,要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外,没有其它的公共点,新三角形的顶点不一定在格点上,那么符合要求的新三角形有A.4个 B.6个 C.7个 D.9个【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定【分析】根据题意进行分析可知:以原三角形的边长4,5为腰画出即可与新三角形一起组成一个等腰三角形即有6个。
作原来斜边的中垂线,并与边长为3的直角边的延长线交于一点,此点与原三角形斜边两点构成的三角形也符合要求,从而得出结论共有7个符合要求的三角形。
【史上最全】2011中考数学真题解析76_等腰三角形的性质和判定(含答案)
2011全国中考真题解析120考点汇编等腰三角形的性质和判定一、选择题1.(2011•铜仁地区7,3分)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形考点:等腰三角形的性质;轴对称图形;中心对称图形。
分析:根据等腰三角形的性质:等腰三角形两底角相等(等边对等角),等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合(三线合一),等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,即可求得答案.解答:解:A、等腰三角形两底角相等,故本选项正确;B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合,故本选项正确;C、等腰三角形不是中心对称图形,故本选项错误;D、等腰三角形是轴对称图形,故本选项正确.故选C.点评:此题考查了等腰三角形的性质.注意等边对等角,三线合一,以及其对称性的应用.2.(2011内蒙古呼和浩特,7,3)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是()A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.专题:分类讨论.分析:求等腰三角形的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长.根据三角形三边关系定理列出不等式,确定是否符合题意.解答:解:当6为腰,3为底时,6-3<6<6+3,能构成等腰三角形,周长为5+5+3=13;当3为腰,6为底时,3+3=6,不能构成三角形.故选D.点评:本题从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.3.(2011辽宁沈阳,7,3)如图,矩形ABCD中,AB<BC,对角线AC、BD相交于点O,则图中的等腰三角形有()A、2个B、4个C、6个D、8个考点:等腰三角形的判定;矩形的性质。
2011年中考数学真题分类汇编之第二十四章直角三角形与勾股定理及参考答案2011年中考数学真题分类汇
第24章直角三角形与勾股定理一、选择题1.(2011山东滨州,9,3分)在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)()A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【答案】C2. (2011山东烟台,7,4分)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是()A2m B.3m C.6m D.9m(第7题图)【答案】C3. (2011台湾全区,29)已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160公尺,再向东直走80公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离为340公尺?A.100 B.180 C.220 D.260【答案】C4. (2011湖北黄石,7,3分)将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图(3),则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm【答案】D5. (2011贵州贵阳,7,3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是(第7题图)(A)3.5 (B)4.2 (C)5.8 (D)7【答案】D6. (2011河北,9,3分)如图3,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为()A.21B.2 C.3 D.4图3'ADE【答案】B二、填空题1. (2011山东德州13,4分)下列命题中,其逆.命题成立的是______________.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.【答案】① ④2. (2011浙江温州,16,5分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.若S 1,S 2,S 3=10,则S 2的值是 .【答案】1033. (2011重庆綦江,16,4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A =30°,∠B =90°,BC =6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE = 米时,有DC 2=AE 2+BC 2.【答案】:314 4. (2011四川凉山州,15,4分)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:。
2011年安徽省中考数学试题及详细解析
2011年安徽省中考数学试题及详细解析一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1、在﹣1,0,1,2这四个数中,既不是正数也不是负数的是()A、﹣1B、0C、1D、2考点:有理数。
分析:正数是大于0的数,负数是小于0的数,既不是正数也不是负数的是0.解答:解:A、﹣1<0,是负数,故A错误;B、既不是正数也不是负数的是0,正确;C、1>0,是正数,故C错误;D、2>0,是正数,故D错误.故选B.点评:理解正数和负数的概念是解答此题的关键.2、计算(2x)3÷x的结果正确的是()A、8x2B、6x2C、8x3D、6x3考点:整式的除法;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法。
分析:根据积的乘方等于各因式乘方的积和单项式的除法法则解答.解答:解:(2x)3÷x=8x3÷x=8x2.故选A.点评:本题主要考查积的乘方的性质,单项式的除法,熟练掌握运算性质是解题的关键.3、如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为()A、50°B、55°C、60°D、65°考点:平行线的性质;对顶角、邻补角;三角形内角和定理。
专题:计算题。
分析:先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数,再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数.解答:解:如图所示:∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°,∵∠1=55°,∴∠1=∠4=55°,在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°.故选C.点评:本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理,是一道较为简单的题目.4、2010年一季度,全国城镇新增就业人数为289万人,用科学记数法表示289万正确的是()A、2.89×107B、2.89×106C、2.89×105D、2.89×104考点:科学记数法—表示较大的数。
2011年全国各地中考数学压轴题专集答案
2011年全国各地中考数学专集答案三、反比例函数1.解:(1)作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N,设AM交OB于点E则S△AOM=S△BON∴S△AOE=S梯形BEMN,∴S△AOB=S梯形BAMN由题意知,A(a,-4a),B(2a,-2a)∴AM=-4a,BN=-2a,MN=-a∴S△AOB=12(-4a-2a)(-a)=3 ·······································································4分(2)作BE⊥x轴于E∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°∴∠BCE+∠OCD=90°又∠BCE+∠EBC=90°,∴∠EBC=∠OCD∴Rt△EBC≌Rt△OCD,∴BE=CO又A(a,-4a),B(2a,-2a),点C在x轴上,点D在y轴上∴C(a,0),D(0,-2a),∴-2a=-a分2又∵点P在反比例函数=-2x(x<0)图象上,且纵坐标为53∴P(-65,53)把x=-65代入y=x+2,得y=45,∴EM=45S△EOF=S△AOF-S△AOE=12×2×53-12×2×45=1315 ··················································4分(2)以AE、EF、BF为边的三角形是直角三角形理由如下:由题意知△AOB 是等腰直角三角形,则△AME 又-2<a <0,0<b <2,AM =2-(-a)=2+a∴AE 2=(2AM)2=2a2+8a +8而BN =2-b ,∴BF 2=(2BN)2=2b2-8b +8PE =PM -EM =PM -AM =b -(2+a)=b -a -2又ab =-2,∴EF 2=(2PE)2=2a2+2b2+8a -8b ∵|a|≠|b|,∴AE ≠BF又(2a2+8a +8 )+(2b2-8b +8)=2a 2+2b2+8a -8∴AE 2+BF 2=EF 2故以AE 、EF 、BF 为边的三角形是直角三角形 ···················································· 9分3.解:(1)∵y =3,∴3=63x∴x =2 3∴a =33+23=5 3 ···················································································· 2分 (2)①∵tan ∠AOB =333=33,∴∠AOB =30° 又∵OA =OB ,∴当α=30°时,点B 的坐标为(-33,-3)∴k =(-33)(-3)=9 3 ················································································ 4分 ②能 ··········································································································· 5分 ∵A (-33,3),OA =OB ,∴OB =OA 将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α由①知反比例函数为y =93 x,若点B 在则(-6cos α)(-6sin α)=93,即sin αcos α∵0°<α<90°,sin α1-sin 2α=34整理得:16sin 4α-16sin 2α+3=0,∴sin 2α∴sin α=1 2或sin α= 32,∴α=30°或α=当α=30°时,点A 在x 轴上,舍去当α=60°时,点A 坐标为(-33,-3)∴α=60° ········································图34.解:(1)过点A 分别作AM ⊥y 轴于M ,AN ⊥x 轴于N ,如图1∵△AOB 是等腰直角三角形,∴AM =AN ∴设点A 的坐标为(a ,a )∵点A 在直线y =3x -4上,∴a =3a -4,解得a =2 ∴A (2,2) ················································· 1分∵反比例函数y =kx(x >0)的图象经过点A∴2=k2,∴k =4 ············································ 2分∴反比例函数的解析式为y =4x·························· 3分(2)∵A (2,2),∴AO 2=22+22=8把x =0代入y =3x -4,得y =-4 ∴C (0,-4),∴OC =4在Rt △COD 中,CD 2=OC 2-OD 2 ① 在Rt △AOD 中,AD 2=OA 2-OD 2 ②①-②,得CD 2-AD 2=OC 2-OA 2=16-8 ··········· 7分 (3)①若∠P AQ =90°,AP =AQ ,如图2连接BQ在△AOP 和△ABQ 中∵AO =AB ,∠OAP =∠BAQ =90°-∠P AB ,AP =AQ ∴△AOP ≌△ABQ ,∴∠ABQ =∠AOP =45° 又∠ABO =45°,∴∠OBQ =90°,即QB ⊥OB ∵A (2,2),∴B (4,0)把x =4代入y =4x,得y =1∴Q 1(4,1) ················································· 8分 ②若∠AQP =90°,AQ =PQ ,如图3过A 作AC ⊥x 轴于C ,过Q 分别作QD ⊥AC 于D ,QE ⊥x 轴于E 在Rt △ADQ 和Rt △PEQ 中∵AQ =PQ ,∠AQD =∠PQE =90°-∠DQP ∴Rt △ADQ ≌Rt △PEQ ,∴AD =PE ,DQ =EQ设Q (m ,4 m ),则OE =m ,CE =DQ =EQ =4m由OC +CE =OE ,得2+ 4m=m ,∴m =1± 5∵m >0,∴m =1-5 不合题意,舍去,∴m =1+ 5 ∴Q 2(5+1,5-1) ····································10分 ③若∠APQ =90°,P A =PQ ,如图4过A 作AC ⊥x 轴于C ,过Q 作QD ⊥x 轴于D在Rt △ACP 和Rt △PDQ 中∵P A =PQ ,∠APC =∠PQD =90°-∠DPQ∴Rt △ACP ≌Rt △PDQ ,∴AC =PD ,CP =DQ设Q (n ,4 n ),则OD =n ,CP =DQ =4n,PD =AC =2由OC +CP +PD =OD ,得2+ 4n+2=n ,∴n =2±2 2∵n >0,∴n =2-22 不合题意,舍去,∴n =2+2 2∴Q 3(22+2,22-2) ······························································· 12分 综上所述,在反比例函数的图象上一共存在三个符合条件的点Q ,其坐标分别为: ∴Q 1(4,1),Q 2(5+1,5-1),Q 3(22+2,22-2)5.