二重积分定义和性质
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
二重积分的概念和性质
P78平均值公式
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上有
当人们把定积分解决问题的基本思想—— “分割、近似代替、求和、取极限”用于解决 这类问题时发现是完全可行的。把解决的基 本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分 学。
本章将讨论二重积分的概念、性质、计算和应 用。
重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。 难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。 基本要求
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M （二重积分估值不等式）
D
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f (,) （二重积分中值定理）
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 性质２
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
记为 f ( x, y)d ，
D
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学下册复习第九章(二重积分)
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值 （2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ， 其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2
y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则
D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章 二重积分
内容要点 一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义： 和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d
D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1
0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy
二重积分数值计算方法
二重积分数值计算方法二重积分是数学分析中的重要概念，用于计算平面区域上的面积、质心、重心等物理量。
而二重积分的数值计算方法则是将二重积分转化为数值计算问题，通过近似的方式求得积分的近似值。
本文将介绍二重积分数值计算方法的原理和常用算法。
一、二重积分的定义和性质二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：∬f(x,y)dA = limΔx,Δy→0 ΣΣf(xi,yi)ΔA其中，f(x,y)为定义在平面区域D上的函数，ΔA为平面上的小面积，ΣΣ表示对所有小面积求和。
二重积分具有线性性质和可积性质，可以按照不同的积分顺序进行计算。
二、二重积分的数值计算方法由于二重积分的计算通常比较复杂，无法直接求得解析解，因此需要借助数值计算方法来进行近似计算。
常用的二重积分数值计算方法有以下几种：1. 矩形法矩形法是最简单的数值计算方法，将平面区域划分为若干个小矩形，然后在每个小矩形中选取一个点进行函数值的计算，最后将所有小矩形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
矩形法的精度较低，适用于简单的计算问题。
2. 梯形法梯形法是将平面区域划分为若干个小梯形，然后在每个小梯形中计算两个顶点的函数值，并将两个顶点的函数值加权平均，最后将所有小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
梯形法的精度较矩形法高，适用于一般的计算问题。
3. 辛普森法辛普森法是将平面区域划分为若干个小矩形和小梯形，然后在每个小矩形和小梯形中计算三个顶点的函数值，并将三个顶点的函数值加权平均，最后将所有小矩形和小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
辛普森法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
4. 蒙特卡洛法蒙特卡洛法是通过随机采样的方式来进行积分的近似计算，将平面区域内的点随机散布，然后计算这些点的函数值并求平均，最后将平均值乘以平面区域的面积即可。
蒙特卡洛法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
二重积分数值计算方法在实际问题中具有广泛的应用，例如计算平面区域的面积、质心、重心等物理量。
二重积分的概念-与性质
D
中值定理的几何意义：当 f (x ，y) 0 时，曲顶柱体的体积等于以 D 为底，以 D 上某点 ( ，) 处的值 f ( ，) 为高的平顶柱体的体积．
1.3 二重积分的性质
性质 8（偶倍奇零）
（1）设 f (x ，y) 在有界闭区域 D 上连续，区域 D 关于 x 轴对称．那么，当 f (x ，y)
f (x ，y)d f (x ，y)dxdy ．
D
D
其中， dxdy 称为直角坐标系中的面积元素．
结论 在 xOy 平面有界闭区域上定义的二元连续函数是可积的．
1.2 二重积分的几何意义
在 xOy 平 面 的 有 界 闭 区 域 D 上 ， 如 果 有 界 函 数 f (x ，y) 0 ， 则 二 重 积 分
对于平顶柱体，其体积等于底面积乘以高．对于曲顶柱体， 其高度 f (x ，y) 是 x，y 的函数，即曲顶柱体的高度不是常数，所 以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算曲顶柱体的体积．那么 如何解决这个问题呢？我们可以用之前求曲边梯形面积的方法来 试试，具体过程如下．
1.1 二重积分的概念
（1）分割：用任意一组曲线网把区域 D 分割为 n 个小闭区域 i (i 1，2， ，n) ， 小闭区域的面积记作 i (i 1，2， ，n) ，小闭区域 i 上任意两点间距离的最大值称为 该小闭区域的直径，记为 di (i 1，2， ，n) ，每个小闭区域对应着一个小的曲顶柱体， 它们的体积记作 Vi (i 1，2， ，n) ．
（3）如果 D 关于原点对称， (x ，y) D ，则有
0 ，
f (x ， y) f (x ，y) ，
f (x ，y)d
D
2
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分的概念及性质
值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区
域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点
使
取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连
续函数的平均值定理.
