直线、平面垂直的判定及其性质 课件
合集下载
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
直线、平面垂直的判定及性质课件
⇒l⊥α
解 题 训
练
要
高
效
直线、平面垂直的判定及性质
3．直线与平面垂直的性质定理
基
文字语言 图形语言
础 知 识 要 打 牢
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线_平__行__
理
高
频
如果两条平行线中的
考 点
推 一条垂直于一个平面，
要 通
论 那么另一条直线也
关
该平垂面直
符号语言
高
分
a_⊥___α__
直线、平面垂直的判定及性质
基 2．直线与平面垂直的判定定理
高
础
分
知
障
识 要
文字语言
图形语言 符号语言
碍 要
打 判 一条直线与一个平面
牢
定 内的两条相交直线都
高 定 垂直，则该直线与此
频
考 理 平面垂直
点 要 通 关
_a_，__b_⊂__α
破
__a_∩_b_＝__O__
除
_l_⊥__a_ _l_⊥__b_
进行平移，将其转为相交垂直
高
解
频
题
考
训
点
练
要
要
通
高
关
效
直线、平面垂直的判定及性质
基
高
础
分
知
证明直线和平面垂直的常用方法有：
障
识
碍
要
(1)利用判定定理．
要
打 牢
(2)利用线面垂直性质定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
破 除
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
高
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
人教版人教高中数学3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 (共16张PPT)教育课件
《
《
我
是
算
命
先
生
》
证明： PO⊥α
①
PO⊥a ②
aα
AO⊥a a⊥平面POA ③
PO AO O PA 平面POA a⊥PA
①
②
③
线面垂直
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
新知探究 • 定理内容
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
P 定理
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
直线平面垂直的判定及其性质课件
__a_⊂__α__
__b_⊂__α__
直线与平面所成的角 直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的__射__影___所成的__角___，叫作这条直线和
这个平面所成的角． 定义
当直线与平面垂直时，它们所成的角是 90°.当直线与平面平行或在平面
内时，它们所成的角是__0_°__
范围
0°≤θ≤90°
如图，__∠_P__A_O___就是斜线 AP 与平面 α 所成的角
画法
[化解疑难] 1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强 调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不 能判断直线与平面垂直． 2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两 条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这 是无关紧要的.
教案·课堂探究
线面垂直的概念与定理的理解 自主练透型
下列说法中正确的个数是( )
①若直线 l 与平面 α 内一条直线垂直，则 l⊥α；
②若直线 l 与平面 α 内两条直线垂直，则 l⊥α；
③若直线 l 与平面 α 内两条相交直线垂直，则 l⊥α；
④若直线 l 与平面 α 内任意一条直线垂直，则 l⊥α；
1．下列说法中，正确的是________． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． (2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边． (3)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定 的平面． (4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行．
解析： (1)a∥α，b⊂α，直线 a 与直线 b 可能平行，也可能异面，故(1)错． (2)一条直线垂直于三角形的两边，则该直线垂直于三角形所在的平面，故该 直线与三角形的第三边垂直，故(2)正确． (3)三条共点直线两两垂直，设为 a，b，c，且 a，b，c 共点于 O. 因为 a⊥b，a⊥c，b∩c＝O， 所以 b、c 确定一平面，设为 α，则 a⊥α.同理可知 b 垂直于由 a、c 确定的平 面，c 垂直于 a、b 确定的平面．故(3)正确． (4)因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平 面内，故(4)不正确． 答案： (2)(3)
直线、平面垂直的判定与性质 课件
证明面面垂直的方法 (1)利用面面垂直的定义(不常用)； (2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平 面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一 个平面内的一条直线平行(常用方法)．
1．[考点一]如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底 面 ABCD 为菱形，PB⊥平面 ABCD. (1)若 AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥 A-PBC 的体积； (2)若点 E 是 DP 的中点，证明：BD⊥平面 ACE.
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决.
证明多面体中的平行与垂直关系
[例 1] (2016·江苏高考)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
(1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN.
[证明] 法一：如图，取 PA 的中点 H， 连接 EH，DH.
因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝12AB. 又 AB∥CD，CD＝12AB， 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形．所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 所以 CE∥平面 PAD.
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维” 的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平 行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转 化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立 的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
直线平面垂直的判定与性质 课件
3. 直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的_锐__角__，叫做这条直线和这个平面所成的角， 如图，__∠__P_A_O__就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2. ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．
所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD， 所以 PD⊥平面 PAB. 所以平面 PAB⊥平面 PCD. (3)取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FG∥BC，FG＝12BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，
所以 DE∥BC，DE＝12BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形． 所以 EF∥DG.又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD.
