参数的区间估计

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总体参数的区间估计

总体参数的区间估计

三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮,弹出“探索:统计量”对话框,如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框: (1)描述性:输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间,默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 (2)M 最大似然确定数。 (3)界外值:输出五个最大值和五个最小值。 (4)百分位数:输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额(单位:元)为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下,采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解:执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令,打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量,且需要对消费额进行探索性分析,故选中左侧列表框中的“消 费额”选项,将其移入“因变量列表”框中,如图5-10所示。
解:已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58,由于总 体方差已知,为大样本,可以利用式(5-23)来进行计算。
即(9.088,11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为( 9.088,11.312)。

区间估计的原理及应用

区间估计的原理及应用

区间估计的原理及应用
区间估计是统计推断的一种方法,用于估计一个参数的值,同时给出一个估计的范围。

区间估计的原理是基于样本统计量的分布,通过计算样本统计量的标准误差和置信水平,确定一个包含真实参数值的估计区间。

区间估计的应用非常广泛。

在科学研究中,我们常常需要对某个参数进行估计,例如人口比例、平均值、方差等。

通过区间估计,我们可以给出一个置信区间,表示我们对真实参数值的估计,并给出一个误差范围。

这在调查研究、医学研究、经济学研究等领域具有重要意义。

另外,区间估计还可以用于判断两组数据的差异是否显著。

通过计算两个样本的差异的置信区间,我们可以判断是否存在显著差异。

这在实验设计、比较研究等场景下非常常见。

总之,区间估计是一种重要的统计推断方法,它能够帮助我们对参数进行估计,并给出一个估计的范围,从而增加我们对真实情况的了解和判断能力。

参数估计之点估计和区间估计

参数估计之点估计和区间估计

作者 | CDA数据分析师参数估计(parameter estimation)是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。

人们常常需要根据手中的数据,分析或推断数据反映的本质规律。

即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。

统计推断是数理统计研究的核心问题。

所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。

它是统计推断的一种基本形式,分为点估计和区间估计两部分。

一、点估计点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。

简单的来说,指直接以样本指标来估计总体指标,也叫定值估计。

通常它们是总体的某个特征值,如数学期望、方差和相关系数等。

点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量,作为未知参数或未知参数的函数的估计值。

构造点估计常用的方法是:①矩估计法,用样本矩估计总体矩②最大似然估计法。

利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。

③最小二乘法。

主要用于线性统计模型中的参数估计问题。

④贝叶斯估计法。

可以用来估计未知参数的估计量很多,于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。

首先必须对优良性定出准则,这种准则是不唯一的,可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。

优良性准则有两大类:一类是小样本准则,即在样本大小固定时的优良性准则;另一类是大样本准则,即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。

最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计,其次有容许性准则,最小化最大准则,最优同变准则等。

大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。

下面介绍一下最常用的矩估计法和最大似然估计法。

1、矩估计法矩估计法也称“矩法估计”,就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。

它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的,也是最古老的一种估计法之一。

对于随机变量来说,矩是其最广泛,最常用的数字特征,主要有中心矩和原点矩。

由辛钦大数定律知,简单随机样本的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩,这就启发我们想到用样本矩替换总体矩,进而找出未知参数的估计,基于这种思想求估计量的方法称为矩法。

参数的区间估计

参数的区间估计

参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量,通常用符号表示。

以样本均值为例,我们通常用$\bar{x}$表示样本均值,用$\mu$表示总体均值,$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。

2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数,因为样本数据毕竟是有限的,所以估计值与真实值之间必然存在误差。

为了消除这种误差,我们采用确定一个区间的方法,即“置信区间”。

置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围,其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平(置信度)落在这个区间内。

①确定信赖水平(置信度)$1-\alpha$,$\alpha$称为显著性水平。

②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。

③根据置信度$1-\alpha$,查找$t$分布表或正态分布表,得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。

④根据样本容量和总体方差是否已知,确定区间估计公式。

⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。

下面具体介绍区间估计的步骤:A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布,其中正态分布是最为常用的一种分布。