例1 设D是圆域：
，证明
解 在D上， 由估值公
式(3)得
的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.
近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任
意两点间距离的最大值)，将任意一点
处的密度
近似看作为整个小块 的面密
度.得
故所要求的质量m的近似值为
取极限 记
，则定义
为所求薄板D的质量m.
引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴 的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连 续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲 顶柱体的体积.
曲顶柱体的体积).
二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分 必存在(即f(x,y)在D上必可积).
三、二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y) 在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的 代数和，即
一、引例
引例1 质量问题. 已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)
随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.
解 分三步解决这个问题.
分割 将D用两组曲线任意分割成n 个小块:
其中任意两小块 和
除边界外无公共
点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分计算范文
二重积分计算范文二重积分是对二元函数进行积分运算的一种方法，其计算过程相对复杂，需要通过一定的方法和技巧来简化计算过程。
下面将分别介绍二重积分的定义、性质和计算方法。
1.二重积分的定义设函数f(x,y)在矩形区域D上连续或只有有限个第一类间断点，则称在D上对f(x,y)的二重积分存在，并称该积分的值为函数f(x,y)在D上二重积分。
二重积分的表示通常用下面的记号表示：∬Df(x, y)dxdy其中，D表示积分区域，f(x, y)表示被积函数，dxdy表示对x和y先后积分。
2.二重积分的性质二重积分满足以下性质：（1）线性性质：对于任意常数a和b，有∬D(a·f(x, y) + b·g(x, y))dxdy = a∬Df(x, y)dxdy + b∬Dg(x, y)dxdy。
（2）积分区域的可加性：如果D能够表示成D = D1 ∪ D2，其中D1和D2是两个没有公共内点的矩形区域，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy。
（3）积分区域的可分割性：如果D的边界由两条曲线C1，C2组成，设D = D1 ∪ D2，其中D1是D由C1分割的一部分，D2是D由C2分割的一部分，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy。
（4）对称性：若f(x, y)在D上连续，则有∬Df(x, y)dxdy =∬Df(y, x)dydx。
3.二重积分的计算方法在计算二重积分时，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。
下面分别介绍这两种方法。
（1）直角坐标法对于直角坐标法，首先需要确定积分的上下限，即确定积分区域D，并将被积函数f(x,y)拆解为乘积形式。
考虑到二重积分的计算过程复杂，通常采用分步计算的方法，先对x 进行积分，再对y进行积分。
对x进行积分时，需要确定y的上下限，即确定积分区间[a,b]，然后计算积分：1∫0∫2f(x, y)dydx其中，f(x,y)为被积函数。
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回忆定积分.
设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则有
lim a f ( x)dx 0 f (i )xi
b i 1
n
当f ( x) 0时, a f ( x)dx在几何上表示曲边梯形面积.
如图
y
y = f (x)
b
f ( i)
其中xi = xi+1 xi , 表 示小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形 的面积.
z = f (x,y)
= f ( i , i) i 小
曲顶柱体体积
f ( i , i) ( i , i) Di
(3)因此, 大曲顶柱体的体积 V f (i ,i ) i
i 1
n
分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确
值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无
1 ( x )
f ( x, y )dy.
b
o
a
x0
V f ( x , y )d a
2 ( x ) f ( x , y )dy dx. 1 ( x )
b y 1 ( x )
x
一般地，［X－型］
a x b, 积分区域D为： 1 ( x ) y 2 ( x ).
于是，
o
2 4 y x2
6
x
D
f ( x , y ) dxdy
2 dy y
4
y 2
f ( x , y ) dx
y
4
y x
D2
D1
解 2： D 也是 X－型。 将 D 向 x 轴投影。
2
D D1 D2 .
2 x 4, D1 : 2 y x.
于是，
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D D1 D2
三、二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算.