解:(1)∵反比例函数y =4-2mx(x >0)的图象在第四象限 ∴4-2m <0,∴m >2 ···································································· 2分 (2)∵点A (2,-4)在反比例函数y =4-2mx的图象上 ∴-4=4-2m2,解得m =6 ····························································· 4分 ∴反比例函数为y =-8x过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ,BN ⊥OC 于点N ∴∠BNC =∠AMC =90°又∵∠BCN =∠ACM ,∴△BCN ∽△ACM ∴BNAM=BCAC∵BCAB=1 3,∴BCAC = 1 4 ,即BNAM =1 4∵AM =4,∴BN =1∴点B 的纵坐标是-1 ············································∵点B 在反比例函数y =-8x的图象上,∴当y =-1时,x =8∴点B 的坐标是(8,-1)······························································ 7分 ∵一次函数y =kx +b 的图象过点A (2,-4)、B (8,-1)∴⎩⎪⎨⎪⎧2k +b =-48k +b =-1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12b =-5∴一次函数的解析式是y =12x -5 ····················································· 8分(3)0<x<2或8<x<5+41 ····························································· 10分6.解:(1)k =1×2=2 ·················································································· 2分(2)当k >2时,如图1,点E 、F 分别在P 点的右侧和上方作EC ⊥x 轴于C ,作FD ⊥y 轴于D ,EC 与FD 相交于点G ,则四边形OCGD 为矩形 ∵PF ⊥PE∴S △PEF=1 2 PE ·PF = 1 2 ( k 2 -1)( k -2)= 14k 2-k+1 ··············∵四边形PFGE 为矩形,∴S △GEF=S △PEF S △OEF=S 矩形OCGD-S △GEF-S △ODF-S △OCE=k 2 ·k -(1 4 k 2-k +1)-k = 1 4k2-1 ·························· 5分 ∵S △OEF =2S △PEF ,∴ 1 4 k 2-1=2( 14k 2-k+1)解得k =2或k =6∵k =2时,E 、F 重合,∴k =6∴E 点坐标为(3,2) ········································· 6分 (3)存在点E 及y 轴上的点M ,使得△MEF 与△PEF 全等①当k <2时,如图2,只可能△MEF ≌△PEF 作FH ⊥y 轴于H ,由△FHM ∽△MBE 得:BMHF=EMMF∵HF =1,EM =EP =1-k2,MF =PF =2-k∴ BM 1 = 1-k 22-k ,∴BM =12··································· 7分在Rt △BME 中,由勾股定理得:EM 2=BE 2+BM 2 ∴(1-k 2 )2=(k 2)2+(1 2)2,解得k =3 4此时E 点坐标为(38,2) ···································· 8分②当k >2时,如图3,只可能△MFE ≌△PEF 作FQ ⊥y 轴于Q ,由△FQM ∽△MBE 得:BMQF=EMMF∵QF =1,EM =PF =k -2,MF =PE =k2-1BM 1= k -2k2-1,∴BM =2 ······································ 9分 在Rt △MBE 中,由勾股定理得:EM 2=BE 2+BM 2∴(k -2)2=(k 2)2+22,解得k =0(不合题意,舍去)或k =163此时E 点坐标为(83,2)综上所述,符合条件的E 点坐标为(3 8,2)和(83,2) ······················ 10分图37.解:(1)∵点B (2,1)在曲线y =mx(x >0)上∴m =1×2=2 ··············································································· 1分 设直线l 的解析式为y =kx +b ∵直线l 经过点A (1,0),B (2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧k +b =02k +b =1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1b =-1 ∴直线l 的解析式为y =x -1 ··························································· 4分 (2)∵点P (p ,p -1)在直线y =2上∴p -1=2,即p =3,∴P (3,2)把y =2分别代入y =2 x和y =- 2x,得x =1和x ∴M (1,2),N (-1,2)∴PM =2,PN =4,P A =22,PB = 2∴PMPN=PBP A=1 2,又∵∠BPM =∠APN ∴△PMB ∽△PNA ·····································(3)存在∵点P (p ,p -1)(p >1),∴点P 在直线l 上∵点P (p ,p -1)(p >1),∴M 、N 两点的纵坐标都为p -1 把y =p -1分别代入y =2 x和y =- 2 x ,得x =2 p -1和x =-2 p -1∴M (2 p -1,p -1),N (-2p -1,p -1)∵S △AMN=4S △APM,△AMN 和△APM 等高,∴①当1<p<2时,点P 在点M 的左侧MN =4p -1,PM =2p -1-p∴4p -1=4(2p -1-p)整理得p2-p -1=0,解得p =1±52∵1<p<2,∴p =1-52不合题意,舍去 ∴p =1+52·············································②当p >2时,点P 在点M 的右侧 MN =4p -1,PM =p -2p -1∴4p -1=4(p -2p -1)整理得p2-p -3=0,解得p =1±132∵p>2,∴p=1-132不合题意,舍去∴p=1+132··············································································14分综上所述,存在实数p=1+52或p=1+132,使得S△AMN8.解:(1)点P在线段AB上,理由如下:∵点O在⊙P上,且∠AOB=90°∴AB是⊙P的直径∴点P在线段AB上(2)过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线故S△AOB=12OA·OB=12×2PP1·2PP2=2PP1·PP2∵P是反比例函数y=6x(x>0)图象上的任意一点∴PP1·PP2=6∴S△AOB=2PP1·PP2=12(3)连接MN,则点Q在线段MN上,且S△MON=S△AOB=12∴OA·OB=OM·ON,即OAOM=ONOB又∵∠AON=∠MOB,∴△AON∽△MOB ∴∠OAN=∠OMB∴AN∥MB9.解:(1)∵点E、F在函数y=kx(x>0)的图象上,∴设E(x1,kx1)(x1>0),F(x2,kx2)(x2>0) ·································· 1分∴S1=12·x1·kx1=k2,S2=12·x2·kx2=k2 ··················∵S1+S2=2,∴k2+k2=2,∴k=2 ·················· 4分(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4设E(k2,2),F(4,k4) ······························· 5分∴BE=4-k2,BF=2-k4 ······························· 6分∴S△BEF=12(4-k2)(2-k4)=116k2-k+4 ·········· 7分S△OCF=12×4×k4=k2,S矩形OABC=2×4=8 ········ 8分∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8-(116k2-k +4)-k 2=-1 16 k 2+ k2 +4=- 116( k -4)2+5 ···················· 9分 ∴当k =4时,S 四边形OAEF=5,∴AE =2当点E 运动到AB 的中点时,四边形OAEF 的面积最大,最大值是5 ······ 10分10.解:(1)∵y =(3-m)x2+2(m -3)x +4m -m2=(3-m)(x2-2x +1)+4m -m2-3+m=(3-m)(x -1)2-m2+5m -3∴A (1,-m2+5m -3) ································································ 1分∵点A 在双曲线y =3x上,∴1×(-m2+5m -3)=3解得m =2或m =3∵二次项系数3-m ≠0,∴m ≠3∴m =2,A (1,3) ····································································· 2分 ∵直线y =mx +b 经过点A ,∴2×1+b =3,∴b =1 ···························· 3分 ∴直线AB 的解析式为y =2x +1 ····················································· 4分 (2)由y =2x +1,可得B (0,1),C (-1 2,0)将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°,得点B 的对应点为D (1,0),点C 的对应点为E (0,12)可得直线DE 的解析式为y =-1 2 x +12············································· 5分由 ⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +1y =- 1 2 x +1 2得两直线交点为G (- 1 5,3 5) ····························· 6分 可得DE ⊥BC ,BD =2,BG =55∴sin ∠BDE =BGBD=OBAB=1010······················································ 8分 (3)N 1(5,1),N 2(-3,1) ····················································· 10分 解答过程如下(本人添加,仅供参考)连接AF ,易得F (3,1),AF =22,∠AFB =MF =6+1-3=4,当点N 在点F 右侧时,则∠AFB =∠F AN +∠∵∠AMF +∠ANF =45°,∴∠F AN =∠AMF 又∠AFN =∠AFM ,∴△AFN ∽△MF A ∴AFNF=MFAF,即22NF=422,∴NF =2 ∴N 1(5,1)由抛物线的对称性可得,当点N 在点F11.解:(1)根据反比例函数图形的对称性可知点∵∠BAC =60°,AB =4,∴∠BON =∴在△BON 中,ON=OB cos60°=1,∴点B 的坐标为(1,3),点A ∵点B 在直线y =mx 和双曲线y =k x∴m =31=3,k =1×3= 3 (2)∵∠QON +∠NOP =90°,∠MOP +∴∠QON =∠MOP又∵∠OMP =∠ONQ =90°,∴△∴MPQN=OMON,即xQN=3 1,∴QN 在Rt △PCQ 中,PC =1-x ,QC =33x ∴L =PC 2+QC 2=43x 2+4即L 与x 的函数关系式为L =43x 2+4(-1≤x ≤1) (3)S △PQC=1 2 PC ·QC = 1 2 ( 1-x )(3 3 x +3)=32整理得x2+2x =0,解得x 1=0或x 2=-2此时点P 的坐标为(0,-3)或(-2,-3)12.解:(1)在y =ax +1中,令y =0,得x =-1a;令x =0,得y =1∴A (-1a,0),B (0,1)∴S △AOB=1 2 ×|-1 a |×1=32∴a =±33················································································ 1分 ①当a =33 时,直线的解析式为y =33x +1 ∵点C (-23,m )为直线与双曲线在第三象限的交点 ∴k >0,m<0,且k 、m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m =33×(-23)+1m =k-23解得:⎩⎨⎧k =23m =-1∴a =33,m =-1,k =2 3 ·························································· 4分 ②当a =-33 时,直线y =-3 3 x +1经过一、二、四象限,与双曲线y =kx不可能在第三象限有交点∴a =-33不合题意,舍去 ···························································· 5分综上所述,a =33,m =-1,k =2 3 (2)由(1)知,A (-3,0),B (0,1∴OA =3,OB =1,∴∠OBA =60°由作图可知,点D 在y ①当点D 在y 轴负半轴上时作CE ⊥y 轴于E ,则E (0,-1),∴∵△BCD 为等边三角形,∴DE =BE =∴OD =3,∴D 1(0,-3) ············ 7②当点D 在第二象限时∵∠BCD =∠OBA =60°,∴DC ∥y 轴 ∴点D 的横坐标为-2 3∵B (0,1),C (-23,-1),∴BC ∴DC =4,∴点D 的纵坐标为3 ∴D 2(-23,3)综上所述,D 点的坐标为(0,-3)或(-23,3) ··························· 9分13.解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +8y =kx得2x2+8x -k =0 ∴x 1+x 2=-4,x 1x 2=-k 2由⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-4x 1-x 2=2 解得x 1=-1,x 2=-3 ∴k =-2x 1x 2=-6 ······································································· 3分(2)由(1)知,反比例函数为y =-6x把x 1=-1,x 2=-3分别代入上式,得y 1=6,y 2=2 ∴A (-1,6),B (-3,2)设一次函数y =2x +8的图象与x 轴交于点C ,则C (-4,0)∴S △AOB=S △AOC-S △BOC=1 2 ×4×6-12×4×2 =8 ················································································ 6分(3)设过点A 且与OB 平行的直线与x 轴交于点D ,与抛物线交于点E分别过A 、B 、E 作x 轴的垂线,垂足分别为AA 1、BB 1、EE 1 ∵B (-3,2),∴OB =(-3)2+22=13∵AD ∥BO ,∴∠ADA 1=∠BOB 1∴sin ∠BOB 1=2 13 ,cos ∠BOB 1=313∵AD ∥BO ,∴∠ADA 1=∠BOB 1∴sin ∠ADA 1=sin ∠BOB 1=2 13 ,cos ∠ADA 1=cos ∠BOB 1=313∴AD = AA 1sin ∠ADA 1=313,A 1D =AD ·cos ∠ADA 1=9由题意,AE =13,∴ED =213∴E 1D =ED ·cos ∠ADA 1=6,EE 1=ED ·sin ∠ADA 1=4 OE 1=A 1D -A 1O -E 1D =9-1-6=2∴E (2,4) ··············································································· 8分 设所求抛物线的解析式为y =ax2+bx +c ,则: ⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =69a -3b +c =24a +2b +c =4解得:a =-8 15,b =-2 15,c =32 5∴抛物线的解析式为y =- 8 15x2- 2 15 x +325······································ 10分14.解:(1)设直线得⎩⎨⎧b =232k +b =0 解得⎩⎨⎧k =-3b =23∴直线AB 的解析式为y =-3x +23将D (-1,a )代入y =-3x +23,得a =33∴D (-1,33),将D (-1,33)代入y =mx中,得m =-33∴反比例函数的解析式为y =-3 3x(2)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +23y =-33x得⎩⎨⎧x 1=3y 1=- 3 ⎩⎨⎧x 2=-1y 2=33 ∴点C 坐标为(3,-3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H 在Rt △OMC 中,CH =3,OH =3∴tan ∠COH =CHOH=33,∴∠COH =30° 在Rt △AOB 中,tan ∠ABO =AOOB=232=3∴∠ACO =∠ABO -∠COH =30° (3)如图,∵OC ′⊥AB ,∠ACO =30°∴α=∠COC ′=90°-30°=60°,∠BOB ′=α=60° ∴∠AOB ′=90°-∠BOB ′=30° ∵∠OAB =90°-∠ABO =30° ∴∠AOB ′=∠OAB ,∴AB ′=OB ′=2故当α为60度时OC ′⊥AB ,此时线段AB ′的长为15.解:(1)∵E (2,4),∴k =2×4=8∵点F 的横坐标为6,点F 的纵坐标为8 6=43∴F (6,43)设经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为y =ax2+bx∴⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b =436a +6b =4 3解得a =-4 9,b =26 9∴所求抛物线的解析式为y =- 4 9x2+ 269x ·············· 3分(2)设直线EF 的解析式为y =kx +b 1∴⎩⎪⎨⎪⎧2k +b =46k +b =4 3解得k =-2 3,b 1=163∴直线EF 的解析式为y =-2 3x +16 3过O 作OP ∥EF ,交抛物线于点P ,则点P 即为所求的点 ∴直线OP 的解析式为y =-23x解方程组 ⎩⎨⎧y =-23x y =- 4 9x2+ 26 9x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0y 1=0 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2=8y 2=-16 3。
云南省贵州省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形
某某某某2011年中考数学试题分类解析汇编专题9:三角形 一、选择题 1.(某某某某3分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=15,AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点,垂足为E ,则sin∠CAD=A 、14B 、13 C 、154 D 、1515【答案】A 。
【考点】锐角三角函数的定义,线段垂直平分线的性质,勾股定理。
【分析】设AD=x ,则CD=x -3,在直角△ACD 中,(x -3)2+ (15)2=x 2,解得,x=4。
∴CD=4-3=1,∴sin∠CAD=CD 1AD 4=。
故选A 。
2.(某某某某3分)如图,矩形OABC 的边OA 长为2,边AB 长为1,OA 在数轴上,以原点O 为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是A 、2.5B 、22C 、3D 、5【答案】D 。
【考点】勾股定理,实数与数轴。
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可:由勾股定理可知,∵OB=22215+=,∴这个点表示的实数是5。
故选D 。
3.(某某某某3分)如图,已知AB =AC ,∠A=︒36,AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M 。
下列结论:①BD 是∠ABC 的平分线;②△BCD 是等腰三角形;③△ABC∽△BCD;④△AMD≌△BCD,正确的有( )个A 、4B 、3C 、2D 、1【答案】B 。
【考点】相似三角形的判定,全等三角形的判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理。
【分析】首先由AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ,求得△ABD 是等腰三角形,即可求得∠ABD 的度数,又由AB=AC ,即可求得∠ABC 与∠C 的度数,则可求得所有角的度数,可得△BCD 也是等腰三角形,则可证得△ABC∽△BCD:∵AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ,∴AD=BD。
2011年数学中考真题及答案
一、填空题(每空5分,共20分)1、因式分解:a2b+2ab+b=.2、根据里氏震级的定义,地震所释放出的相对能量E与震级n的关系为:E=10n,那么9级地震所释放出的相对能量是7级地震所释放出的相对能量的倍数是.3、如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,CE=1,DE=3,则⊙O的半径是.4、定义运算a b=a(1-b),下面给出了关于这种运算的四个结论:①2(-2)=6 ②a b=b a③若a+b=0,则(a a)+(b b)=2ab④若a b=0,则a=0.其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号).二、选择题(每题4分,共20分)5、-2、0、2、-3这四个数中最大的是【】A.2 B.0 C.-2 D.-36、我省2010年末森林面积为3804.2千公顷,用科学记数法表示3804.2千正确的是【】A.3804.2×103 B.380.42×104 C.3.8042×106 D.3.8042×1077、下图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其左视图是【】8、设a =-1,a在两个相邻整数之间,则这两个整数是【】A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和59、从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列推断正确的是【】A.事件M是不可能事件 B.事件M是必然事件C.事件M发生的概率为 D.事件M 发生的概率为10、如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是【】A.7 B.9 C.10 D.1111、如图,⊙O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧BC的长是【】. C.,,点的距离为行粗加工和精加工处理,已知精加的这种山货质量比粗加工的质量的求粗加工的这种山货的质量.18、在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点(1)填写下列各点的坐标:A4( , )、A8( , )、A12( , );(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.19、如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长(≈1.73).20、一次学科测验,学生得分均为整数,满分为10分,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,成绩达到9分为优秀.这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下:(1)请补充完成下面的成绩统计分析表:平均分方差中位数合格率优秀率甲组 6.9 2.4 91.7% 16.7%乙组 1.3 83.3% 8.3%(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们的成绩好于乙组.但乙组学生不同意甲组学生的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出三条支持乙组学生观点的理由.21、如图,函数y1=k1x+b的图象与函数y2=(x>0)的图象交于点A(2,1)、B,与y 轴交于点C(0,3).(1)求函数y1的表达式和点B的坐标;(2)观察图象,比较当x>0时y1与y2的大小.22、在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(0°<<180°),得到△A1B1C.(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;(2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3;(3)如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当=°时,EP的长度最大,最大值为.五、综合题(每空?分,共?分)23、如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).(1)求证:h1=h2;(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h1+h2)2+h12;(3)若h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况.参考答案一、填空题1、;2、100;3、4、①③.二、选择题5、A6、C7、A8、C9、B10、 D11、B12、D13、B14、C三、作图题15、如下图四、简答题16、原式=.17、设粗加工的该种山货质量为xkg,根据题意,得 x+(3x+2000)=10000.解得 x=2000.答:粗加工的该种山货质量为2000kg.18、⑴A1(0,1) A3(1,0) A12(6,0)⑵A n(2n,0)⑶向上19、简答:∵OA,OB=OC=1500,∴AB=(m).答:隧道AB的长约为635m.20、(1)甲组:中位数 7;乙组:平均数7,中位数7(2)(答案不唯一)①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩,所以乙组学生的成绩好于甲组;②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大,而乙组学生的方差低于甲组学生的方差,说明乙组学生成绩的波动性比甲组小,所以乙组学生的成绩好于甲组;③因为乙组学生成绩的最低分高于甲组学生的最低分,所以乙组学生的成绩好于甲组。
2011年江苏省盐城市中考数学试题及答案--等腰三角形