B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度,当样本容量越大,置信区间的长度就越短。

一般观测数据越多,则样本容量越大。

C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率,一般取$95\%$或$99\%$。

D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$,即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知,用样本标准差$s$代替,$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布,$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布;当总体未知且样本容量$n$较小($n<30$),$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。

第四章 参数的区间估计(Confidence Interval Estimation)

第四章 参数的区间估计(Confidence Interval Estimation)
总体总值95% 的置信区间为1,000,559.15, 到 1,152,220.85
Chap 4-34
PHStat用于解决此类问题

PHStat | confidence intervals | estimate for the population total Excel spreadsheet for the voucher example
第四章 参数的区间估计 (Confidence Interval Estimation)
阅读教材:第7章
Chap 4-1
本章概要



估计的步骤(Estimation process) 点估计(Point estimates) 区间估计(Interval estimates) 均值的置信区间( 已知) 样本容量的确定(Determining sample size) 均值的置信区间 ( 未知) 比例的置信区间

n
) 1
Chap 4-9
区间估计的要素

置信度

区间内包含未知总体参数的确定程度 与未知参数的接近程度 获得容量为 n 的样本所需付出的代价

精度


成本

Chap 4-10
置信度

以 100 1 %表示,如:90%,95%,99% 相对频率意义上的解释

从长期来看, 所构建的所有置信区间中,100 1 % 的置信区间都将含有未知参数,即未知参数落入区间的 概率;
n
( z 2 ) (1 )
2
E2
其中: E z 2
(1 )
n
2. 3.
E的取值一般小于0.1 (=p) 未知时,可取最大值0.5

概率论第七章参数估计2区间估计

概率论第七章参数估计2区间估计
1 2
2 / 2 ( n 1)

置信区间:
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
2 (n 1) S , 2 (n 1) 2
(n 1) S 2 1 (n 1) 2
2
注意:在密度函数不对称时,如 2分布和F 分布,
置信度 1 下,来确定 的置信区间[ , ]
⑴ 已知方差 ,估计均值μ
2
n 1 2 设已知方差 2 0 ,且 X X i 是 的 n i 1 一个无偏点估计,

X ~ N (0 , 1) 0 / n
且 对于给定的置信度 查正态分布表,找出
临界值
使得:
2 1 2 2
一个无偏估计, 因为X与Y 相互独立,所以
X Y ~ N ( 1 2 ,
X Y ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
n2
)

2 1
n1 n2 所以 1 2 的置信水平为1-α的置信区间为


2 2
~ N (0,1)
( X Y z / 2
已知
由样本值算得:
查表 t0.025 (6) 2.447
得区间:
对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测 例 5: 得最大飞行速度(单位: 米/秒)为 422.2, 417.2, 425.6 420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5 413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根据长期经验, 可以认为 最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度
第三节 区间估计 譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若 我们根据一个实际样本,得到鱼数 N 的极 大似然估计为1000条.

第二章 参数估计2-3 区间估计

第二章  参数估计2-3 区间估计

I=0.814
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钢厂铁水含碳量X 例3. 钢厂铁水含碳量 ~ N(µ,0.1082), 现在随机测定 该厂9炉铁水得 炉铁水得X=4.484,求在置信度为 求在置信度为0.95 的条件 该厂 炉铁水得 求在置信度为 下铁水平均含碳量的置信区间。 下铁水平均含碳量的置信区间。 解
置信区间为
上页
下页
返回
联合方差
上页
下页
返回
1、 µ1 - µ2的1-α置信区间 、 α (1)、 σ12 、σ22已知 、
由于 X −Y ~ N(µ1 − µ2 ,
选取
2 2 σ1 σ2
n1
+
n2
)
因此置信度为1-α 因此置信度为 α的µ1 - µ2置信区间可为
上页
下页
返回
(2)、σ12 、σ22未知,且n1,n2较大 如大于 、 未知, 较大(如大于 如大于50)
=27.5, ,
=6.26, ,
上页
下页
返回
测量一批铅锭的比重,设铅锭的比重X 例6. 测量一批铅锭的比重,设铅锭的比重 ~ N(µ, 现进行16次检测得铅锭的比重有 σ2),现进行 次检测得铅锭的比重有 现进行 次检测得铅锭的比重有X=2.705, , S2=0.0292,试求总体 的均值µ和方差 σ2置信度为 求总体X的均值 0.95 的置信区间。 的置信区间。 解 (1)求µ的置信区间 σ2未知 n=16,α=0.05. 求 的置信区间, 未知, α 选取 查表得 置信区间为
(二)、总体X数学期望 (二)、总体X数学期望µ未知 数学期望µ 样本X 的无偏估计. 样本 1,X2, • • • , Xn, 且S2是σ2的无偏估计
选取样本函数

应用数理统计第二章参数估计(3)区间估计

应用数理统计第二章参数估计(3)区间估计

例1 有一大批月饼,现从中随机地取16袋,称得重量(以克 计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ,设袋装月饼的重量近似地服从正态 分布,试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。 解: 2未知, 1-=0.95, /2=0.025,n-1=15, t0.975 (15) 2.1315 由已知的数据算得 x 503.75, S* 6.2022
n1 (n2 1) S12 12 n1 (n2 1) S12 P F (n 1, n1 1) 2 F (n 1, n1 1) 1 2 /2 2 2 1 / 2 2 2 n2 (n1 1) S2 n2 (n1 1) S2
10
得所求的标准差的置信区间为 (4.58, 9.60)
2.4.3 两个正态总体参数的区间估计
在实际中常遇到下面的问题:已知产品的某一质量指标 服从正态分布,但由于原料、设备条件、操作人员不同,或 工艺过程的改变等因素,引起总体均值、总体方差有所改变, 我们需要知道这些变化有多大,这就需要考虑两个正态总体 均值差或方差比的估计问题。
ˆ a ˆ b} {g(a) T ( X , X ,..., X ; ) g(b)} { 1 2 n
其中g ( x )为可逆的已知函数, T ( X 1 , X 2 ,..., X n ; 况
设总体X~N(,2),X1, X2, …,Xn是总体X的样本,求,2 /2 /2 的置信水平为(1)的置信区间.
求得 的置信水平为(1)的置信区间: ( 2未知)
S S* t1 2 (n 1) or X t1 2 (n 1) X n1 n

正态总体参数的区间估计

正态总体参数的区间估计

总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法,通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围,常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时,首先 需要收集样本数据,计算样本均值和 标准差。然后,根据样本数据的大小 和置信水平,选择适当的分布(如t分 布或z分布)来计算置信区间。最后, 根据置信区间的大小和分布特性,可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大,f(x)逐渐减小,但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上,离μ越远, f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛,如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
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实例二:总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下,总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时,根据中心极限定理,样本方差 近似服从卡方分布。因此,总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算:$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$,其中$s^2$是样本 方差,$n$是样本容量,$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数,$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时,根据中心极限定理,样本均值 近似服从正态分布。因此,总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算:$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$,其中$bar{x}$是样 本均值,$s$是样本标准差,$n$是样本容量,$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数,$alpha$是显著性水平。

5.2参数的区间估计

5.2参数的区间估计

假定1,2未知
引进
F
S 2X S2Y
12
2 2
~ F(n1 1, n2 1)

P{F1-2
(n1
1,
n2
1)
S
2 X
12
/ SY2
/
2 2
F (n1 1, n2 1)} 1 2
5.3 区间估计
一、概念
定义: 设总体X的分布函数F(x;)含有未知参 数,对于给定值(0< <1),若由样本X1, …, Xn
确定的两个统计量 , 使
P{ } 1
*
则称随机区间 ( , ) 为的置信度为1的置信区间
, 和分别称为置信度为 1 的置信上限和置信下限 。
注:F(x;)也可换成概率密度或分布律。
P
X
/
n
z 1
2

P X
z X
z
1
n2
n 2
这样就得到了μ的一个置信水平 为1-α的置信区间
X
n
z , X
2
n
z
2
/2
1- /2
z 2
0 z 2
求正态总体参数置信区间的解题步骤:
(1)根据实际问题构造样本的函数,要求仅 含待估参数且分布已知;
(2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概 率为给定的置信度1,要求区间按几何对称或概 率对称;
Sw2
(n1
1)S
2 X
(n2
1)SY2
n1 n2 2
, Sw
Sw2 .
四、两个正态总体方差比的置信区间
iid
iid
~ ~ 设X1, ,Xn1
N(
1,

参数的区间估计三

参数的区间估计三

缺点
依赖于样本数据
区间估计的结果依赖于样本数据, 因此可能会受到样本波动的影响。
可能存在误导
如果样本量较小或者数据分布不 符合假设条件,那么置信区间可 能会产生误导,使得人们对参数 真值的范围产生错误的判断。
计算相对复杂
相比于点估计,区间估计的计算 相对复杂,需要更多的计算资源 和时间。
与其他方法的比较
选择
在实际应用中,通常会根据问题的具体要求和研究者的经 验来选择合适的置信水平,常用的置信水平有90%、95% 和99%等。
区间宽度
01
定义
区间宽度是指置信区间的上限与下限之差。
02
重要性
区间宽度反映了区间估计的精确程度,宽度越窄,说明估计的精度越高。
03
影响因素
样本量、总体分布、置信水平等因素都会影响区间宽度。在样本量一定
04
区间估计的优缺点
优点
提供了参数估计的范围
区间估计给出了参数的一个置信区间,这个区间包含了参数真值 的一个范围,从而提供了比点估计更多的信息。
置信水平可调整
通过调整置信水平,可以得到不同宽度的置信区间,以适应不同的 需求。
反映了估计的不确定性
置信区间反映了估计的不确定性,即参数真值落在某个范围内的概 率。
的情况下,置信水平越高,区间宽度越宽;总体分布越离散,区间宽度
也越宽。
无偏性
定义
无偏性是指对于总体参数的估计量,其期望值等于总体参数的真值。
重要性
无偏性是评价估计量优良性的一个重要标准,它保证了在多次重复抽样下,估计量的平均 值能够接近总体参数的真值。
检验方法
通常通过计算估计量的偏差(即估计量的期望值与总体参数真值之差)来判断其是否具有 无偏性。如果偏差为零,则该估计量是无偏的。

第四节参数的区间估计

第四节参数的区间估计

第四节参数的区间估计参数的区间估计是统计学中一种常见的推断方法,用于根据样本数据推断出总体参数的范围。

通过构建置信区间,可以对总体参数进行估计,并给出可靠程度的度量。

在参数的区间估计中,我们关注的是总体参数的范围,而不是只给出一个点估计。

这可以帮助我们更好地理解总体参数,并在决策和推断中提供更多信息。

构建置信区间的一般步骤如下:1.收集样本数据并计算样本统计量(如样本均值、样本方差等);2.选择置信水平(通常为95%或99%),确定显著水平(一般为5%或1%);3.根据中心极限定理,使用样本统计量构建标准误差,即总体标准差除以样本的平方根;4.在正态分布假设下,计算标准误差下的置信区间;5.最后,解释置信区间,并根据需要进行进一步分析和决策。

在实际应用中,常用的参数的区间估计方法有:1.正态总体均值的区间估计:当总体服从正态分布且标准差已知时,可以使用正态分布的性质进行区间估计。

公式为:置信区间=样本均值±Z值×(总体标准差/√n),其中Z值由置信水平确定。

2.正态总体均值的区间估计:当总体服从正态分布但标准差未知时,可以使用t分布进行区间估计。

公式为:置信区间=样本均值±t值×(样本标准差/√n),其中t值由置信水平和自由度(n-1)确定。

3.正态总体方差的区间估计:当总体服从正态分布且均值已知时,可以使用卡方分布进行区间估计。

置信区间为:((n-1)×样本方差/χ²值,(n-1)×样本方差/χ²值),其中χ²值由置信水平和自由度(n-1)确定。

需要注意的是,参数的区间估计中需要满足一些假设前提,如样本的随机性、总体的正态性等。

如果不满足这些假设,可以考虑采用非参数统计方法进行区间估计。

参数的区间估计在统计学中扮演着重要的角色。

通过给出参数的估计范围,我们可以更加准确地评估样本结果的置信度,并根据置信区间进行决策。

《概率学》7.2区间估计

《概率学》7.2区间估计
S/ n
3
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
4 n ( X i )2 ~ 2 (n)
i1
证明2. 由于 X ~ N(, 2 ) ,
n 所以 X ~ N(0,1)
/ n

