2011届高考数学专题复习教案17
高中数学单元复习教案
高中数学单元复习教案
主题：函数
目标：通过本次复习，学生能够掌握函数的基本概念、性质和解题方法。
一、函数的基本概念
1. 函数的定义和表示方法
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图像和性质
二、函数的性质
1. 奇函数和偶函数的性质
2. 函数的单调性和最值
3. 函数的周期性和奇偶性
三、函数的解题方法
1. 求函数的导数和导函数
2. 求函数的极值和拐点
3. 求函数的零点和不等式解法
四、综合练习
1. 完成选择题、填空题和解答题
2. 解答实际问题中的函数应用题
五、作业布置
1. 完成课堂上的习题
2. 预习下节课的内容
六、自主学习
1. 利用课外时间复习函数相关知识
2. 尝试解决一些较难的函数题目
备注：本次复习教案主要围绕函数这一重要概念展开，学生需要掌握函数的基本定义和性质，能够熟练运用函数的解题方法。
希望学生能够认真复习，做到知识点全面掌握，能够灵活运用。
2011届高三数学复习计划
湘阴六中2011届高三数学第一轮复习计划高三理科数学备课组（钟岳林老师）一. 背景分析新学期的到来也是新一届高三的开始，也是新一轮复习的启始。
这一届高三是我省实行《新课程标准》命题的第二年，也是我们师生适应新高考模式关键的一年。
高考怎么考我们已清楚，我们的任务应是：指导学生在有限的时间内有效的学习、复习，为高考、更为他们以后的发展服务近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
2011年是湖南省自主命题的第八年，数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。
在前七年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二. 学情分析本届高三理科班的学生普遍基础差，其中只有几个同学数学成绩稍微好一点（如邹勇、黄应得、黎坤、黄雄、钟耿等），他们大多不爱好学习，没有良好的学习习惯，对数学的认知能力太差，这给我们的教学带来了一定的难度，但是面对现实我们不得不在特殊的环境下采取特殊的方法，尽一切可能提高他们的成绩，为明年高考取得伟大的胜利而努力奋斗。
三. 教学指导原则1．高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。
2011届文科数学高考复习的几点做法
2011届文科数学高考复习的几点做法武岭中学邬建方时间过得真快，一眨眼2011届学生的高考复习工作又开始了，复习工作安排的是否得当，直接关系到明年的硕果能否累累，因此我们作为教师必须重视整个教学进程的安排，重视每个阶段甚至每天的工作计划，重视每天上课时的各个重要环节。
下面就我个人的想法来谈谈自己在复习中的一些做法：一、复习计划:第一轮复习时复习高考的主干只是（如函数、导数、数列、解几、三角等），然后复习次要知识，做到主次分明，时间比例恰当，这样便于学生练习综合试题，争取高三第一学期第一轮复习结束。
第二学期开始进行专题复习，同时结合综合试卷的练习，讲练同步进行。
一般整个过程复习两轮。
二、复习时几个重要环节的处理：1.选择好一本优秀的复习用书是复习工作的一个重要方面，这样便于教师能更顺畅地展开复习工作。
2.做好“五认真”工作，特别是备课、上课与批改作业，教师备课要备出点新意，不要按复习用书依样画葫芦，应适当增加修改与补充，甚至要有变式等。
上课时不忽略知识点与方法的总结，而且这块是重头戏，特别是我们这样的生源。
知识点的总结，解题方法的归类尤其显得重要，而且要求方法要领到家门口，使其拿到题目不至于得零分，这课后的批改是发现问题的关键，特别是高三大量的讲义，必须在批改后进行统计，统计其错在何处，为什么会错，这样对提高作业，讲义的有效性应该是非常有效的手段，而且要做到批改与反馈的及时，拖延不得，经过试探后发现以上做法确确实实能激起学生的兴趣，提高学生的成绩。
3.做两个“积累”工作：一是积累学生平时讲义中的错题，最好专门弄个文件夹将其归类，然后再第二轮复习时可以作为查漏补缺的一份好资料；二是积累平时自己看到的和网上找到的好题，在平时作业或测试时渗透给学生，真正做到精选题目，起到训练的实际效果。
4.做两个“专研”工作：一是专研考试说明，不要在不做要求或低要求的知识点上花大量时间，需要主次分明，分配合理；二是要专研指导意见，明确各个知识点在高考中的地位。
2011届薛窑中学高三(文科)数学复习计划
2011届薛窑中学高三（文科）数学复习计划一. 学情分析本届高三学生基础相对薄弱，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。
均分还可以，但有效分数段人数不理想。
二．努力目标及指导思想高三第二学期复习在上学期第一轮复习的基础上进行第二、第三轮复习，第二轮主要是专题复习，第三轮是综合复习，第二轮复习是起承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用的关键时期。
我们以《步步高》为主线，穿插各地模拟卷和针对性练习，结合本校学生特点，建立以“强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。
注重化归、整体、分类、数形结合等数学思想方法的渗透，及注重通性通法，淡化特殊技巧，优化思维品质”的二轮复习思路。
力争高考达到同类完中第一。
三. 方法与措施（一）、重视《考试大纲》与《考试说明》的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。
（二）、重视课本的示范作用。
高三复习时间紧，任务重，内容多，但绝不能因此而脱离教材，相反，要紧扣大纲，抓住教材，在总体上把握教材，明确每一章、每一节的知识在整体中的地位的作用。
