双曲线定义(带动画)
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1 ①a=4,xb2=3，y焦2 点在x轴上； 16 9
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
1 2.已知方程 x2
y2
2m m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是___m__＜__－_2______
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 ___m_＜__－__2_或__m__＞__－__1_
说明： 0<2a<2c ；
F
1
oF
2
x
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
讨论： 当 m、n 取何值时，方程 mx 2 ny 2 1 表示椭圆，双
曲线，圆 。
解：由各种方程的标准方程知，
当m 0, n 0, m n 时方程表示的曲线是椭圆
当m n 0 时方程表示的曲线是圆 当m n 0 时方程表示的曲线是双曲线
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
一、 双曲线定义（类比椭圆）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双y 曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
wenku.baidu.com曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
设法一：
设法二：
设法三：
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（
2,
3），（
15 3
,
2），求双曲线的
标准方程。
小结 ----双曲线定义及标准方程
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差 的绝对值等于6，则
3 5 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
4
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6____
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
三、例题选讲
例1 已知两定点 F1 5,0, F25,0 ,动点 P 满
足 PF1 PF2 6 ,求动点P 的轨迹方程
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2 16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
1 2.已知方程 x2
y2
2m m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是___m__＜__－_2______
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 ___m_＜__－__2_或__m__＞__－__1_
说明： 0<2a<2c ；
F
1
oF
2
x
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
讨论： 当 m、n 取何值时，方程 mx 2 ny 2 1 表示椭圆，双
曲线，圆 。
解：由各种方程的标准方程知，
当m 0, n 0, m n 时方程表示的曲线是椭圆
当m n 0 时方程表示的曲线是圆 当m n 0 时方程表示的曲线是双曲线
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
一、 双曲线定义（类比椭圆）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双y 曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
wenku.baidu.com曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
设法一：
设法二：
设法三：
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（
2,
3），（
15 3
,
2），求双曲线的
标准方程。
小结 ----双曲线定义及标准方程
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差 的绝对值等于6，则
3 5 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
4
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6____
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
三、例题选讲
例1 已知两定点 F1 5,0, F25,0 ,动点 P 满
足 PF1 PF2 6 ,求动点P 的轨迹方程
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2 16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2