直线与圆锥曲线的综合问题

合集下载

圆锥曲线综合问题

圆锥曲线综合问题1.题目要求计算双曲线上一点到两个圆心的距离之差的最大值。

已知两圆的圆心和双曲线的焦点，可以通过计算点到圆心的距离和圆的半径来求得点到圆心的距离之和。

然后再通过两个圆心的距离和1来计算点到双曲线焦点的距离，最后将两个距离之差求出来即可得到最大值为5.2.题目要求计算过原点的直线与双曲线的交点斜率的取值范围。

可以将直线的方程代入双曲线的方程，然后整理得到一个关于斜率的一元二次方程。

由于两个交点不同，因此判别式大于0，可以得到斜率的取值范围为负根号3到正根号3.3.题目要求证明椭圆的长轴大于短轴，并求出过三个点的三角形的最大面积。

可以将直线的方程代入椭圆的方程，然后得到一个关于y的二次方程。

根据判别式大于0可以得到椭圆的长轴大于短轴。

然后可以通过求出三角形的三条边的长度，代入海伦公式求出三角形的面积，再通过求导数的方法求出最大值。

最终可以得到△OAB的最大面积为3.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，中心在坐标原点，左焦点为F(－3,10)，右顶点为D(2,0)，且点A的坐标是(1,2)。

1) 求该椭圆的标准方程。

根据题意，椭圆的长轴长度为4，短轴长度为2，且焦点在x轴上。

因此，椭圆的标准方程为x^2/4+y^2=1.2) 过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值。

当直线BC垂直于x轴时，|BC|=2，△ABC=1.当直线BC 不垂直于x轴时，设直线BC的方程为y=kx，代入椭圆的标准方程得到x^2=4k^2+1/(1+4k^2)，再根据点到直线的距离公式求得△ABC的面积。

通过求导可得当k=-1/2时，△ABC的面积最大，此时△XXX的面积为2.变式：若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点B、C且线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，求m的范围。

根据题意，直线l与椭圆C交于两点，因此可以得到方程(4k^2+1)x^2+8kmx+4(m^2-1)=y^2.同时，由于线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，因此可以得到3m=4k^2+1.结合两个方程可以得到m^21，因此m的范围为3/2<m<3.知识归纳：1.求参数范围的方法：建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围。

2020年高考文科数学直线与圆锥曲线的综合问题专项练习题含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程.(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0，所以|GH |＞|AB |2. 故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．2.(2019·承德模拟)如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD→＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .当λ＝1时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD→＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB→为定值－3. 3．(2019·贵阳模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程．(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．解析：(1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝k2＋1|x1－x2| ＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝12(k2＋1) 3＋4k2.同理，|CD|＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k2＋13＋4k2＝12(k2＋1)3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12(k2＋1)3＋4k2＋12(k2＋1)3k2＋4＝84(k2＋1)2(3＋4k2)(3k2＋4)＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4.如图所示，已知F(3，0)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，B 1，B 2，A 为椭圆的下、上、右三个顶点，△B 2OF 与△B 2OA 的面积之比为32. (1)求椭圆C 的标准方程．(2)试探究在椭圆C 上是否存在不同于点B 1，B 2的一点P 满足下列条件：点P 在y 轴上的投影为Q ，PQ 的中点为M ，直线B 2M 交直线y ＋b ＝0于点N ，B 1N 的中点为R ，且△MOR 的面积为3510.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 的坐标．解析：(1)由已知得S △B 2OF S △B 2OA＝12bc12ab＝c a ＝32.又c ＝3，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点P ，设其坐标为P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则Q (0，y 0)，且M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0.又B 2(0,1)，所以直线B 2M 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B 1(0，－1)，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1，所以|MR |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)2＋(y 0＋1)2＝1＋y 01－y 0. 直线MR 的方程为y －y 0＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 02，即2yy 0＋x 0x －2＝0，所以点O 到直线MR 的距离为d ＝2x 20＋4y 2＝1，所以S △MOR ＝12|MR |·d ＝121＋y 01－y 0×1＝3510，解得y 0＝27，又x 204＋y 20＝1，所以x 0＝±657，所以存在满足条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±657，27.B 组能力提升练5．(2019·武邑模拟)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，A 是圆F 1上的一动点，线段F 2A 的垂直平分线交半径F 1A 于P 点． (1)求P 点的轨迹C 的方程．(2)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若k EG · k FH ＝－34，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)因为P 在线段F 2A 的中垂线上，所以|PF 2|＝|P A |.所以|PF 2|＋|PF 1|＝|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝4＞|F 1F 2|，所以轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且c ＝1，a ＝2，所以b ＝3，故轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设点E ，H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y ＝kx ＋m ，E (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.①由k EG ·k FH ＝y 1y 2x 1x 2＝－34，得(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝－34.② 由①，②，得2m 2－4k 2－3＝0.③ 设原点到直线EH 的距离为d ＝|m |1＋k 2， |EH |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(12k 2－3m 2＋9)(3＋4k 2)2，S 四边形EFGH ＝4S △EOH ＝2|EH |·d ＝8|m |12k 2－3m 2＋93＋4k 2，④由③，④，得S 四边形EFGH ＝43，故四边形EFGH 的面积为定值，且定值为4 3. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .(1)若当点A 的横坐标为3，且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点D (x 0,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0≥12，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP ⊥BP ，求证：点P 的坐标为(－x 0,0)，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．解析：(1)由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，|F A |＝3＋p 2，则D (3＋p,0)，FD 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3p 4，0，则32＋3p4＝3，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x . (2)依题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋x 0(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋x 0消去x ，得y 2－4my －4x 0＝0，因为x 0≥12.所以Δ＝16m 2＋16x 0＞0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4x 0，设P 的坐标为(x P ,0)，则PE →＝(x 2－x p ，－y 2)，P A →＝(x 1－x P ，y 1)，由题知PE →∥P A →，所以(x 2－x P )y 1＋y 2(x 1－x P )＝0，即x 2y 1＋y 2x 1＝(y 1＋y 2)x P ＝y 22y 1＋y 21y 24＝y 1y 2(y 1＋y 2)4，显然y 1＋y 2＝4m ≠0，所以x p ＝y 1y 24＝－x 0，即证x P (－x 0,0)，由题知△EPB 为等腰直角三角形，所以k AP ＝1，即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，也即y 1＋y 214(y 21－y 22)＝1，所以y 1－y 2＝4，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16. 即16m 2＋16x 0＝16，m 2＝1－x 0，x 0＜1，又因为x 0≥12，所以12≤x 0＜1，d ＝|－x 0－x 0|1＋m 2＝2x 01＋m 2＝2x 02－x 0，令2－x 0＝t ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，62，x 0＝2－t 2，d ＝2(2－t 2)t ＝4t －2t ，易知f (t )＝4t －2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62上是减函数，所以d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，2.。

