全等三角形的判定“HL”人教版八年级数学上册课件

解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm；
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(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边 和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边 和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
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∴∠C与∠D都是直角.
D
C
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
AB=BA,
A
B
AC=BD .
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
∴ BC﹦AD.
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举一反三 变式1 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ A ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD ∴∠D=∠C=90° 在Rt△ABD和Rt△BAC中
AB=BA
AD=BC ∴ Rt△ABD≌ Rt△BAC(HL) ∴AC=BD
D A
C B
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举一反三
变式3 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.
3、与直角三角形有关的定理你记得多少？ 有一个角是直角的三角形是直角三角形，用“Rt△”表示 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形两个锐角互余
新课引入
思考 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个
条件，这两个直角三角形就全等了？
A
D
1、 BC=EF、AC=DF SAS
2、∠B=∠E、 BC=EF 或∠A=∠D 、AC=DF
放到Rt△ABC上，它们能重合吗？N 作法：
A
A′ （1）先画∠M C′ N=90°
（2）在射线C′M上截 B′C′=BC
（3）以点B′为圆心，AB为半径
B
CM
B′
C ′ 画弧，交射线C′N于A′ （4）连接A′B′
你能总结出直角三角形的判定方法吗？
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例题解析
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果
AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， 且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
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例题解析
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯
水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关 系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF, AC=DF
（4）__∠__D__B_A_=__∠__C__A_B__（__A__A_S_）_________
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举一反三
变式2 如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为
C、D，AD=BC.求证：AC=BD.
E
F
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新知小练
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全
等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ AAS）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ × ）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF.
B
即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD
A
E
F
C
AF=CE
D
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴BF=DE.
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牛刀小试
变式1 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
变式2 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
分析:
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
C
BF=DE ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
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Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
FG=EG BD平分EF
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迁移应用
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm， 一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线 AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位 置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
A
E
D
BC=CB
B
C
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
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牛刀小试
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它 们全等的理由.
（1）______A_D_=__B_C______（__H__L_）__________
D
C
（2）______B_D_=__A_C______（__H__L_）__________ A
B
（3）__∠__D__A_B_=__∠___C_B_A__（__A__A_S_）_________
证明：连接BD ∵ AB⊥AD，CD⊥BC ∴∠A=∠C=90° 在Rt△ABD和Rt△CDB中 BD=DB AB=CD ∴ Rt△ABD ≌ Rt△CDB(HL) ∴∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC
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A B
D C
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新知讲解
总结：判定两个Hale Waihona Puke Baidu角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
简写：“斜边、直角边”或“HL”
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ DEF中，
B
C
AB=DE
注意：按着斜边、直
D
角边的顺序写条件，
BAC=EDFF
还有点之间的对应
∴ △ABC ≌ △ DEF（HL）.
牛刀小试
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则 △ADB与△ADC 全等 （填“全等”或“不全
等”），根据 HL （用简写法）.
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 ° 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中 CE=BD
ASA
B
CE
F
3、∠B=∠E、 AC=DF 或∠A=∠D、 BC=EF
AAS
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新知讲解
一、三角形的判定（“HL”）
画一画：任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°。再画一个Rt△A ′B ′C
′，使∠C′=90 °,B′C′=BC，A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
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牛刀小试
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D） A.两条直角边对应相等
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 “斜边、直角边”
温故知新
1、到目前为止，我们学了几种判定三角形全等的方法?
SSS、SAS、ASA、AAS
2、做题过程中我们都用到过哪些定理？
对顶角相等、邻补角互补、垂直定义、平行的性质、全等三 角形的性质、中线高角分线定义及性质、外角性质等等
分析:
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
A
B
F
C
E
G
BF=DE
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
D
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
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FG=EG BD平分EF
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牛刀小试
（ AAS ）
（4）两直角边对应相等；
（ SAS ）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（ HL ）
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例题解析
例1、如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD