“数形结合”巧计算

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浅谈“数形结合”在计算教学中的运用

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用一、数形结合的意义数形结合的意义还在于激发学生的创造力和想象力。

通过将数学概念通过图形的方式进行呈现，可以让学生更加感受到数学的美感，从而激发他们的创造力和想象力，使得数学变得更加有趣和吸引人。

数形结合的意义在于帮助学生更好地理解数学概念，培养解决问题的能力，激发学生的创造力和想象力，从而提高数学教学的效果。

二、数形结合的运用方法数形结合的方法其实并不难，只要教师能够灵活运用和巧妙设计，就可以在日常的数学教学中进行运用。

以下是一些常见的数形结合的运用方法：1. 利用图形进行数学概念的呈现：在教学中，可以通过画图的方式将抽象的数学概念进行呈现，如利用圆、三角形、矩形等形状来呈现面积、周长等概念。

通过图形的方式呈现，可以帮助学生更加直观地理解概念，从而加深他们对数学知识的理解。

2. 利用图形进行问题的解析：在解决数学问题的过程中，可以通过画图的方式进行问题的解析，如解决几何问题时，可以通过画图的方式帮助学生更直观地理解问题，从而更容易解决问题。

3. 利用图形进行数学定理的证明：在学习数学定理时，可以通过图形的方式对定理进行呈现和证明，这可以帮助学生更加直观地理解定理，并且可以激发学生的创造力，从而更好地掌握数学知识。

三、数形结合在计算教学中的实际效果数形结合的方法运用在计算教学中，可以取得很好的实际效果。

数形结合可以帮助学生更加直观地理解计算概念，如加减乘除等，通过图形的方式呈现，可以让学生更加直观地理解这些概念，从而更容易掌握计算的方法和技巧。

数形结合还可以激发学生对计算的兴趣，由于计算问题通常都很枯燥，而通过数形结合的方法可以让学生更感受到计算的美感，从而提高他们对计算的兴趣，使得学习变得更有趣。

三年级数形结合案例

三年级数形结合案例数形结合是指将数学知识与几何图形相结合，通过几何图形的形状、大小、位置等特征来解决数学问题。

三年级是学习数学和几何的关键阶段，以下是符合要求的一些数形结合案例：1. 小明家里有一块长方形的花坛，他想要在花坛的四周铺上一圈石子，用来美化花坛。

他测量了花坛的长和宽，发现长是5米，宽是3米。

他需要计算一下需要多少块石子才能够铺满整个花坛的四周。

2. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个正方形的纸板，边长是4厘米。

她想要知道这个正方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。

3. 小明和小红正在进行一个游戏，他们需要分别画一个正三角形和一个正方形，然后比较它们的面积。

小明画的正三角形的底边长是6厘米，高是4厘米；小红画的正方形的边长是5厘米。

他们需要计算一下谁画的图形面积更大。

4. 小明正在学习周长的概念，他拿着一个长方形的纸板，长是8厘米，宽是3厘米。

他需要计算一下这个长方形的周长是多少，并用纸板上的方格来计算。

5. 小红家里有一个圆形的花坛，她想要在花坛中间种一棵树，并围上一个圆形的栅栏，用来保护树苗。

她测量了花坛的直径，发现直径是10米。

她需要计算一下围栅栏需要多长的铁丝。

6. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个正方体的木块，边长是4厘米。

他想要知道这个正方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。

7. 小红和小明正在进行一个游戏，他们需要分别画一个长方形和一个正三角形，然后比较它们的周长。

小红画的长方形的长是7厘米，宽是3厘米；小明画的正三角形的底边长是5厘米，高是4厘米。

他们需要计算一下谁画的图形周长更大。

8. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个长方体的木块，长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米。

他想要知道这个长方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。

9. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个长方形的纸板，长是7厘米，宽是4厘米。

她想要知道这个长方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。

巧用数形结合,助力问题解决

巧用数形结合，助力问题解决
数形结合是一种将数学问题和图形问题相结合的方法，通过将数学问题转化成图形问题，可以更好地理解和解决问题。

下面将通过几个例子来说明如何巧用数形结合来解决问题。

例1：矩形面积
问题：一个矩形的长度是5厘米，宽度是3厘米，求矩形的面积。

解法：我们可以将矩形的长度和宽度都用线段表示，在纸上画出一个5厘米长的线段
和一个3厘米长的线段，并将它们相连，就可以得到一个矩形。

然后使用尺子或直尺测量
该矩形的长度和宽度，即可得到面积为15平方厘米。

例2：圆的周长和面积
问题：一个半径为4厘米的圆，求圆的周长和面积。

解法：我们可以使用一个图钉和一根绳子来画圆。

首先将图钉固定在纸上，然后将绳
子绕在图钉上，再将绳子的另一端拉直，并用铅笔固定住。

然后用尺子或直尺测量绳子的
长度，这个长度就是圆的周长。

将测量的周长值记为L=8π厘米。

然后使用公式C=2πr，将半径的数值代入公式，即C=2π×4=8π厘米。

同样，我们可以使用尺子或直尺测量绳子的宽度，这个长度就是圆的直径，将直径的数值代入公式A=πr²，即A=π×2²=4π平方
厘米。

通过巧用数形结合的方法，我们可以更好地理解和解决问题。

无论是几何问题还是代
数问题，数形结合都能提供一种可视化的方法，将抽象的数学问题转化成具体的图形问题，使问题更加直观，更容易解决。

通过数形结合，我们还可以培养对图形的观察和分析能力，提升数学思维的综合性和创造性。

所以，巧用数形结合，可以助力问题的解决。

“数形结合”巧解数学问题

说，用字母表示数既有助于揭示概念的本质特征，又能使数量之间的关系更加简单
明了。在教材中，学生所接触到的用字母
０天的一半，即第２９天时的长度用数学知识，能否准确运用有效的数学思就是第３应该是２０＋２＝１０（厘米）；再根据第２９天想方法。教学实践中我们发现，小学生的
力。其实数形结合就不失为一种有效的数该追寻的快乐教学。总之，数学研究的对象本身就是现实学方法。
与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，追根究底，逐步推出结果，使问题
得到解决。当然，在解决这类稍复杂的复
０厘米，半圆的周长是多之一。尤其在小学数学教学中，数形结合半圆的半径是１法的运用不仅可以使一些数学问题化抽象为直观，化难为易，化繁为简，使问题简
生通过数形结合，巧用推理来解决。如图：
圆的周长等于２１Ｔｒ，圆周长的一半就可用
题的能力，让他们在巧思妙解中乐学数
帮助学生理解题意，教学中我们可以引导学，好学数学，同时也让我们的课堂更高周长就等于１Ｔｒ＋２ｒ＝５．１４ｒ，这道题便可根学生画出线段图：（如图）效。那么，运用数形结合法如何巧解数学据推理一步来算：Ｃ
关键词：数形结合
在教学中，我们要适时对学生进行数
这道题如让学生顺向思维分析是很难解决的，甚至无从下手。解决这类数学

“数形结合”巧解小学数学思维题

由图可知，小长方形的面积一定小于70，即：
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形表示整数1，依次表示出、、 ……
从图中可以，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：

数形结合巧解题

数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。

四年级数学数形结合经典题

数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。

以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。

小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。

最里边的一层共用
棋子48个。

这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。

小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。

最里边的一层共用
24个棋子。

这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。

如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用数形结合是一种在教学中常用的方法，它将数学与图形结合起来，使得抽象的数学概念更加具体化，帮助学生更好地理解和掌握知识。

在计算教学中，数形结合也是一种非常有效的教学方法，可以帮助学生更好地理解计算规律，加深对数学概念的理解。

本文将就数形结合在计算教学中的运用进行探讨。

二、数形结合在计算教学中的运用1. 利用图形进行计算在教学中，可以通过图形来展示计算过程，让学生能够直观地看到具体的计算过程，从而更好地理解和掌握计算规律。

在教学加法时，可以利用图形让学生看到两个数相加的过程，通过图形的展示，学生可以更清晰地理解加法的本质和规律，从而更好地掌握加法运算。

3. 利用图形解决问题数形结合还可以用来解决实际问题。

在教学中，可以将实际问题转化为图形问题，通过图形的展示来解决实际问题。

通过这种方式，学生可以更加直观地看到问题的解决过程，更好地理解问题的本质，从而更好地解决实际问题。

三、数形结合在计算教学中的优势1. 增强学生的学习兴趣数形结合可以通过图形的展示来呈现问题，让学生能够更加直观地看到问题的解决过程，从而增强学生的学习兴趣，促进学生的学习积极性。

2. 深化学生对知识的理解通过图形的展示，学生可以更加直观地看到问题的解决过程，更好地理解知识的本质和规律，从而深化对知识的理解。

3. 帮助学生综合运用知识数形结合可以帮助学生将所学的知识综合运用到实际问题中，通过图形的展示来解决实际问题，培养学生的综合运用能力。

4. 提高教学效果数形结合可以通过图形的展示来直观地呈现问题和解决过程，帮助学生更好地理解知识和掌握技能，提高教学效果。

2. 利用图形展示计算规律可以通过图形的展示来让学生看到计算的规律和特点，深化学生对知识的理解。

3. 利用图形解决问题可以将实际问题转化为图形问题，通过图形的展示来解决实际问题，帮助学生更好地掌握知识。

巧用数形结合,助力问题解决

巧用数形结合，助力问题解决数形结合指的是在解决数学问题时，利用几何图形的形状、位置、大小等特征与数学公式进行结合和利用。

这种方法很大程度上可以使问题解决变得更加简单，同时也可以提高我们的数学思维能力和创新能力。

接下来就让我们看几个例子来理解一下数形结合的具体应用。

例1、圆的面积和周长问题描述：一个圆的半径为r，求它的面积和周长。

解题思路：我们可以利用数学公式直接求解。

圆的面积公式为：S = πr² ，圆的周长公式为：C = 2πr 。

但是如果我们将圆形的面积和周长与具体图形相结合，就会更容易理解和记住这些公式。

比如，我们可以将一个圆分成许多小的扇形，然后利用这些扇形构成一个圆柱体。

这时圆柱体的表面积就是圆形的周长乘以高度，也就是2πrh（h表示圆柱体高度）。

同时，圆柱体的底面积就是圆形的面积πr²。

这种结合几何图形的方法，可以使我们更加深刻地理解圆形的面积和周长的概念。

例2、三角形的面积和角度问题描述：已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。

求三角形的面积和角度。

解题思路：我们可以首先根据三角形的顶点坐标求出三条边的长度，然后再根据海伦公式求出三角形的面积。

但如果我们将具体的三角形形状与数学公式进行结合，就可以运用更加深层次的数学知识来解决问题。

比如，我们可以将三角形ABC分别作为直角三角形和锐角三角形看待，然后再利用三角函数（正弦、余弦和正切）来求解三角形的边长和角度。

这可以更加直观地理解三角函数的概念，并且可以使我们更加快速地求解三角形的面积和角度。

总之，数形结合是一种相当有效的求解数学问题的方法。

在实际运用中，我们可以根据具体情况灵活地运用这种方法，使问题解决变得更加简单，同时也更能够理解数学知识的内涵和意义。

数形结合解题五例

数形结合解题五例“数形结合”是一门研究两类问题之间相互联系的学科，它是数学和几何学的实践性结合。

一个经典的数形结合解题模型是，利用数学分析的方法来解答具有几何关系的问题。

在这种情况下，解决问题的核心是发现数学模型，以及数学和几何知识之间的关系。

以下将介绍五个典型的数形结合解题案例。

第一个案例是：一只蚊子被困在圆柱形水桶内，现在要让它自由起飞，需要给桶中加多少水？这是一道数形结合案例，我们可以使用几何知识来解答这个问题。

首先，由于蚊子被困在圆柱形水桶内，我们可以确定桶的容积公式：容积=πr^2 h，其中r是桶的半径，h是桶的高度。

现在，我们需要确定桶中有多少水，因此需要求出桶中水的容积。

由于蚊子不能跨越水面，因此桶中水的容积必须超过蚊子跳过水面所需的高度，那么桶中水的容积就是h高度加上空气高度，因此总容积就是πr^2 (h+空气高度)，空气高度可以根据蚊子跳出水面所必须的高度来计算。

最后，我们只需将总容积减去桶内现有水的容积，就可以得到桶中需要加的水的容积。

第二个案例是：在XY平面上，有一直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求角A的大小。

这是一道解三角形的数形结合问题，我们可以使用勾股定理来解答，即a^2 + b^2 = c*2。

由此可知，a=3，b=4，那么角A的大小就是A=cos--1((a*2 - b*2)/2ab)=cos--1(-5/24)=90°-cos--1(5/24)。

通过以上的运算，可以知道 ABC的三角中，角A的大小是90°-cos--1(5/24)。

第三个案例是：以圆心A为原点，有一个半径为R的完整圆，两个圆心分别为B、C，B和C的距离为d，要求确定BC两点的坐标和圆心A的半径R。

这是一道数形结合问题，我们首先要求出圆心A的半径R，首先可以使用勾股定理求出R=√(d2-d2A)可以求得圆心A的半径R。

然后确定圆心B和C在XY平面上的坐标，我们需要知道圆心A的坐标，以及两个圆心B和C之间的夹角α，也就是两个圆心所在线段的切线夹角。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。

今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。

例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。

解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。

我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。

解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。

根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。

通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。

例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。

解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。

解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。

然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。

三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。

解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过勾股定理知道AC=5。

然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。

接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。

接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。

\bigtriangleup ABD的面积为2.25。

通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。

例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。

由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。

由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。

通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。

例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。

六年级数学上册8.2 运用数形结合计算

运用数形结合计算
数＋＝
＋＋＝
?
你能发现什么规律？
分子都是1
得数＝1-最后一个加数
试着计算，看看刚才的结论对不对。
＋＋＋＋＋＝
＋＋＋＋＋＋…＝
?
……
一个一个加下去，我发现，等号右边的分数越来越接近于1。
＋＝
＋＋＝
＋＋＋＋＋＝
方法一
用一个圆表示“1”
所用小棒根数等于三角形个数的2倍加1
…
用小棒按下面的方法摆图形
请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？
这节课你们都学会了哪些知识？
数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。
方法一
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
…
=1
…
…
方法二用一条线段表示“1”
…
=
1
你能用所学知识解决下列问题吗？
1
……
所以原式的结果是1
找规律填空
2
2
2
2
2
2
4
2
( )
8
2
16
64
( )
2
8
16
8×2=16
2×4=8
=
…
=
0
1-
1-
计算
用小棒按下面的方法摆图形
…
小三角形个数：
小棒根数：
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1

运用数形结合计算

1．找规律，直接写出后面各题的得数。

×9＝11111.1111 ×36＝
×18＝22222.2222 ×45＝
×27＝33333.3333 ×54＝
2.解答题。

（1）数一数下图有几个长方形？（列出算式并计算）
①②
（2）仿照上面的方法算一算下图中一共有多少个长方形。

3.照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？
黑色1块2块 3块
白色：8块 13块18块
4.数与形。

（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。

（2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002－992＝（）＋（）＝（）
20202－20192＝（）＋（）＝（）
参考答案
1．
2.（1）①4＋3＋2＋1＝10（个）②2＋1＝3（个）
（2）8＋10＋4＋5＋2＋1＝30(个)
3.观察图形得出下面的规律：
1 2 3 4 n
黑色：1块2块3块4块n块
白色：8块 13块 18块23块（3＋5n）块3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n
3＋5×6＝33（块） 3＋5×10＝53（块）
答：第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。

4.（1）
（2）100 99 199 **** **** 4039。

初二数形结合题解题技巧

初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。

例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。

2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。

如长度、面积、角度的计算等。

3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。

通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。

4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。

5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。

6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。

总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。

数形结合巧解题

数形结合巧解题从开始接触数学以来，与我们经常打交道的无非就是“数”与“形”，那么大家有没有试过把它们结合起来呢，也就是数形结合。

如果没有，请从现在开始试一试吧，你会发现它巧妙的解题思路。

下面我们就来慢慢的体会它的巧妙之处。

一、计算（1）22121+ 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为21的长方形，接着把面积为21的长方形等分成两个面积为41的正方形。

利用图形揭示的规律是：求22121+的和，刚好等于求黄色和蓝色部分面积的和，所以将全部的面积减去红色的面积，剩下就是我们要求的，而红色部分的面积又等于蓝色部分的面积，即221，那么，原式=1－221=43 类似地，同理可得:（2）22321121++=1－231=87(3) 22243211121+++=1－241=1615 …….. 依次下去，求22243211121++++…….+21n 就不难了,等于1－21n ，而且，我们可以发现，当n 无限增大时，这一式子的值最接近于这一正方形的面积1。

二、几何图形与乘法公式按图所示的两种方式分割正方形,用两种方法求正方形的面积。

b a（1）y x(2)图（1）：①S=)(2b a + ②S=ab ab b a +++22 可得：)(2b a +=ba ab 222++ 图（2）：①S=4xy+)(2y x - ②S=)(2y x + 可得：)(2y x +=4xy+)(2y x -上述运用了数形结合把复杂的问题简单化，抽象问题具体化了，它将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

所以，同学们在学习的过程中可以尝试一下数形结合，你会有意想不到的收获。

中职数学解题技巧之“数”“形”结合———以高教版教材为例

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３１６中职数学解题技巧之结合中职数学解题技巧之数形结合㊀㊀㊀以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出数形定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到数与形的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁数与形的定义及数形结合思想的应用价值（一）数与形的定义数是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中，数的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等．形是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中，形可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数与形相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从数形两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁数形结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用形助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版集合的运算一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３１６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用形助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用形解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版一元二次不等式一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用数助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到题眼，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版柱㊁锥㊁球及其简单组合体一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用数助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３１６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版两点间的距离与线段中点的坐标一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了数形结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版函数的应用一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握数形的本质，根据数形之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略直线与圆的方程示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。

巧用数形结合,助力问题解决

巧用数形结合，助力问题解决
数形结合法是一种常见的数学问题解决方法，它将数学问题转化为图形问题，通过观
察和分析图形的特征来解决问题。

巧用数形结合可以帮助我们更加直观地理解问题，找到
解决问题的思路。

下面将介绍几个巧用数形结合的例子，说明它们是如何助力问题的解决的。

考虑一个简单的问题：求一个正方形的面积。

我们可以直接使用公式：面积=边长的
平方。

通过数形结合法，我们可以将正方形划分为n个小正方形，然后计算每个小正方形
的面积之和。

这样一来，我们就可以利用图形的特征，如正方形的对称性、相等的边长等，来简化计算过程。

通过改变划分的方法，我们还可以引入一些其他形状的图形，比如长方形、三角形等，进一步巩固和拓展了我们对图形面积计算的理解。

考虑一个经典的问题：证明三角形的内角和等于180度。

通过数形结合法，我们可以
将三角形补充为一个直角三角形和一个等腰直角三角形。

然后，我们可以观察和分析三角
形和这两个图形的关系，发现它们的内角和是180度。

这样一来，我们就可以通过数形结
合法来证明三角形的内角和等于180度，而不需要使用复杂的代数方法。

考虑一个代数问题：已知一个等差数列的首项和公差，求前n项的和。

通过数形结合法，我们可以将等差数列的前n项用一个具有n个矩形和相等边长的长方形来表示。

然后，我们可以观察和分析长方形的特征，来求解前n项的和。

这样一来，我们就可以通过数形
结合法来解决这个代数问题，而不需要使用复杂的等差数列求和公式。

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用我们来了解一下“数形结合”这一概念是什么意思。

其实，“数形结合”是指将数学中的抽象概念与具体的图形形象相结合，通过观察、描绘和分析图形来达到更好理解和运用数学知识的目的。

这一方法的运用可以使得抽象的数学概念更具体化，更直观，也更易于学生的理解和接受。

在计算教学中，“数形结合”的运用可以帮助学生更好地理解算术运算、代数运算、几何运算等内容。

对于加减乘除等基本运算，老师可以通过图形、实物等形象化的方式来呈现，让学生通过观察、实践来理解运算的概念和规律。

在教学2位数的加法时，可以通过十位和个位的图形表示来帮助学生更好地理解进位的概念，使得学生不再感到这是一个抽象而难以理解的概念。

同样，对于乘法和除法的教学也可以通过实物模型或者图形展示来帮助学生更好地理解乘法和除法的意义和运算规律。

除了基本的算术运算外，“数形结合”也可以在代数运算中得到应用。

在代数式的教学中，老师可以通过图形表示来帮助学生理解代数式的含义和运算规律，比如使用方形来表示代数式，让学生很容易地理解代数式的展开和因式分解。

这种形象化的教学方法可以帮助学生更好地掌握代数式的运算规则，提高他们的学习效果。

几何运算中的“数形结合”也是很重要的。

在几何的教学中，很多抽象的概念和定理往往让学生望而生畏，但是通过图形的演示和实物的展示，可以帮助学生更好地理解和接受这些抽象的几何知识。

在教学几何图形的计算时，可以通过图形的变化和分解来帮助学生理解形状的特征和计算的方法，使得他们更容易掌握几何知识。

“数形结合”在计算教学中的运用是非常重要的。

这种形象化的教学方法可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的学习兴趣和学习效果。

在教学实践中，老师们应该积极地运用“数形结合”的方法，通过图形、实物等形象化的展示来帮助学生更好地理解和接受数学知识，从而提高他们的学习质量。

学生们也应该主动参与到这种形象化的教学中，通过观察、实践和分析来加深对数学知识的理解和掌握，从而提高他们的学习成绩和学术成就。