纵观近几年的高考试题，每年的试题都与教材有着密切的联系，有的是将教材中的题目略加修改、变形后作为高考题，还有的是将教材中的题目合理拼凑、组合作为高考题。
教材中还蕴涵着大量的数学思想方法和解题技巧，《数列》为例，其中推导等差数列前n项和公式用到了“倒序相加法”，推导等比数列前n项和公式用到了“错位相减法”及分类讨论的数学思想。
（三）、注重主干知识的复习，高考数学科《考试大纲》指出：“对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。
根据2010年浙江高考数学命题的特点，对数学基础知识的考查，虽然不刻意追求知识点的百分比，但对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例，即重点知识重点考查，如函数及其性质的考查就保持了较高的比例，并达到必要的深度。
2011届高考数学总复习的对策与思考
验进 行 归 纳和 总 结 ，看 看 得 到哪 些感 悟 与 启 发 。 同时教 是 否 定一 切 ，它是 指 在科 学 理 论 的指 导 下 ，面对 新 的 问 师 还可 以进一 步 引 导学 生 探索 该 问题 更 深 刻 的发 生 、发 题 敢 于提 出新 的观 点 与新 的方法 ，它 是对 一 切 落后 的 、 展 变化 ，如适 当改变 问题 的 背景 ，将 条 件 与 结论 倒 置 ，
学计 划落 实 的情 况及 下 一 周教 学 工作 的要 点 ，做到 “ 五 课 ，精 选 习题 外 ，关 键 是要 提 高课 堂 效率 ，在 课堂 上做 统 一 ” “五 细 ” “ 加 强 ” ， 即 ： 统 一 思 想 ，统 一 认 到三 到位 。 五
识 ，统一 进 度 ，统 一方 案 ，统 一 行动 ；考 纲 、 教材 要钻 研 得 细 ，复 习计 划 要制 订得 细 ，复 习 内容 要 研 究得 细 ，
２ ｔ 年２ ０ １ 月上 第 ４ （ 期 总第 ２ ６ ） ２期
墓
一
６一
／ 教学研究 ／
仿 阶段 必 须 依赖 学 生 自己 的感 悟 、摸 索 、探 究 、反 思 和 将 起 到事 半功 倍 的作用 。一 些做 法 ：１ ）不在 乎 多讲一 套 ） 总结 。 这 样 就 要 求 教 师 在 精 选 习题 时 一 定 要 选 针 对 性 题 或 少讲 一套 题 ，应根 据实 际情 况 ，做到 快慢 有致 ；２ 强 、思维 力 度适 当、有 一 定挑 战性 和 一 定钻 研价 值 的 问 在 学 生 中 组建 一 个数 学 问题讲 解 组 ，教 师可 以指定 部 分 题 。教 师 在 导时 ，既要 按 常 规方 式 讲清 怎样 审题 、常 规 问题 由讲解 组 来讲 解 ；３ ）遇 到较好 的题 材 ，教师 要 引导 思路 、方 法 和技 巧 、 关键 步 骤及 常 见 的主 要 错误 等 ，同 学 生 多 反 思 ，努 力扩 大 解题 成 果 ，总 结 解题 经 验 ，逐渐
专题17 导数对数放缩金字塔(教案)【解题新方法系列】2023届高考数学二轮专题复习
（将（10）用 代替 ）
（14） ，当 时， ；当 时 （粉飘带）
（15） ，当 时， ；当 时， （粉飘带分身1）
（由（14）横坐标扩大为原来的 倍得来）
⑮ ，当 （粉飘带分身2）
（将（14）用 代替 ）
【对点练习】
（练习一）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（8） ，当 时 ；当 时取等，当 时
（ ）
（9） ，当 时取等（加强版）
（令 ，则 ）
【对数金字塔第三层】
（10） ，当 时 ；当 时 （紫飘带）
（11） ，当 时 ；当 时， （紫飘带分身1）
（由（10）左移1个单位得到）
（12） ，当 时， ；当 时， （紫飘带分身2）
（由（10）横坐标扩大为原来的 倍得来）
飘带放缩：（1）由 ， ，又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ， 且 ，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；令 ，再令 ，则 ， ，令 ，（飘带） ，当 时， ， 单减，故 ；当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
（十七）导数·对数放缩金字塔
【对数金字塔第一层】
（1） ，当 时取等（母体）
（2） ，当 时取等（分身1）
（3） ，当 时取等（分身2）
（分身4）
（6） ，当 时取等（加强版）
【对数金字塔第二层】
（7） ，当 时 （分身1）
（8） 当 时取等（分身2）
（2）设函数 ．证明: ．
常规求解：（1）由 ， ，又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）由（1）知， ，其定义域为 ．要证 ，即证 ，即证 ．
2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)
2
2
2
①
②
要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| x +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|x +2x|折上去的顶点，故②式有一解为t 1 1 ，另一直线与f(x)=|x +2x|
2 2
的图象有4个交点，故②式的另一解 2 必在（0,1)上，所以 t1 t 2 b 0 b 0,t1t 2 c 0 ，所以b<c. 答案:C
2
2
2
与y轴的交点D(0,1)，再任取一点
E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.
学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数 图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简 便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称 轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交 点为特征点进行画图.
学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有 关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反 映了函数图象与y轴交点的位臵,b>0时,交于x轴上方;b=0时, 交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的 截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 2 时,这个函数为一次函数. 1 (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 2 时,y随 x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, 2 ≨m= 5 .
2011届高考数学总复习测评课件17
Q1=AC·l,
∴S侧=4al= 2 Q12 + Q22.
学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面 图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知 识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求， 减少运算量，简化运算过程.
举一反三
2. 三棱柱 ABC − A1 B1C1 的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α, 上底面的顶点 A1 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O, 下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱 AA1 和AB成2α角,求三棱柱的 侧面积.
3 1 由S侧=S上+S下,得 (20+30)×3×DD1= (202+302), 2 4 13 ∴DD1= 3 . 3 2 在直角梯形O1ODD1中,O1O= DD 2 −(OD − O D ) = 4 3,
1 1 1
∴棱台的高为 4 3 cm. 学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特 征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截 面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.
1
∴S
ABCD
= bc sin 600 =
39 2 3 3 ∴ V = a = a 正三棱锥侧 4 12
3 , a 6
3 39 SD = a 2 + a = a 6 6
2
12. 在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为 a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60°，求这个平行 六面体的体积.
解析: 如图所示，作 A1O ⊥平面ABCD， ∵ ∠A1 AB = ∠A1 AD = 600 ∴
2011届高考数学考点专项复习课件：同角关系及诱导公式
1.已知 cot(-)=2, 求 sin( 3 +)的值. 2
2.已知 cot=m(m0), 求 cos.
解: ∵cot=m(m0), ∴角 的终边不在坐标轴上. 若 是第一或第二象限角, 则 1 1 csc= = . ∴sin= csc = . 2 1+m m 1+m2 . ∴cos=sincot= 1+m2 1+cot2 1+m2 若 是第三或第四象限角, 则 1 csc=- 1+cot2 =- 1+m2 . ∴sin= csc =m 1+m2 ∴cos=sincot=- 1+m2 . 1 . 2 1+m
2 3.已知 sin+cos= 3 (0<<), 求 tan 的值. 解法2 将已知等式两边平方得 sincos=- 7 <0, 18 ∵0<<, ∴sin>0. ∴由 sincos<0 知 cos<0. 2- 2 x- 7 =0 的根, 且 cos 为小根. ∴sin, cos 是方程 x 3 18 -4 +4 ∴cos= 26 , sin= 26 . sin ∴tan= cos = -9-4 2 . 7
二、诱导公式
用自变量 的三角函数表示自变量为 k (kZ)的三角 2 函数的公式叫诱导公式. 2.口诀 奇变偶不变, 符号看象限. 3.本质 1.定义
通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的 三角函数值相等或互为相反数, 反映了三角函数的周期性及各 种对称性.
典型例题
解: ∵cot(-)=2, 又 cot(-)=-cot, ∴cot=-2. ∴ 是第二或第四象限角, 且 tan=- 1 . 2 1 2= ∴cos = 4. 1+tan2 5 - 2 5 , 是第二象限角, ∴cos= 2 5 5 5 , 是第四象限角. 又 sin( 3 +)=-cos, 2 2 3 +)= 5 5 , 是第二象限角, ∴sin( 2 - 2 5 , 是第四象限角. 5
2011届高考数学复习专题模拟：立体几何
2012届高考数学复习专题模拟：立体几何（2012届模拟题）立体几何（1）（2011届·成都树德协进中学高三期中）19、（12分）长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．（Ⅰ）求直线1AA 与平面E AC 1所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AC E --1的大小； （Ⅲ）求三棱锥11C AD E -的体积．答案：（I ）arcsin ，距离与面33AEC )(1515arccos)(3311D III II 61V 11A E C -D =（2011届·江西白鹭洲中学高三期中（文））4．已知m 、n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列四个命题中，错误的命题个数是 （ A ）①n m n m //,,,//则βαβα⊂⊂；②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ⊂⊂网③βαβα⊥⊂⊥m m 则若,,； ④ααββα//,,,m m m 则若⊄⊥⊥A ．1B ．2C ．3D ．4 （2011届•江西白鹭洲中学高三期中（文））8．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ B ）A ．344+B ．544+C ．38D ．12（2011届•江西白鹭洲中学高三期中（文））9. 已知3||,22||==q p ，p 与q的夹角为4π，则以 q p b q p a3,25-=+=为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是（ A ）.A.15B.15 C. 4 D. 14（2011届•江西白鹭洲中学高三期中（文））19. （本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C1ACA C 1中，底面边长是2，D 是棱BC 的中点，点M 在棱BB 1上，且BM=31B 1M ，又CM ⊥AC 1. （Ⅰ）求证：A 1B//平面AC 1D ； （Ⅱ）求三棱锥B 1-ADC 1体积.答案：提示：)1(连接C A 1,交1AC 于点,E 连接DE ,则DE 是BC A 1∆的中位线，B A DE 1//,又111ADC B A ,ADC 面面⊄⊂DE ,D AC //11面B A ∴.)2(在正三棱锥111C B A ABC -中，BC 是D 的中点，则11B BCC 面⊥AD ,从而MC AD ⊥,又1AC CM ⊥,则1ADC CM 和面内的两条相交直线1AC AD,都垂直，1ADC MC 面⊥∴,于是1DC CM ⊥,则1CDC ∠与MCB ∠互余，则1tan CDC ∠与MCB ∠tan 互为倒数，易得221=AA ， 连结D B 1，∴2211=∆D C B S ,D C B 11面⊥AD , ∴三棱锥11ADC -B 的体积为362. 方法2：以D 为坐标原点，DA DC ,为x y ,轴，建立空间直角坐标系，设h BB =1，则)0,0,0(D ,)0,0,1(-B ,0,0,1(C ,)0,3,0(A ,),0,1(1h B -，),0,1(1h C ， ),3,0(1h A ，)4,0,1(hM -，→B A 1),3,1(h ---=，),3,1(),0,3,0(1h A C AD --=-=→→，设平面D AC 1的法向量),,(z y x n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→010n A C n AD )1,0,(-=⇒→h n ，→→⊥n B A 1 ∴D AC //11面B A)2(),3,1(),4,0,2(1h AC h CM -=-=→→，1AC CM ⊥,=⋅→→1AC CM 0422=+-h ，22=∴h .平面D AC 1的法向量为)1,0,22(-=→n ，)22,3,1(1-=→A B 点)22,0,1(1-B 到平面D AC 1的距离3241=⋅=→→→nd nA B ，233=∴∆ADCS . 3623242333111=⨯⨯=∴-ADC B V .（2011届•江西白鹭洲中学高三期中（文））20. （本小题满分12分）在数列{}n a 中,).)((2,1*2111N n a a a na a n n ∈+⋅⋅⋅++==+（Ⅰ）求2a 、3a 、4a 及通项公式n a ；（Ⅱ）令n n n a b 12+=，求数列{}n b 的前n 项和S n ； 答案：（1）由题意得,4,3,2432===a a a 当2≥n 时，)(2211n n a a a na +++=+ ， ①).(2)1(121-+++=-n n a a a a n ②①－②得,2)1(1n n n a a n na =--+ 即,1,)1(11nn a a a n na n n n n +=+=++ ),2(123121123121≥=-⋅⋅=⋅⋅=∴-n n n n a a a a a a a a a n n n 又11=a 满足上式，∈=∴n n a n (N *) . （4分）（2）由（1）得∈=+n n b n n (21N *) ,14322232221+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ， ③ .223222122543+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ④③－④得,2)2222(2215432++⋅-+++++=-n n n n S .42)1(2+-=+n n n S（2011届·温州十校联合体高三期中（理））6．设,,αβγ是三个不重合的平面，n m ,是不重合的直线，下列判断正确的是(D )A ．若γββα⊥⊥,则γα||B ．若,//,l αββ⊥则l α⊥C ．若αα||,||n m 则//m nD ．若αα⊥⊥n m ,则//m n（2011届•温州十校联合体高三期中（理））12．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ▲ ．2侧视图22正视图211俯视图2（2011届•温州十校联合体高三期中（理））16．如图，已知直线1212//,,l l A l l 是之1间的一定点，并且A 到21,l l 之间的距离分别为3和2，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆的面积的最小值是 ▲ 6（2011届•温州十校联合体高三期中（理））17．下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆1)sin ()cos (22=-+-θθy x 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为π23其中，正确命题的序号为 ▲(2) (4) 写出所有正确命的序号）（2011届•温州十校联合体高三期中（理））20（本小题满分14分）已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；（II ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；答案：解：方法1：（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，∴⊥AB 平面PAD ， …………（4分） ∵E 、F 为PA 、PB 的中点，∴EF //AB ，∴EF ⊥平面PAD ； …………（6分） （II ）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，∵ABCD PAD 平面平面⊥，则PO ⊥平面ABCD ． 取AO 中点M ，连OG ，,EO,EM, ∵EF //AB//OG,∴OG 即为面EFG 与面ABCD 的交线…………（8分） 又EM//OP,则EM ⊥平面ABCD ．且OG ⊥AO,故OG ⊥EO ∴EOM ∠ 即为所求 …………（11分） 中EOM ∆Rt ，EM ＝,3ＯＭ＝１∴tan EOM ∠＝,3故 EOM ∠＝ 60∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是 60 …………（14分）方法2：（I ）证明：过P 作P O ⊥AD 于O ，∵ABCD PAD 平面平面⊥， 则PO ⊥平面ABCD ，连OG ，以OG ，OD ，OP 为x 、y 、z轴建立空间坐标M系， …………（2分）∵PA ＝PD 4==AD ，∴2,32===OA OD OP ， 得)32,0,0(),0,2,0(),0,2,4(),0,2,4(),0,2,0(P D C B A --，)0,0,4(),3,1,2(),3,1,0(G F E --， …………（4分）故)32,2,0(),0,4,0(),0,0,2(-===， ∵0,0=⋅=⋅，∴EF ⊥平面PAD ； …………（6分） （II ）解：)3,1,4(),0,0,2(-==，设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03402,00z y x x EF ，即n n ， )1,3,0(,1==n 得取z ， …………（11分） 平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n ……（12分） 平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：21||||,cos |111=⋅>=<n n n n n n ，锐二面角的大小是60； …………（14分）（2011届•温州十校联合体高三期中（理））21．（本题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>F的距离的最大值为1。
2011届高考数学专题复习教案1
【课 题】：合情推理 【上课时间】：【学习目标】：1. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推论的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推论在数学发现中的作用。
2. 正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物，分析问题，发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
【教学重，难点】：归纳推理的具体含义及其应用，用类比进行推理，作出猜想。
【教学过程】：一、自主学习1、 归纳推理的定义：____________________________________________________.2、 归纳推理的思维过程：________________________________.3、 类比推理的定义：_________________________________________________________.4、 类比推理的思维过程：________________________________.二、练习：1.观察下列等式，并从中归纳出一般的结论（1）2121=，326121=+，431216121=++，432011216121=+++ 猜想： （2）三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是001802360⨯=，凸五边形的内角和是001803540⨯=，---,猜想：凸多边形的内角和是_______________________.（3）当n=0时， 1111n n 2=+-; 当n=1时，1111n n 2=+-；当n=2时，1311n n 2=+-； 当n=3时，1711n n 2=+-；当n=4时，2311n n 2=+-； 当n=5时，3111n n 2=+-；因为31,23,17,13,11,11都是质数。
猜想：通过这三个例子说明：根据一个或几个事实（或假设）得出一个新判断的思维方式 显然这种结论_____________正确。
2011高三数学一轮精品复习学案：命题及其关系、充分条件与必要条件
2011版高三数学一轮精品复习学案：命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标定位】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。
【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、四种命题及其关系（1）四种命题（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。
命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。
3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
【热点难点突破】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。
（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。
注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。
2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．原命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p≠q ，m≠n ，则p ＋m≠q ＋n”(假)逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真) 注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．〖例2〗写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第17讲 函数与方程思想
题型一 函数与方程思想在不等式中的应用
