直角三角形的边角关系回顾与思考演示文稿
九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》课件剖析
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形AB2C2有什么关系?
B2
z.xx.k
(2) B1C1和 B2C2有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
A．250 m C.5300 3 m
B．250 3 m D．250 2 m
5. 如图，菱形 ABCD 的周长为 20，DE⊥AB，垂足
为 E，cosA＝45，则下列结论不正确的是( D )
A．DE＝3
C．S 菱形 ABCD＝15
B．EB＝1
D．tanA＝35
6. (2018·重庆 A)如图，旗杆及升旗台的剖面和教 学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼
A
z.xx.k
4m
E
3.5m
B
1.5m
F
1.3m
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
两边的比. 学习难点:
理解正切、坡度的意义.
Z.x.x.k
你能比较两个梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？
A E
C
B
F
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡？
直角三角形的边角关系课件(1)
直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
D C B A2、坡度的定义及表示（难点我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lha =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD 的长为多少？3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
即sinA=ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。
即cosA=cb=∠斜边的邻边A例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。
直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： （1）三边之间关系：222c b a =+； （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间关系：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=ba 。
第一章《直角三角形的边角关系》回顾与思考
第一章《直角三角形的边角关系》回顾与思考授课教师：课时课题：第一章《直角三角形的边角关系》回顾与思考课型：复习课授课时间：2012年12月日，星期，第节课教学目标：1．理解锐角三角函数的概念.2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题.3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想问题和解决问题.教学重点、难点：重点:归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式求解直角三角形的边和角，解决实际问题.难点：直角三角形的边、角之间的关系解决实际问题教法及学法指导：本节课以学生活动为主，尽可能在回顾与思考的几个问题的自主研讨交流过程中逐渐引导、启发学生建立知识体系，归纳、总结本章学习中的收获、因难及需要改进的地方. 教学过程:一、激趣导入，建构网络师：知识在于积累，能力在于训练，每当学完一章节内容，我们都要及时进行总结归纳，形成知识体系，建构结构网络，查缺补漏，以求厚积薄发.现在就让我们共同对《直角三角形的边角关系》一章进行梳理归纳，以求人人达标过关.大家有没有信心？生：有！设计意图：本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的.师：很好.我们共同研究学习了《直角三角形的边角关系》一章，大家在知识和能力方面都有哪些方面的收获，请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果. 设计意图：通过学生独自回忆和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.二、典题尝练，互查汇报1．在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =4，AB =5，则cosB 的值是( )． A ．23B ．35C ．34D ．452．计算10)31(60sin 2123-++-- 3．已知矩形的两邻边之比是31，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为 . 4．如图，Rt △ABC ,∠C =900,AB =6,cos B =23 ,则BC 的长为（ ）A ．4B ．2 5C ．18 1313 D ． 1213135．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为 （ ）A ．55 B ．552 C ．21 D ．2实际背景锐角三角函数的意义锐角三角函数的计算30°，45°，60° 角的三角函数一般锐角的 三角函数 由三角函数值求锐角利用三角函数 解决实际问题求直角三角形的边和角 实际问题应用举例A BC OBA6．如图，在塔AB 前得平地上选择一点C ，测出看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底B 走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高（ ） A ．503米 B ．1003米 C ．10031+米 D ．10031-米设计意图：本题组主要是帮助学生复习回忆三角函数的定义，特殊角度的三角函数值，以及边角关系的实际应用.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查特殊角度的三角函数值，第4题是利用边角关系求解边长，第5题是网格中求三角函数值得技巧的提升和训练，第6题是锐角三角函数在实际中的应用，这是基本图形的应用.处理时，第2、6题让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法. B 组：（选做题）1．已知α为锐角，且sin (α+15°)=32，则 cos α= ．2．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cos A ﹣|+（sinB ﹣）2=0，则∠C = ．3．某市景区管委会准备在郊外两个景区点A 、B 与该市M 间修建一条笔直的公路，经测量，在A 的北偏西30方向上6km 的C 处的四周1km 范围内是一个重点文物保护区，且又位于景点B 的正北方向，测得AB 的长为5km ，试问能否修这条笔直的公路（精确到0.1，参考数据：73.13,24.25==）？设计意图：设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点.对于学生掌握薄弱的知识可以组织学生共同探究.本环节实行A 、B 组形式主要的目的是使不同层次的同学都得到发展，增强学生的学习积极性.实际上学生对于锐角三角函数的定义的正用掌握很好，特殊角的三角函数值掌握的很熟练，计算准确率较高，实际应用问题能较熟练的转化成数学问题并加以解决.但对于锐角三角函数的定义的逆用不很熟练，边长和角度是字母的题目学生解决不熟练. 三、范例导航、方法指导师：通过上面题组的研究，同学们可以总结出本章的热点考题类型，下面同学们以小组为单位进行总结归纳.生：自主探究，合作交流成果 师：展示优秀小组的成果.1．对锐角三角函数概念的理解. 2．对于特殊角的三角函数值的计算. 3．已知三角函数值求对应的锐角. 4．运用三角函数解直角三角形.5．运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题. 6．