数学试题 第1页(共6页)绝密★启用前盐城市二○一一年高中阶段教育招生统一考试数 学 试 题注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.-2的绝对值是 A .-2B .- 12C .2D .122.下列运算正确的是 A .x 2+ x 3= x 5B .x 4·x 2 = x 6C .x 6÷x 2 = x 3D .( x 2)3 = x 83.下面四个几何体中,俯视图为四边形的是4.已知a -b =1,则代数式2a -2b -3的值是A .-1B .1C .-5D .55.若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6,圆心距O 1O 2=8,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A .内切 B .相交 C .外切 D .外离6.对于反比例函数y = 1x ,下列说法正确的是A .图象经过点(1,-1)B .图象位于第二、四象限C .图象是中心对称图形D .当x <0时,y 随x 的增大而增大 7.某市6月上旬前5天的最高气温如下(单位:℃):28,29,31,29,32.对这组数据,下列说法正确的是 A .平均数为30B .众数为29C .中位数为31D .极差为5A B CD数学试题 第2页(共6页)8.小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校.折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误..的是 A .他离家8km 共用了30min B .他等公交车时间为6min C .他步行的速度是100m/min D .公交车的速度是350m/min二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上) 9.27的立方根为 ▲ .10.某服装原价为a 元,降价10%后的价格为 ▲ 元.11.“任意打开一本200页的数学书,正好是第35页”,这是 ▲ 事件(选填“随机”或“必然”).12.据报道,今年全国高考计划招生675万人.675万这个数用 科学记数法可表示为 ▲ .13.化简:x 2 - 9x - 3= ▲ .14.如图,△ABC 的顶点都在正方形网格格点上,点A 的坐标为(-1,4). 将△ABC 沿y 轴翻折到第一象限,则点C 的 对应点C ′的坐标是 ▲ . 15.将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,按图示画线得到四边形ABCD ,则四边形ABCD 的形状是 ▲ .16.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC ,垂足为D ,E 是AC 的中点.若DE =5,则AB 的长为 ▲ .17.如图,已知正方形ABCD 的边长为12cm ,E 为CD 边上一点,DE =5cm .以点A 为中心,将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF ,则点E 所经过的路径长为 ▲ cm . 18.将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ,n )表示第m 排从左向右 第n 个数,则(5,4)与(15,7)表示 的两数之积是 ▲ .DCB A F ED CB A(第15题图) (第16题图) (第17题图)AB CD E111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排(第8题图)(第14题图)数学试题 第3页(共6页)三、解答题(本大题共有10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)(1)计算:(3)0- (12 )-2 +tan45°; (2)解方程:x x -1 - 31-x= 2.20.(本题满分8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +23 <1,2(1-x )≤5,并把解集在数轴上表示出来.21.(本题满分8分)小明有3支水笔,分别为红色、蓝色、黑色;有2块橡皮,分别为白色、灰色.小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用.试用树状图或表格列出所有可能的结果,并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率.22.(本题满分8分)为迎接建党90周年,某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛,评分结果只有60,70,80,90,100五种.现从中随机抽取部分作品,对其份数及成绩进行整理,制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)求本次抽取了多少份作品,并补全两幅统计图;(2)已知该校收到参赛作品共900份,请估计该校学生比赛成绩达到90分以上(含90分)的作品有多少份?23.(本题满分10分)已知二次函数y = -12x 2-x +32.(1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象; (2)根据图象,写出当y< 0时,x 的取值范围;(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式.24.(本题满分10分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ,灯罩BC 长作品成绩扇形统计图60分 %100分 10%90分30%80分%70分20%成绩/分10090807060数学试题 第4页(共6页)为30cm ,底座厚度为2cm ,灯臂与底座构成的∠BAD =60°. 使用发现,光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ? (结果精确到0.1cm ,参考数据:3≈1.732)25.(本题满分10分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,以AB 上一点O 为圆心,OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ,分别交AC 、AB 于点E 、F . (1)若AC =6,AB =10,求⊙O 的半径;(2)连接OE 、ED 、DF 、EF .若四边形BDEF 是平行四边形,试判断四边形OFDE 的形状, 并说明理由.26.(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息,解答下列问题: (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下,当m 定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?27.(本题满分12分)A数学试题 第5页(共6页)情境观察将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△A′C ′D ,如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC 相等的线段是 ▲ ,∠CAC ′= ▲ °.问题探究如图3,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 拓展延伸如图4,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ,AC =k AF ,试探究HE 与HF之间的数量关系,并说明理由.28.(本题满分12分)如图,已知一次函数y =-x +7与正比例函数y = 43x 的图象交于点A ,图4MNGFECBAH图3AB CEFGPQ 图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'数学试题 第6页(共6页)且与x 轴交于点B .(1)求点A 和点B 的坐标;(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒.①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.盐城市二○一一年高中阶段教育招生统一考试(备用图)数学试题 第7页(共6页)数学试题参考答案二、填空题(每小题3分,共30分)9.3 10.0.9a 11.随机 12.6.75×10613.x +3 14.(3,1)15.等腰梯形 16.10 17.132π(也可写成6.5π)18.2 3三、解答题19.(1)解:原式=1-4+1=-2.(2)解:去分母,得 x +3=2(x -1) . 解之,得x =5. 经检验,x =5是原方程的解.20.解:解不等式x +23<1,得x <1; 解不等式2(1-x )≤5,得x ≥-32;∴原不等式组的解集是- 32≤x <1.解集在数轴上表示为21.解:解法一:画树状图:P (红色水笔和白色橡皮配套)= 16.P (红色水笔和白色橡皮配套)= 16.开始 蓝 黑 结果白 灰 橡皮 水笔 白 灰 白 灰 (红,白) (红,灰) (蓝,白) (蓝,灰) (黑,白) (黑,灰)数学试题 第8页(共6页)22.解:(1)∵24÷20%=120(份),∴本次抽取了120份作品.补全两幅统计图 (补全条形统计图1分,扇形统计图2分)(2)∵900×(30%+10%)=360(份);∴估计该校学生比赛成绩达到90分以上(含90分)的作品有360份. 23.解:(1)画图(如图);(2)当y< 0时,x 的取值范围是x <-3或x >1;(3)平移后图象所对应的函数关系式为y =- 12(x -2)2+2(或写成y =- 12x 2+2x ).24.解:过点B 作BF ⊥CD 于F ,作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中,∠CBF =30°,∴CF =BC ·sin 30°= 30×12 =15.在Rt △ABG 中,∠BAG =60°,∴BG =AB ·sin 60°= 40×32 = 20 3.∴CE =CF +FD +DE =15+203+2=17+203≈51.64≈51.6(cm )cm. 答:此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是51.6cm. 25.解:(1)连接OD . 设⊙O 的半径为r . ∵BC 切⊙O 于点D ,∴OD ⊥BC .∵∠C =90°,∴OD ∥AC ,∴△OBD ∽△ABC .∴OD AC = OB AB ,即 r 6 = 10-r10. 解得r = 154, ∴⊙O 的半径为154.(2)四边形OFDE 是菱形.∵四边形BDEF 是平行四边形,∴∠DEF =∠B .∵∠DEF =12∠DOB ,∴∠B =12∠DOB .∵∠ODB =90°,∴∠DOB +∠B =90°,∴∠DOB =60°.∵DE ∥AB ,∴∠ODE =60°.∵OD =OE ,∴△ODE 是等边三角形.∴OD =DE .∵OD =OF ,∴DE =OF .∴四边形OFDE 是平行四边形. ∵OE =OF ,∴平行四边形OFDE 是菱形.26.解:(1)设甲商品的进货单价是x 元,乙商品的进货单价是y 元.11OA60708090100成绩/分70分20%80分35%90分30%100分 10%60分 5%数学试题 第9页(共6页)根据题意,得⎩⎨⎧x +y =53(x +1)+2(2y -1)=19 解得⎩⎨⎧x =2y =3答:甲商品的进货单价是2元,乙商品的进货单价是3元.(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元,则s =(1-m )(500+100×m 0.1)+(5-3-m )(300+100×m0.1)即 s =-2000m 2+2200m +1100 =-2000(m -0.55)2+1705. ∴当m =0.55时,s 有最大值,最大值为1705.答:当m 定为0.55时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大,每天的最大利润是1705元.27.解:情境观察AD (或A′D ),90 问题探究结论:EP =FQ .证明:∵△ABE 是等腰三角形,∴AB =AE ,∠BAE =90°.∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ,∴∠BAG +∠ABG =90°,∴∠ABG =∠EAP . ∵EP ⊥AG ,∴∠AGB =∠EP A =90°,∴Rt △ABG ≌Rt △EAP . ∴AG =EP . 同理AG =FQ . ∴EP =FQ . 拓展延伸结论: HE =HF .理由:过点E 作EP ⊥GA ,FQ ⊥GA ,垂足分别为P 、Q . ∵四边形ABME 是矩形,∴∠BAE =90°,∴∠BAG +∠EAP =90°.AG ⊥BC ,∴∠BAG +∠ABG =90°, ∴∠ABG =∠EAP .∵∠AGB =∠EP A =90°,∴△ABG ∽△EAP ,∴AG EP = ABEA .同理△ACG ∽△F AQ ,∴AG FP = ACF A .∵AB =k AE ,AC =k AF ,∴AB EA = AC F A =k ,∴AG EP = AGFP. ∴EP =FQ .∵∠EHP =∠FHQ ,∴Rt △EPH ≌Rt △FQH . ∴HE =HFQ P H ABCEFGNM数学试题 第10页(共6页)28.解:(1)根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +7y=43x,解得 ⎩⎨⎧x =3y =4,∴A (3,4) .令y =-x +7=0,得x =7.∴B (7,0).(2)①当P 在OC 上运动时,0≤t <4. 由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △POR -S △ARB =8,得 12(3+7)×4-12×3×(4-t )- 12t(7-t )- 12t ×4=8 整理,得t 2-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6(舍) 当P 在CA 上运动,4≤t <7.由S △APR = 12×(7-t ) ×4=8,得t =3(舍)∴当t =2时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时,0≤t <4. ∴AP=(4-t )2+32,AQ=2t ,PQ=7-t 当AP =AQ 时, (4-t )2+32=2(4-t )2, 整理得,t 2-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时,(4-t )2+32=(7-t )2, 整理得,6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时,2(4-t )2=(7-t )2整理得,t 2-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍)当P 在CA 上运动时,4≤t <7. 过A 作AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4.设直线l 交AC 于E ,则QE ⊥AC ,AE =RD =t -4,AP =7-t .由cos ∠OAC= AE AQ = ACAO ,得AQ = 53(t -4).当AP=AQ 时,7-t = 53(t -4),解得t = 418.当AQ=PQ 时,AE =PE ,即AE = 12AP得t -4= 12(7-t ),解得t =5.当AP=PQ 时,过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12×53(t -4).在Rt △APF 中,由cos ∠P AF =AFAP = 35,得AF = 35AP 即 12×53(t -4)= 35×(7-t ),解得t= 22643.∴综上所述,t=1或 418或5或 22643时,△APQ 是等腰三角形。
陕西省2011年中考数学试题及答案解析word版
陕西省2011年中考数学试题一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1、(2011•陕西)的倒数为()A、B、C、D、考点:倒数。
专题:计算题。