1 1 【例1】 已知函数 ＝a－x(a>0，x>0)， 】 已知函数f(x)＝ ， ， (1)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求实数 的取值范围； 若 ≤ 在 ，＋ 上恒成立 求实数a的取值范围 ，＋∞ 上恒成立， 的取值范围； (2)若f(x)在[m，n]上的值域也是 ，n](m≠n)，求实数 的取值范围． 若 在 ， 上的值域也是 上的值域也是[m， 的取值范围． ≠ ，求实数a的取值范围 1 1 1 1 解：(1)由a－x≤2x得a≤2x＋x. 由 得 ＋ ∵x>0， ， 1 2 ＋ ∴当x＝ 时，2x＋xmin＝2 2， ＝ ， 2 1 2 ∴a≤2 2，∴a≥ 4 ， ， ≥ ∴实数a的取值范围是 实数 的取值范围是
专题七 数学思想方法
第一讲
函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问 题．方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件 方程思想，是从问题中的数量关系入手， 转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组 ， 转化为数学模型 方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方 方程 或不等式(组 来使问题获解 有时，还通过函数与方程的互相转化、 来使问题获解． 程(组)或不等式 组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、 组 或不等式 接轨，达到解决问题的目的．函数与方程是两个不同的概念， 接轨，达到解决问题的目的．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有 着密切的联系，方程 ＝ 的解就是函数 的解就是函数y＝ 的图象与 的图象与x轴的交点的横坐 着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数 ＝f(x)的图象与 轴的交点的横坐 标．
2011届高考数学二轮复习课件：集合与常用逻辑用语
1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．集合的元素 ．集合元素具有确定性、无序性和互异性． 的互异性法则是考查的重点． 的互异性法则是考查的重点． 如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a 设 、 为两个非空实数集合， ＋ ＝ ＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则 P＋Q ∈ ， ∈ ， ＝ ， ＝ ， ＋ 中的元素有____个 中的元素有 8 个； (2)设 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m 设 ＝ ， ∈ ， ∈ ， ＝ ， － ＋ >0},B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点 P(2,3)∈A∩(∁UB) ＝ ， ＋ － ≤ ， ∈ ∩∁ 的充要条件是______________； 的充要条件是 m>－1，n<5 ；
C
)
解析
本题考查命题的否定．根据特称命题的否定是全
称命题，故选C.
4．(2010·湖南 下列命题中的假命题是 ． 湖南)下列命题中的假命题是 湖南 A．∀x∈R,2x－1>0 ． ∈ C．∃x∈R，lg x<1 ． ∈ ，
－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B B．∀ x∈N*，(x－1)2>0 ． ∈ －
)
D．∃ x∈R，tan x＝2 ． ∈ ， ＝
进行恰当地转化，可以判断綈q与綈 p的关系，简化解题 进行恰当地转化，可以判断綈 与 的关系， 的关系
过程． 过程．
精品回扣练习
1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n ．设集合 ＝ ∈ － ， ＝ ∈ － ≤ ≤ 3}，则 M∩N等于 ， ∩ 等于 A．{0,1} ． C．{0,1,2} ． ( B B．{－1,0,1} ． － D．{－1,0,1,2} ． － )
2011届高考数学专题复习教案14
一轮复习学案 §2.8. 二次函数 姓名☆学习目标：1．掌握二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和两根式；2．掌握二次函数的概念、图像及性质；3．能求二次函数在给定区间的最值及二次方程实根的分布条件．☻基础热身：二次函数是高考考查的永恒主题！1.若函数2()24f x a x a x =++(03a <<),且12x x <，121x x a +=-,则( ).A 12()()f x f x < .B 12()()f x f x =.C 12()()f x f x > .D 1()f x 与2()f x 的大小不能确定2.在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( ) .A 11<<-a .B 20<<a .C 2321<<-a .D 2123<<-a3.设函数22()21f x tx t x t =++-(0)x R t ∈>，． (1)求()f x 的最小值()h t ；(2)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．☻知识梳理：二次函数的基本问题1. 解析式：10 一般式=)(x f )0(≠a ;20零点式=)(x f )0(≠a ; (设两个零点为12,x x ) 30 顶点式=)(x f )0(≠a .(设顶点为(,h k )2.)(x f 在给定区间],[q p 上的最大值M 和 最小值为m ，不妨设a ＞0,令x 0=21(p +q ).10若－a b2≤p ( )，则M = ,m = ；若－a b2≥q ( )，则M = ，m = .20若p ≤－a b2＜x 0( )，则m = f （ ），M = f （ ）； 30若x 0≤－a b2＜q ( )，则m = f （ ），M = f （ ）.3. 零点的分布: 不妨设2()f x a x b x c =++,0a>.10在区间(α,β)内有且只有一个实根，则有 ； 212,x x m<,则有 , 12,x x m<,则有 ；3012,(,)x x αβ∈,则有 .☆ 案例分析：例1. 已知二次函数的对称轴为x=-，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式例2.设函数232()c o s4s inc o s43422x x f x x t ttt =--++-+，x R ∈，其中t ≤1，将()f x 的最小值记为()g t ．（Ⅰ）求()g t 的表达式； （Ⅱ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．例3. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.例4. 已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+（Ⅰ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