三角函数在几何综合题中的应用.设计意图：设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.师：对于三角函数的定义大家掌握的很熟练，请你利用求某个锐角的三角函数值的通法和技巧，完成下面的这个题目.例1如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12B ．55C ．1010D ．255生：自主研讨,合作交流.师：巡视点拨，发现学生的典型解法. 生1：讲解如图一的思路方法. 生2：讲解如图二的思路方法.师：两位同学的方法都很好，讲解清晰，的确象他们的解法一样，网格内的问题往往是利用格点作为基点，进行作图转化，借助正 方形的性质进行计算.另外在有关的计算题中，我们常常设出一些线 段为已知常量作为辅助元素，进行运算,这种技巧同学们要注意掌握 和应用.设计意图：本题是以网格为载体，以考查求三角函数值为目的，巩固渗透提高学生将非直角三角形角转化成直角三角形的角的能力.然而本题又较一般的转化更抽象一点，它要借助正方形对角线互相垂直的性质转化.能很好的训练和提高学生的能力.实际上多数学生对于这个题目感到很茫然，但通过两位同学的点拨引领，学生都能领会到本题的要旨，效果很好.CBAD图一ED图二师：数学来源生活，而又应用于生活，所以我们学习直角三角形的边角关系一章的主要目的还是应用于生活，解决生活中与距离高度等基本量的度量问题。
《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
讲授新课
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B
时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面
的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多
少？（结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BC=ABsin∠α=200sin16° 你知道sin16°是多少吗？ BC=200sin16°≈55.12（米）
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
讲授新课
一 用计算器求三角函数值 1.求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键， 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
讲授新课
2.求cos72°． 第一步：按计算器 cos 键， 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos72°=0.309 016 994
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所以，塔高DE大约是81米．
讲授新课
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已 知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角 三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
当堂练习
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
直角三角形的边角关系课件ppt
() () ()
4、在上图中，若BD=6，CD=12， 求tanA的值。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB
（1）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
（2）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个 梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
什么结论？
在直角三角形 中，若一个锐角的 对边与邻边的比值 是一个定值，那么 这个角的值也随之 确定。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
直角三角形的边角关系回顾与思考教学设计说明
第一章直角三角形的边角关系回顾与思考一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）。
而通过本章的学习，学生才更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。
学生活动经验基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，也能把简单的实际问题转化为数学问题。
因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力。
二、教学任务分析本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“数形结合”思想的理解和应用。
为此，本节课的教学目标是：知识与技能：1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
过程与方法：练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：基础练习——知识小结——巩固提高——章节回顾——作业布置。
第一环节 基础练习活动内容：1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题A 组的1、2、3、4、5、7题活动目的：通过“回味无穷”让学生熟练掌握特殊角的三角函数值且能根据具体三角函数值说出对应的角的度数；通过做几道练习题，巩固三角函数的相关运算，及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；解决简单的实际问题。
直角三角形的边角关系专题复习ppt课件
6 3 6 6,渔船不改变航向有触礁 危险。
分组讨论 ,合作交流
3、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且 建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使 用的测量工具有皮尺、测倾器．
请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶 端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
4．（2010湖北省咸宁市）如图，已知直l1‖l2‖l3‖l4相邻 两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD
5
的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=____5_。
分析：分别作BE⊥l1，DF⊥l1，垂足分别为E、F
E
F
易证：△DFA≌△AEB
∴AF=BE=2
在Rt△DFA中由勾股定理得：
AD AF2 DF2 22 12 5
E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，
CD=3，则tanC等于（ B ）
A.
B.
C.
D.
解：连接BD，∵E、F分别为AB、AD中点，∴BD=2EF=2×2=4
BD 2 CD2 42 32 25 BC 2
BDC 90; tan C BD 4 CD 3
3、在△ABC中，∠C＝90°，则sinA+cosA的（ B ）
sin（__9_0_°__- A_）=cosA
cos（__9_0°__-_A_）=sinA
4、锐角三角函数的范围：_0__＜sinA＜_1__；
_0__＜cosA＜__1__； tanA＞__0__，
当堂训练,巩固提高
考法一：注重对锐角三角函数定义的考查
1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA=
北师大版九下数学第一章 直角三角形的边角关系(共56张PPT)
2＝2 10
5
5 .
