层次分析法1

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层次分析法

一、层次分析法内涵层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是20世纪70年代初美国运筹学家萨蒂教授提出的一种层次权重决策分析方法，在分析问题的过程中将定性分析与定量分析相结合，找出影响决策的关键性因素，并将因素尽可能的量化形成指标，以达到复杂问题简单化的目的，最终根据数据配合指标做出选择。

层次分析法基本思想是将复杂的决策系统分为N层及M个指标，对每一层及其指标分析判断，这些指标之间存在着相互制约、相互影响的关系，而这每一个指标并不是处于同等重要的地位，则要对其进行重要性排位，列出权重，通过逐层计算比较各种关联指标的权重为决策提供定量的依据。

层次分析法是一种将定性分析与定量分析相结合的方法，先进行定性描述，相关专家凭借其经验及专业知识对其打分得到定量化得指标权重，结合案例可以得出有价值的定性结论。

其局限性在于权重是凭借专家人为的进行设置，未必完全的符合最优化的要求。

由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。

它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。

不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。

其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。

最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。

二、层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。

在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。

专题一层次分析法

（十）方位短语(方位结构)
• 指方位词在后跟其它词语组合而成的结构，通常表示处所、时间或范围意义；如果方位词是“上”、“中”、“下”，还可表示方面、条件或过程等意义。
（十）方位短语
例如：（1）山坡前/森林中/教室里（表示处所义）（2）晚饭后/手术前/学期中（表示时间义）（3）杂志上/世界上/计划中（表示范围义）（4）理论上/口头上/思想上（表示方面义）（5）改革中/讨论中/会谈中（表示过程义）（6）（在）压力下/领导下/帮助下（表示条件义）
蓝蓝的天空上忽然出现了乌云
方位短语偏正(定中)短语主谓短语述宾短语偏正(状中)短语
简单短语和复杂短语简单短语——是指两个或两个以上的词在一个层次上组合而成的短语。远程教育大海里积极热情大方
定中短语方位短语联合短语
• 复杂短语 —— 是指三个或三个以上的单词在两个或两个以上层次上组合而成的短语。大力发展远程教育在大海里非常积极热情大方
（十一）介词短语(介词结构)
指介词在后跟其它词语组合而成的结构，主要作用是引进跟动作有关的对象，包括时间、处所、范围、施事、受事、工具、对象、目的、原因等。例如：（1）在1918年/于今年秋天（表时间义）（2）在教室里/在飞机上（表处所义）（3）对系主任/对于这个问题（表对象义）（4）按客观规律/依照规定（表方式义）（5）把帽子/将大门（表受事义）（6）被老师/叫警察（表施事义）
专题一
短语及层次分析法
一、短语的种类
主谓短语述宾短语偏正短语述补短语联合短语连谓短语兼语短语同位短语量词结构方位结构介词结构 “的”字结构
词组
短语
结构
（一）主谓短语(主谓词组) 前后有被陈述和陈述的关系。主谓短语的谓语主要有三种情况：

1层次分析法

发
扩建
办技
建
购买
措施层 P 奖
职工
校和
图
新设
金
食堂
培训
书
备
馆
设有 n 件物体，其重量分别为 W1, W2 , ····Wn 将其两两比较重量，则可得到 n×n 矩阵A
w1/w1 w1/w2 ··· w1/wn
A=
w2/w1 w2/w2 ··· w2/wn
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
i 因素比 j 因素略为重要
i 因素比 j 因素较为重要
i 因素比 j 因素非常重要
i 因素比 j 因素绝对重要
三、AHP 的计算方法
（一）幂法
计算步骤为：
1、任取与判断矩阵 A 同阶的正规化初值向量W 0
2、计算 W k+1 = AW k, k= 1, 2, ···
3、对预先给定的精确度 ε，当| Wi k+1- Wi k | < ε 对所有的 i =1,2,···n 成立时，则
C1
P1
P2
P3
P4
P5
P1 0.519 0.596 0.441 0.511 0.368
P2 0.173 0.199 0.265 0.255 0.263
P3 0.104 0.066 0.088 0.064 0.158
P4 0.130 0.099 0.176 0.128 0.158
P5 0.074 0.040 0.029 0.043 0.053
这时问题由 AW = nW 变成 ĀW’ ≡ λmax ·W’ 。 W’是带有偏差的相对权重向量，为避免误差太大，需进行一致性检验，其检验指标为C.I