(n 1)
2
S
2
~
(2 n 1)
且与 X 相互独立
/ n

X
/ n
(n 1)S 2
2
/ (n 1)
( X ) ~ t(n 1)
区间估计:就是用样本来确定一个
区间,使这个区间以很大的概率包含所
估计的未知参数,这样的区间称为置信
区间.
3
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 区间估计
第七章 参数估计
一、参数的区间估计法
设总体X的分布中含有未知参数θ , 若由来自总体X
的一个样本确定的两个统计量:
ˆ1 ˆ1(X1X2,..., Xn ) , ˆ2 ˆ2(X1X2,..., Xn ) ,
置信区间
X
u
2
n
X
t (n 1)
2
S
n
μ已知
σ2
μ未知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~
2 (n)
n
(Xi )2
i1
2
2
(n)
,
n
(Xi
)2
i1
2 1
(n)
2
(n 1)S 2 2
~ 2 (n 1)
(n x2
1)S 2 (n 1)
,
2
(n 1)S 2
x12 2

区间估计的原理

区间估计的原理

区间估计的基本原理区间估计是统计学中一种常用的方法,用来根据样本数据推断总体参数的取值范围。

它通过计算置信区间来表示参数估计值的可信度,并提供了一种统计量范围的估计方法。

在这个过程中,我们关注的是总体参数的不确定性。

置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下,总体参数的可信范围。

置信水平通常采用符号(1−α)表示,其中α是一个介于0和1之间的数,表示置信水平的显著性水平。

例如,当α=0.05时,我们说我们有95%的置信度来估计总体参数。

置信区间的上界和下界称为置信限。

区间估计的步骤进行区间估计时,我们需要按照以下步骤进行:1.收集样本数据:从总体中随机抽取一部分样本进行观察和测量,得到样本数据。

2.选择合适的统计分布:根据所研究的问题和样本数据的性质,选择适当的统计分布来建立数学模型。

3.计算统计量:根据所选择的统计分布,利用样本数据计算出一个统计量,该统计量用于估计总体参数。

常用的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。

4.构建置信区间:根据所选择的统计分布和计算出的统计量,采用适当的方法构建置信区间。

5.解释和应用结果:根据置信区间的结果进行解释,并根据实际应用情况进行结果的应用和决策。

构建置信区间的方法在构建置信区间时,常用的方法有以下几种:1.正态分布的方法:当样本容量大于30,或当样本容量较小但总体近似服从正态分布时,可以使用正态分布的方法进行区间估计。

2.t分布的方法:当样本容量较小且总体不服从正态分布时,可以使用t分布的方法进行区间估计。

t分布相较于正态分布,具有较宽的尾部,适合用于较小样本的情况。

3.二项分布的方法:当样本数据为二项分布时,可以使用二项分布的方法进行区间估计。

二项分布常用于估计样本比例的置信区间。

4.Poisson分布的方法:当样本数据符合泊松分布时,可以使用Poisson分布的方法进行区间估计。

5.其他分布的方法:根据具体问题的要求,选择适当的分布进行区间估计。

参数区间估计

参数区间估计
查正态分布表得 u 2 ,
使 P{|Xn|u2}1
从中解得
P { X n u 2 X n u 2 } 1
P{Xnu2Xnu2} 1
于是所求的 置信区间为
[X nu2, X nu2]
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程,我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
类似地,我们可得到若干个不同的置信
区间.
任意两个数a和b,只要它们的纵标包含
f(u)下95%的面积,就确定一个95%的置信
区间.
a a
a
f (u)
0.95
bu
0.95
b
u
0.95
0
b
u
我们总是希望置信区间尽可能短.
在概率密度为单峰且对称的情形,当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短.
a a
a
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如,通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本,由给定的置信水平,我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2],使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
在求置信区间时,要查表求分位数.
教材已经给出了概率分布的上侧分位数(分 位点)的定义,为便于应用,这里我们再简 要介绍一下.
这里,我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大,即使总体分布 未知,应用中心极限定理,可得总体的近 似分布,于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形:
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比