故选 D.
专题二 特殊角的三角函数值与实数运算相结合
【要点指导】中考常将特殊角的三角函数值与实数运算相结合来设置 运算题, 考查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况及实数的运算能 力. 熟记特殊角的三角函数值以及实数的运算律、运算法则是解决此 类问题的关键.
例2 已知锐角三角形ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+ |sinB(1)求∠C的度数；
利用三角函数测高
归纳整合
专题一 关于锐角三角函数的概念及计算
【要点指导】中考中常借助一定的背景图形(网格、三角形等)通 过等量代换及转化, 将某些无法求解的锐角三角函数转移或构建 特殊的直角三角形, 借助数形结合求解.
例1 在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 且b2= (c+a)(c-a), 5b-4c=0, 求sinA+sinB的值．
上的A, B两处巡逻, 同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.
如图1-Z-9所示,
海里, 在B处测得C在北偏东 45°
的方向上, 在A处测得C在北偏西30°
的方向上, 在海岸线AB上有一灯塔 D,
测得
海里.
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC, BC(结果保留根号)；
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群, 若在A处的海监船
策略：在直角三角形中, 锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的 比, 余弦值等于该角的邻直角边与斜边的比, 正切值等于该角的对 边与邻直角边的比；在非直角三角形中求锐角三角函数值, 关键 是添加适当的辅助线, 构造直角三角形；对于已知三角函数值求 线段的长度的题目, 解题的关键是根据锐角三角函数的定义把三 角函数值转化为线段的比值.
《直角三角形的边角关系——解直角三角形》数学教学PPT课件(2篇)
D.
知1－练
4 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是
∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，
B
则tan
)
2 B＝(
3A．22Fra bibliotek11B． 4
5 5
C. 4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点
2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °∠ A；②c=
∴AC＝
∴tan A
AB2＋BC 2＝ 52＋32＝ 34.
BC
3
AB
5
5 34
＝
＝ ，cosA＝
＝
＝
.
AB
5
AC
34
34
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影
响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意
所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
第一章 直角三角形的边角关系
)
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9
cm2
（来自《典中点》）
1
知识小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
A的对边
B的对边
, sin B
斜边
斜边
A的邻边
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
b
c
∵sin A＝
直角三角形的边角关系 PPT课件 1 北师大版
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
答:坡角∠ABC约为13°.
随堂练习P212 3
计算需要空间想象力
解:如图,(2)如果坝长
100m,那么修建这个大
坝共需多少土石方(结
A 6m D
果精确到0.01m3 ).
B
1350 8m
┌
┐
F 30m E C
100m
再 求体 积!
先算 面积!
由梯形S 面 A积 D BC 公 A得 F,式
高度为20m,求此斜坡的倾斜角. 2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C A
的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又
A
测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结
果精确到0.1m).
B
3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mm).
E
2m
C
400
D
5m B
随堂练习P212 0
真知在实践中诞生
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求 DE的长.
∴∠BDE≈51.12°.
E
2m
C
400
D
5m B
答:钢缆ED的长度约为7.97m.
初中数学直角三角形边角关系讲义初稿
直角三角形边角关系讲义( 草稿)一、观点部分 1、基本观点正弦：在 Rt ABC （如图），锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sin A ，A 的对边a 。
Bsin Ac斜边c余弦：在 RtABC （如图），锐角 A 的邻边与斜边的比叫做AaA 的邻边 b 。
的余弦，记为 cos A ， cos Ac 斜边bA C正切：在 Rt ABC （如图），锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记为 tan A ，tan AA 的对边 a 。
A 的邻边b余切：在 Rt ABC （如图），锐角 A 的邻边与对边的比叫做 A 的余切，记为 cot A ，cot AA 的邻边 b 。
A 的对边a2、巧记观点：按 正弦、余弦、正切、余切的次序记八个字： 对斜邻斜对邻邻对 。
3、依据正弦、余弦、正切、余切的定义，在 Rt ABC 中， C 90 ，有 sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。
4、正弦、余弦、正切的值 与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡；tanA 的值越大，梯子越陡。
5、在 Rt ABC 中，C 90 ，a 、b 、c 分别是 A 、 B 、C 的对边，那么 sin Aa ，b， tan Aa ，b可 以变形为 accos Acot Ac s in A ， b c cos A ，cbaa btan A 或 cab等等，在解题中能够依据条件正确采用。
， ccos Asin A6、注意：①、在初中， 正弦、余弦、正切、余切的定义 都是在直角三角形 中给出的，不可以在随意三角形 中套用定义。
②、 sinA 、cosA 、tanA 、 cotA 分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不可以理解为 sin 与 A 、 cos 与 A 、tan 与 A 、cot 与 A 的乘积。
直角三角形的边角关系回顾与思考-PPT课件
点拨：台风中心在AC上移动，要知道B处是否 受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这 个最短距离与200的关系，若小于或等于200 海里则受影响，若大于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风 中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时 间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角 形边角关系，此题就不难得到解决。
2、 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物?