层次分析法简介1

层次分析法（AHP）应用简介
• • • • • • 一、层次分析法概述二、层次分析法的基本思路三、层次分析法的用途举例四、层次分析法应用的程序五、应用层次分析法的注意事项六、层次分析法应用实例
一、层次分析法概述
•
层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。问题该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。
• 一般而言CR愈小，判断矩阵的一致性愈好，通常认为CR0.1时，判断矩阵具有满意的一致性。
六、层次分析法应用实例
• 1、建立国民素质评价系统的递阶层次结构；
• 2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） • 根据层次分析模型示意图所示，每位问卷评分者就可以依据个人对评价指标的主观评价，进行综合分析，对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。
三、层次分析法的用途举例
•
例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的 6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式是，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。

层次分析法

e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数在这种问题中，运用层次分析法建立表达式来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数，它们可以用层次分析来定义。下面是一个经济学例子。
例5 弹性系数的确定经济学中有名的Cobb-Douglas生产函数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数，层次分析法给出了确定它们的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,

层次分析法

1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。

最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。

而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。

如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1.1层次分析法计算步骤依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n nA a ´=，其次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。

（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。

()max 1=nii iAw nw λ=∑（4）一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

这样的模型并不具有科学性。

因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。

RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。

1.2指标权重的确定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。

1.2.1准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。

层次分析法1

8
9
绝对强
• 用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9的尺度较优
层次分析法的基本步骤
成对比较矩阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1, C2, …, Cn对目标O的重要性；
要由A确定C1, C2, …, Cn对O的权重
成对比较的不一致情况
1 A 2
1/ 2 1
4 7

a12 1 / 2(C1 : C2 )
a13 4(C1 : C3 )
不一致
一致比较
a23 8(C2 : 3) W ( 3) w( 2 ) 则第3层对第1层的组合权向量
第s层对第1层的组合权向量
w( s ) W ( s )W ( s 1) W ( 3) w( 2 )
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤 1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层 (目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素独立。 2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较法阵计算最大特征根和特征向量作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
2 ,, n
( ( w23) ,, wn3)
见下表
组合权向量
第3层对第2层的计算结果
k wk(3) 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003 2 0.082 0.236 0.682 3.002 0.001 3 0.429 0.429 0.142 3.000 0.000 4 0.633 0.193 0.175 3.009 0.005 5 0.166 0.166 0.668 3.000 0.000

层次分析法1

<3>一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)
CR =
CI RI
当CR<0.1时,A的不一致性程度在容许范围内,此时可用A的特征向量作为权向量!
用此方法，计算得矩阵A的一致性指标随即一致性指标
λ n 4.016 4 = = 0.0053 CI = 4 1 n 1
RI =0.9
CR = CI 0.0053 = = 0.0059 <0.1 RI 0.9
所以一致性比率
一致性检验通过，上述
w
可作为权向量.
用同样的方法构造第三层对第二层的成对比较矩阵，共有四个：
1 1 B1 = 2 1 5
2 5 1 2 1 1 2
1 1 1 3 8 1 B2 = 3 1 3 8 3 1
1 1 3 B3 = 1 1 3 1 1 1 3 3
1 3 4 1 B4 = 1 1 3 1 1 1 4
尺度xij 1 3 5 7 9
含
义
xi与xj的影响相同 xi与xj的影响稍强
xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强 xi与xj的影响绝对地强 xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面xij的倒数
2,4,6,8
1,1/2,…,1/9
得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
1.415 0.7875 0.3025 1.485
0.355 0.197 0.076 0.372 =w
1.425 0.7885 Aw 0.3049 1.501
1 1.425 0.7885 0.3049 1.501 4.016 4 0.355 0.197 0.076 0.372

层次分析法1

对应于 max 的正规化的特征向量为
W ( 2) (0.263 0.475,0.055,0.099,0.110)T ,
例如：相对于景色
P 1
P 2
P 3
P 1 2 5 1 B1 P2 1 / 2 1 2 P3 1 / 5 1 / 2 ` 1
经计算 max 3.005 对应于max的正规化的特征向量为
⑵ 构造判断矩阵 ① 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。
C C 设准则层5个准则 C1 : 景色， 2 : 费用，C3 : 居住， 4 : 饮食
C5 : 旅途。相对于目标层：选择旅游地，两两比较打分。
相对重要程度
aij
定义同等重要略微重要相当重要明显重要绝对重要介于两重要程度之间
一个自然的想法就是打分，设每个方案在5个准则下的分数
rij (0 rij 1) 为：
景色杭州北戴河桂林
费用
居住
饮食
旅途
0.559 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
一般的，只要 CI 0.1 就可认为判断矩阵具有满意的一致性。
从CI的计算公式可知，影响一致性的因素除了人的判断外，还受到两两比较比例标度的影响。这就使得对不同阶数的矩阵，可接受的临界值是不同的。为了得到一个对不同阶的判断矩阵均适用的一致性检验可接受的临界值，要进一步研究CI值与矩阵阶数间的关系。事实上，矩阵阶数
1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会，

层次分析法

层次分析法简介层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。

这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。

层次分析法的原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

层次分析法的步骤，运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：（1）建立层次结构模型：将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层，绘制层次结构图。

最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；最低层(方案层)：决策时的备选方案；（2）构造判断(成对比较)矩阵；表指标之间比较量化值规定因素i比因素j量化值同等重要 1.00稍微重要 3.00较强重要 5.00强烈重要7.00极端重要9.00稍微不重要0.33较强不重要0.20强烈不重要0.14极端不重要0.11两相邻判断的中间值2、4、6、8（3）层次单排序及其一致性检验；（4）层次总排序及其一致性检验；举例：某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车流量过大，经常造成交通堵塞。

市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究，制订三个可行方案：a1:在商场附近修建一座环形天桥；a2:在商场附近修建地下人行通道；a3:搬迁商场决策的总目标是改善市中心交通环境，根据当地具体条件和情况，专家组织拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：C1：通车能力；C2：方便群众；C3：基建费用不宜过高；C4：交通安全；C5：市容美观。

层次分析法(1)

（1）构建层次分析的结构模型
首先将复杂的问题进行条理化和层次化改造，构造出一个层次分析的结构模型，在该模型中，复杂问题被分解为目标层、准则层和方案层三类不同层次。其中目标层中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，其余每一层因素受上一层次因素支配。准则层包括了实现目标的中间环节，它包括下一层次的子准则，即方案层，方案层为系统层次分析的最直接表现形式。
一般而言，CR的值越小表明判断矩阵越好，通常认为CR ≤ 0.1时，判断矩阵具有满意的一致性。
（4）计算组合权重
得到一级指标权重后，下一步进行下一级指标权重的计算，如果一级指标层对目标层的相对权重为：
则二级指标层对一级指标层的相对权重为：
因此，方案层中的各方案对目标层的相对权重为
，，
（5）综合权重计算结果分析
a.计算一致性指标：
b.计算相对一致性指标：
考虑到一致性的偏离可能是随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI与平均随机一致性指标进行比较，得出检验系数CR。式中RI为平均随机一致性指标，是根据足够多个随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。1~10个阶段的RI取值如表2-4所示。
C11 施工条件差
C12 气象条件恶劣
C13 现场条件恶劣
B2 业主和监理方风险
C21 进度款支付不及时
C22 项目决策失误
C23 监理方协调能力差
C24 业主和监理方沟通不一致
B3 设计方风险
C31 设计保守
C32 设计失误
C33 设计变更多
B4 承包人风险
C41 投标报价失误
C41 建筑材料不合格
假设有n个元素C1、C2，...，Cn给定一个准则,利用上表所给的相对重要性比例标度方,对元素Ci和Cj做两两比较判断,获得相对重要度的值aij，构成矩阵。专家根据评判准则对各个因素的权重两两比较并进行了打分之后,经过整理,可以得到因素权重的判断矩阵A：