直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

例１已知ｍ＞１，直线Ｚ： —ｍｙ一
＇２
。＋），Ｙ２＜０ ” 是解答本题的关键．本题是求参数范围问
变量之间的等式关系（一般可化为函数关系），通过求解
题，这类问题的解题思路一般有２种：其一是寻找参数与某
于点Ｅ时，为Ａ中点，此时ｔ＝１；当点Ｆ位于点Ｃ时，Ｋ
ＳＡＡＯＣ￣－丁１・・ ÷ 。＝字。２，
从而
故选Ｄ．
为ＡＢ上距离Ａ点 ÷ 的点处，此时ｔ＝丁１．因此ｔ ∈ （＿芝１＿，１）．
２
，
（２０１０年浙江省数学高考理科试题）
分析（１）不难求得直线ｆ的方程为
ｘ一
分析（１）不难求得椭圆Ｃ的方程为＋ｙ２＝１．
二
矗一１＝０．Ｑ（，Ｙ２），Ｎ（一２，Ｙｏ），Ｚ的方程为
（２）设Ａ（ｌ，ｙ。），曰（２，Ｙ２），则
“
直线与圆锥曲线综合问题的求解策略主要有２种：线
参数法与点参数法．１．１线参数法。
所谓 “ 线参数法 ” ，是将条件或结论用坐标（直线与圆锥曲线的交点坐标）表示为１ ± ２，Ｘ１２（或Ｙ ± Ｙ２，ＹｌＹ２），通过直线方程与圆锥曲线方程联立，用韦达定理或求交点坐标等来求解的方法．其中将条件或结论用坐标表示是线参数法的关键．

圆锥曲线的综合问题

[例 1] P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内的一定点，过 P 点引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝k(x－1)，A、B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x12＋2y21＝4，① x22＋2y22＝4.② ①－②得： (x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵P(1,1)为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴k＝xy11－－xy22＝－12.
上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只能得到一个一次方程．
思想方法技巧
一、向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．
二、点差法涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题) 时，常用根与系数的关系及点差法求解．
(1)求点 M 的轨迹方程； (2)过点 F(0,1)作互相垂直的两条直线 l1、l2，l1 与点 M 的轨迹交于点 A、B，l2 与点 M 的轨迹交于点 C、Q，求A→C·Q→B的最小值．
解析：(1)设 M(x，y)，E(a,0)，由条件知 D(0，－8)， N(a＋2 x，2y＋0)，∵N 在 y 轴上，∴x＝－a， ∵E→D⊥E→M，∴E→D·E→M＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－ a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴点 M 的轨迹方程为 x2＝4y(x≠0)．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线 l1： y＝kx＋1(k≠0)，则直线 l2：y＝－1kx＋1，

直线与圆锥曲线的综合应用

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+，由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。

第40讲圆锥曲线综合问题【理科】

第四十讲圆锥曲线综合问题复习目标：1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2、掌握弦长与距离的求法。

一、基础知识回顾：1、直线与圆锥曲线的位置的判定由直线与圆锥曲线（含圆）的方程联立后，消去一个未知数（如y ），得到一个关于另一个未知数（如）的一元二次方程，则可根据判别式∆来讨论交点的个数：思考：（1）平行于抛物线轴的直线与抛物线交点的个数为多少？（2）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交点的个数为多少？2、斜率为k 的直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则弦长||AB =__________________。

3、如果在设直线方程时设计斜率，要注意分_________________、_______________两种情况进行讨论；为了避免讨论，过焦点(,0)F c 的直线，可设为________________。

