高二数学第9次周考
重庆市西南大学附中2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测 数学试题(含答案)
西南大学附中 3- 4学年高二上阶段性检测（一）数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A ．1B ．2C ．3D ．42． 样本中共有5个个体，其值分别为12345x x x x x ，，，，．若该样本的平均数为3，则131x +，234531313131x x x x ++++，，，的平均数为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．103． 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B ．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C ．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D ．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4． 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率．记事件A ：甲踢进球；事件B ：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，()P A B =（ ）A ．45B ．910C ．1825D ．49505． 过点A （1，−2）且与直线:2630l x y −−=平行的直线方程是（ ）A ．370x y −−=B ．350x y −+=C ．310x y +−=D ．350x y −−=6． 抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5能够构成锐角三角形的概率是（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．237． 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有700人、600人、700人．其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ） A ．0.433B ．0.435C ．0.442D ．0.4518． “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序． A ．72B ．78C ．96D ．120二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A =“两人都中奖”；B =“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（ ） A ．BC D =B ．AC ≠∅ C ．CD ⊆ D ．B D B =10． 小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5．下列说法正确的是（ ） A ．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B ．小张测试表现时而好，时而糟糕 C ．小陈比小张的测试发挥水平更稳定D ．平均来说小陈比小张数学成绩更好11． 下列说法错误有（ ）A ．“1a =−”是“210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− C ．直线22cos sin 10x y αα+−=恒过定点（1，1）D ．经过点（1，2）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=12． 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1、2、3的三个号签；乙袋有编号为1、2、3、4、5、6的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ） A ．1()18P AB =B ．1()9P C =C ．事件A 与事件C 相互独立D ．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 数据2，4，5，8，a ，10，11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为__________． 14． 若A ，B 两个事件相互独立，且1()3P AB =，则()P A B = ．15． 已知两点A （−1，1），B （3，−2），过点P （2，−1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l （不考虑斜率不存在的情况）的斜率k 的取值范围是__________．16． 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3∶1取得胜利的概率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa ）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这10件产品的平均抗拉强度x 和标准差s ；(2) 该10件产品的抗拉强度位于x s −和x s +之间所占的百分比是多少？18． (12分) 已知平面内两点P （−1，−3），Q （3，3）．(1) 求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当||||OA OB +取得最小值时，求直线l 的方程．19． (12分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验，随机抽取了100位同学的测试成绩作为样本，得到以[8090)，，[90100)，，[100110)，，[110120)，，[120130)，，[130140)，，[140150]，分组的样本频率分布直方图如图．(1) 求直方图中x 的值；(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到0.1） (3) 样本内数学分数在[130140)，，[140150]，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130140)，中的概率．20． (12分）已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()cos A B C B A C +=−=，． (1) 求sin A ；(2) 若3b =，求AC 边上的高．数学分数21． (12分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项．(1) 求该同学11题得5分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．22． (12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111386B A B C AA AB BC AB BC ====⊥，，，，，D 为AC 中点，15tan 12BB D ∠=． (1) 求证：1BC B D ⊥；(2) 线段11B C 上是否存在一点E ，使得AE 与面11BCC B 的夹角．A参考答案一、选择题1—4BDCD 5—8ACCB 9.ACD 10.BC11.ABD12.ABD二、填空题13.914.2315.2(,1][,)3-∞--+∞ 16.0.17417.（1）91090590089690791291589390389990410x +++++++++==22222222222(910904)(905904)(900904)(896904)(907904)(912904)(915904)(893904)(903904)(899904)45.810s -+-+-+-+-+-+-+-+-+-==∴s =（2）∵67<<∴897898x s <-<，910911x s <+<∴610010⨯％=60％18.（1）∵(1,3),(3,3)P Q --∴PQ 中点3(1,0),2PQ M k =∴23k =-直线222:(1)333l y x x =--=-+（2）设(,0),(0,)A a B b 其中（,0a b >）则直线:1x yl a b+=∵Q 在直线上∴331a b+=∴3333()(612b a a b a b a b a b+=++=++≥当且仅当6a b ==时，等号成立此时，:6l y x =-+19.（1）(0.0120.0220.0280.0180.0080.002)101x ++++++⨯=解得0.01x =（2）中位数0.1610010105.70.28=+⨯=0.12850.22950.281050.181150.11250.081350.02145107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[130,140)：1000.088⨯=（人）；[140,150]:1000.022⨯=（人）∴在[130,140)中抽取4人，[140,150]中抽取1人总共有10种情况，A:恰有一人成绩在[130,140)中：4种∴42()105P A ==20.（1）∵2,A B C A B C π+=++=∴3C π=sin()cos cos()B AC A B -==-+sin cos cos sin cos cos sin sin B A B A A B A B-=-+化简得(cos sin )(cos sin )0B B A A +-=∴344B A ππ==（舍）或∴2sin 2A =（2）212362sin sin()sin cos cos sin 22224B A C A C A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理sin sin b c B C =，可得92362c -=∴92362933sin 222c A --=⨯=21.解：（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,AB AC AD BC BD CD .所以1113618P =⨯=…………………………………………………………………………………….5分（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分,记事件1A ：11题得2分；事件2A ：11题得5分；事件1B ：12题得2分；事件2B ：12题得5分则1121()244P A =⨯=；21()18P A =1131113()=243224P B =⨯+⨯；2111()6424P B =⨯=………………………………..9分12212237()()()864P P A B P A B P A B =++=……………………………………………….12分22.