层次分析法1

第五节层次分析法层次分析法(analytic hierarchy process, AHP)是美国运筹学家沙旦于20世纪70年代提出的. 适用结构复杂、难于量化、决策准则多的问题.1. AHP 原理引入例如某企业有一笔留成的利润, 通过商讨,打算如下利用AHP 原理:设n 件事物12,,...,n A A A 对另一事物的权重为12,,...,n w w w , 将它们两两相较得:111212122212//...///.../............//.../n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 若用12[,,...,]Tn W w w w =乘A , 则有AW nW = ()0A nI W -=所以n 是特征值(最大), W 是A 的特征向量. 一般若()0A nI W -=, 则以为W 表示为某种权重.或A 是某权重矩阵AHP 里的主要想法是: 由A 去肯定出权重W , 由此定出哪个决策应该被选择. 一般方式是:由决策者先作出A (通过两两比值计算, 常另记为A --判断矩阵), 由此求出max λ和W '. 按照正矩阵理论(设A 的元素为正), 若 (1) 1ii a =, (2) 1/ij ji a a =, (3) /ij ik jk a a a = 则A 有唯一非零的最大特征值max λ,且max λ=n .若A 具有上述的性质, 则该矩阵具有完全一致性, 但是由两两比值计算出的判断矩阵A 总有必然的计算误差, 故要查验一致性.一致性判断引入当A (带有计算误差)与A (理想)一致时, 由1ii a =和矩阵性质, 得11n ni iii i an λ====∑∑,当A 与A 不一致时, 一般max n λ≥(而其余特征值可正负), 则得max max1niiii i an λλ≠=+==∑∑,所以引入一致性查验值CI:购新设备XX 合理使用元调动劳动积极性提高企业技术水平改善职工文化状况发奖金扩建福利设施办技校建图书馆目标层准则层方案层max CI 1nn λ-=-若CI=0,则完全一致, 不然不一致. 一般在≤内, 大体上以为是一致的. 2. 标度的约定(关于某事物)为了量化两两比较结果, 引入1~9的标度,作表如下标度ij a定义1 3 5 7 9 2,4,6,8i 因素与j 因素同样重要 i 因素比j 因素略微重要 i 因素比j 因素重要 i 因素比j 因素明显重要 i因素比j 因素绝对重要介于两相邻重要程度之间只要作出(1)/2n n -个数, 其余对称位置是其倒数. 3. 各层次间的判断矩阵的成立设已有层次模型, 则对C 作准则层的判断矩阵然后别离给出每一个 i A P -判断矩阵4. 最大特征值的近似值求法-方根法 (1) 计算A 中每行几何平均值1Π,1,2,...,nni ij j w a i n ===得12(,,...,)Tn w w w w =. (2) 归一化1/,1,2,...,ni i i i w w w i n ===∑得12(,,...,)Tn w w w w =, 这是各因素的相对权重. (3) 求最大特征值max λ, 由max Aw w λ=, 得max max 1212111111,,...,,,...,n n Aw w n w w w w w w λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 所以有1max 1nij jnj i ia wnw λ===∑∑.(还有一种和积法见书P438,略).XX 合理使用元1A 调动劳动积极性P 1发奖金2P扩建福利C 目标层A 准则层P 方案层2A 提高技术......111212122212.....................nnn n nna a a a a a a a a 12...n A A A 12...n A A A C 111212122212.....................kk k k kk p p p p p p p p p 12...k P P P 12...kP P P iA(4) 判断一致性, max CI 1nn λ-=-, 若较差, 须重算.一般CI<=, 即认可.当各层相对权重取得后, 就要计算组合系数. 5. 组合权系数计算设当前层因素为1,...,n A A , 上层1,...,m C C , 则对每一个i C , 由上面可求得一个权向量12(,,...,)i i i i T n w w w w = 121111222212..................m m m n n n w w w w w w B w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若C 再对C 的上一层的权重为1,...,m a a , 则当前层的各因素的组合权系数可写成 12111112222212.....................m m m m nn n a w w w a w w w W a w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦一般地有121...kk k W B B B B -=⋅⋅⋅⋅(见式).如此逐层计算, 取得各层的各因素对最上层的权重系数. 例9 某单位拟从3名中层干部当选人至高层领导, 标准:政策水平,工作作风,业务知识,口才,写作,健康. 解: 这里, 目标层是选一人; 准则层有6个; 方案层有3人. 各因素对高层领导的重要性为如下判断矩阵A:111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦健康业务写作口才政策作风由此看出工作作风比其它因素重要. 依上法clear;a=[1 1 1 4 1 1/2; 1 1 2 4 1 1/2; 1 1/2 1 5 3 1/2; 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3; 1 1 1/3 3 1 1; 2 2 2 3 1 1]; n=size(a,1); w=[];for i=1:n wrk=1; for j=1:n wrk=wrk*a(i,j); end wrk=wrk^(1/n); w=[w,wrk] endwnm=w/sum(w); w_n=1./(n*wnm); k=w_n*(a*wnm')求得 max λ=, 和CI=5=<认可. 用MA TLAB 的eig(a)求得特征向量为B=[ ]T 归一化后 B 2=[, , , , , ]T(与书上求得的有点误差)max λ=,2[0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30]T B =类似地, 求3个干部(A,B,C)对上述每一个标准的彼此比较的权系数, 得健康情形业务知识写作能力11/41/241321/31A B CA B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11/41/5411/2521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 131/31/311311⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦口才政策水平工作作风 11/353171/51/71⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1171171/71/71⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1791/7151/91/51⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此求得各属性的最大特征值特征值健康业务写作口才政策作风 max λ和30.140.10.320.280.470.770.630.330.220.650.470.170.240.570.460.070.070.05A B B C ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦健康业务写作口才政策作风从而有[]3320.400.340.26W B B ==所以应选A 担任高层领导.%%%%%%%%%%%/ij i j a w w =,max AW W λ''=。