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
大庆市第四十四中学 王 琦
小结
拓展
回味无穷
• 由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
北
C
西
D
E
B
A
4
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则 sinA=
5
2、（1） 2 sin 600 3 cos 450 6
（2） 3 cos 600 5 sin 300 1
1
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的
对边.
(1)已知c=8,b=4,则a= 4 3 ∠A= 60°
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系PPT课件4教学课件
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
sin cos tan 例如,求sin16°,cos42°, tan85°和sin72° 38′25″ 的按键盘顺序如下:
按键的顺序
显示结果
Sin160 sin 1 6
=
0.275635355
Cos420 cos 4 2
=
0.743144825
tan850 tan 8 5
解：如图，根据题意，可知 BC=300 m，BA=100 m， ∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°≈300×0.6428 =192.8(m)
在Rt△ABF中，AF=ABsin30° =100× 1 =50(m).
2
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
好不能直射室内，求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01 m)
解：因为tan80°＝ AB
AC
所以AC＝
AB tan 80
≈ 1 .8 5 . 671
＝0.317≈0.32(m).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
中考 试题
1.用计算器计算cos 44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A 0.90 B 0.72 C 0.69 D 0.66
∴tanB= AC 6.3 ≈0.642 9
BC 9.8
∴∠B≈ 32 4413 因此，射线与皮肤的夹角约为 3 24413 。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
3、如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm， 求V形角（ ∠ACB）的大小。（结果精确到1°）
解：∵tan∠ACD = AD 10 ≈0.520 8
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系精品ppt课件4
当堂检测
课本17页 课本18页
3,题 2,题
3..求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56° 在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826 =29.652(m)； 在Rt△CBA中，CB=ABtan50° ≈ 20×1.1918 =23.836(m) 所以避雷针的长度 DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
A
b
回顾与思考
6.特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
300
450 600
1 2 2 2
0°＜α ＜3 3
1
3
0＜sinα ＜1 0＜cosα ＜1 tanα ＞0
• 正弦函数是增函数 • 余弦函数是减函数 • 正切行数是增函数
a c sin A. b c cos A. a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
┌ b C
A
α
β ┌
2模型:
a AD . 0 0 tan 90 tan 90 B
a
C
D
活动与探究
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80° 角，房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安 装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板 AC的宽度.(结果精确到0.01 m)
2．（2010·眉山中考）如图，已知在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=30°,∠C=60°,AD=4，AB= 3 3 , 则下底BC的长为 __________．
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练一练
点拨：画出图形，直观分析。结合勾股定理和三角函 点拨：画出图形，直观分析。 数知识解决。 数知识解决。
习题A 复习题A组
3.如图,为了测量一条河流的宽度, 3.如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距 如图 180m的 180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正南 两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在 ,T 方向, 方向,在Q的南偏西60°的方向,求河宽(结果精确到1m). 的南偏西60°的方向,求河宽(结果精确到1m). 60 P ┙ Q
知识回顾
实际问题情境 锐角三角函数的意义 锐角三角函数的计算
30°，45°，60° 30° 45° 60° 角的三角函数值
一般锐角的 三角函数值
由三角函数 值求锐角
利用三角函数解决实际问题
作业布置
《理科爱好者》P131页 理科爱好者》P131页
回味无穷
逆向思维) 由锐角的三角函数值反求锐角 (逆向思维)
1 sin A = 30 ∠A= 0 2
cos A =
tan A =
3 ∠A= 0 60 sin A = 2
sin A =
2 45 ∠A= 0 2
1 ∠A= 0 60 2
3 300 ∠A= 3
2 ∠A= 0 45 cos A = 2
B c a ┌ C
A
b
4、如图,在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上 如图,在等腰直角三角形ABC中 ABC C=90° AC=6， AC上 一点， 的长。 一点，若tan∠DBA＝ 1 ，求AD的长。 ∠ ＝ 的长 C 5
Dபைடு நூலகம்
A
E
600 tan A = 3 ∠A=
cos A =
3 ∠A= 0 30 2
tan A = 1 ∠A= 0 45
1.计算: 1.计算: 计算
(1)sin45° -cos60°+tan60°;
算一 算
(2)sin230° +cos230°-tan45°.