（1）证明：连接BD ∵8,6,AB BC AB BC ==⊥∴10AC =∵D 为AC 中点∴5BD =∵15tan 12BB D ∠=，∴2221111112cos 213B D BB BD BB D B D BB +-∠==⋅∴112B D =∵22211B D BD BB +=∴1B D BD ⊥……………………………………….2分∵11B A BC =且D 为AC 中点∴1B D AC ⊥………………………………………3分∵11B D ACB D BD AC BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩∴1B D ABC ⊥面…………………………………4分∵BC ABC⊂面∴1BC B D ⊥……………………………………….5分（2）如图，以D 为原点，CB 为x 轴正向，AB 为y 轴正向，1DB为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12),(6,0,12)A B C B C ---，(6,0,0),(3,4,12)BC BB =-=--令111B E B C λ=，则(6,0,12)E λ-，(63,4,12)AE λ=-- ………………………………..…………….7分令面11BCC B 的法向量为n10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴(0,3,1)n = ……………………………………………………………………..10分||1274sin cos 185||||n AE n AE θα⋅===⋅解得13λ=所以E 是靠近1B 的三等分点……………………………………………………………………….12分。
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学(A)试卷(含答案)
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二年级数学周考详细答案
高二周考试卷参考答案一、D B D B D C B D C B A C二、13.]2,2[- 14.3 15. [2π，32π] 16．246+三、17．解：（1）x x x x x f 2sin 22cos 122sin sin 2)(2--⋅=-= 1)42sin(22sin 2cos 1++-=--=πx x x当2242πππ-=+k x 时，即)(83Z k k x ∈-=ππ时，12))((max +=x f . （2）令0)(≥x f ，则01)42sin(2≥++-πx ，即22)42sin(≤+πx ， πππππ49242432+≤+≤+k x k ，即},4|{Z k k x k x x ∈+≤≤+∈ππππ.（3）令2324222πππππ+≤+≤+k x k 得858ππππ+≤≤+k x k ，∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈++],85,8[ππππ. 18.解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解当1x <时，2210x x +-≤，解得12x -≤≤因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥= ，， OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角. 又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，PBC ∴ PA 与平面所成的角为 （Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴= ，即k =反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心方法二：OP ABC ⊥ 平面，,OA OC AB BC ==，,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,,A B C ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A设OP h =，则()0,0,P h (Ⅰ) D 为PC 的中点，1,0,2OD h ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1,0,,,//2PA h OD PA OD PA ⎫=-∴=-∴⎪⎪⎝⎭，OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =，即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭ ， 可求得平面PBC的法向量1,1,n ⎛=- ⎝，cos ,||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅， 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则sin |cos ,|PA n θ=〈〉= ， （Ⅲ）PBC ∆的重心1,3G h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1,,663OG a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，,OG PBC OG PB ⊥∴⊥平面，又22110,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭，PA a ∴=，即1k =，反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心20.方法一：（I ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO = 而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ====OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=在ACD ∆中，2,CA CD AD ==12ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDEACDAO S h S ∆∆∴===ABMDEOC∴点E到平面ACD的距离为7方法二：（I）同方法一。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
武钢三中高三数学周考试卷解析版
武钢三中高二数学周考试题20231202一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.记△AAAAAA的面积为SS，若AAAA+AAAA=10，AAAA=6，则SS的最大值为( )A. 4B. 6C. 12D. 242.已知椭圆AA：xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，四点PP1(1,1)，PP2(0,1)，PP3(−1,√ 32)，PP4(1,√ 32)中恰有三个点在椭圆AA 上，则这三个点是( )A. PP1，PP2，PP3B. PP1，PP2，PP4C. PP1，PP3，PP4D. PP2，PP3，PP43.直线ll经过抛物线yy2=6xx的焦点FF，且与抛物线交于AA，AA两点．若|AAFF|=3|AAFF|，则|AAAA|=( )A. 4B. 92C. 8D. 944.又设FF为抛物线AA：yy2=4xx的焦点，过FF且倾斜角为60°的直线交AA于AA,AA两点，OO为坐标原点，则△OOAAAA的面积为( )A. 4√ 33B. 9√ 38C. 43D. 945.设椭圆xx216+yy212=1的左、右焦点分别为FF1，FF2，点PP在椭圆上，且满足PPFF1�������⃗⋅PPFF2�������⃗=9，则|PPFF1|⋅|PPFF2|的值为( )A. 8B. 10C. 12D. 156.如图，椭圆AA1:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)的左、焦点分别为FF1、FF2，点AA是AA1上一点，过FF1的直线交AA1于AA，AA两点，且∠FF1AAFF2=ππ3，AAFF2//AAAA，|AAFF1|=|AAAA|，则椭圆AA1的离心率为( )A. 13B. 12C. √ 33D. √ 227.如图所示，已知抛物线AA1:yy2=2ppxx过点(2,4)，圆AA2:xx2+yy2−4xx+3=0，过圆心AA2的直线ll与抛物线AA1和圆AA2分别交于PP,QQ,MM,NN，则|PPMM|+4|QQNN|的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 138.已知FF 1，FF 2是椭圆和双曲线的公共焦点，PP是它们的一个公共点．且∠FF 1PPFF 2=30°，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为( )A. 2B. 1C. 32D. 43二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2024-2025学年上海华二附中高二上学期数学周测试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。
高二数学 周测试卷(含答案解析)
（2）求二面角 的平面角的余弦值。(理科做）
求点F到平面ABE的距离。（文科做）
21.已知椭圆 的，离心率为 ， 是其焦点，点 在椭圆上。
（Ⅰ）若 ，且 的面积等于 。求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 交椭圆于另一点 ，分别过点 作直线 的垂线，交 轴于点 ，
当 取最小值时，求直线 的斜率。
22.已知函数
（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时， ，试求 的取值范围。
参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
B
A
A
D
A
A
D
B
C
D
C
1.选B.【解析】∵ ， ，∴ ，故选B.
2.选B.【解析】∵ ，对应的点为 在第二象限，故选B.
……………………………………5分
（Ⅱ）
函数的图象为：
当 时， ，依题意， ，则
∴ 的取值范围是 …………………………………………………………10分
18.（Ⅰ）∵ 由正弦定理得
∴
即 ，易知 ，且 ，
上式两边除以 ,得 ……………………………………6分
（Ⅱ）∵ ,∴ ，
由 ，又 ， ，得
而
∴ …12分
19．（12分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】如图可知 的最小值是 ．
14.填 .【解析】由题意得四面体 是底面边长为 的正三角形，侧棱 垂直底面，且 ， ， ，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于 的一半，∴
2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷附答案解析
2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()()1i 2i m ++在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围为（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.(),2-∞- D.()2,2-2.平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c === ，用,,a b c表示BO，则（）A.12BO a b c=-+ B.12BO a b c=+- C.12BO a b c =-++ D.1122BO a b c=-++ 3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）A .2400B.1520C.1530D.24104.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）A.712B.12 C.512D.135.已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（）A.3B.1C.5D.76.设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b ab c ++=，若角C 的内角平分线2CM =，则AC CB ⋅的最小值为（）A.8B.4C.16D.127.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验结果，设事件:8E x y +=；事件F ：至少有一颗点数为5；事件:4G x >；事件:4H y ≤.则下列说法正确的是（）A.事件E 与事件F 为互斥事件B.事件F 与事件G 为互斥事件C.事件E 与事件G 相互独立D.事件G 与事件H 相互独立8.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A.B. C.6 D.12二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据12,,,n x x x ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为1111,,,a b c d .由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()220241,2,,i i y x i n =-= ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为2222,,,a b c d ，则（）A.2122024a a =- B.21b b = C.212c c = D.212d d =10.设,,Ox Oy Oz 是空间内正方向两两夹角为60o的三条数轴，向量123,,e e e分别与x 轴､y 轴.z 轴方向同向的单位向量，若空间向量a 满足()123,,a xe ye ze x y z =++∈R ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a在斜60o 坐标系Oxyz （O 为坐标原点），记作(),,a x y z =，则下列说法正确的有（）A.已知()1,2,3a =，则5= a B.已知()()1,2,1,2,4,2a b =-=-- ，则向量a∥b C.已知()()3,1,2,1,3,0a b =-= ，则0a b ⋅=D.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1OA OB OC === ，则三棱锥O ABC -的外接球体积8V =11.在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（）A.三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B.直线CH 与直线PA 不可能垂直C.直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60oD.2AH HO +<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知3i 1-是关于x 的实系数方程2320x px q ++=的一个根，则实数p 的值为__________.13.已知向量,a b 满足()2,1,2a b a b ==+= ，则cos ,a b =______.14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 222sin 2a b cC a b b----=，且ABC V 的面积为()34a b c ++，则2a b +的最小值为______.四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0c b A a B --=（1）求A ；（2）若点M 在BC 上，且满足,2BM MC AM ==，求ABC V 面积的最大值.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.（1）求甲在一局中得2分的概率1P ；（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2P ；（3）求游戏经过两局就结束的概率3P .19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(),,u a b c = ，点()0000,,P x y z .若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.（1）已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；（2）已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，点P 到平面2α的距离；（3）（i ）若集合{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积；（ii ）若集合(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.1.B【分析】化简得()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】解：因为()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，又因为此复数在第二象限，所以2020m m -<⎧⎨+>⎩，解得2m >.故选：B.2.D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解；【详解】如图：由平行六面体的性质可得()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D.3.B【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，则塔楼主体的体积约为1(641441515203V =++⨯=立方米.故选：B.4.C【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312⨯+⨯=．5.B【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+，即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：B .6.A【分析】先根据222a b ab c ++=，结合余弦定理求C ，再根据ABC ACM BCM S S S =+ ，结合面积公式得到2()ab b a =+≥，进而求出ab 的最小值，再根据数量积定义求AC CB ⋅.【详解】因为222a b ab c ++=，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，由ABC ACM BCM S S S =+ ，所以12π1π1πsin sin sin 232323ab b CM a CM =⋅⋅+⋅⋅，化简得到22ab b a =+，所以2()ab b a =+≥，则16ab ≥，当且仅当4a b ==时，等号成立，所以π1cos 832AC CB AC CB ab ⋅=⋅=≥ ，所以AC CB ⋅的最小值为8.故选：A ．7.D【分析】分别写出事件E 、F 、G 、H 所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A ，B ；根据独立事件的定义判断C ，D.【详解】解：由题意可知{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}E =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}F =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}G =；{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),H =(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；对于A ，因为()(){}3,5,5,3E F ⋂=，所以事件E 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于B ，因为(5,1),(5,2),(5,3),(}){5,4),(5,5,(5,6),(6,5)G F ⋂=，所以事件G 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于C ，因为{(5,3),(6,2)}E G ⋂=，5121(),()36363P E P G ===，21()()()3618P E G P E P G ⋂==≠，所以事件E 与事件G 不相互独立，故错误；对于D ，因为{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}G H ⋂=，242121(),()363363P H P G ====，82()()()369P H G P H P G ⋂===，所以事件E 与事件G 相互独立，故正确.故选：D.8.A【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心1,,OO BO 为,z y 轴，再过O 作OB 的垂线为x 轴，如图建系，过Q 向圆O 作垂线垂足为1Q ，1πBQ =，设圆O 半径为,2π12πr r =，所以6r =，所以111π6π,6BQ BOQ BOQ =∠⨯=∠=，则()()13,,3,Q Q --，同理，过P 向圆O 作垂线垂足为，则()()13,,3,P P ----，所以PQ ==.故选：A.9.ACD【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，平均数2122024a a =-，中位数2122024b b =-，标准差212c c =，极差212d d =，所以ACD 选项正确，B 选项错误.故选：ACD 10.AB【分析】先明确1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .根据()22a a = 求a，判断A 的真假；根据2b a =-判断B 的真假；计算a b ⋅ 判断C 的真假；判断三棱锥O ABC -的形状，求其外接球半径及体积，判断D 的真假.【详解】由题意：1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .对A ：因为12323a e e e =++ ⇒()2212323a e e e =++ 222123121323494612e e e e e e e e e =+++⋅+⋅+⋅ 149236=+++++25=，所以5a =.故A 正确；对B ：因为1232a e e e =-++ ，123242b e e e =-- ，所以2b a =-，所以//a b .