第七讲层次分析法1

• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。 • 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。
w1 w2 w2 w2 wn w2

w1 wn w2 wn wn 特征根为n
Aw nw
但允许范围是多大？如何界定？
• 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵 A， Saaty等人建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即
1 2 500
500 n 1
n
Saaty的结果如下随机一致性指标 RI
n RI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
CI 定义一致性比率： CR RI CI 0.1 时，认为 A 一般，当一致性比率 CR RI
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例 • 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 • 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 • 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。

层次分析法

1.层次分析法层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

层次分析法是在20世纪70年代初，由美国著名的运筹学专家萨蒂教授提出的，萨蒂教授在进行"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题研究时，提出了一种层次权重分析的方法。

层次分析法简单来说，就是将需要解决的问题，归为一个系统。

并且将整个要解决的问题进行目标分解，从而形成多个层次指标通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

在进行层次分析法使用的过程中，需要根据问题按照总目标—子目标—评价准备的层次进行分解，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，最终权重最大的就是此问题的最优解决方案。

同时分析法的基本原理就是将问题进行系统化处理，汇总成一个总的目标，并且根据问题的不同以及因素的不同，再将问题进行分解，按照问题之间的关系形成一个彼此相连接的层次，在进行问题解决时逐层分析最终将问题分解到最低层，从而找出最优解。

层次分析法的应用比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

因此层次分析法多被应用于社会、经济及管理领域的各种问题，因为这些领域的问题多是由许多相互关联，相互制约的因素所构成的在进行分析解决事很难有明确的判断，而通过层次分析法研究者可以将复杂的系统进行层次分解，使得问题更加的简洁从而帮助研究者找出解决问题的方法。