分布参数的区间估计

分布参数的区间估计

分布参数的区间估计在区间估计中,我们假设总体分布的参数服从其中一种特定的分布,比如正态分布、二项分布等。

然后利用样本数据来计算一个区间,使得该区间内包含了真实参数值的概率达到一定的可信度(置信水平)。

下面我们以正态分布参数的区间估计为例来详细介绍分布参数的区间估计方法。

在正态分布中,常用的参数是均值和标准差。

首先我们考虑均值的区间估计。

均值的区间估计一般使用置信区间来表达。

置信区间是用来估计未知参数的区间范围,其形式为:估计值±临界值×标准误差其中,估计值就是样本数据的平均值,临界值是根据置信水平、样本容量和总体标准差计算的,标准误差是样本标准差除以样本容量的平方根。

计算置信区间的步骤如下:1.确定置信水平,通常为95%或者99%。

2.根据置信水平,查找相应的临界值。

临界值可以在统计表或者使用统计软件进行计算。

3.计算样本数据的平均值和标准差。

4.计算标准误差,即标准差除以样本容量的平方根。

5.利用置信水平和临界值计算置信区间。

比如,我们想要估计一些产品的平均寿命,我们可以随机抽取一些样本并测量它们的寿命。

假设样本容量为n,样本的平均寿命为x̄,样本的标准差为s。

我们可以根据上述步骤计算出该产品平均寿命的置信区间。

标准差的区间估计与均值的区间估计类似。

不同之处在于,标准差没有一个通用的置信区间公式,而是需要根据具体的研究问题和数据类型进行选择。

常用的标准差的区间估计方法有:t分布法和卡方分布法。

总结起来,分布参数的区间估计是利用样本数据来估计总体分布参数的一种方法。

在进行区间估计时,我们需要确定置信水平,计算估计值和标准误差,并根据置信水平和临界值计算出置信区间。

同时,不同的参数估计可能需要使用不同的区间估计方法。

需要根据具体的问题和数据类型进行选择。

区间估计的结果可以让我们对总体分布的参数有更好的认识,并为进一步的分析提供基础。

正态总体参数的区间估计实验结论

正态总体参数的区间估计实验结论

正态总体参数的区间估计实验结论在统计学中,正态分布是一种非常重要的分布,许多自然现象和实验数据都可以用正态分布来描述。

而在实际应用中,我们常常需要估计正态总体的参数,比如均值和标准差。

在这篇文章中,我将介绍如何利用区间估计的方法来估计正态总体的参数,并给出一个实验结论。

让我们来回顾一下区间估计的基本原理。

区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法,其核心思想是利用样本数据给出一个参数的估计区间,该区间包含真实参数的概率较高。

在正态总体参数的区间估计中,我们通常使用样本均值和样本标准差来进行估计。

接下来,我将介绍一个实际的例子来说明正态总体参数的区间估计方法。

假设我们有一批产品的重量数据,我们想要估计这批产品的平均重量。

我们随机抽取了一部分产品进行称重,得到了样本均值和样本标准差。

根据中心极限定理,我们知道样本均值的分布是正态分布的,可以利用这一性质来构建参数的置信区间。

假设我们得到的样本均值为100,样本标准差为5,样本量为30。

我们可以利用正态分布的性质来构建样本均值的置信区间,假设置信水平为95%,那么我们可以计算出置信区间为(98, 102)。

这意味着在95%的置信水平下,真实的总体平均重量落在98到102之间。

通过这个简单的例子,我们可以看到区间估计的重要性和实际应用。

在实际问题中,我们往往无法得知总体参数的真实值,只能通过样本数据来进行估计。

区间估计可以帮助我们对参数的估计进行更准确的评估,同时也可以给出参数估计的不确定性范围。

总的来说,正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法,通过构建置信区间来估计总体参数的真实值。