4、圆锥曲线过焦点的弦成为焦点弦，求焦点弦的长度时，除用弦长公式外，还可用___________________________求弦长。

二、基础知识自测1、直线与抛物线有一公共点是直线与抛物线相切的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件2、已知双曲线2213y x -=，过点(2,1)P 作一直线交双曲线与,A B 两点，并使P 为AB 中点，则直线AB 的斜率为（）A 、3B 、4C 、5D 、63、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的远的方程为（）A 、221090x y x +-+=B 、221090x y x +--=C 、221090x y x +++=D 、221090x y x +++= 4、已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度为（）A 、B 、C D5、直线:(l y k x =与曲线221(0)x y x -=>相交于,A B 两点，则直线l 的倾斜角范围是（）A 、[0,)πB 、3(,)(,)4224ππππC 、[0,)(,)22πππD 、3(,)44ππ6、直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y t+=恒有公共点，则t 的取值范围是________________。

高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件

考点十六直线与圆锥曲线综合问题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条答案 ABC
解析对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.

2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）

2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e 的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.25.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.28.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值. 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 答案 A 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案B 解析抛物线的焦点为Fp2,0, 所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=__p2, 即x=y+p2,代入y2=2px消去x, 得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0, 由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标), 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1. 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 答案 B 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B 5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为. 答案22 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1__2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0, ∴y1-y2x1__2=-b2a2·x1+x2y1+y2. ∵y1-y2x1__2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2, ∴-b2a2=-12. ∴a2=2b2. 又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴e=ca=22. 6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 答案(1,5) 解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba2. ∴e=ca=a2+b2a21+4=5,∵e1, ∴1e5, ∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23. ∴椭圆的右焦点F(23,0). ∴设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=__23,其中m=1k. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立my=__23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0. ∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2. ∵AF=3FB,∴-y1=3y2, 把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2. 又k0,∴k=2. 8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x 轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB, 所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1, 由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0, ∴y1y2=-4, ∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433, ∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33__53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239. 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b20, ∴PB1·PB2=(__0,-b-y0)·(__0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b 2=a2+b2a. ∴r≤a2+b22a, ∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b__0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2__02x2, 化为y2b2__2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 答案3215 13.在直角坐标系xOy 中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. (1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2), 则kAM-kBM=y-2x+2-y-2__2=8-4yx2-4=-2, 可得x2=2y(x≠±2), 则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2, 又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2, 即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12, 直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2, 可得直线l的方程为y-m22=m+n2(__m), 化为y=m+n2__mn2, 可得y-6=m+n2(__2), 可得直线l恒过定点(2,6). 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O 为原点)面积的最大值. 解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2, 又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1, 联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1. (2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2, 联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为直线AB 与椭圆C相交于A,B两点, 所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)0,得k21, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2, 所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2. 点O(0,0)到直线k__y+2=0的距离d=21+k2, 所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2. 令k2-1=t,则k2=t2+1(t0), 所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32, 当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立, 此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