故B 正确；对C ：12332a e e e =-+ ，123b e e =+，因为()()12312323a b e e e e e ⋅=-+⋅+ 22112122132339326e e e e e e e e e e =+⋅-⋅-+⋅+⋅ 91331322=+--++8=0≠，故C 错误；对D ：由题意，三棱锥O ABC -是边长为1的正四面体.如图：过O 作OE ⊥平面ABC ，垂足为E ，则E 在ABC V 的中线AD 上，且:2:1AE ED =，因为ABC S =!，32AD =，所以33AE =，63OE ==.设正四面体O ABC -外接球球心为G ，则点G 在OE 上，且G 亦为正四面体O ABC -内切球球心，设GO R =，GE r =.则22313R r R r ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⇒4=R ，所以正四面体O ABC -外接球的体积为：34π3V R=34ππ38R ==.故D 错误.故选：AB 11.AD 【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =所以PO AO==所以POA 为等腰三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误．因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM x=，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，所以OH =，所以sin OHOAH OA∠==，令60OAH ∠=2=，解得x =，即OM =，与OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OHAH ⊥，又OH=OA =，所以AH ==，所以xAH HO ++==，0x <<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭，即x +<，所以2AH HO +<，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.12.3【分析】将3i 1-代入方程2320x px q ++=求解即可.【详解】3i 1-代入方程2320x px q ++=，得()()233i 123i 10p q -+-+=，化简得()()242618i 0p q p --++-=，故24206180p q p --+=⎧⎨-=⎩，解得330p q =⎧⎨=⎩，故填：313.18##0.125【分析】先利用坐标运算求解23a b += ，根据数量积的运算律结合模的公式列式求得14a b ⋅= ，从而利用数量积的定义求解即可.【详解】因为()2a b += ，所以23a b +=，又2,1a b ==，所以23a b +=，所以14a b ⋅= ，所以1cos ,8a b a b a b ⋅==⋅.故答案为：1814.6+【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得π3C =，即可利用面积可得()222230a t a t -++-=有根，即可利用判别式求解.222sin 2a b c C a b b----=可得2222sin 22C ba b a b c --=--，即222s 22c i o n s ab C C ba a b c ==-+-，由于0ab ≠cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，由于()0,πC ∈，故ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此ππ66C -=，故π3C =，2222221cos 22a b c C a b c ab ab +-==⇒+-=，ABC V 的面积为()34a b c ++，故()31sin 42a b c ab C a b c ab ++=⇒++=，由于2c ab a b a b b =-->-⇒>，2c ab a b b a a =-->-⇒>，故26a b +>，将c ab a b =--代入222a b c ab +-=可得()222a b ab a b ab +---=，化简得()32ab a b +=+，将其代入()32ab a b +=+，且可得()222230a t a t -++-=，则()()2Δ448230t t t =++--≥，解得6t ≥+，或06t <≤-故最小值为6+.故答案为：6+【点睛】关键点点睛：由()32ab a b +=+可得()222230a t a t -++-=有实数根，利用判别式求解.15.（1）π3（2）433【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可；（2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.【小问1详解】()2cos cos 0c b A a B --= ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C B A A B --=，2sin cos (sin cos cos sin )0C A B A B A ∴-+=，2sin cos sin()0C A A B ∴-+=，2sin cos sin C A C ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，()0,πA ∈ ，π3A ∴=.【小问2详解】BM MC = ，1()2AM AB AC ∴=+ ，2221(2)4AM AB AB AC AC ∴=+⋅+ ，又2AM =，221π4(2cos 43c b bc ∴=++⋅，221623c b bc bc bc bc ∴=++≥+=，163bc ∴≤，当且仅当3b c ==时，等号成立，ABC ∴ 的面积1116sin 22323S bc A =≤⨯⨯=，即ABC V 面积的最大值为433.16.（1）平均数为71，众数为75.（2）88.（3）平均数为76，方差为12.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.（2）依题意可知题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05，平均数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=<，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=>，第90%分位数落在第5组,设为x ，则()0.70800.0250.90x +-⨯=，解得88x =.“防溺水达人”的成绩至少为88分.【小问3详解】[60,70)的频率为0.15，[70,80)的频率为0.30，所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为0.1510.150.303=+[)70,80的频率与[)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设[)70,80内的平均成绩和方差分别为222x s ，依题意有212736733x =⨯+⨯，解得276,x =()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦，解得2212s =，所以[)70,80内的平均成绩为76，方差为12.17.1）66（2）当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC所成角的正弦值最小，最小值为5【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,6·DA n DA n DA n===，所以平面1D EC 与平面1DCD所成的夹角的余弦值为6；【小问2详解】设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ=== 令4[2,4]m t -=∈，则sin θ====，当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.18.（1）13（2）281（3）49【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.【小问1详解】根据题意，画出树状图，如图：所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率191 273P==.【小问2详解】游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）此时概率为331272781⨯=种情况，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、此时概率为331272781⨯=，综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2112818181P =+=.【小问3详解】游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，记事件为A ，则()2238127P A =⨯=；②有2人得分为3分，记事件为B ，()33232272727P B ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭③仅1人得4分，记事件C ：一人得4分，另两人各负2分：3313272727⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，一人得4分，一人得负2分，一人得1分：334322272727⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，一人得4分，另两人各1分：33232272727⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，()142727272727P C =++=；④有2人分别得4分，记为事件D ：则()3313272727P D ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭综上所述：游戏经过两局就结束的概率322714272727279P =+++=.19.（1）10（2）2（3）（i ）16；（ii ）2π3【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点A 然后利用向量的投影计算即可；（3）（i ）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii ）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角；【小问1详解】由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,2m = ，平面1α的一个法向量为)1n =- ，设直线l 与平面1α所成角为β，则有·10sin 10m n m n β===，所以cos 10β=，直线l 与平面1α所成角的余弦值为10.【小问2详解】由题可知平面2α的法向量为()22,3,1n =，且过点()0,0,2A ，因为()1,2,1P ,所以()1,2,1AP =-，所以点P 到平面2α的距离为22·2n AP n ==.【小问3详解】（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩，然后得到几何体S为21几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为216=，（ii ）由（i ）可知，(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时0,0,0x y z >>>，得{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>，画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面2,2x y y z +=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()()231,1,0,0,1,1n n == ，所以其二面角的余弦值为2323·12n n n n -=- ，所以二面角为2π3【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.。
高二数学周考试卷
2015-2016学年度武山二中3月考卷高二数学周考试卷一命题人：郭小虎 审题人：张彦平寄语:什么是不容易?把同学们都认为容易的题目百分之百的做对，就是不容易;什么是不简单?把学习中每一个简单的知识点都掌握就是不简单;什么是不平凡?把学习中的每一个小细节都弄懂就是不平凡。