分析:根据倒数的意义,两个数的积为1,则两个数互为倒数,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.解答:解:的倒数为,1÷=﹣,故选:A.点评:此题考查的是倒数,关键是由倒数的意义,用1除以这个数即是.2、(2011•陕西)下面四个几何体中,同一个几何体的主视图和俯视图相同的共有()A、1个B、2个C、3个D、4个考点:简单几何体的三视图。
分析:主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看,所得到的图形.解答:解:圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆,主视图与俯视图不相同;圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆,主视图与俯视图不相同;球主视图、俯视图都是圆,主视图与俯视图相同;正方体主视图、俯视图都是正方形,主视图与俯视图相同.共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同.故选B.点评:本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.3、(2011•陕西)我国第六次人口普查显示,全国人口为人,将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学记数法表示为()A、1.37×109B、1.37×107C、1.37×108D、1.37×1010考点:科学记数法与有效数字。
分析:较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示.用科学记数法保留有效数字,要在标准形式a×10n中a的部分保留,从左边第一个不为0的数字数起,需要保留几位就数几位,然后根据四舍五入的原理进行取舍.解答:解:=1.×109≈1.37×109,故选:A.点评:此题主要考查了科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的有效数字的确定方法.4、(2011•陕西)下列四个点,在正比例函数的图象上的点是()A、(2,5)B、(5,2)C、(2,﹣5)D、(5,﹣2考点:一次函数图象上点的坐标特征。
浙江省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形
某某2011年中考数学试题分类解析汇编专题9:三角形 一、选择题 1.(某某某某、某某3分)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为(A )32(B )33 (C )34 (D )36【答案】B 。
【考点】等边三角形的性质,三角形中位线定理,勾股定理或正弦函数。
【分析】根据边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,得出DE=2,BD=2,∠B=600。
从而DF=3(可用勾股定理或正弦函数求得)。
再利用梯形的面积公式求出:DE BC 24DF 33322++⋅=⋅=。
故选B 。
2(某某某某4分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA 的值是A 、513B 、1213C 、513D 、135【答案】A 。
【考点】锐角三角函数的定义。
【分析】直接利用锐角三角函数的定义求解,sinA 为∠A 的对边比斜边,求出即可:sinA=BC 5AB 13=。
故选A 。
3.(某某某某、某某3分)如图,某某路与某某路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在某某路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为A 、600mB 、500mC 、400mD 、300m 【答案】 B 。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,由于BC∥AD ,那么有∠DAE=∠ACB ,由题意可知∠ABC=∠DEA=90°,BA=ED ,利用AAS 可证△ABC≌△DEA ,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC=22AB BC 500+=,从而可求得CE=AC ﹣AE=200。
根据图可知从B 到E 的走法有两种:①BA+AE=700;②BC+CE=500。
∴最近的路程是500m 。
故选B 。
4.(某某某某3分)如图,在△ABC 中,∠C=90º,BC =1,AC =2,则tanA 的值为A .2B . 1 2C .55D .255【答案】B 。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析):等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1:等腰三角形1.等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、 底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).3.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).知识点2:等边三角形1.定义:三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.等边三角形的性质和判定:(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3:直角三角形的一个定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【例题1】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:△ABC各角的度数.【例题2】证明:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB .【例题7】已知等边三角形的边长为3,点P 为等边三角形内任意一点,则点P 到三边的距离之和为( )A .B .C .D .不能确定【例题3】如图,已知AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC 与BD 交于点O ,AC=BD.求证:(1)BC=AD ;(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3,点P 为等边三角形内任意一点,则点P 到三边的距离之和为( )12C AA.B.C.D.不能确定2.如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是()A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC3.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN 为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上4.如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2B.2+C.4 D.3二、解答题5.已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.6.如图,在△ABC中,过C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.7.求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.已知:∠CAE 是△ABC 的外角,∠1=∠2,AD ∥BC (如图).求证:AB=AC .8.已知:如图,AD ∥BC ,BD 平分∠ABC .求证:AB=AD .9.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD 、CE 是△ABC 的平分线.求证:BD=CE .10.证明:等腰三角形两腰上的高相等.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,BE 、CF 分别是△ABC 的高.E DCAB11.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD 、CE 分别是两腰上的中线.求证:BD=CE .12.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC=2a ,∠ABC=∠ACB=15°,CD 是腰AB 上的高.求:CD 的长.13.已知:如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高,∠A=30°.求证:BD=AB .14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.求证:其中一条是另一条的2倍.已知:在Rt △ABC 中,∠A=90°,∠ABC=2∠C ,BD 是∠ABC 的平分线.1415.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=AB .求证:∠BAC=30°.16.已知,如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形.求证:AN=BM .17.一个直角三角形房梁如图所示,其中BC ⊥AC ,∠BAC=30°,AB=10cm , CB 1⊥AB ,B 1C ⊥AC 1,垂足分别是B 1、C 1,那么BC 的长是多少?18.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,AC 的垂直平分线交AB 于E ,D 为垂足,连接EC .(1)求∠ECD 的度数;(2)若CE=5,求BC 长.12专题13.3 等腰三角形知识点1:等腰三角形1.等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、 底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).3.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).知识点2:等边三角形1.定义:三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.等边三角形的性质和判定:(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
中考数学专题复习试题分类汇编三等腰三角形和直角三角形
中考数学专题复习试题分类汇编三等腰三角形和直角三角形学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________评卷人得分一、单选题1.已知线段AB,按如下步骤作图:①作射线AC,使AC AB⊥;①作BAC∠的平分线AD;①以点A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点E;①过点E作EP AB⊥于点P,则:AP AB=()A.1:5B.1:2C.1:3D.1:22.如图,在ABC中,45,60,B C AD BC∠=︒∠=︒⊥于点D,3BD=.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为()A.33B.32C.1D.623.如图,在Rt ABC△纸片中,90,4,3ACB AC BC∠=︒==,点,D E分别在,AB AC 上,连结DE,将ADE沿DE翻折,使点A的对应点F落在BC的延长线上,若FD 平分EFB∠,则AD的长为()252515204.如图,正三角形ABC的边长为3,将①ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到①A'B'C',则它们重叠部分的面积是()A.23B.334C.332D.35.如图,在Rt①ABC中,①ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点,连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为()A.2B.2.5C.3D.46.①BDE和①FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道()A.①ABC的周长B.①AFH的周长C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长7.如图,等腰直角三角形ABC中,①ABC=90°,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°),得到BP,连结CP,过点A作AH①CP交CP的延长线于点H,连结AP,则①P AH的度数()B.随着θ的增大而减小C.不变D.随着θ的增大,先增大后减小8.已知直线m n,将一块含45︒角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC 与直线n交于点D.若125∠=︒,则2∠的度数为()A.60︒B.65︒C.70︒D.75︒9.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC CD DE==,点D,E可在槽中滑动,若75BDE∠=︒,则CDE∠的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°10.在ABC中,若一个内角等于另外两个角的差,则()A.必有一个角等于30B.必有一个角等于45︒C.必有一个角等于60︒D.必有一个角等于90︒评卷人得分二、填空题11.如图,在①ABC中,①ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连接AF.以点A为圆心,AF为半径画弧,交BC延长线于点H,连接AH.若BC=3,则①AFH的周长为_____.12.如图,在ABC中,AB AC=,70B∠=︒,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连结AP,则BAP∠的度数是_______.13.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是_____ .评卷人得分三、解答题14.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=20,BC=DC=102(1)求证:①ABC①①ADC;(2)当①BCA=45°时,求①BAD的度数.15.问题:如图,在①ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作①AEC,使EA=EC,若①BAE=90°,①B=45°,求①DAC的度数.