专题50 直线与圆锥曲线的综合问题-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通

专题50 直线与圆锥曲线的综合问题典型例题剖析解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立22,2440.y x b x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩ 消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝2442b b +-.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0，即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [关键点拨]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[典例] (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立2,8,y kx b y x =+⎧⎨=⎩得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－22(4)kb k-，x 1x 2＝22b k . 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝111y x +＋221y x +＝12121222(1)(1)kx x k b x x b x x +++++++＝2128()(1)(1)k b x x k +++＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q′，设点P (x 1，y 1)，Q′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．联立21,8x my y x=-⎧⎨=⎩消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝1212128y y x x y y +=--，因而直线P Q 的方程为y －y 1＝128y y -(x －x 1)．又y 1y 2＝8，21y ＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)，故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a . 联立2,8x my a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则12128.8y y m y y a +=⎧⎨=-⎩由条件可知k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝111y x +＋221y x + ＝1212122(1)()(1)(1)my y a y y x x +++++＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)．法四：设P 211,8y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 222,8y y ⎛⎫⎪⎝⎭，因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝12221201188y y y y +=++，整理得(y 1＋y 2)1288y y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴，所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k P Q ＝12221288y y y y --＝128y y +，所以直线P Q 的方程为y －y 1＝128y y +218y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即y ＝128(1)x y y -+．故直线l 恒过定点(1,0)． [关键点拨]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：2x ＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)，又直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0，则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为2133⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故直线OM 的斜率为1323-＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立．由题意，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x ＝my －1.由221,1.2x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1221222,212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩可得|AB ||y 1－y 2|221)2m m ++， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2222m m +－2＝242m -+，所以弦AB 的中点M 的坐标为22222m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，故直线CD 的方程为y ＝－2m x . 联立222 1.2m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得2x 2＋m 2x 2－4＝0，解得x 2＝242m +.由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则20x ＝242m +，可得|CD |0|2|x=因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |，所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2，故22||||44AB CD =－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，则()222222222228(1)4(4)44(2)2(2)2m m m m m m m ⎡⎤++⎢⎥=--+⎢⎥++++⎣⎦，解得m 2＝2，故m ＝.所以直线l 的方程为xy ＋1＝0或xy ＋1＝0. [关键点拨]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM |·|DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，得|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为214x ＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝214k+ .①根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1＝21122(1214)55(14)k k k +++=+，h 2＝22222(1214)55(14)k k k +-+=+.又|AB |＝2221=5+，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·222(12)145(14)k k k +=++＝22214414k kk +++＝224114k k ++＝24114k k++≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为22.法二：依题意得椭圆的方程为24x ＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.联立22, 1.4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1，x 2，|EF |＝x 1－x 2|＝.根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1，d 2＝.因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12＝，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为. [关键点拨]如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S △AEF ＋S △BEF ＝12|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF 的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考1．平行四边形条件的转化长度相等，横(纵)坐标差相等2．直角三角形条件的转化几何性质代数实现3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化达标检测要扎实一、解答题1．顺次连接椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的菱形，该菱形对角线长度之比为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的右焦点为F ，定点()4,0M ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，设直线,AM BM 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意227a b a b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线AM ，BM 的倾斜角互补，所以120k k +=. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，代入椭圆C 的方程，整理得()22223484120kxk x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k-+==++， ()()()()122112121221444444y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----， ()()()()()()122121141444k x x x x x x --+--⎡⎤⎣⎦=--，因为()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++，()2222223224412825880343434k k k k k k-+-=⨯-⨯+=+=+++，所以120k k +=.2．如下图，设抛物线方程为()220x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ；（ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（ⅱ）已知当M 点的坐标为()22p -，时，AB = （Ⅱ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线()220x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）22x y =或24x y =；（Ⅱ）仅存在一点()0,2M p -适合题意.【解析】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，()33,N x y ，()0,2M x p -．由22x py =得22x y p=，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =．因此直线MA 的方程为()102x y p x x p+=-，直线MB 的方程为()202x y p x x p+=-．所以()2111022x x p x x p p +=-，①()2222022x x p x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即012322x x x x =+=，也即03x x =.所以MN平行于y 轴．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABk x x x x x p p x x p p-+===-，所以2AB k p=．由弦长公式的AB ==又AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅱ）解：设()44,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为124124,22x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为()011x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，代入得044x y x p=．若()44,D x y 在抛物线上，则2440422x py x x ==，因此40x =或402x x =．即()0,0D 或2022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点()0,2M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于()0,0D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0ABx k p =，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p++⋅=⋅==-，即222124x x p +=-，矛盾．对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点．综上所述，仅存在一点()0,2M p -适合题意．3．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为A ，B是C 上关于x 轴对称的两点，1ABF 周长的最大值为8. （1）求C 的标准方程.（2）过C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P .问：是否存在直线l ，使得OMP 的面积为1？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）不存在，理由见解析. 【解析】（1）设AB 与x 轴的交点为H ，由题意可知2AH AF ≤，则112||2AF AH AF AF a +≤+=，当AB 过右焦点2F 时，1ABF 的周长取最大值48a =，所以2a =，且b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）不存在直线l ，使得OMP 的面积为1.理由如下.显然直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y kx t =+，联立方程组223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩ 得()2223484120kxktx t +++-=，由()()2222644344120k t k t∆=-+-=，得2243t k =+，所以()284234M kt kx t k -==-+，因为直线OP l ⊥，所以直线OP 的方程为1=-y x k，由1y x k y kx t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21P kt x k =-+，所以()322244411k kt k k kt t k t k MP --+=-+==++又OP =，所以21111111222124OMPk S MP OP k k k=⋅==⋅=⋅≤++△，当且仅当1k =±时成立.因此不存在直线l ，使得OMP 的面积为1.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其短轴长为2，右焦点为)，动点M 在椭圆C 上，点T 满足2MT MO =-，设点T 的轨迹为曲线C '. （1）求椭圆C 的方程和曲线C '的方程；（2）过点M 的直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，求PQT △面积的最大值.【答案】（1）椭圆C 的方程为：2214x y +=；曲线C '的方程为221369x y +=；（2）18. 【解析】（1）由题知：1b =，c =2222214a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.设00(,)M x y ，(),T x y ，因为2MT MO =-，所以000022x x x y y y -=⎧⎨-=⎩，所以0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 又因为动点M 在椭圆C 上，所以220014x y +=，所以223143x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭，化简得：221369x y +=，所以曲线C '的方程为221369x y +=.（2）因为点00(,)M x y 的过直线()0y kx m m =+≠，所以()000y kx m m =+≠. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2201369y kx m m x y ⎧=+≠⎪⎨+=⎪⎩消去y ，并整理得：()2221484360k x kmx m +++-=.因为直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，所以>0∆，所以()()()22284144360km km-⋅+⋅->，化简得：229(14)k m +>，所以220914m k<<+. 所以21212228436,1414km m x x x x k k-+=-⋅=++. 由（1）知：00(,)M x y 时，()003,3T x y .PQ ===4=点()003,3T x y 到直线()0y kx m m =+≠的距离：d ===所以1122PQTSPQ d =⋅⋅=⋅422m =⋅4=4=设2214m t k=+，则09t <<，则PQTS===所以当92t =时，max944182PQT S ==⨯=. 所以PQT △的面积最大值为18.5．如图，已知椭圆2222:1x y C ab+=经过()2,0和(，过原点的一条直线l 交椭圆于A ，B 两点（A 在第一象限），椭圆C 上点D 满足AD AB ⊥，连直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，ABD △的重心在直线1321x =的左侧.（1）求椭圆的标准方程；（2）记AOM 、OMN 面积分别为1S 、2S ，求12S S -的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）0,8⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）椭圆2222:1x y C a b+=经过()2,0和(，∴224121a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,D x y ，()0,0M x ，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得22221212042x x y y --+=即()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--，记AD 的中点为E ，则1212OE y y k x x ++=，由//OE BD 可得OE BD k k =，∴()()()()1212121212AD BD AD OE y y y y k k k k x x x x ⋅=⋅+-==-+-，又AD AB ⊥，∴1AD AB k k =-⋅，∴22AB BD BM k k k ==即11101222y y x x x =⋅+， ∴01x x =，AM ⊥x 轴，N 为BM 的中点，∴点()1,0M x ，直线()111:2y BM y x x x =-，则()111222142y y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222111211240212y y y x x x x -⎛⎫+ ⎭⋅⎝+-=⎪，>0∆， ∴21121212112y x x x y x -+=，结合2211142x y +=可得3112214123x x x x ++=，又ABD △的重心在直线1321x =的左侧，∴223131x <即311211341237x x x ++<，化简得()()21111732520x x x --+<，∴101x <<，11,22AOM BOM ONM BON AOM BOM S S S S S S ====△△△△△△，∴1111211112224AOM ONMAOM S S S S x y x S -==⋅⋅===-△△△⎛=⎝⎭， ∴12SS -的取值范围为0,8⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.6．如图，已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过不同的三点13((,),2424A B C --(C 在第三象限），线段BC 的中点在直线OA 上．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程及点C 的坐标；（Ⅱ）设点P 是椭圆Γ上的动点（异于点,,)A B C 且直线,PB PC 分别交直线OA 于,M N 两点，问||||OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）31(,).24--；（2）2516．【解析】（Ⅰ）由点,A B 在椭圆Γ上，得2222551,416{191416a b a b+=+=解得225,2{5.8a b ==所以椭圆Γ的方程为221.5528x y +=………………………3分由已知，求得直线OA 的方程为20,x y -=从而2 1.m n =-（1）又点C 在椭圆Γ上，故2228 5.m n +=（2）由（1）（2）解得34n =（舍去）或1.4n =-从而3,2m =-所以点C 的坐标为31(,).24--………………………………………6分（Ⅱ）设001122(,),(2,),(2,).P x y M y y N y y因,,P B M 三点共线，故10103344,11222y y y x ++=++整理得0010032.4(21)x y y y x -=-+ 因,,P C N 三点共线，故20201144,33222y y y x ++=++整理得002006.4(21)x y y y x -=--……………10分因点P 在椭圆Γ上，故2200285x y +=，即220054.2x y =-从而220000000012222000000(32)(6)3201216[(2)1]16(441)x y x y x x y y y y y x y x x y ---+==--+-- 220000000000533(4)20125(4)522.531616(41)16(4)22y x y y x y x y x y --+-===---所以121225||||||5||16OM ON y y y y ⋅===为定值． ………………………15分 7．已知纵坐标分别为M ，N 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，且点M ，N到直线2px =的距离相等. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点D ，BO (点O 为坐标原点)的延长线与准线交于点E ，且2DA DE DE ⋅=，求证：直线AB 过定点P ，并求出定点P 的坐标. 【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析，()2,0.【解析】（1）因为点M ，N 在抛物线C上，且纵坐标分别为所以点M ，N 的横坐标分别为824,22p p因为点M ，N 到直线2px =的距离相等，所以8242222p p p +=⨯，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）设直线AB 的方程为x my n =+，与28y x =联立得2880y my n --=，设221212,,,88y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则128y y n =-，由2DA DE DE ⋅=得()0DA DE DE -⋅=，即0AE DE ⋅=，所以AE DE ⊥，抛物线准线方程是2x =-，故()12,E y -，由B ，O ，E 三点共线得212228y y y =-，即816,2n n -=-=，直线AB 的方程为2x my =+ 所以直线AB 过定点()2,0，点P 的坐标为()2,0.8．如图，已知抛物线2:4E x y =上不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，关于直线:5l y kx =+对称，记l 与y 轴交于点C ．（1）若124x x +=-，求k 的值；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）1k =；（2. 【解析】（1）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b k=-+，联立方程组214y x b kx y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得2440x x b k +-=，故1244x x k+=-=-，所以1k =；（2）由（1）知，124x x k+=-，124x x b =- 1212214()22y y x x b b k k+=-++=+，则线段AB 的中点坐标为222,b k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以2225b k k k ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即223b k =-亦即直线AB 的方程为2123y x k k=-+-， 124x x k +=-，122812x x k=-，，所以点C 到AB 的距离为d =||AB ===故ABC 面积2141S k ⎛=+⎝t =，则24(4)S t t =-，令3()416(0f t t t t =-+<<，则()21216f t t =+'-，易知()f t 在⎛ ⎝上递增，在递减，故max ()9f t f ==，即当235k =时，ABC 面积有最大值9． 9．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M 作x 轴的垂线交其“辅助圆”于点N ，当点N 在点M 的下方时，称点N 为点M 的“下辅助点”．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点(1,2-的下辅助点为(1,1)-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若OMN的面积等于8，求下辅助点N 的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）(2，或．【解析】（1）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点(1,2-的下辅助点为(1,1)-，∴辅助圆的半径为R ==a R ==将点(1,)2-代入椭圆方程22212x y b +=中，解得1b =，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设点0(N x ，00)(1)y y <，则点0(M x ，11)(0)y y <，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，2202x y +=，220112x y +=，故22012y y =，即01y =，又()01012OMNSx y y =-=，则01x y =，将014x y =-与220112x y +=，01y =联立可解得002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴下辅助点N的坐标为，或，；10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，P 为椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，12PF F △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A 为椭圆C 的右顶点，过左焦点F 的动直线交椭圆于B ，D 两点（异于点A ），直线AB ，AD 与定直线():0l x t t =≠的交点分别为M ，N ，若以MN 为直径的圆经过点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 的方程为4x =-．【解析】（1）由离心率12e =得，2a c =，① 因为当点P 为短轴端点时，12PF F △面积最大，122c b bc ⨯⨯==，② 在椭圆中222a b c =+，③由①②③解得，24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A ，设直线BD 的方程为1x my =-，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 得()2234690m y my +--=，设()11,B x y ，()22,D x y ，则()()()222643491441440m m m ∆=--⨯+⨯-=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+．设()1,M t n ，()2,N t n ，由A ，B ，M 三点共线得，11122y nx t =--，∴()11122t y n x -=-，同理得()22222t y n x -=-，因为以MN 为直径的圆经过点F ，所以NF MF ⊥，于是0NF MF ⋅=，由()21,NF t n =---，()11,MF t n =---，()21210t n n ∴++=．将()11122t y n x -=-，()22222t y n x -=-，代入上式，得()()()()22121221022y y t t x x -⋅++=--，∵111x my =-，221x my =-， ∴()()()()22121221033y y t t my my -⋅++=--，③将122634m y y m +=+，122934y y m -=+，代入③得()()222104t t --++=，解得4t =-，或0t =（舍去）．故直线l 的方程为4x =-．11．抛物线()2:20C y px p =>，抛物线上一点()2,P t 到抛物线焦点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点Q 为抛物线C 上的动点，求点Q 到直线2y x =+距离的最小值以及取得最小值时点Q 的坐标；（3）若直线l 过点()4,0M 且与抛物线C 交于A ，B 两点，当ABF 与AOF 的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）2，()1,2Q ；（3）)4y x =±-.【解析】（1）由题意可得，抛物线的准线1:2pl x =-，由于3PF =，则12p=，即2p =，即抛物线C 的方程为：24y x =.（2）设平行于直线2y x =+且与抛物线相切的直线为y x b =+，则()()222242404y x b x b x x b x b y x=+⎧⇒+=⇒+-+=⎨=⎩，又()2224401b b b ∆=--=⇒=，则直线 2y x =+与直线 1y x =+的距离2d ==，此时点Q 的坐标为()1,2.（3）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S +=△△；当直线l 的斜率存在时，设方程为()4y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由()244y k x y x⎧=-⎨=⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 1212416y y k y y ⎧+=⎪∴⎨⎪=-⎩ ，则121143222ABFAOFAOMBFMSSSSy y +=+=⨯⨯+⨯⨯≥= 当且仅当1243y y =时取等号，又1216y y =，所以12y y ==或12y y ==-所以124y y k +==，解得：k =± 8314≤，所以当ABF 与AOF 的面积之和取得最小值时，直线l 的方程为)4y x =±-.12．如图所示，在直角坐标系xOy 中，A ，B 是抛物线21:2(0)C y pm p =>上两点，M ，N 是椭圆222:163x y C +=两点，若AB 与MN 相交于点()2,0E ，2OA OB p ⋅=-.（1）求实数p 的值及抛物线C 的准线方程.（2）设OMN 的面积为S ，OMN 、OAB 的重心分别为G ，T ，当GT 平行于x 轴时，求2||GT S +的最大值.