同学们，加油！第I 卷（选择题）一、选择题1．若0()2f x '=，则000()()lim2k f x k f x k→--等于（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．122．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则=')(e f （ ） A ．e B ．1- C ．1--e D ．e - 3．函数f(x)＝e x－x(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( ) A.1＋1eB.1C.e ＋1D.e －1 4． 现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ） A ． 1 m B ． 1.5 m C ． 0.75 m D ． 0.5 m5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3()3,(+∞--∞B ．)3,3(-C ．),3[]3,(+∞--∞D ．]3,3[- 6．若ln (),xf x e b a x=<<，则（ ） A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则试卷第2页，总4页'(2)f 的值等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．8．定义在R 上的函数()x f 的图像如图所示，则关于x 的不等式0)(<'x f x 的解集为( )A.(－2，－1)∪(1,2)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(0,1)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．如果f(x)=ax 3+bx 2+c(a>0)的导函数图象的顶点坐标为那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A.2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知()x x x f cos 412+=，()x f '为()x f 的导函数，则()x f '的图象是( )11．函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是（ ） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x12．已知x x x f cos sin )(1+=，)()(1x f x f n n 是+的导函数，即)()(),...,()(),()('1'23'12x f x f x f x f x f x f n n ===+，*N n ∈，则=)(2014x f ( )A ．sin cos x x +B ．sin cos x x - C.sin cos x x -+ D ．sin cos x x --第II 卷（非选择题）二、填空题 13．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b= ． 14．已知函数f x ()在R 上可导，且222f x x x f '=+⋅()()，则()1f -= ．15．已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是 .16．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a ＝________.三、解答题17．已知函数3()16f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．18．已知函数3()3f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．19．已知函数1ln (),.m xf x m x-+=∈R （I ）若1m =，判断函数在定义域内的单调性； （II ）若函数在(1,)e 内存在极值，求实数m 的取值范围.试卷第4页，总4页20．若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．21．已知函数f(x)＝lnx －ax .(1)当0>a 时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为23，求a 的值.22．设函数2()ln =-f x a x bx ，,a b R ∈. （1）若函数)(x f 在1x =处与直线21-=y 相切； ①求实数a ，b 的值；②求函数],1[)(e ex f 在上的最大值；（2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的3[0,2a ∈，(21,x e ⎤∈⎦都成立，求实数m 的取值范围．.。
湖北省孝感市新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含答案
2024年高二9月起点考试高二数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.502.已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的虚部为（）A.2iB.-2C.2D.2i-3.已知()()2,0,2,2a b == ，则a在b 上的投影向量为（）A.)B.()1,1 C.()2,1 D.()2,24.已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为π3的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）A.3B.3C.D.35.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现小于4的点”，B =“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为（）A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等6.在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC V 内的射影为O ，则O 是ABC V 的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，13,3CC CD ==，且1160C CB C CD ∠=∠=，则向量1AC的模长为（）A.B.34C.52D.8.已知单位向量,a b满足0a b b -+⋅= ，则()2ta b t +∈R 的最小值为（）A.3B.C.3D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于非零向量,a b，下列命题中正确的是（）A .若a b = ，则a b = . B.若a b =- ，则a ∥b .C.若a b > ，则a b > .D.若,a b b c ==，则a c = .10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是（）A.AP .B.平面1BB P ⊥平面1111D C B A .C.若P 是11C D 的中点，则二面角11P B B C --的余弦值为5.D.若114D P =，则直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为5.11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a ∈R ，若复数()()2344i Z a a a =----为纯虚数，则复数1i Z a a =-+在复平面内对应的点位于第______象限.13.三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥===，则该三棱锥的外接球体积等于______.14.在ABC V 中，π,432A BC BA CA CB =⋅=⋅，则ABC V 中最小角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，15,6,,AB AC BB BC D E ====分别是1AA 和1B C 的中点.（1）求证：DE ⊥平面11BCC B ；（2）求三棱锥E BCD -的体积.16.已知2,4,a b a b ==+=（1）若()()22a kb ka b -⊥+，求实数k 的值；（2）求a 与36a b + 的夹角的余弦值.17.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12cos c a B =+.（1）若π3B =，求角C 的大小；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ba的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，AD ∥,91,2,0BC BAD PA AB BC AD ∠===== .（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（3）求直线EC 与平面PAC 所成角的正弦值.19.A 校和B 校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A 校学生和2000名B 校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[)40,100中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A 校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭频率组距满足函数关系()10.12,130.18,46n k n Y k n n -⎧⨯≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（n 为组数序号，n ∈Z ）；关于B 校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为频率组距），假定每组组内数据都是均匀分布的.（1）求k 的值；（2）若B 校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？（3）现在设置一个标准t 来判定某一学生是属于A 校还是B 校，将成绩小于t 的学生判为B 校，大于t 的学生判为A 校，将A 校学生误判为B 校学生的概率称为误判率A ，将B 校学生误判为A 校学生的概率称为误判率B ，误判率A 与误判率B 之和称作总误判率，记为()f t .若[)50,70t ∈，求总误判率()f t 的最小值，以及此时t 的值.2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD 【10题答案】【答案】ABC 【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】四【13题答案】【答案】3【14题答案】【答案】277四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）12【16题答案】【答案】（1）3k =（2）13-.【17题答案】【答案】（1）π2C =（2）.【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【19题答案】【答案】（1）116 k=；（2）72分以上（3）最小为516，60t=.。
2023-2024学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期8月底周考数学试卷+答案解析(附后)
2023-20248一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足，则z 的虚部为()A.B. C.1D.-12.如图，在四面体中，，，，且，，则N=()A.C.B.D.3.2022年4月7日7时47分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙遥三十八运载火箭，成功发射高分三号03星．某高中三个年级学生人数的比例如图所示，现采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“高分三号03星”知识竞赛，则应从高二年级抽取高二学生的人数为()A.20B.16C.14D.124.数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，3n＋1的标准差为()A.6B.7C.12D.365.如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，D为棱AB上一点，则的值为()A. B.1 C. D.6.在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.中，若，则的值为()A.2B.4C.D.238.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，AC=AD＝4,CD=2，则球O的表面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是()A.若，，，则m//nB.若，，则n//aC.若，，，则D.若，，，则/10.，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有()A. B.C. D.11.袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则A.甲与乙是对立事件B.甲与乙是互斥事件C.丙与丁相互独立D.甲与丁相互独立12.如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则()A.满足平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度为C.不存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA＋PM＝5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年上海南模中学高二上学期数学月考试卷及答案(2023.10)