习题A组 复习题 组
5
5、有一块如图所示的四边形空地,求此空地的面积。 有一块如图所示的四边形空地,求此空地的面积。
30m 60° 60° 50m
点拨：注意到图中有两个特殊角都是 0， 点拨：注意到图中有两个特殊角都是60 而且四边长度都知道，因此， 而且四边长度都知道，因此，可以作一条对 角线把四边形分成两个含60 的三角形， 角线把四边形分成两个含 0的三角形，然 后分别利用三角函数求出两个三角形中50m 后分别利用三角函数求出两个三角形中 边上的高,问题就解决了 问题就解决了。 边上的高 问题就解决了。
2.在Rt△ABC中 ,a,b,c分别是 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 A,∠B,∠C的对边 的对边. ∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=3,b=3,求 已知a=3,b=3, (1)已知a=3,b=3,求∠A; (2)已知c=8,b=4,求 已知c=8,b=4, (2)已知c=8,b=4,求a及∠A;; (3)已知 已知c=8,∠A=45 (3)已知c=8,∠A=45°,求a及b .
选作题：如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物 选作题：如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD， 周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度 都可直接测得 和高度DC都可直接测得， 周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从 A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺和测倾器.请你根 三点可看到塔顶端H 可供使用的测量工具有皮尺和测倾器. 据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案， 据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案， 的方案 具体要求如下： 具体要求如下： （1）测量数据尽可能少 （2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形 在所给图形上画出你设计的测量平面图， 上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角 如果测A 间的距离用m表示；如果测D 间距离用n表示； 用α、β、γ等表示，测倾器高度不变。） 等表示，测倾器高度不变。） （3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示） 根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）
B C
北 东
A
D
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.
问题解决
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁 的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D, 如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可 知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC= 20海里.设 北 AD=x海里.
数学化
?
BD CD ∵ tan 55 = =, tan 25 = , x x ∴ BD = x tan 55 , CD = x tan 25 .
A
55° 25°
东
∴ x tan 55 − x tan 25 = 20. B C 20 20 ∴x = ≈ ≈ 20.79(海里). tan 55 − tan 25 1.4281− 0.4663
点拨：把已知条件标注在图中，发现 点拨：把已知条件标注在图中， DBA是等腰三角形 是等腰三角形， △DBA是等腰三角形，则可得 DB=DA=30m，用三角函数算出BE=15m， DB=DA=30m，用三角函数算出BE=15m， BC=45m； 则BC=45m；再利用三角函数算出 AC≈25.98m
B
点拨：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形， 点拨：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知 角放在所构造的直角三角形中。本题已知tan DBA＝ 角放在所构造的直角三角形中。本题已知tan∠DBA＝ 1 ，所以可 以过点D AB于 DBA放于 放于Rt DBE中 以过点D作DE⊥AB于E，把∠ DBA放于Rt△DBE中，然后根据正切函数 的定义，即可弄清DE与 的长度关系 再结合等腰Rt△的性质， 的长度关系， 的定义，即可弄清 与BE的长度关系，再结合等腰 △的性质，此 题就不难解答了。 题就不难解答了。
600
T 想一想
点拨：利用三角函数知识可以直接解决。 点拨：利用三角函数知识可以直接解决。
知识小结 直角三角的边角关系
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 直角三角形三边的关系: a2+b2=c2. A+∠B=90° 2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形两锐角的关系: 3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 直角三角形边与角之间的关系: 边与角之间的关系 sinA= cosB= a cosA = sinB = b c c a tanA＝ b ＝ 4、互余两角之间的三角函数关系: 互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA=cotB. 5、特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 30
50m 60° 60° 20m
想一想
船有触礁的危险吗
A
如图,海中有一个小岛A,该岛四 周10海里内有暗礁.今有货轮由 西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后到 达该岛的南偏西25°的C处.之后, 货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触 礁的危险吗? 请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
┌ D
8、如图,大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶 如图,大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A 30m,远处有一塔BC,某人在楼底 的仰角为60 爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为30 求塔高BC 的仰角为600,爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为300,求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01m). 及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01m). AC(结果精确到
H
A
D
B
C G