【答案】（1）2，10x +=；（2）13126. 【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2AB x ty =+与22y px =联立得2240y pty p --=，12122,4y y pt y y p +==-，2212121212()(2)42y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=--，所以22(2)40p p --+=，解得2p =.抛物线C 的准线方程为10x +=；（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，:2MN x my =+与22163x y +=联立得22(2)420m y my ++-=，34342242,22m y y y y m m +=-=-++，由GT 平行于x 轴可知3412y y y y +=+，由（1）知2p =，所以124y y t +=，代入得2442m t m =-+即22mt m =-+，所以12341|||()()|3GT x x x x =+-+ 12341|()()|3t y y m y y =+-+ 222242214|4()|()33m m m m t t m t =⋅-=+-++ 22224[()3]22m m m m +++=. 又22234341(||||)()2S OE y y y y =⋅-=-23434()4y y y y =+-222328(2)m m +=⋅+，于是22222222432||[()83(2)]22m m m m m GT S m +++=⋅++++42222142(2)31m m m +++=⋅，令22,2m u u +=>，得22241726||3u u GT S u+-+=⋅ 24117393[26()]352104u =⋅--+ 4393131310426≤⋅=当且仅当252217m u +==，即m =2||GT S +有最大值13126. 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2．点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P -任作椭圆C 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则直线MN 是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）221123x y +=；（2）直线MN 过定点2(0,)5-．【解析】（1）由已知得22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得212a =，23b =，所以椭圆C 的方程为221123x y +=；（2）由题意知直线AB ，CD 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：11222(0),(,),(,)y kx k A x y B x y =-≠，由2221123y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)1640k x kx +-+=，由2221(16)44(14)012k k k ∆=--⨯⋅+>⇒>，且1221614kx x k +=+，所以1228214Mx x k x k +==+，22214M M y kx k=-=-+，即28(14k M k +，22)14k -+，同理28(4k N k -+，222)4k k -+，所以222222221144885144MNk k k k k k k k k k -+-++==+++，所以直线MN 的方程为222218()14514k ky x k k k -+=-++，由对称性可知定点必在y 轴上，令0x =，得2221822(0)514145k k y k k k -=--=-++，所以直线MN 过定点2(0,)5-． 14．已知221:(1)4M x y -+=，直线1:2l x =-，动圆N 与M 相外切，且与直线l 相切.设动圆圆心N 的轨迹为C ，过点(0,1)Q 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B . （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，点(1,2)P ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值.【答案】（1）(,0)(0,1)-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意设(,)N x y ，且12x >-，由题意可得1122x +=，整理可得：24y x =；所以曲线C 的方程为：24y x =；由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：1y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线的方程：214y kx y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：222(2)10k x k x +-+=，可得∆224(2)40k k =-->，解得1k <，且0k ≠，所以直线l 的斜率的取值范围(-∞，0)(0⋃，1). （2）证明：由（1）可得：1222(2)k x x k -+=-，1221x x k =，直线PA 的方程为：1122(1)1y y x x --=--，令0x =可得1111212211y kx y x x -+-+=+=+--，可得111(0,2)1kx M x -++-，同理可得N 的坐标22121N kx y x -+=+-，由QM QO λ=，QN QO μ=，可得1N y μ=-，1M y λ=-，所以()()()2212121212122224211111111··21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+===------，所以11λμ+为定值2.【点睛】本题考查求轨迹方程，及直线与抛物线的综合，和直线与圆的位置关系，属于中档题.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C的离心率为2. （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，22127x y += 【解析】（1）证明：∵椭圆C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴221914a b +=， ∴()222222222219859999444b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭8512144≥+=，当且仅当2222994b a a b=，即222a b =时，等号成立，此时椭圆C的离心率2e ==. （2）解：∵椭圆C 的焦距为2，∴221a b -=，又221914a b+=，∴24a =，23b =. 当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -.∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=，∴20127x =，∴O 到直线MN的距离07d x ===. 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+. 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=， ()()()22284344120km k m ∆=-+->. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+. ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=，∴()()1212x x kx m kx m +++()()22121210k x x km x x m =++++=，∴()22222224128103434m k m k m k k -+⋅-+=++，即()227121m k =+， ∴O 到直线MN的距离7d ===. 综上，O 到直线MN的距离为定值，且定值为7，故存在定圆O ：22127x y +=，使得圆O 与直线MN 总相切.16．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为12(c,0),F (c,0)(c 0)F ->，短轴的两个端点为1B ，2112,B F B B △是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）点,,A B C 分别为椭圆C 上第一、二、四象限内的点，且//AB x 轴.①若ABC的重心坐标为12,36⎛- ⎝⎭，求直线AC 的斜率；②若直线AC 过点(1,0)，且90ACB ∠=︒，求直线AC 的斜率.【答案】（1）2214x y +=；（2；②1. 【解析】（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，112F B B △是边长为2的等边三角形，∴c =1b =，∴2224a b c =+=， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，//AB x 轴，∴()11,B x y -， ①ABC 的重心坐标为2122,33x y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知2121332236x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得21x =，12212y y +=-， ∵点C 为椭圆上第四象限内的点，∴222214x y +=且20y <，将21x =代入可解得22y =-，∴1,2C ⎛- ⎝⎭，又12212y y +=-，∴112y =， ∵点A 为椭圆上第一象限内的点，∴221114x y +=且1>0x ，将112y =代入可解得1x =∴12A ⎫⎪⎭， ∴直线AC斜率12222AC k ⎛-- +==；②90ACB ︒∠=，∴0CA CB ⋅=即()2221212y y x x -=-.又点,A C 都在椭圆上，则221114x y +=，222214x y +=， ∴两式相减可得2222121204x x y y -+-=. ∴()()22212214y y y y -=-，12y y ≠，∴2153y y =-， ∵直线AC 过点(1,0)，设直线AC 的方程为1x ty =+， ∴22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()224230t y ty ++-=，>0∆，∴1221222434t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，2153y y =-，∴1221222345334t y t y t ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去1y 可得22154t t =+，解得1t =±，又10y >，∴0t >，∴1t =， ∴直线AC 的斜率为11t =.。