1南模中学2023学年第一学期高二年级数学周测2023.11一、填空题1．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．2．正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，高为4，O 为面11ADD A 的对角线的交点，则四棱锥11O BCC B −的体积为______．3．已知空间三个点()()2,0,2,1,1,2P Q −−和()3,0,4R −，设,a PQ b PR = ，若ka b + 与2ka b −互相垂直，则k =______．4．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面,BCD AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角的大小为______．（结果用反三角函数值表示）（第4题） （第7题）5．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，则这个正四棱柱的表面积是______． 6．已知圆锥的高与母线的夹角是30°，底面圆中圆心角为60°的弦长为4，则此圆锥的体积是______．7．如右图，正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，高为则它的体积为______． 8．抛掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是______．9．从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，该球是黑色的概率为______．210．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动。
已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换,,A B C 三种商品的概率分别为111236、、；乙兑换,,A B C 三种商品的概率分别为111,263、且他们兑换何种商品相互独立，则甲、乙两人兑换同一种商品的概率为______．11．若两个相交平面αβ、所成的锐二面角的大小为θ，则称平面αβ、成θ角，已知平面αβ、成70°角，则过空间一点V 且与αβ、都成55°角的平面γ的个数为______个． 12．已知123e e e 、、是空间单位向量，12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅= ，若空间向量a满足，()12,,2a xe ye x y R a =+∈= ，则3a e ⋅ 的最大值是______．二、选择题13．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ） A ．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B ．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C ．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D ．以上说法均不正确14．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=，设αβ、是两个不同的平面，对空间任意一点()()12,,P Q f f P Q f f P βααβ == ，恒有12PQ PQ =，则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°3三、简答题15．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆周长为C ．（1）求球冠所在球的半径R （结果用,h r 表示）； （2）已知球冠表面积公式为2S Rh =π，当65000,500S C =π=π时，求rR的值及球冠所在球的表面积．16．如图，在三棱锥P ABC −中，PC ⊥底面ABC ，,AC BC D ⊥是AB 的中点，1,02AC BC PDC π==∠=θ<θ<．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）记三棱锥P ABC −的体积为V，当V ∈时，求θ的取值范围．417．已知平面向量中有如下两个结论：结论1：若OA OB、是不共线的两个平面向量，OC OA OB =λ+µ ，则A B C 、、三点共线的充要条件是1λ+µ=；结论2：若OA OB 、是不共线的两个平面向量，OP OA OB =λ+µ ，若点P 在与AB 平行的直线上，则k λ+µ=（k 为定值）． 将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题： 已知OA OB OC 、、是两两垂直的单位向量，P 是空间中一点．（1）若OP xOA yOB zOC =++ 且241x y z ++=，求OP OA OB −− 的最小值； （2）若OP xOA yOB zOC =++ 且满足0,,112x y z x y z ≤≤ ≤++≤ ，求动点P 的轨迹所围成的区域的体积．5参考答案一、填空题 1.12π; 2.163; 3.522−或; 4.; 5.576; 6.;7.16; 9.35; 10. 1336； 11.311．若两个相交平面αβ、所成的锐二面角的大小为θ，则称平面αβ、成θ角，已知平面αβ、成70°角，则过空间一点V 且与αβ、都成55°角的平面γ的个数为______个．【答案】3【解析】过V 点分别作,αβ的垂线,a b ,设所求平面γ的垂线为l ,则原问题等价于：相交于V 点的直线,a b 的夹角为70 ,过V 点能且只能作几条直线与,a b 所成的角均为55 , 设直线a ,b 所确定的平面为ξ,则l 在ξ上的射影必是,a b 所成的角(一个为70 ,另一个为110 )的角平分线,这样的直线l 有3条,故符合条件的平面γ有且仅有3个. 故答案为:3.12．已知123e e e 、、是空间单位向量，12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅= ，若空间向量a满足，()12,,2a xe ye x y R a =+∈= ，则3a e ⋅ 的最大值是______．【解析】空间向量a满足()12a xe ye x,y R =+∈ ,1223311,2e e e e e e ⋅=⋅=⋅= 由2a = ,整理得2||4a a a =⋅=,即224x y xy ++=,又()312312a e xe ye e x y ⋅+⋅+ 由于222…x y xy +,所以由224x y xy ++=,整理得34…xy ,即43xy ≤, 所以22222416||2433x y x y xy x y xy xy +=++=+++≤+=故x y +≤,所以31•2a e x y =+≤ . 故答案为6二、选择题13.B 14.A14．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=，设αβ、是两个不同的平面，对空间任意一点()()12,,P Q f f P Q f f P βααβ == ，恒有12PQ PQ =，则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设()1P f P α=,则根据题意,得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足()()11Q f f P f P βαβ ==,∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足同理,若()2P f P β=,得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足 因此()2Q f f P αβ = 表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足 对任意的点P ,恒有12PQ PQ =,∴点1Q 与2Q 重合于同一点由此可得,四边形112PP Q P 为矩形,且112P Q P ∠是二面角l α−−β的平面角 112P Q P ∠ 是直角,∴平面α与平面β垂直 故选:A三．解答题15.（1）222h r h+ （2）5,13r S =R =表1690000π16．如图，在三棱锥P ABC −中，PC ⊥底面ABC ，,AC BC D ⊥是AB 的中点，1,02AC BC PDC π==∠=θ<θ<．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）记三棱锥P ABC −的体积为V，当V ∈时，求θ的取值范围．7【答案】（1）证明略 （2）43剟ππθ【解析】（1）证明:因为AC BC =,所以ACB ∆是等腰三角形,又D 是AB 的中点,所以CD AB ⊥,又PC ⊥底面ABC ,所以PC AB ⊥,又因为CD PC C ∩=,所以AB ⊥平面PCD , 又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PCD . （2）在Rt PCD ∆中,易得CD PC CD tan ==⋅θ=θ, 所以三棱锥P ABC −的体积1133ABC V S PC ∆=⋅=×1112××θ=θ.θ得1剟tan θ,因为02π<θ<,所以43剟ππθ.17．已知平面向量中有如下两个结论：结论1：若OA OB、是不共线的两个平面向量，OC OA OB =λ+µ ，则A B C 、、三点共线的充要条件是1λ+µ=；结论2：若OA OB 、是不共线的两个平面向量，OP OA OB =λ+µ ，若点P 在与AB 平行的直线上，则k λ+µ=（k 为定值）． 将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题： 已知OA OB OC 、、是两两垂直的单位向量，P 是空间中一点．（1）若OP xOA yOB zOC =++ 且241x y z ++=，求OP OA OB −− 的最小值；8（2）若OP xOA yOB zOC =++ 且满足0,,112x y z x y z ≤≤ ≤++≤ ，求动点P 的轨迹所围成的区域的体积．【答案】（1（2）23【解析】(1)设(1,0OA =,0),()010OB ,,= ,()001OC ,,= ,则OP xOA yOB zOC =++=()x,y,z ,且241x y z ++=, 则OP OA OB −− ,又241x y z ++=表示一个平面(,x y ,z)到点()110D ,,的距离,这样的点在以点()110D ,,为球心的球面上,的最小值是球与此平面相切时切点与D 点的距离,即点D 到此平面的距离,又点()110D ,,到平面241x y z ++=的距离d所以OP OA OB −−的最小值为;(2)如图,由OP xOA yOB zOC =++ 且满足0,,112x y z x y z ≤≤≤++≤可得动点P 的轨迹所围成的区域是介于平面ABC 与EFG 之间的部分, 11221112111323O ABC V OA OB OC V −=⋅⋅−=××−×××××=,所以动点P 的轨迹所围成的区域的体积为23。
2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案
B ) １－
(
所以 P (
B )＝
３
１
＝ , ６ 分
４
８
)
１
, ７ 分
２
所以乙、丙各自解出该题的概率为
１ ３
, ． ８ 分
２ ４
(
２)设“甲、乙、丙 ３ 人中至少有 １ 人解出该题”为事件 D ,
【高二数学试题参考答案 第
３ 页(共 ５ 页)】
＝A
B
C
, ９ 分
则D
因为 P (
A )＝
)＝
所以 P (
A
２
１
３
,
P(
B )＝ ,
５－x)]
＋ [(
２－x)－ (
２x－１)]
＝ １４x２ －３２x＋１９
＝ １４ x－
(
当 x＝
８
７
)
２
＋
５
, １１ 分
７
８
３５
时,AB 有最小值
． １３ 分
７
７
a＋i (
b２ ≥ ＋２,
a b
b
a b
a
２
a ３
b ２a ３
b
２
a ３
b
＝２ ６(当且仅当 ２a＝ ３b 时取等号),
∴a２ ＋b２ ≥３＋ ＋ ,又 ＋ ≥２
b a
b a
b a
１ ２ １
３ ２ ２
∴a２ ＋b２ ≥３＋２ ６,故 C 正确;∵a≥ ＋ ＞ ,∴a＞１,∵b≥ ＋ ＞ ,∴b＞ ２,故 D 正确,故选 CD．
１２
１２
１２ １２ ２ ２
|ω|
π
铭仁园中学高二年级数学周考试题(十几套)
