4-1向量组的线性相关性
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【证明】 由上述命题和命题 3.11 知
r ([ 1 , , r ]) r ([ 1 , , s ] K ) „ r ([ 1 , , s ])
习题
【习题 4. 】 1
1. 将向量 表示成 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合: 1 (1, 1, 1, 1) T 1 (1, 1, 0, (1, 1, 1, 1) T (2, 1, 3, 2 2 (1) 3 (1, 1, 1, 1) T ; (2) 3 (1, 1, 0, (1, 1, 1, 1) T 4 (0, 1, 1, 4 T (1, 1, 1, (1, 2, 1, 1)
则此方程组就是 x1 1 x n n .
从而,此方程组有解等价于 可由向量组 1 , , n 线性表示.
设矩阵 A [ 1 , , n ] m n , 则存在不全为 0 【命题 4.1】 的数 k1 , , k n 使 k1 1 k n n 0 r ( A ) n .
【命题 4.2】 向量组 A : 1 , , r 可由向量组 B : 1 , , s 线性表示等同于存在一个 s r 矩阵 K 使得 [ 1 , , r ] [ 1 , , s ]K
【证明】
若 A 可由 B 线性表示, 则存在 s r 个数 k ij 使得
k11 k1 r 1 [ 1 , , s] , , r [ 1 , , s] k s1 k sr
令 K [ k ij ]s r , 则上述 r 个等式等同于[ 1 , , r ] [ 1 , , s ]K .
【证明】
由于 x1 1 x n n 0 就是齐次线性方程组
x1 [ 1 , , n ] 0 xn
而此方程有非零解的充要条件就是 r ( A ) n .
给定向量组 A c 1 , , m (m … 2). 【例 3】 : 求证: A 中至少有一个向量可以由其余的 m 1个向量线 性 表 示 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1 , , k m 使 得 k1 1 k m m 0 .
令 【定义 1 】 , 1 , , m 为 n 维向量. 若存在常数 k1 , , k m , 使 得
k1 1 k m m ,
则称 可由 1 , , m 线性表示或称 是 1 , , m 的线性组合.
由矩阵运算知 【注意】
k1 k1 1 k m m [ 1 , , m ] . km
关系.
4. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 求证 3 个向量
a11 a12 a13 1 a 21 , 2 a 22 , 3 a 23 a 31 a 32 a 33 共面 行列式 | a ij |3 0 .
【例 1 】 向量空间 n 中的任何一个向量 ( a1 , a 2 , , a n )T
1 0 0 0 1 0 都可表示为向量组 e1 , e 2 , , e n 的线性组合, 0 0 1
这样, 向量的加减和数乘运算转化为这些数组的运算.
若 a ( a1 , a 2 , a 3 ), b ( b1 , b2 , b3 ), k , 则 a b ( a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ) , ka ( ka1 , ka 2 , ka 3 ) .
对于线性方程组 【评注】
a11 x1 a12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a m 1 x1 a m 2 x 2
a1 n x n b1 a 2 n x n b2 a mn x n bm
若写其系数阵 A [ 1 , , n ], ( b1 , , bm ) T ,
反之是明显的.
【命题】 若向量组 1 , , r 可由向量组 1 , , s 线性表
示, 则
r ([ 1 , , r ]) „ r ([ 1 , , s ]) ;
特别是, 当这两个向量组等价时, 有 r ([ 1 , , r ]) r ([ 1 , , s ]) .
【注】 由于在理论的表述上列向量更自然、更方便, 以后
若没有特别声明, 向量为列向量; 有关列向量的理论都 有对应的行向量理论.
由于向量就是矩阵, 故维数相同的向量可以相加, 数与向 量之间也有数乘运算; 这两种运算称为向量的线性运算, 即若 , n , k , l ,则 k l n .
第四章 向量组的线性相关性
本章主要内容: 向量组的线性相关性 向量组的秩及Байду номын сангаас与矩阵的秩的关系
向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
线性方程组解的结构 向量空间及线性变换
§1
本节主要内容:
向量及其线性运算
向量及其线性运算 向量组的等价
1. 向量及其线性运算
【定义】在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 我 们 将 起 点 为 O (0, 0, 0) , 终点为 A( a1 , a 2 , a 3 ) 的有向线段 OA 称为(几何) 向量,并将其与三元有序数组 ( a1 , a 2 , a 3 ) 等同.
这样的数组就是一个1 3 实矩阵, 向量的加法就是两个矩阵 的加法, 数乘向量就是数乘矩阵.
我们称 n 1 实数矩阵 ( a1 , , a n ) T 为 n 维(实)列向量, 【定义】 称 a i 为此向量的第 i 个坐标; 坐标全为零的向量 ( 0, , 0 )T 称为零向量; 一切 n 维列向量的集合记为 n , 称其为 n 维向量空间. 同样,我们也称1 n 实数矩阵为 n 维(实)行向量.
若 k1 0 , 则 1 ( k11 k 2 ) 2 ( k11k m ) m ,
即 1 可由其余的向量线性表示;
同理, 若 k i 0 , 有 i 可由其余的向量线性表示.