在实际应用中,我们可以根据样本数据来进行参数的估计,同时也可以评估参数估计的置信水平。

通过区间估计的方法,我们可以更准确地了解总体参数的情况,为决策提供更可靠的依据。

希望本文能帮助读者更好地理解正态总体参数的区间估计方法,并在实际问题中应用到实践中。

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2 =
( n 1) S 2
~ 2 ( n 1) ,
找一个含 与S, 但不含 , 且分布已知的统计量
Байду номын сангаас
/2
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 2 2 , 2 ( n 1 ) 1 2 ( n 1) ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 , ). 所以 2的置信水平为1- 的区间估计为 ( 2 12 2 ( n 1) 2 ( n 1)
(二) 两个正态总体置信区间的求法
设 X1, …, Xm分别是总体 X ~ N( 1 ,12)的样本, Y1, …, Yn分别 ─ ─ 是总体 Y ~ N( 2 ,22)的样本, X , Y 分别是总体 X 和 Y 的样本均值, SX2 , SY2分别是总体 X 和 Y 的样本方差, 求参数 1- 2 和 12/22 的 置信水平为 1- 的置信区间. 1. 均值 1- 2 的置信区间 ─ ─ 2, 2 时 由于X , Y 分别是1, 2 的无偏估计量, (1)已知方差1 2 ─ ─ 故可用 X -Y 作为 1- 2 的一个估计量, ( ) 由抽样分布定理知 U X Y 2 1 2 2 ~ N(0, 1), 1 2 对给定的置信度 1- , m n 令 ( u / 2 ) 1 , 查正态分布表可得 u /2 , 2 2 12 X Y u 2 | |u X Y u
§6.4 参数的区间估计
2010年11月
点估计与区间估计:
矩估计与极大似然估计,都是一种点估计。
点估计的两个缺陷: (1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大 (精确性); (2)不能说明这个估计有多大的可信度(可靠 性); 区间估计是指用一个(随机) 区间去做未知参数 的估计,可以解决这两个不足 。
并不是最短的置信区间
为了计算简单,在概率密度不对称的情形下,如 2 分布,F 分布, 习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.
例:随机地从一批钉子中抽取6枚,测得 长度为 2.14 2.10 2.15
2
2.10
2.13
2.12
并设总体X N( , ), 试求下列情况下的 90%的置信区间. (1) 0.01;
有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率
─ 2)的样本, N( , X , S 2 分别是其样本 、 2 的置信水平为1- 的置信区间.
对给定的置信度 1- , P( |U | Z /2 ) ,② 由分布求分位数 Z /2 | X | Z /2 X Z / 2 X Z / 2 n n / n ③ 由Z /2确 Z , X Z ) , 定置信区间 即得置信区间 ( X /2 /2
2/ 2 的置信区间
2
1 S12 ( 2 , S 2 F /2( m 1 , n1)
1 S12 ) 2 S 2 F1 /2( m 1 , n1)
2 X ~ N ( , ); 已知方差 n 均值 未知方差 2 X ~ t ( n 1) S n (一)单个总体 方差 2 已知均值 未知均值 n 21 S 2 ~ 2 ( n 1) .
2
n
n
n n ( X S t 2 ( n 1) , X S t 2 ( n 1 ) )即为 的置信度为 1- 的区间估计. n n
1
2
2. 方差 2 的 置信区间的求法 (2) 未知时 因为 2 的无偏估计为 S 2 , 由抽样分布定理知
2 2 由 P { 12 2 ( n 1) 2 2 ( n 1) } 1 2 2 ( n 1) , 2 分布的 /2 分位数 确定 12 2 ( n 1) , /2 ( n 1) S 2 2 2 1 2 (n 1) 2 ( n 1) 2
U
/2 /2
m
1
2
/2
n
即得置信区间 ( X Y u / 2
2 12 , X Y u 2 ) /2 m n
设 X1, …, Xm分别是总体 X ~ N( 1 ,12)的样本, Y1, …, Yn分别 ─ ─ 是总体 Y ~ N( 2 ,22)的样本, X , Y 分别是总体 X 和 Y 的样本均值, SX2 , SY2分别是总体 X 和 Y 的样本方差, 求参数 1- 2 和 12/22 的 置信水平为 1- 的置信区间. ( m 1) SX2 ( n 1) SY2 1. 均值差 1- 2 的置信区间 mn2 2, 2 , 但 2 = 2 = 2时 (2)未知方差1 2 1 2 ─ ─ 仍用 X -Y 作为 1- 2 的一个估计量, X Y ( 1 2 ) ~ t(n+m-2), 由抽样分布定理知 T 1 S m 1 对给定的置信度 1- , n 查 t 分布表可得 t /2(n+m-2), | T | t /2( n m 2) X Y t /2 S 1 1 1 2 X Y t /2 S 1 1 , m n m n
为什么要取 z / 2 ?
0.4
X a P{ <z / 2 }=1- 1 n X a P{ z / 2 }= 1 n
0.3 0.2 0.1
-2 -1 1
2
z
1
z 2
2
取 = 0.05
z z1 1.96 (1.96) 3.92
2 2
Z / 2 Z1 / 2
即得置信区间 ( X Y t /2 S 1 1 , X Y t /2 S 1 1 ) m n m n
(二) 两个正态总体置信区间的求法
(二) 两个正态总体置信区间的求法
设同上, 求参数 12/22 的置信水平为 1- 的置信区间. 2. 方差比 12/22 的置信区间 (2)未知 1 , 2 时 2 S X 12 由抽样分布定理知 F 2 2 ~ F(m-1, n-1), SY 2 对给定的置信度 1- , F /2(m-1, n-1), F1- /2(m-1, n-1), 查 F 分布表可得分位数 12 S12 1 1 S12 | F | F /2(m 1, n 1) 2 2 , 2 S 2 F /2( m 1 , n1) 2 S 2 F1 /2( m 1 , n1) 即得1
区间估计的步骤
(1)选取一个合适的随机变量T ,这个随机变量 一方面包括了待估参数 ,另一方面,它的分布 是已知的; (2)根据实际需要,选取合适的置信度1-; (3)根据相应分布的分位数概念,写出如下 形式的概率表达式 P{T1 T T2 } 1 ˆ ˆ (4)将上式表达式变形为P{1 2 } 1 ˆ ˆ (5)写出参数的置信区间( , )
0.4 0.3 0.2 0.1
z 2 z1 1.84 (2.13) 3.97
3 3
在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 . z -2 1
-1
1
z 22
3
3
定义:设总体X的分布中含有未知参数 , 是任意给定的正数(0< <1),如果能从样本 ˆ 出发确定出两个统计量 ( X , X , , X ),
1 1 2 n
ˆ2 ( X 1 , X 2 , , X n ), 使得
ˆ ˆ P{1 2 } 1 成立, 我们称1 为置信度或置信概率,区间 ˆ ˆ ( , )为参数的置信度为1 的置信区间.分
1 2
ˆ ˆ 别称1 , 2为置信上限和置信下限.