A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对
6、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）
A. B. C. D.
7、一颗骰子有六个面，各个面点数分别为1、2、3、4、5、6，随机抛投一次，事件A表示：“出现点数为奇数点”，事件B表示：“出现点数不超过3”；那么 ( )
11某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取12名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为13组（1~5号，6~10号， ，196~200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人．
12如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成的角的大小是____________。
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是（）
A.90 B.75 C. 60 D.45
5、已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（）
( )人．
A 15 B 20 C 25 D 30
河南省青桐鸣2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题(含答案解析)
河南省青桐鸣2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．346B 二、多选题9．现有一组数据为1，2A ．这组数据的极差为C ．这组数据的平均数为变小10．已知直线l 过点(M -A ．若直线l 的斜率为B ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线C ．若M 为AB 的中点，则D ．直线l 的方程可能为11．已知O 为坐标原点，动点，则下列说法正确的是（A ．点M 到直线ABC ．点M 关于直线AB 12．在长方体1ABCD A -Q 分别是直线1CC ，AM A ．三棱锥A BDM -C ．145AC =三、填空题13．已知O 为坐标原点，直线则点Q 的坐标为．四、解答题17．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111OAB O A B -，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，()2,0,0A ，平面1ABO 的一个法向量为()4,2,1e =．(1)求点1O 与B 的坐标；(2)求点O 到平面1ABO 的距离．18．某校在某次考试后，为了解高二年级整体的数学成绩，对高二年级学生的数学成绩进行了抽样调查，抽取了一个容量为50的样本，将调查数据整理成如下频率分布直方图，分段区间为[)90,100，[)100,110，L ，[]140,150（单位：分）．(1)求样本中低于120分的人数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，在高二年级中随机抽取一名同学的数学成绩，若不低于130分称为优秀，求该同学成绩优秀的概率．(1)证明：平面A BE '⊥平面A DE ¢(2)求直线CD 与平面A DE ¢所成角的余弦值．22．在三棱台111ABC A B C -中，111224AB AC AA A B ====．(1)证明：平面1ABC ⊥平面1CBC ；(2)记1B C 的中点为M ，过M 的直线分别与直线面11AB C 所成角的正弦值．参考答案：在A CB '△中，cos A CB '∠=∴()A D BC A C CD BC ⋅=+⋅''则()4,0,0B ，()0,2,0D ，1C 则()14,2,3AC =，(4,2,0BD =- 129A C =，故C 错误；设AQ AM λ= ，1CP kCC =，则()()(2224423PQ λλ=-+-+14．5264+【分析】求出平面ABC 的法向量，借助空间向量数量积求出求解作答.【详解】依题意，(2,3,0),AB =- (),,m a b c =，则230360m AB a b m BC b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令则()11111324x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭32x y =时取等号，由32324x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得4x =-所以当464,263x y =-=-设2AB =，则()12,0,2A ，M ()12,1,0A M =- ，(11,A N =- 由111B Q B C λ= 得(22,2,2Q λ-由题意知，向量1A M ，1A N可知π1cos 234x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在()0,2π上有令()π2π3x k k -=∈Z ，则()ππ26k x k =+∈Z 为πcos 23y x ⎛=- ⎝当2k =时，7π6x =是πcos 23y x ⎛=- ⎝则12347π14π463x x x x +++=⨯=．22．(1)证明见解析(2)0【分析】（1）取AC 的中点D ，可得四边形理、性质定理和面面垂直的判定定理证明可得答案；（2）以A 为原点，AB ，AC ，角坐标系A xyz -，求出平面AB 线，可设PM k MQ = ，求出PQ【详解】（1）取AC 的中点D ，则AD 与11A C 平行且相等，可得四边形11ADC A 为平行四边形，则有112AA C D ==，又2AD DC ==，故190AC C o Ð=．又1AA AB ⊥，AC AB ⊥，1AC AA A =∩，AC ，1AA ⊂平面11ACC A ，故AB ⊥平面11ACC A ，又因为1CC ⊂平面11ACC A ，故1AB CC ⊥，又因为11AC CC ⊥，1AC AB A = ，1AC ，AB ⊂平面1ABC ，故1CC ⊥平面1ABC ，而1CC ⊂平面1CBC ，故平面1ABC ⊥平面1CBC ；（2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,4,0C ，则()1,2,1M ，设平面11AB C 的法向量为(),,m x y z =，则1100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则()1,1,1m =- ．设(),0,0P λ，()0,,2Q μ，则()1,2,1PM λ=- ，()1,2,1MQ μ=-- ，由题意知P ，M ，Q 三点共线，可设PM k MQ = ，则()1221k k k λμ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得124k λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()2,0,0P ，()0,4,2Q ，则()2,4,2PQ =- ，。
2024-2025学年浙江省G12名校协作体高二第上学期返校联考数学试题及答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B =（ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1B C ．2D ．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.744．已知向量13,22a ⎛= ⎝⎭，2,2b ⎛= ⎝⎭，若()()//a b a b λμ++，则（ ▲ ）A. 1λμ=B. 1λμ=−C.1λμ+=−D. 1λμ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ=则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1027⎛⎫⎪⎝⎭，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为[],a b ，值域为2⎡−⎢⎣， 则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．π5π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5π5π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．如图，在正方体1111ABCD A BC D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变 2OB OC OB OC OA −=+−， 是直角三角形1b ，则AB AC ⋅的最大值是3211．四面体中,3AC BC AB ===，5=，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为，当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S =π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知幂函数()2()57mf x m m x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ . 13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为 ▲ . 14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）． 15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ⎛⎫=+−++ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=︒，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若椭圆221369x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M 到另外一个焦点的距离（ ） A. 6B. 7C. 8D. 9 2. 已知向量(3,2,1)a →=−，(2,,4)b x →=，且a b →→⊥，则实数x 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 若直线l的一个方向向量(1,n →=，则l 的倾斜角为（ ）A.30B.60 C.120 D.150 4. 