答案:①DAC=45°思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“①B=45°”去掉,其余条件不变,那么①DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“①B=45°”去掉,再将“①BAE=90°”改为“①BAE=n°”,其余条件不变,求①DAC的度数.16.如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,①B=①DCE=90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB①DE.(1)求证:△ABC①①DCE;(2)连结AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.17.如图1是实验室中的一种摆动装置,BC 在地面上,支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形,摆动臂长AD 可绕点A 旋转,摆动臂DM 可绕点D 旋转,30AD =,10DM =.(1)在旋转过程中:①当,,A D M 三点在同一直线上时,求AM 的长;②当,,A D M 三点在同一直角三角形的顶点时,求AM 的长.(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90︒,点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处,连结12D D ,如图2,此时2135AD C ∠=︒,260CD =,求2BD 的长.18.如图,在76⨯的方格中,ABC 的顶点均在格点上,试按要求画出线段EF (E ,F 均为格点),各画出一条即可.19.如图,在ABC中,AC AB BC.①已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP,求证:2APC B;①以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连结AQ,若B,求B的度数.3AQC参考答案:1.D【解析】【分析】由题意易得①BAD =45°,AB =AE ,进而可得①APE 是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质可求解.【详解】解:①AC AB ⊥,①90CAB ∠=︒,①AD 平分BAC ∠,①①BAD =45°,①EP AB ⊥,①①APE 是等腰直角三角形,①AP =PE ,①222AE AP PE AP =+=,①AB =AE ,①2AB AP =,①:1:2AP AB =;故选D .【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义,熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.2.C【解析】【分析】根据条件可知①ABD 为等腰直角三角形,则BD =AD ,①ADC 是30°、60°的直角三角形,可求出AC 长,再根据中位线定理可知EF =2AC 。
2011年中考数学考试试题答案
1 / 12高中阶段教育学校招生统一考试数 学全卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.全卷满分120分,考试时间共120分钟.答题前,请考生务必在答题卡上正确填涂自己的姓名、考号和考试科目,并将试卷密封线内的项目填写清楚;考试结束,将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共30分)注意事项:每小题选出的答案不能答在试卷上,须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目....的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦净后,再选涂其它答案.一、选择题:(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意.1. -3的绝对值是( )A. 3B. -3C.13 D. 13- 2. “中国国家馆”作为2010年上海世博会的主题场馆,充分体现了中国文化的精神与气质. 资料表明,在建设过程中使用的一种工艺,需要对中国馆的大台阶进行约5.4×107次加工. 其中5.4×107表示的数为( )A. 5 400 000B. 54 000 000C. 540 000 000D. 5 400 000 000 3. 小明调查了本班同学最喜欢的课外活动项目,并作出如图1所示的扇形统计图,则从图中可以直接看出的信息是( )A. 全班总人数B. 喜欢篮球活动的人数最多C. 喜欢各种课外活动的具体人数D. 喜欢各种课外活动的人数占本班总人数的百分比4. 顺次连接边长为2的等边三角形三边中点所得的三角形的周长为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 用一个平面截一个几何体,得到的截面是四边形,则这个几何体可能是( ) A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱锥6. 若实数a 、b 满足5a b +=,2210a b ab +=-,则ab 的值是( ) A. -2B. 2图1图22 / 12C. -50D. 507. 如图2,A 为⊙O 上一点,从A 处射出的光线经圆周4次反射后到达F 处. 如果反射前后光线与半径的夹角均为50°,那么∠AOE 的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 80°8. 为缓解考试前的紧张情绪,某校九年级举行了“猪八戒背媳妇”的趣味接力比赛. 比赛要求每位选手在50米跑道上进行折返跑,其中有50米必须“背媳妇”. 假设某同学先跑步后“背媳妇”,且该同学跑步、“背媳妇”均匀速前进,他与起点的距离为s ,所用时间为t ,则s 与t 的函数关系用图象可表示为()A. B. C. D.9. 在同一平面内,如果两个多边形(含内部)有除边界以外的公共点,则称两多边形有“公共部分”.如图3,若正方形ABCD 由9个边长为1的小正方形镶嵌而成,另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的n 个有“公共部分”,则n 的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 710. 如图4,已知点A 1,A 2,…,A 2011在函数2y x =位于第二象限的图象上,点B 1,B 2,…,B 2011在函数2y x =位于第一象限的图象上,点C 1,C 2,…,C 2011在y 轴的正半轴上,若四边形111OA C B 、1222C A C B ,…,2010201120112011C A C B 都是正方形,则正方形2010201120112011C A C B 的边长为( )A. 2010B. 2011C. 20102D. 20112图3图43 / 12高中阶段教育学校招生统一考试数 学第Ⅱ卷(非选择题 共90分)题号 二 三总 分总分人171819202122232425得分注意事项:本卷共6页,用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.请注意准确理解题意、明确题目要求,规范地表达、工整地书写解题过程或结果.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)把答案直接填在题中横线上.11. 9的平方根为____________.12. 第16届亚运会将于2010年11月12日至27日在中国广州进行,各类门票现已开始销售. 若部分项目门票的最低价和最高价如图5所示,则这六个项目门票最高价的中位数是____________ .13. 若菱形一边的垂直平分线经过这个菱形的一个顶点,则此菱形较大内角的度数为_______.14. 若关于x 的方程2220x m x m m -+-=无实数根,则实数m 的取值范围是____________.15. 如图6,已知△ABC是等腰直角三角形,CD 是斜边AB 的中线,△ADC 绕点D 旋转一定角度得到△A DC '',A D '交AC 于点E ,DC '交BC 于点F ,连接EF ,若25A E ED '=,则EF A C ''=_________ . 16. 给出下列命题:① 若方程2560x x +-=的两根分别为1x ,2x ,则121156x x +=;② 对于任意实数x 、y ,都有2233()()x y x xy y x y -++=-;③ 如果一列数3,7,11,…满足条件:“以3为第一个数,从第二个数开始每一个数与它前面相邻的数的差为4”,那么99不是这列数中的一个数;④若※表示一种运算,且1※2=1,3※2=7,4※4=8,…,按此规律,则可能有a ※b =3a -b . 其中所有正确命题的序号是__________________ .图6图54 / 12三、解答题:(本大题共9个小题,共72分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分7分)化简:2162393m m m -÷+--.18.(本小题满分7分)在为迎接“世界环境日”举办的“保护环境、珍爱地球”晚会上,主持人与观众玩一个游戏:取三张完全相同、没有任何标记的卡片,分别写上“物种”、“星球”和“未来”,并将写有文字的一面朝下,随机放置在桌面上,然后依次翻开三张卡片.(1) 用列表法(或树状图)求翻开卡片后第一张是“物种”且第二张是“星球”的概率; (2) 主持人规定:若翻开的第一张卡片是“未来”,观众获胜,否则主持人获胜. 这个规定公平吗?为什么?19.(本小题满分8分)如图7,已知A 、B 、C 是数轴上异于原点O 的三个点,且O 为AB 的中点,B为AC 的中点. 若点B 对应的数是x ,点C 对应的数是2x -3x ,求x 的值.图75 / 1220.(本小题满分8分)已知关于x 的不等式组4(1)23,617x x x ax -+>⎧⎪+⎨-<⎪⎩有且只有三个整数解,求a 的取值范围.21.(本小题满分8分)如图8,已知直线l :y =kx +b 与双曲线C :my x=相交于点A (1,3)、B (32-,-2),点A 关于原点的对称点为P .(1) 求直线l 和双曲线C 对应的函数关系式; (2) 求证:点P 在双曲线C 上;(3) 找一条直线l 1,使△ABP 沿l 1翻折后,点P 能落在双曲线C 上. (指出符合要求的l 1的一个解析式即可,不需说明理由)图86 / 1222.(本小题满分8分)在军事上,常用时钟表示方位角(读数对应的时针方向),如正北为12点方向,北偏西30°为11点方向. 在一次反恐演习中,甲队员在A 处掩护,乙队员从A 处沿12点方向以40米/分的速度前进,2分钟后到达B 处. 这时,甲队员发现在自己的1点方向的C 处有恐怖分子,乙队员发现C 处位于自己的2点方向(如图9). 假设距恐怖分子100米以外为安全位置.(1) 乙队员是否处于安全位置?为什么?(2) 因情况不明,甲队员立即发出指令,要求乙队员沿原路后撤,务必于15秒内到达安全位置. 为此,乙队员至少..应用多快的速度撤离?(结果精确到个位. 参考数据:13 3.6≈0,14 3.74≈.)23.(本小题满分8分)如图10-1,已知AB 是⊙O 的直径,直线l 与⊙O 相切于点B ,直线m 垂直AB 于点C ,交⊙O 于P 、Q 两点. 连结AP ,过O 作OD ∥AP 交l 于点D ,连接AD 与m 交于点M .(1) 如图10-2,当直线m 过点O 时,求证:M 是PO 的中点;(2) 如图10-1,当直线m 不过点O 时,M 是否仍为PC 的中点?证明你的结论.图9图10-1 图10-27 / 1224.(本小题满分9分)如图11,在直角梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AB =3,AD =1,BC =6,∠A =∠B =90°.设动点P 、Q 、R 在梯形的边上,始终构成以P 为直角顶点的等腰直角三角形,且△PQR 的一边与梯形ABCD 的两底边平行.(1) 当点P 在AB 边上时,在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法); (2) 当点P 在BC 边或CD 边上时,求BP 的长.图118 / 1225.(本小题满分9分)如图12,已知直线22y x =+交y 轴于点A ,交x 轴于点B ,直线l :39y x =-+交x 轴于点C .(1) 求经过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式,并指出此函数的函数值随x 的增大而增大时,x 的取值范围;(2) 若点E 在(1)中的抛物线上,且四边形ABCE 是以BC 为底的梯形,求梯形ABCE 的面积; (3) 在(1)、(2)的条件下,过E 作直线EF ⊥x 轴,垂足为G ,交直线l 于F . 在抛物线上是否存在点H ,使直线l 、直线FH 和x 轴所围成的三角形的面积恰好是梯形ABCE 面积的12?若存在,求点H 的横坐标;若不存在,请说明理由.图12高中阶段教育学校招生统一考试数学试题参考答案及评分意见说明:1. 解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得的累计分数.2. 参考答案一般只给出该题的一种解法,如果考生的解法和参考答案所给解法不同,请参照本答案及评分意见给分.3. 考生的解答可以根据具体问题合理省略非关键步骤.4. 评卷时要坚持每题评阅到底,当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变问题的内容和难度,可视影响程度决定后面部分的给分,但不得超过后继部分应给分数的一半;如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分;若是几个相对独立的得分点,其中一处错误不影响其他得分点的得分.5. 给分和扣分都以1分为基本单位.6. 正式阅卷前应进行试评,在试评中须认真研究参考答案和评分意见,不能随意拔高或降低给分标准,统一标准后须对全部试评的试卷予以复查,以免阅卷前后期评分标准宽严不同.一、选择题(每小题3分,共10个小题,满分30分):1-5. ABDCB;6-10. ABCCD.二、填空题(每小题3分,共6个小题,满分18分):11.±3;12.800元;13. 120°;14.m<0;15.57;16.①②④.(注:12、13题有无单位“元”或“°”均不扣分. ) 三、解答题(共9个小题,满分72分):17.解:原式=1633(3)(3)2mm m m-+++-····················································3分=1333m m+++···················································································5分=43m+. ··························································································7分18.