在安全科学和环境科学领域，层次分析法也被经常使用。

在安全生产科学方面，层次分析法常被应用于煤矿的安全研究、危化品评价、油库安全评价、城市灾害应急能力研究以及交通安全评价等。

在环境保护研究中的应用主要包括：水安全评价、水质指标和环境保护措施研究、生态环境质量评价指标体系研究以及水生野生动物保护区污染源确定等。

层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例-V1

层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例-
V1
层次分析法（AHP）是一种被广泛应用于决策问题中的方法。

基本原理是将决策问题分解为多个层次，每个层次多个因素间进行比较以确定其权重，最终确定决策方案。

以下是AHP的基本原理、实施步骤和应用实例。

基本原理：
1.层次结构：决策问题由多个层次构成，每个层次包含多个因素。

2.判断矩阵：建立每个层次之间的判断矩阵，比较因素之间的重要程度确定其权重。

3.权重计算：计算每个因素的权重值。

4.一致性检验：检验各层次之间的一致性。

实施步骤：
1.建立层次结构：将决策问题分解为多个层次并建立层次结构。

2.建立判断矩阵：对每个层次的因素两两之间进行比较，构建判断矩阵。

3.计算权重：利用特征向量的最大特征值和随机一致性指标（CI）计算每个因素的权重。

4.一致性检验：检验各层次之间的一致性，包括一致性比率（CR）和
一致性指标（RI）的比较。

5.综合判断：将各层次的权重乘积，得出综合权重，以综合权重为依
据进行决策。

应用实例：
AHP可以用于各种领域的决策问题，例如公司战略规划、项目优先级确定、产品选择等。

例如，在公司战略规划中，可以将公司目标作为最终目标层次，并将
其与其他相关因素（例如市场开发、资本投资等）相比较，计算得出
每个因素的重要性权重。

以此为依据进行战略决策。

综上所述，AHP是一种基于层次结构的决策方法，通过比较和计算权重，将复杂的决策问题分解为多个层次，使之更易于理解和处理。

在实际
应用中，可以根据具体需求进行调整和修改，以达到更好的决策效果。

第1讲层次分析法

1 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP 法）是美国运筹学家沙旦（T L Saaty ）于20世纪70年代提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析法，其主要特点是将决策者的经验判断给予量化，特别适用于那些完全用定量进行分析的复杂系统问题，如资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等.实例，某人节假日出行选择旅游景点，考虑费用、景色、居住、饮食、交通等因素，几个待选的旅游景点是杭州、泰山、承德.问题是怎样综合考虑各因素的重要性，从而确定理想的景点. 第一步构造层次结构模型在对复杂系统的决策问题所涉及的各因素进行分析的基础上，可以建立层次结构模型.层次结构模型反映了复杂系统的决策问题所涉及的各因素之间相互连接关系.本例构造如下的层次结构模型：目标层Z 准则层C措施层P层次结构模型中的层次分析法一般可以分为三类：最高层，它是分析问题的预定目标或理想结果，又称目标层；中间层，包括为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干层次组成，又称准则层；最低层，它是为实现目标而供选择的各种措施、决策方案，又称为措施层. 第二步构造判断矩阵理论上，假设各因素n X X X ,,,21 关于目标Z 的相对重要性排序为n ωωω,,,21 ，则对于判断矩阵n n ij a A ⨯=)(，有jiij a ωω= ),,2,1;,,2,1(n j n i ==，（1）即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n A ωωωωωωωωωωωωωωωωωω212221212111 （2）判断矩阵n n j i a A ⨯=)(满足下面两个条件： 1°，，，110==>ii ijji ij a a a a )21(n j i ，，，， =.由此可称A 为正互反矩阵. 2°，ik jk ij a a a =)21(n k j i ，，，，， =.由此可称A 为一致性矩阵.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n A ωωωωωω1,,1,12121 （3）记T 21),,,(n w ωωω =，并称之为排序向量，则有nw w w Aw n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ωωω1,,1,121 （4）这表明w 为判断矩阵A 关于特征值n 的特征向量，也就是说，要找的排序向量w 即为判断矩阵A 的关于特征值n 的特征向量.由此得出层次分析法的基本原理：求出判断矩阵A 的关于特征值n 的特征向量，得到各因素关于目标的相对重要性的排序结果.为比较起来方便，常把求出的特征向量进行归一化处理，即w w nωωω+++=* 211（5）习惯上仍记为w ，又称为权向量，反映各因素在目标中所占的比重.如果矩阵A 满足一致性条件，即A 由（3）式完全确定，则n 一定是A 的特征值，此时A 的秩为1，所以A 的其它1-n 个特征值都是零.实际应用中，判断矩阵并不全部满足上述两个条件，这是因为判断矩阵中的元素是人们主观判断的量化结果，而由于人们对复杂事物认识的多样性以及可能产生的片面性，理论与实际的误差是可能产生的.实际处理时，人们对判断矩阵的一致性要求到一定的满意程度即可.这里不介绍判断矩阵一致性满意程度的检验方法.