已知圆221:1C x y +=与圆222:3416C x y +++=（）（），则两圆的公切线条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线43120x y +−=与两坐标轴交点为,A B ，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）A. 22340x y x y +−−=B. 22430x y x y +−−=C. 22340x y x y +++=D. 22430x y x y +++= 6. 正方体1111ABCD A B C D −中，二面角111A B D A −−的余弦值为（ ）A. 2B.C.2D.3 的7. 已知点F 为椭圆C :2212516x y +=的右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(3)1M x y ++=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ） A. 12 B. 29 C. 23 D. 838. 如图，一束平行光线与地平面的夹角为60，一直径为24cm 的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）A. 3B. 2C. 2D. 12二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 直线l 经过点(2,3)−，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（ ）A. 320x y +=B. 230x y +=C. 50x y −−=D. 10x y ++= 10. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A −−，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（ ）A. AB =B. 向量OA 与OB的夹角的余弦值为6C. 点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)−−−D. 向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −u u u r 11. 如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形，2AB =，SD ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别为SC 、AB 的中点，若线段SD 上存在点G ，使得GE GF ⊥，则线段SD 的长度可能值为（ ）A. 3B. 4C 5 D. 6.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C的离心率为3，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ）A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y += C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB面积的最大值为2非选择题部分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知椭圆2215x y k+=的一个焦点是(20)，，则k 的值为___ 14. 已知实数,x y 满足240x y −+=的最小值为___.15. 已知点,A B 分别为圆22:(4)(1)1M x y ++−=与圆22:(2)(7)4N x y −+−=上动点，点P 为x 轴上的动点，则PA PB +的最小值为___.16. 已知正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E F ，分别为111AA A D ，的中点，点P 在正方体表面上运动，若直线1D P //平面BEF ，则点P 的轨迹长度为___.的的四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线10x y −−=和直线220x y ++=交点为P（1）求过点P 且与直线210x y −+=平行的直线方程；（2）若点P 到直线0l mx y m ++=：，求m 的值.18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -，12AC BC CC ===，ACBC ⊥，点M 是线段AB 的中点. （1）证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A .（2）求异面直线CA 与1B M 所成角的余弦值；的19. 已知圆C ：()()22344x y −+−=.（1）若直线l 过定点()1,0A 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线:230l kx y k −−+=与圆C 交于,A B 两点，求AB 的最小值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q .21. 已知空间几何体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，//EF AB ，AE DE =，2AB =，1EF =，平面ADE ⊥平面ABCD ，13BM BF =u u u u r u u u r ，12AN AD =. （1）求证：EN BC ⊥；（2）若直线AE 与平面ABCD 所成角为60，求直线AM 与平面BCF 所成角的正弦值.22. 已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点. （1）若12m =−，求AB ； （2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.。
上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案和详细解析)
所以 tan
b
，结合离心率公式即可得解.
a
b
x 的倾斜角为 ，则 2 60 ，即 30 ，
a
b
3
b2 2 3
，离心率 e 1 2
.
a
3
a
3
2 3
, .
故答案为：
3
9．直线 l 的方程为 2 x 2 1 y 3 0 R ，当原点 O 到直线 l 的距离最大时，
第 2页 共 16页
8．已知 O a 0, b 0 的右支上存在两点 A ， B ，使得
a2 b2
AOB 60 ，则 C 的离心率的取值范围是.
2 3
,
【答案】
3
【分析】由题意得出 30 ，其中 tan
3
由直线的夹角公式可得 tan
2
1
3
π
π
1 ，又 [0, ] ，所以 .
1
4
2
1 ( 2) ( )
3
π
故答案为： .
4
2．平行直线 l1 : 3 x 4 y 1 0 与 l2 : 6 x 8 y 1 0 之间的距离是.
【答案】
1
的值为．
【答案】
1
3
【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答
案.
【详解】由 2 x 2 1 y 3 0 ，整理可得 x 2 y 1 2 x y 3 0 ，
x 2 y 1 0
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2015级高二（下）数学周考(9)试题
一、选择题
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D. 2．复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．在中角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件
4．我国古代数学算经十书的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A. 104人
B. 108人
C. 112人
D. 120人
5．若平面向量b 与向量()1,2a =- 的夹角是︒180，且b = b 等于（ ）
A ．()6,3-
B ．()6,3-
C ．()3,6-
D ．()3,6-
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =，对任意的*
n N ∈都有12n n a a +=-+，则使n S 最大的n 的值为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
7．曲线在点 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 A. －9 B. －3 C. －1 D. 3
8．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
9．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为 ( ) A.613； B.713； C.413； D.1013
. 10．下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的众数为84，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则
的值分别为（ ）
A. 4，5
B. 5，4
C. 4，4
D. 5，5
11．给出如下四对事件：
①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；
②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥但不对立的亊件的有（ ）
A. 0对
B. 1对
C. 2 对
D. 3对
二、填空题
12．已知,a b 均为正数，且1a b +=，那么34a b
+的最小值是____________.
13．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数
的茎叶图如图，则下面结论中错误是________.(填序号)
①甲的极差是29；②乙的众数是21；
③甲罚球命中率比乙高；④甲的中位数是24. 14．n
x
⎛ ⎝
的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）
三、解答题
15．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
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答案第1页，总1页。