(1) 解一:列表如下: ············································································································3分∴第一张是“物种”且第二张是“星球”的概率是16. ······························4分解二:树状图如下:9 / 1210 / 12···························· 3分∴ 第一张是“物种”且第二张是“星球”的概率是16. ············································(2) 这个规定不公平. ··········································································5分因为观众获胜的概率是13,主持人获胜的概率是23. ·································7分19.解:由已知,点O 是AB 的中点,点B 对应的数是x ,∴ 点A 对应的实数为-x . ····································································1分 ∵ 点B 是AC 的中点,点C 对应的数是2x -3x , ∴ (2x -3x )-x =x -(-x ). ··········································································4分 整理,得2x -6x =0,解之得 x =0,或x =6. ···············································6分 ∵ 点B 异于原点,故x =0应舍去. ∴ x 的值为6. ·····································7分 20.解:由4(1)23x x -+>得,x >2; ···························································2分由617x ax +-<得,x <a +7. ··································································5分依题意得,不等式组的解集为2<x <a +7. ··················································6分 又 ∵ 此不等式组有且只有三个整数解,故整数解只能是x =3,4,5, ∴ 5<a +7≤6,则-2<a ≤-1. ·································································8分 (注:未取等号扣1分)21. 解:(1) 将点A 、B 的坐标代入y =kx +b ,有31,32().2k b k b =⨯+⎧⎪⎨-=⨯-+⎪⎩ ·············································································2分 解得,2k =,b =1,即直线l 对应的函数关系为y =2x +1. ·····························3分将点A (1,3)(或B )的坐标代入my x =,得m =3,∴ 双曲线C 对应的函数关系为y =3x. ·····················································4分(2) ∵ P 为点A 关于原点的对称点,∴ 点P 的坐标为(-1,-3),符合双曲线C 的函数关系,故点P 在双曲线C 上. ·················································································6分(3) l 1的解析式为y =x ,或y =-x . ·····························································8分 (注:写出一个解析式即得2分.) 22.解:(1) 乙队员不安全. ······················································· 1分易求AB =80米. ∵ ∠BAC =∠C =30°,∴ BC =AB =80米<100米. ·························· 3分 ∴ 乙队员不安全.(2) 过C 点作CD ⊥AB ,垂足为D ,在AB 边上取一点B 1,使CB 1=100. ······················································································ 4分在Rt △CBD 中,∠CBD =60°,BC =80,则BD =40,CD =403. ···· 5分在Rt △1CDB 中,由勾股定理知22112013B D B C CD =-=, ·····················6分11 / 12而20134015-≈2.13米/秒, ·······························································7分 依题意,乙队员至少应以3米/秒的速度撤离. ··········································8分 (注:结果为2米/秒,本步不给分.)23.(1) 证明:连接PD ,∵ 直线m 垂直AB 于点C ,直线l 与⊙O 相切于点B ,AB 为直径,∴ ∠POA =∠DBA =90°.又∵ AP ∥OD ,∴ ∠P AO =∠DOB . ························································1分 又∵ AO =BO ,∴ △APO ≌△ODB . ·······················································2分 ∴ AP =OD ,∴ 四边形APDO 是平行四边形, ·········································3分 ∴ M 是PO 的中点. ···········································································4分(其他解法:证△APO ≌△ODB 后,据中位线定理证12OM BD =;或证△DPO ≌△DBO ,得∠DPO =∠DBO =90°,从而证四边形APDO 是平行四边形等.)(2) M 是PC 的中点. 证明如下:∵AP ∥OD ,∴ ∠P AO =∠DOB ,又 ∠PCA =∠DBO =90°,∴ △APC ∽△ODB ,∴ PC AC BD BO=.①·····················································5分 又易证△ACM ∽△ABD ,∴ AC MC AB BD=. ·················································6分 又∵ AB =2OB ,∴ 2AC MC OB BD =,∴2AC MC OB BD=.② ····································7分 由①②得,2PC MC BD BD=,∴ PC =2MC ,即M 是PC 的中点. ·························8分 24.(1) 如图.(注:答案不唯一,在图中画出符合条件的图形即可) ······················2分(2) ① 当P 在CD 边上时,由题意,PR ∥BC ,设PR =x .可证四边形PRBQ 是正方形,∴ PR =PQ =BQ =x .过D 点作DE ∥AB ,交BC 于E ,易证四边形ABED 是矩形.∴ AD =BE =1,AB =DE =3. ··········································· 3分又 PQ ∥DE ,∴△CPQ ∽△CDE ,PQ CQ DE CE=. ∴ 635x x -=, ························································ 4分 ∴ x =94,即BP =942. ············································ 5分 (注:此时,由于∠C ≠45°,因此斜边RQ 不可能平行于BC . 在答题中未考虑此问题者不扣分.) ② 当P 在BC 边上,依题意可知RQ ∥BC .过Q 作QF ⊥BC ,易证△BRP ≌△FQP ,则PB =PF . ········· 6分易证四边形BFQR 是矩形,设BP =x ,则BP =BR =QF =PF =x ,BF =RQ =2x . ·················· 7分∵ QF ∥DE ,∴ △CQF ∽△CDE ,∴ QF CF DE CE =. ······································8分12 / 12 ∴6235x x -=,∴ x =1811. ···································································9分 (注:此时,直角边不可能与两底平行. 在答题中未考虑此问题者不扣分.)25.(1) ∵ 直线AB 的解析式为22y x =+,∴ 点A 、B 的坐标分别为A (0,2),B (-1,0).又直线l 的解析式为39y x =-+,∴ 点C 的坐标为(3,0). ··························1分 由上,可设经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3),将点A 的坐标代入,得 a =23-,∴ 抛物线的解析式为224233y x x =-++. ·····2分 ∴ 抛物线的对称轴为x =1.由此可知,函数值随x 的增大而增大时,x 的取值范围是x ≤1. ···················3分 (注:本步结果无等号不扣分.)(2) 过A 作AE ∥BC ,交抛物线于点E . 显然,点A 、E 关于直线x =1对称,∴ 点E 的坐标为E (2,2). ····································································4分故梯形ABCE 的面积为 S =12(2+4)×2=6. ··················································5分 (3) 假设存在符合条件的点H ,作直线FH 交x 轴于M ,由题意知,3CFM S =. 设F (m ,n ),易知m =2,将F (2,n )的坐标代入y =-3x +9中,可求出n =3,则FG =3. ························6分∴ 132CFM S FG CM ==,∴ CM =2. 由C (3,0)知,1M (5,0),2M (1,0), ·······················································7分设FM 的解析式为y =kx +b ,由1M (5,0),F (2,3)得,F 1M 的解析式为y =-x +5,则F 1M 与抛物线的交点H 满足: 25,24 2.33y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩整理得,22790x x -+=, ∵ △<0,∴ 不符合题意,舍去. ······················· 8分由2M (1,0),F (2,3)得,F 2M 的解析式为y =3x -3,则F 2M 与抛物线的交点H 满足:233,24 2.33y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩整理得,225150x x +-=, ∴ 51454x -±=. ··············································································9分 即:H点的横坐标为51454-±.。
全国2011年中考数学试题分类解析汇编 专题30等腰三角形
全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套)专题30:等腰三角形 一、选择题1.(某某某某、某某3分)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为(A )32(B )33 (C )34 (D )36【答案】B 。
【考点】等边三角形的性质,三角形中位线定理,勾股定理或正弦函数。
【分析】根据边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,得出DE=2,BD=2,∠B=600。
从而DF=3(可用勾股定理或正弦函数求得)。
再利用梯形的面积公式求出:DE BC 24DF 33322++⋅=⋅=。
故选B 。
2.(某某某某3分)某某市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村民居侧面截图,屋坡AF 、AG 分别架在墙体的点B 、点C 处,且AB=AC ,侧面四边形BDEC 为矩形.若测得∠FAG=110°,则∠FBD=A 、35°B 、40° C、55° D 、70°【答案】C 。
【考点】等腰三角形的性质,矩形的性质,平角的定义。
【分析】根据已知∠FAG=110°,在等腰△ABC 中根据等边对等角求出角∠ABC=∠ACB=35°,再根据矩形的性质可知矩形的每个内角都为90°,这样得出∠DBC=90°,最后观察图形可知∠ABC、∠DBC 和∠FBD 构成一个平角,再根据平角的定义即可求出∠FBD=180°﹣∠ABC﹣∠DBC=180°﹣35°﹣90°=55°。
故选C 。
3.(某某某某4分)如图,矩形ABCD 中,AB <BC ,对角线AC 、BD 相交于点O ,则图中的等腰三角形有A .2个B .4个C .6个D .8个【答案】B 。
【考点】矩形的性质,等腰三角形的判定。