2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一个平面 判定 的_垂__线__，则这两个平面 定理
互相垂直
符号语言 ll⊂⊥βα⇒α⊥β
文字语言
图形语言
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质定理 内垂直于_交__线__的
直线垂直于另一
个平面
符号语言
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (3)求证：EF∥平面 PCD.
【证明】 (1)因为 PA＝PD，E 为 AD 的中点， 所以 PE⊥AD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC∥AD. 所以 PE⊥BC. (2)因为底面 ABCD 为矩形， 所以 AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 所以 AB⊥平面 PAD.
直线、平面垂直的判定及其性质 课件
解：(1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD．
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．
直线与平面垂直的判定和性质PPT
4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2a 求证：PA⊥面ABCD
解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 P 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60
∴AB=AD=AC=a
A
在△PAB中，由 PA2 AB2 2a2 PB2
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例1的结论：
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．—定不存在
(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且 PA⊥平面ABCD，则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中， 为直角三角形有___5___个
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
在RtA1BO中，A1B
2a, BO 2 a, 2
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.4平面与平面垂直的性质
人教A版高中数学必修二第二章
学习目标
（1）掌握平面与平面垂直的 性质定理； （2）能运用平面与平面垂直 的性质定理解决一些简单问 题； （3）总结线线、线面、面面 之间的转化关系.
创设情景，揭示课题
问题提出 1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？
定义和判定定理
β E B D A
α
思考5:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.
α l β
m
定理 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与 另一个平面垂直.
l , m, l m l .
质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 如图，已知α ⊥β ，l⊥β ， l ，试判断直线l与平面α 的位置关系，并说明理由.
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直， 其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直， 这两条直线与平面ABCD垂直吗？ C1 B1 C B A A1 D D1
, CD AB , AB CD 思考4:一般地， ,垂足为B，那么直线AB与平面 的位置关系如何？为什么？
α
A
β
B
思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面 内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实 际应用中有何理论作用？αAβ NhomakorabeaB
思考3:对于三个平面α 、β 、γ ，如果α ⊥γ ，β ⊥γ ， l ， 那么直线l与平面γ 的位置关系如何？为什么？
l
α a b γ
β
归纳整理，整体认识
布置作业：
P73习题2.3A组：2. P74习题2.3B组：3.
2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问 题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
互动交流
研讨新知
思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直，直线l在平面α 内，那么直 线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？ α β
l α β l α
l
β
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线 与地面垂直？若存在，怎样画线？
α a m β l
BC 2 ，侧面PAB 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P
A E B C
D
巩固深化，反馈矫正
思考1:若α ⊥β ，过平面α 内一点A作平面β 的垂线，垂足为B， 那么点B在什么位置？说明你的理由.
人教A版高中数学必修二第二章
学习目标
（1）掌握平面与平面垂直的 性质定理； （2）能运用平面与平面垂直 的性质定理解决一些简单问 题； （3）总结线线、线面、面面 之间的转化关系.
创设情景，揭示课题
问题提出 1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？
定义和判定定理
β E B D A
α
思考5:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.
α l β
m
定理 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与 另一个平面垂直.
l , m, l m l .
质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 如图，已知α ⊥β ，l⊥β ， l ，试判断直线l与平面α 的位置关系，并说明理由.
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直， 其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直， 这两条直线与平面ABCD垂直吗？ C1 B1 C B A A1 D D1
, CD AB , AB CD 思考4:一般地， ,垂足为B，那么直线AB与平面 的位置关系如何？为什么？
α
A
β
B
思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面 内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实 际应用中有何理论作用？αAβ NhomakorabeaB
思考3:对于三个平面α 、β 、γ ，如果α ⊥γ ，β ⊥γ ， l ， 那么直线l与平面γ 的位置关系如何？为什么？
l
α a b γ
β
归纳整理，整体认识
布置作业：
P73习题2.3A组：2. P74习题2.3B组：3.
2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问 题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
互动交流
研讨新知
思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直，直线l在平面α 内，那么直 线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？ α β
l α β l α
l
β
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线 与地面垂直？若存在，怎样画线？
α a m β l
BC 2 ，侧面PAB 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P
A E B C
D
巩固深化，反馈矫正
思考1:若α ⊥β ，过平面α 内一点A作平面β 的垂线，垂足为B， 那么点B在什么位置？说明你的理由.