2. 向量的等价
对两个给定的向量组 【定义 2】 A : 1 , , r ; B : 1 , , s . 若 A 中的每个向量都可由 B 中的向量线性表示, 则称 A 可 由 B 线性表示. 若两个向量组能相互线性表示, 则称它们 等价.
令 【解】 x1 1 x 2 2 x 3 3 , 即
1 1 1 x1 a 0 1 1 x2 b 0 0 1 x3 c
此方程组的系数矩阵可逆, 因而方程组有唯一一组解．
解为 x1 a b , x 2 b c , x 3 c ; 从而 ( a b ) 1 ( b c ) 2 c 3 .
1) 1) 0) . 1) 1)
2. 下列向量组中 可由 1 , 1 (2, 3, 5) T (3, 7, 8) T 2 (1) ; (2) T 3 (1, 6, 1) T (7, 2, )
2 , 3 线性表示, 求 :
5. 给定向量组 A , B , cC . 若 A 可由 B 线性表示, B 可由
C线表性示, 求证 A 可由 C线性表示.
6. 设 1 , , n
n
, 且 向 量 组 e1 , , en 可 由
1 , , n 线性表示, 求证矩阵[ 1 , , n]可逆.
【证明】
( ) 不妨设 1 k 2 2 k m m ,
则有 k1 1 k 2 2 k n n 0 ,
k1 1 0 .
( ) 设不全为 0 的数 k1 , , k m 满足
k1 1 k 2 2 k m m 0
7. 设 1 , , n n , 求 证 : 矩 阵 [ 1 , , n] 可 逆
n 中任何一个向量都可由 1 , , n 线性表示.
1 2 3 (4, (7, (4, (5, 4, 2, 1, 9, 3) 1) 6) )
3. 已知
1 2 3 4 求 可由 1 , 2 , (1, 0, 2, 3) T (1, 1, 3, 5) T (1, 1, a 2, 1) T (1, 2, 4, a 8) T (1, 1, b 3, 5) T 3 , 4 线性表示的条件, 且写出表示
这是因为 a1e1 a 2 e2 a n en .
以后, e1 , e 2 , , e n 作为专用符号使用. 【注】
求证任意 3 维向量 ( a , b , c)T 都可表示为向量组 【例 2】 1 (1, 0, 0) T , 2 (1, 1, 0) T , 3 (1, 1, 1) T 的线性组合, 并写出表示关系.
在 【例如】 3 中, 我们有 a a 0 0 1 0 0 b 0 b 0 a 0 b 1 c 0 c 0 0 c 0 0 1
r ([ 1 , , r ]) r ([ 1 , , s ] K ) „ r ([ 1 , , s ])
习题
【习题 4. 】 1
1. 将向量 表示成 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合: 1 (1, 1, 1, 1) T 1 (1, 1, 0, (1, 1, 1, 1) T (2, 1, 3, 2 2 (1) 3 (1, 1, 1, 1) T ; (2) 3 (1, 1, 0, (1, 1, 1, 1) T 4 (0, 1, 1, 4 T (1, 1, 1, (1, 2, 1, 1)
则此方程组就是 x1 1 x n n .
从而,此方程组有解等价于 可由向量组 1 , , n 线性表示.
设矩阵 A [ 1 , , n ] m n , 则存在不全为 0 【命题 4.1】 的数 k1 , , k n 使 k1 1 k n n 0 r ( A ) n .
【命题 4.2】 向量组 A : 1 , , r 可由向量组 B : 1 , , s 线性表示等同于存在一个 s r 矩阵 K 使得 [ 1 , , r ] [ 1 , , s ]K
【证明】
若 A 可由 B 线性表示, 则存在 s r 个数 k ij 使得
k11 k1 r 1 [ 1 , , s] , , r [ 1 , , s] k s1 k sr
令 K [ k ij ]s r , 则上述 r 个等式等同于[ 1 , , r ] [ 1 , , s ]K .
【证明】
由于 x1 1 x n n 0 就是齐次线性方程组
x1 [ 1 , , n ] 0 xn
而此方程有非零解的充要条件就是 r ( A ) n .
给定向量组 A c 1 , , m (m … 2). 【例 3】 : 求证: A 中至少有一个向量可以由其余的 m 1个向量线 性 表 示 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1 , , k m 使 得 k1 1 k m m 0 .
令 【定义 1 】 , 1 , , m 为 n 维向量. 若存在常数 k1 , , k m , 使 得
k1 1 k m m ,
则称 可由 1 , , m 线性表示或称 是 1 , , m 的线性组合.
由矩阵运算知 【注意】
k1 k1 1 k m m [ 1 , , m ] . km
关系.
4. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 求证 3 个向量
a11 a12 a13 1 a 21 , 2 a 22 , 3 a 23 a 31 a 32 a 33 共面 行列式 | a ij |3 0 .
【例 1 】 向量空间 n 中的任何一个向量 ( a1 , a 2 , , a n )T
1 0 0 0 1 0 都可表示为向量组 e1 , e 2 , , e n 的线性组合, 0 0 1
这样, 向量的加减和数乘运算转化为这些数组的运算.
若 a ( a1 , a 2 , a 3 ), b ( b1 , b2 , b3 ), k , 则 a b ( a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ) , ka ( ka1 , ka 2 , ka 3 ) .
对于线性方程组 【评注】
a11 x1 a12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a m 1 x1 a m 2 x 2
a1 n x n b1 a 2 n x n b2 a mn x n bm
若写其系数阵 A [ 1 , , n ], ( b1 , , bm ) T ,
反之是明显的.
【命题】 若向量组 1 , , r 可由向量组 1 , , s 线性表
示, 则
r ([ 1 , , r ]) „ r ([ 1 , , s ]) ;
特别是, 当这两个向量组等价时, 有 r ([ 1 , , r ]) r ([ 1 , , s ]) .
【注】 由于在理论的表述上列向量更自然、更方便, 以后
若没有特别声明, 向量为列向量; 有关列向量的理论都 有对应的行向量理论.
由于向量就是矩阵, 故维数相同的向量可以相加, 数与向 量之间也有数乘运算; 这两种运算称为向量的线性运算, 即若 , n , k , l ,则 k l n .
第四章 向量组的线性相关性
本章主要内容: 向量组的线性相关性 向量组的秩及Байду номын сангаас与矩阵的秩的关系
向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
线性方程组解的结构 向量空间及线性变换
§1
本节主要内容:
向量及其线性运算
向量及其线性运算 向量组的等价
1. 向量及其线性运算
【定义】在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 我 们 将 起 点 为 O (0, 0, 0) , 终点为 A( a1 , a 2 , a 3 ) 的有向线段 OA 称为(几何) 向量,并将其与三元有序数组 ( a1 , a 2 , a 3 ) 等同.
这样的数组就是一个1 3 实矩阵, 向量的加法就是两个矩阵 的加法, 数乘向量就是数乘矩阵.
我们称 n 1 实数矩阵 ( a1 , , a n ) T 为 n 维(实)列向量, 【定义】 称 a i 为此向量的第 i 个坐标; 坐标全为零的向量 ( 0, , 0 )T 称为零向量; 一切 n 维列向量的集合记为 n , 称其为 n 维向量空间. 同样,我们也称1 n 实数矩阵为 n 维(实)行向量.
若 k1 0 , 则 1 ( k11 k 2 ) 2 ( k11k m ) m ,
即 1 可由其余的向量线性表示;
同理, 若 k i 0 , 有 i 可由其余的向量线性表示.
2. 向量的等价
对两个给定的向量组 【定义 2】 A : 1 , , r ; B : 1 , , s . 若 A 中的每个向量都可由 B 中的向量线性表示, 则称 A 可 由 B 线性表示. 若两个向量组能相互线性表示, 则称它们 等价.
令 【解】 x1 1 x 2 2 x 3 3 , 即
1 1 1 x1 a 0 1 1 x2 b 0 0 1 x3 c
此方程组的系数矩阵可逆, 因而方程组有唯一一组解．
解为 x1 a b , x 2 b c , x 3 c ; 从而 ( a b ) 1 ( b c ) 2 c 3 .
1) 1) 0) . 1) 1)
2. 下列向量组中 可由 1 , 1 (2, 3, 5) T (3, 7, 8) T 2 (1) ; (2) T 3 (1, 6, 1) T (7, 2, )
2 , 3 线性表示, 求 :
5. 给定向量组 A , B , cC . 若 A 可由 B 线性表示, B 可由
C线表性示, 求证 A 可由 C线性表示.
6. 设 1 , , n
n
, 且 向 量 组 e1 , , en 可 由
1 , , n 线性表示, 求证矩阵[ 1 , , n]可逆.
【证明】
( ) 不妨设 1 k 2 2 k m m ,
则有 k1 1 k 2 2 k n n 0 ,
k1 1 0 .
( ) 设不全为 0 的数 k1 , , k m 满足
k1 1 k 2 2 k m m 0
7. 设 1 , , n n , 求 证 : 矩 阵 [ 1 , , n] 可 逆
n 中任何一个向量都可由 1 , , n 线性表示.
1 2 3 (4, (7, (4, (5, 4, 2, 1, 9, 3) 1) 6) )
3. 已知
1 2 3 4 求 可由 1 , 2 , (1, 0, 2, 3) T (1, 1, 3, 5) T (1, 1, a 2, 1) T (1, 2, 4, a 8) T (1, 1, b 3, 5) T 3 , 4 线性表示的条件, 且写出表示
这是因为 a1e1 a 2 e2 a n en .
以后, e1 , e 2 , , e n 作为专用符号使用. 【注】
求证任意 3 维向量 ( a , b , c)T 都可表示为向量组 【例 2】 1 (1, 0, 0) T , 2 (1, 1, 0) T , 3 (1, 1, 1) T 的线性组合, 并写出表示关系.
在 【例如】 3 中, 我们有 a a 0 0 1 0 0 b 0 b 0 a 0 b 1 c 0 c 0 0 c 0 0 1