实际计算时，往往求出A 的最大的正特征值所对应的特征向量，再进行归一化处理，认为得到的就是权向量.判断矩阵的元素是人们对两个因素之间关于目标的相对重要性进行比较的结果.在决策时，人们是根据因素的重要性而作出选择的.两个因素之间关于目标的相对重要性可以根据沙旦引用的数字1~9标度法，对因素间进行两两比较得到，下面给出前面示例中某个人的初步判断结果：判断矩阵：C Z - ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1123151112315121211417133412155721 上面矩阵的)32(，元等于4，含义是对于选择旅游景点)(Z 来说，景色)(2C 与居住条件)(3C 之间重要程度的比值是4:1，反映的是某人的一种感觉或认识.判断矩阵：P C -1 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛138311581511 上面矩阵的)31(，元等于81，含义是对于费用)(1C 来说，1P 与3P 的优劣程度的比值是1:8，也就是说选择承德)(3P 更节俭.这种比值是可以计算的，例如去承德花费100元，去杭州花费800元.类似地，给出：判断矩阵：P C -2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121512121521 判断矩阵：P C -3 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13131311311判断矩阵：P C -4 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11411131431判断矩阵：P C -5 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14441114111 第三步相邻层次间各因素关于目标相对重要性排序根据第二步中的理论和方法，经计算，前面示例中相邻层次间的排序结果如下：：C Z - T )099.0,099.0,058.0,265.0,479.0(=z w：P C -1 T )661.0,272.0,067.0(1=c w ：P C -2 T )128.0,276.0,595.0(2=c w ：P C -3 T )143.0,429.0,429.0(3=c w ：P C -4 T )174.0,192.0,634.0(4=c w ：P C -5 T )667.0,167.0,167.0(5=c w第四步层次总排序计算同一层次（一般为措施层）对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，从而依此作出决策，这一过程是由最高层到最低层逐层进行的.结合前面示例，利用矩阵的形式表示这一过程.将P 层关于C 层各因素的排序向量按顺序组成矩阵),,,,(54321c c c c c P w w w w w C = （6）则P 层关于目标层Z 的总排序为z p p w C w = （7）计算得)442.0,264.0,294.0(=p w从排序向量上看，此人应该选择去承德旅游较为理想.当然，这个结论只是针对此人的，反映了此人的意愿.如果对于判断矩阵)(C Z -有不同的选择，例如另外一个人突出景色的重要性，显然应该去杭州旅游.。

层次分析法(1)

综上，层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型（建立层次结构图）
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
五判断矩阵的近似计算方法
通过前面的介绍，我们知道，在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代数知识去求解，并且能够利用计算机求得任意高精度的结果。但事实上，在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。因此，我们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。三种方法：幂法、和积法和方根法
（3）科学考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。
显然，任何判断矩阵都应满足：
bij>0 ,bii = 1，bij = 1/bji，i，j = 1，2，…，n
因此，对于这样的判断矩阵来说，作n(n-1)/2 次
两两判断就可以了。
判断过程中的问题
1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）
=
=nW
即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。
很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题

层次分析法1

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专题一层次分析法

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层次分析法简介1

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第七讲层次分析法1

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层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例-V1

第1讲 层次分析法

层次分析法(1)

第1讲层次分析法