由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,
f ( x, y)d 曲顶柱体的体积V
如图
D
y
若点x处截面面积为A(x), 则体积
d | D |, 其中| D | 为区域D的面积.
D
[ f ( x, y) g ( x, y)]d f ( x, y) g ( x, y)]d
D D D
设k为常数,则 kf ( x, y)d k f ( x, y)d
D D
设D D1 D2 , 且D1 , D2无公共内点 则 ,
1
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
若区域如图，比不是X型也不是Y型，则必须分割.
D3
D1
D2
在分割后的三个区域上分别使 用积分公式得：
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
A(x)
V A( x)dx.
a
b
0
a
x
b
x
利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域D表示为：
a x b, 我们称为［X－型］ 1 ( x ) y 2 ( x ).
y
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y 1 ( x )
y 1 ( x )
o a
b x
D D1 D2 D3
例1 将
f ( x , y ) dxdy
D
化为二次积分。
其中 D 由直线 y x , y x 2, y 2, y 4 围成。 解 1： 先画出积分区域 D ， 可知D 是 Y－型。 将 D 向 y 轴投影。
4 2
y
y x
y x y 2, D: 2 y 4.
2
于是，
xy d
D
1
2
x xy dy dx 1
y 2 x3 x dy x 2 dx 1 2 2 1
2 x
1
2
x x 9. 8 4 1 8
4 2
2
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
6
4
例2 计算
xy d
D
其中 D 由直线 y x , y 1, x 2 围成。
解
先画出积分区域 D ， D 是 X－型。 将 D 向 x 轴投影。
2 1
y
y x
y1
1
1 x 2, D: 1 y x . 于是，
o
x2
2
x
xy d x xy dy dx 1 1 D
f (i, i). 可见, 二重积分是定积分的推广.
注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)
则除边界上区域外, Di都是
矩形，它的面积为： i = xi yi
此时面积元素记为 ： d = dxdy 故也将二重积分写成
o
y
yi i x i
x
f ( x, y)dxdy
o a
b
x
（特殊情况）
假定 f ( x , y ) 0.
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
V A( x)dx.
a
b
z f ( x, y)
z
A( x0 )
y
A( x)
D
2 ( x )
y 2 ( x)
［Y－型］
y d
x 1( y) x 2 ( y)
y d
x 1( y) x 2 ( y)
c o
x
d
Hale Waihona Puke c oxD
2 ( y ) f ( x , y )dx dy. f ( x , y )d c ( y ) 1 d 2( y) c dy ( y ) f ( x , y )dx
o
2 4 y x2
6 x
4 x 6, D2 : x 2 y 4.
f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy
D D1 D2
2 dx
4
2
x
f ( x , y ) dy
4 dx x 2 f ( x , y ) dy
i 1
1 i n
n
若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式
f ( , ) 的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y)
i 1 i i i
n
在D上可积, 记为f (x,y) R(D), 并称此极限值 I 为
f (x,y)在D上的二重积分. 记作 f ( x, y)d , 即
计算步骤
(1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.
如图
z z = f (x,y) z = f (x,y)
0 x Di D
y
Di
(2)由于Di很小, 小曲顶柱体可近似看作小
平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积
二重积分
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
f ( x, y)d lim f ( , )
D 0 i 1 i i
n
i
区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,
将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换 成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值
D
f ( x, y)d lim f ( , )
D 0 i 1 i i
n
i
其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分 变量. 和式( i ,i ) i 称为积分和 . f
i 1 n
注1. 定积分
f ( x , y )d a dx
D d
b
2 ( x) 1 ( x )
2( y) 1( y)
f ( x , y )dy.
［X－型］
f ( x , y )d c dy
D
f ( x , y )dx.
［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
f ( x , y )d a
D
b
2 ( x ) f ( x , y )dy dx. 1 ( x )
2 ( x )
dx
a
b
1 ( x )
f ( x, y )dy .
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
c y d, 如果积分区域D为： 1 ( y ) x 2 ( y ).
0
a
xi i xi+1
b
x
一、引例
有一空间几何体. 其底面是
z z = f (x,y)
xoy 面上的区域D, 其侧面
为母线平行于 z 轴的柱面,
其顶是曲面 z= f (x, y), 我们
称为曲顶柱体.
x
0
y
D
我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积×高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d