2011届高考数学专题复习教案15
一轮复习学案 §2.10. 指数运算与对数运算 姓名☆学习目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法☻基础热身：(1).已知2349a =(a>0) ，则23log a = .(2).方程9131=-x 的解是 .方程233log (10)1log x x -=+的解是 .(3).设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值范围．☻知识梳理：指数运算：1. n 次方根的定义：若 （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根.2. n 次方根的性质：若 x n＝a （n ＞1且n ∈N *），则x ＝⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a nn2,12,（k ∈N *）其中n a 叫 ，n 叫 ，a 叫 .3. 根式的运算性质：10.（na ）n ＝ . 20.nna＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数n n ,;,4. 正数的分数指数幂的意义：若a ＞0, m , n ∈N *, 且n ＞1，则10. =nma；20. ==-nm a30. 0的正分数指数幂等于 ; 0的负分数指数幂 .5. 有理指数幂的运算性质：若Q s r a ∈>,,0, 则10.=⋅sra a ; 20.=sr a )(; 30.=⋅rb a )(.对数运算：1 对数的定义(指数式与对数式的互化)：log a N ＝b ⇔.其中 a ∈ , N ∈2 重要性质：10 负数与零 ； 20log a 1＝ ，log a a ＝ . 30=ba a log ;40对数恒等式=Naalog3. 对数的运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则10 log a (MN )＝ ; 20 log a MN＝ ; 30 log a M n ＝ (n ∈R) .4.对数换底公式：log a N ＝ log m Nlog m a(a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0)两个常用推论(a 、b ＞0且均不为1):1log log a b b a ⋅=; 20log n ma b=.☆ 案例分析：例1. 已知31=+-x x ,求下列各式的值:.)2(;)1(23232121--++xx xx ⑶2323--xx ; ⑷ 22121)(--xx .例2. 计算：① 53log12.0- ② log 43·log 92－log 21432例3. （1）2.1lg 10lg38lg 27lg-+＝（2）2151515log 5log 45(log 3)⋅+＝（3）已知()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值.例4. 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．参考答案:基础热身：例11111112211222222(1)()2()235x xx x xxx x----+=+∙+=++=+=1122x x-∴+=1112230,x x x x x--+=>+=又由得所以52)13(5]1))[((])21())[(()())2(121212212122121213213212323=-=-++=-+∙-+=++------xx x x x x x x xx xx xx＝（⑶ ∵1232)(1212122121=-=+-=----xxx x x x ，∴12121±=+-xx ；⑷ 4)13(1))((1212121212323±=+⨯±=++-=-----x x x x xx xx例2. ①.15; ②.1-;例3. （1）23; （2）1; （3）2.例4.解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t-+=，∴22320t t +-=，∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =，∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，∵1x >，∴当2x =时，m in 4T =-。
2011届高三数学一轮复习精品课件：一元二次不等式及其解法
课堂互动讲练
例1 解下列不等式： 解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0； ＋ ； (2)－3x2－2x＋8≤0； － ＋ ； (3)8x－1≥16x2. － 【思路点拨】 首先将二次项系 思路点拨】 数转化为正数， 数转化为正数，再看二次三项式能否 因式分解，若能， 因式分解，若能，则可得方程的两 大于号取两边，小于号取中间， 根，大于号取两边，小于号取中间， 若不能，则再看“”，利用求根公式 若不能，则再看 ， 求解方程的根，而后写出解集． 求解方程的根，而后写出解集．
课堂互动讲练
法一： 【解】 法一： f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函 ＝ － － 数图象的对称轴为x＝ ， 数图象的对称轴为 ＝a， (1)当a∈(－∞，－ 时，结合图 当 ∈ － ，－1)时 ，－ 象知， ，＋∞)上单调递增 象知，f(x)在[－1，＋ 上单调递增， 在 － ，＋ 上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3， － ＝ ＋ ， 要使f(x)≥a恒成立，只需 恒成立， 要使 恒成立 f(x)min≥a， ， 即2a＋3≥a，解得a≥－3. ＋ ，解得 － 又a<－1，∴－3≤a<－1. － ， －
第2课时 一元二次不等式及 其解法
基础知识梳理
1．一元二次不等式与相应的二次 ． 函数及一元二次方程的关系如下表： 函数及一元二次方程的关系如下表：
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ＝ ＋ (a>0)的图象 的图象 >0 ＝0 ＝ <0
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ >0 ＝0 ＝ <0 没有实 数根 {x|x∈R} ∈
课堂互动讲练
考点二 含有参数的一元二次不等式的解法
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一轮复习学案 §2.12. 对数与对数函数 姓名
☆学习目标： 1．掌握对数函数的图象和性质；
2．掌握对数形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．
重点：对数函数的图象及性质的简单应用．
☻基础热身：
(1).设1a >，且2log (1)a m a =+,log (1)a n a =-,log (2)a p a =, 则m n p ，，的大小关系为( )
.A n m p >>
.B m p n >> .C m n p >>
.D p m n >>.