【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD ,从而得出图中等腰三角形中的个数:∵矩形ABCD 中,AB <BC ,对角线AC 、BD 相交于点O ,∴OA=OB=OC=OD,∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC 四个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第23章 等腰三角形一、选择题1. (2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( ) (A )32(B )33(C )34(D )36【答案】B2. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论:①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个MECA【答案】D3. (2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE =90°,四边形ACDE 是平行四边形,连结CE 交AD 于点F ,连结BD 交 CE 于点G ,连结BE . 下列结论中:① CE =BD ; ② △ADC 是等腰直角三角形; ③ ∠ADB =∠AEB ; ④ CD ·AE =EF ·CG ; 一定正确的结论有(第7题)A BCD EA .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D4. (2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC 中,以B 为圆心,BC 长为半径画弧,分别交、于D 、E 两点,并连接BD 、DE .若∠A =30∘,AB =AC ,则∠BDE 的度数为何?A . 45B . 52.5C . 67.5D . 75 【答案】C5. (2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC 、DEF ,且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心.固定D 点,将△DEF 逆时针旋转,使得A 落在DE 上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?A .2:1B . 3:2C . 4:3D . 5:4 【答案】C6. (2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ,那么此三角形的周长是A .15cmB .16cmABCDEF GC .17cmD .16cm 或17cm 【答案】D7. (2011四川凉山州,8,4分)如图,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于( )A .1013 B .1513 C .6013 D .7513【答案】C二、填空题1. (2011山东滨州,15,4分)边长为6cm 的等边三角形中,其一边上高的长度为________.【答案】2. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 . 【答案】4或63. (2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,过点C 作直线l ∥AB ,F 是l 上的一点,且AB =AF ,则点F 到直线BC 的距离为 .4. (2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ,G ,若∠ADF=80º ,则∠EGC 的度数为【答案】80º5. (2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,︒=∠40A ,则△ABC 的外角∠BCD = °.【答案】1106. (2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。
提示:∠A=180°-2×50°=80°。
7. (2011山东济宁,15,3分)如图,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点,且总使AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G ,则FGAF= .【答案】128. (2011湖南怀化,13,3分)如图6,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ,AB=5,BC=6,则AD=__________________.GFE CBA第15题D(第14题)A BCD【答案】49. (2011四川乐山16,3分)如图,已知∠AOB=α,在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1,连结A 1B 1,在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2,使B 1 B 2= B 1 A 2,连结A 2 B 2…按此规律上去,记∠A 2 B 1 B 2=1θ,∠3232A B B θ=,…,∠n+11A n n n B B θ+= 则⑴1θ= ; ⑵ n θ= 。
【答案】⑴2180α+︒ ⑵()nn 218012α+︒⋅- 10.(2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。
11. (2011贵州贵阳,15,4分)如图,已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1,以Rt △ABC的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______.(第15题图)【答案】31212. (2011广东茂名,14,3分)如图,已知△ABC 是等边三角形,点B 、C 、D 、E 在同一直线上,且CG =CD ,DF =DE ,则∠E = 度.【答案】15三、解答题1. (2011广东东莞,21,9分)如图(1),△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形,AC 与DE 重合,AB =EF =9,∠BAC =∠DEF =90°,固定△ABC ,将△EFD 绕点A 顺时针旋转,当DF 边与AB 边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE 、DF (或它们的延长线)分别交BC (或它的延长线)于G 、H 点,如图(2). (1)问:始终与△AGC 相似的三角形有 及 ;(2)设CG =x ,BH =y ,求y 关于x 的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由); (3)问:当x 为何值时,△AGH 是等腰三角形?【解】(1)△HGA及△HAB;(2)由(1)可知△AGC∽△HAB∴CG ACAB BH=,即99xy=,所以,81 yx =(3)当CG<12BC时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH∵AG<AC,∴AG<GH又AH>AG,AH>GH此时,△AGH不可能是等腰三角形;当CG=12BC时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;此时,当CG>12BC时,由(1)可知△AGC∽△HGA所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9综上,当x=9AGH是等腰三角形.2. (2011山东德州19,8分)如图AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.(1)求证AD=AE;(2) 连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.【答案】(1)证明:在△ACD与△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,∴ △ACD ≌△ABE .…………………… 3分 ∴ AD=AE . ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt △ADO 与△AEO 中, ∵OA=OA ,AD=AE ,∴ △ADO ≌△AEO . ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO .即OA 是∠BAC 的平分线. ………………………………………7分 又∵AB =AC ,∴ OA ⊥BC . ………………………………………8分 3. (2011山东日照,23,10分)如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD =∠CBD =15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE =CA . (1)求证:DE 平分∠BDC ; (2)若点M 在DE 上,且DC=DM , 求证: ME=BD .【答案】(1)在等腰直角△ABC 中, ∵∠CAD =∠CBD =15o , ∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o , ∴BD=AD ,∴△BDC ≌△ADC , ∴∠DCA =∠DCB =45o .由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o , ∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o , ∴∠BDM =∠EDC , ∴DE 平分∠BDC ; (2)如图,连接MC , ∵DC=DM ,且∠MDC =60°,∴△MDC 是等边三角形,即CM=CD .ABEC DO又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°, ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°, ∴∠EMC =∠ADC . 又∵CE=CA ,∴∠DAC =∠CEM =15°,∴△ADC ≌△EMC ,∴ME=AD=DB .4. (2011湖北鄂州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4,FC=3,求EF 长.【答案】连结BD ,证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ,求得EF=55. (2011浙江衢州,23,10分)ABC ∆是一张等腰直角三角形纸板,Rt 2C AC BC ∠=∠==,.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.第18题图BAEFCECBQ图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为1S ;按照甲种剪法,在余下的ADE BDF ∆∆和中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为2S (如图2),则2=S ;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为3S (如图3);继续操作下去…则第10次剪取时,10S = . 求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1:如图甲,由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙,设MN x =,则由题意,得,AM MQ PN NB MN x =====238(39PNMQx x S ∴==∴==正方形解得又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明:图甲可另解为:由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点,112ABCCFDE S S ==正方形解法2:如图甲,由题意得AE DE EC ==,即EC=1如图乙,设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得332213x x EC MN ∴==>>解得又即∴甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S =(3)10912S =(3)解法1:探索规律可知:112n n S -=‘剩余三角形的面积和为:()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2:由题意可知,第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==…第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -=6. (2011浙江绍兴,23,12分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.A小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论当点E为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系,请你直接写出结论:AE DB (填“>”,“<”或“=”).CDD(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE 与DB 的大小关系是:AE DB (填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E 作//EF BC ,交AC 于点F . (请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点D 在直线BC 上,且ED EC =.若ABC ∆的边长为1,2AE =,求CD 的长(请你直接写出结果).【答案】(1)= . (2)=.方法一:如图,等边三角形ABC 中,D60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=︒==, //,EF BC60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=︒=∠ AEF ∴∆是等边三角形,,AE AF EF ∴==,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=︒,60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒.,,,,,.ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴∆≅∆∴=∴=方法二:在等边三角形ABC 中,60120,,,,,,//,60,180120,,ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=︒∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=︒=∠∴∆∠=︒-∠=︒=∠∴∆≅∆∴=,是正三角形,而由AEF ∆是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴= (3)1或3.7. (2011浙江台州,23,12分)如图1,过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线AE ,点D 是垂足,点E 是BC 中点,规定BEDEA =λ。