直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)

直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。

新编【四川】高考数学(理)二轮复习：专题6第3讲《圆锥曲线的综合问题》考点精讲精练及答案

第三讲圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP |∈[b ，a ]． ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]． ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]． ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |≥a . ②|PF 1|≥c －a . (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值．1． (20xx·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b2a2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.2． (20xx·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S△AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)．3． (20xx·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.4． (20xx·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案 3解析直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3.5． (20xx·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围．审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围；(3)寻找b 和k 的关系，利用(2)中k 的范围求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k 2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，直线l 与双曲线的左支有两个交点． (3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2，所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2，∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－2 2. ∴b 的取值范围是(－∞，－22)．反思归纳求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练1 (20xx·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (20xx·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明方法一由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．变式训练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三圆锥曲线中的存在性问题例3 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．变式训练3 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，点D 的坐标为D (x 0，0)，所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，故⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为P 在圆O 上，故有x 20＋y 20＝9，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫3y 22＝9，即x 29＋y 24＝1，所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)假设椭圆x 29＋y24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，故直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M ，N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.典例 (12分)抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.[2分]设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[6分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离 d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410.于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.[12分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分．阅卷老师提醒最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值．1．由椭圆x22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于 ( )A ．0B ．1C ．－13D ．－3答案 C解析直线l 的方程为：y ＝x ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4x ＝0. ∴x 1＝0或x 2＝－43，则y 1＝1，y 2＝－13.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13.2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得，y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x .6．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以离心率e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.专题限时规范训练一、选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线 l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.2．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案 A解析由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3．设AB 是过椭圆x 2a 2＋y2b2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为( )A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4．已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|P A |＝m |PB |，则m 的最大值为( )A ．3B ．2C. 3D. 2答案 C解析据已知设P (x ，y )，则有m ＝|P A ||PB |＝ (x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝ (x ＋1)2＋2x(x －1)2＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4x x 2＋1＝ 1＋4x ＋1x ，据基本不等式有m ＝1＋4x ＋1x≤1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为 ( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23.7．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值 ( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A. 8．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案 D解析设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎡⎭⎫33，1.二、填空题9．已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－95，15 解析由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫－95，15. 10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，14 解析由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小． 11．斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥ l ′，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y－16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.三、解答题13．(20xx·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以 AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1，d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·2 1－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝ 1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝ 1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或 ⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。

繁昌一中直线与圆锥曲线综合问题专项训练

直线与圆锥曲线专项训练1若直线:l y kx m =+与椭圆C 221.43x y ∴+=相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），（1）以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）若B AF 2∠为锐角，求m k 和满足的关系式。

2．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.3、过椭圆C ： 2215x y += 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交Y 轴于M 点，1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求证：1210λλ+=-.4.过)0,1(P 的直线交的椭圆221.95x y +=于,C D 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得CED ∠总被x 轴平分，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知双曲线2213y x -=上存在关于直线:4l y kx =+的对称点，求实数k 的取值范围.6．若过点()2,0D 的直线l E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围（O 为坐标原点）．7．已知椭圆14222=+y x两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；8．若)0,1(),0,1(B A -是椭圆221(0)43x y y +=≠的两个焦点，线段CD 是椭圆过左焦点A 的弦，当52||2CB ≤< 时，求线段CD 的垂直平分线l 与x 轴交点的横坐标的取值范围．9. 是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆.14822=+y x 恒有两个交点A ，B ，且OB AB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由。

高三数学一轮复习圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的位置关系 [典题导入]
(2014· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中，点
1 M2，－2 ，
点 F 为抛物线 C：y＝mx2(m＞0)的焦点，线段 MF 恰被抛物线 C 平分． (1)求 m 的值； (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，设直线 FA、FM、 FB 的斜率分别为 k1、k2、k3，问 k1、k2、k3 能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线 l 的方程；若不能，请说明理由．
解析
(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
[跟踪训练] 2． (2013· 新课标全国卷Ⅱ高考)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2 y2 ＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B a2 b2 1 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值．

2 ．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1) 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3) 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5) 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
所以当且仅当 m＝1－ 7时，u(m)取到最大值．故当且仅当 m＝1－ 7时，S 取到最大值．综上，所求直线 l 的方程为 3x＋2y＋2 7－2＝0.

直线与圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的的综合问题（1）题型一。

直线与圆锥曲线的位置关系例1.直线l ：3x ＋y －6＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0位置关系为_______．例2.直线y=x+m 和椭圆4x 2＋y 2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。

例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。

若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；例4.过点(0,2)的直线l 与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，求直线l 的方程。

题型二。

直线与圆锥曲线的相交的弦长问题例5.直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为_______．例6.直线x －y ＋1=0被椭圆11222=+y x 截得的弦长为.例7.过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 。

例8.直线l斜率为1且与抛物线y2=4x相交于A,B两点。

（1）直线l经过抛物线的焦点F，求AB。

（2）直线l经过点M（2，0），求AB。

题型三。

直线与圆锥曲线的相交的弦中点问题例9.已知P(－1,2)为圆x2＋y2＝8内一定点．直线l过点P且被圆所截得的弦中点P，求直线l方程_________________.例10.已知一直线与椭圆369422=+yx相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的直线方程例11.过点M(2,1)是否存在直线l交双曲线1222=-yx于P、Q两点，且M是线段PQ的中点。

例12.已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），则直线l 的方程为________________________.直线与圆锥曲线的的综合问题（2）题型四。

最值问题例1、已知椭圆192522=+y x 和直线:45400l x y -+=，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？例2.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围.例3.（1）点A （2，3），F 为抛物线y 2=6x 焦点，P 为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A.5B.4.5C.3.5D.不能确定变式：A （2，5）题型五.垂直问题例4.求m 为何值时，直线y ＝mx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ ？(O 为坐标原点)例5.直线y ＝x ＋b 与抛物线y 2＝4x 相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ ？(O 为坐标原点)，求b.6.已知椭圆2222b y ax +=1(a ＞b ＞0)的离心率e=36，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与坐标原点距离为23.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （-1，0），若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆相交于C 、D 两点，试判断是否存在k 值，使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.题型六.综合问题1．一动圆过定点)0,2(-A ，且与定圆12)2(22=+-y x 相切。