(2).若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21
,0(内恒有()0f x >，则()f x
的单调递增区间为( )
.A )4
1,(-
-∞ .B ),4
1(+∞-
.C ()0,+∞ .D )21,(-
-∞.
(3).下列四个数中最大的是（ ）
.A 2
(ln 2)
.B ln(ln 2) .C ln
.D ln 2．
☻知识梳理：
1．对数函数的定义：函数x y a log =(a ＞0且a ≠1)叫做对数函数。
其中 x 是自变量。
2．指数函数的图象和性质:
3. 对数函数x y a log = (a ＞0且a ≠1) 和 指数函数x a y =的互为反函数. 互为反函数的两个函数定义域, 值域互换.
互为反函数的两个函数的图象关于直线: 对称.
☆ 案例分析：
例1. (1)设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1
2,则a =( )
.
A .
B 2 .
C .
D 4.
(2)若函数log ()a y x b =+(0,1)a a >≠的图象过两点()1,0-和()0,1，则( )
.A 2a =,2b = .B a =2b = .C 2a =,1b = .D a =b =
例2.(1）若21a b a >>>，则log b
b a
，log b a ，log a b 从小到大依次为 ；
（2）若235x y z
==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，
5z 从小到大依次为 ； （3）设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ ） A 1b a << B 1a b << C 1b a << D 1a b <<
例3. 已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0
例4. 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
（1）对于任意x ∈[0，1]，总有f(x)≥0； （2）f(1)=1
（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+ （Ⅰ）试求f(0)的值； （Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x ，都有f(x)≤2x
参考答案:
基础热身：(1).D; (2).D; (3).D.
例1. (1)D; (2).A
例2.解：（1）由21a b a >>>得
b a a
<，故log b
b a
<log b a 1<<log a b
（2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2
t x =
，lg lg 3
t y =
，lg lg 5
t z =
，
∴2lg 3lg lg (lg 9lg 8)
230lg 2
lg 3
lg 2lg 3
t t t x y ⋅--=
-
=
>⋅，∴23x y >；
同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<
（3）取1x =，知选B
例3证明：（1）由10x a ->得：1x a >，
∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧
∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <， 则直线A B 的斜率1212
y y k x x -=
-， 112
2
121log (1)log (1)log 1
x x x a a a
x a y y a a a
--=---=-，
当1a >时，由（1）知120x x <<，∴1
2
1x x a a <<， ∴1
2
011x x
a a <-<-，
∴12
1011
x x a a
-<
<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >；
当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴1
2
1x x a a >>， ∴1
2
110x x
a a ->->，
∴
12
111
x x a a
->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >
∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0
例4（I ）令021==x x ， 依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0
又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0
（Ⅱ）任取1021≤<≤x x ，可知]1,0(12∈-x x , 则)()(])[()(1121122x f x x f x x x f x f +-≥+-=, 即0)()()(1212≥-≥-x x f x f x f ，故)()(12x f x f ≥
于是当0≤x ≤1时，有f(x)≤f(1)=1. 因此，当x=1时，f(x)有最大值为1， （Ⅲ）证明：研究 ①当]1,2
1
(∈x 时，f(x) ≤1<2x ②当]2
1
,0(∈x 时，
首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴)2(2
1)(x f x f ≤
显然，当]21
,
2
1(
2
∈x 时，2
1
)1(21)212(21)21()(=⋅=⋅⋅≤≤f f f x f 成立 假设当]2
1,
2
1(
1
k
k x +∈时，有k
x f 2
1)(≤
成立，其中k ＝1，2，…
那么当]2
1,
2
1(
1
2
++∈k k x 时，1
1
1
2
12
1
21
)2
1(
2
1)2
12(2
1)2
1()(+++=
⋅
≤
⋅=⋅
⋅≤≤k k
k
k k f f f x f
可知对于]2
1,
2
1(
1
n
n x +∈，总有n
x f 2
1)(≤
，其中n=1，2，…
而对于任意]2
1
,0(∈x ，存在正整数n ，使得]2
1,
2
1(
1
n
n x +∈，此时x x f n
22
1)(≤≤
,
③当x=0时，f(0)=0≤2x
综上可知，满足条件的函数f(x)，对x ∈[0，1]，总有f(x) ≤2x 成立。