置信度为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区 间的实现中,约有95个能覆盖 ,而不是说一个 实现以 0.95 的概率覆盖了 . 要求 以很大的可能被包含在置信区间内,就是 ˆ ˆ 说 , 概率 P{1 2 } 1 要尽可能大, 即要求估计尽量可靠.置信度即可靠度. 区间的宽度反映了估计的精度.显然,区间越小, 精度越高. 区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的. 当样本容量一定时,提高估计的可靠度,将降低 估计的精度,相反,提高估计的精度,将降低 估计的可靠度. 在实际使用中,总是在保证一定的可靠度的情况 下尽可能地提高其精度.
ˆ 由于a=X 是一个随机变量,它有自己的分布 1 X N (a, ) n 因此, X a U N (0,1) 1 n X a 1 n
于是对给定的一个正数 (0 1), 有 P{ <z / 2 }=1-
即 1 1 P{ X z / 2 <a<X z / 2 }=1- n n 如果取 0.05有Z / 2 1.96, 于是有 P{10.72<a<12.48}=0.95 这就是说,我们有95%的把握认为a在区间 (10.72 , 12.48) 内.这样一种方式的估计 称为区间估计.
1 2
(一) 单个正态总体置信区间的求法
设 X1, …, Xn 是总体 X ~ 均值和样本方差, 求参数 ① 确定未知参数的 1. 均值 的置信区间 估计量及其函数的分布 (1)已知方差 2 时 n ─ 1 X i 是 的无偏估计量, 故可用 X 作为 EX 的一个估计量, Xn i 1 U X ~ N(0, 1), 由抽样分布定理知 ─ / n X ~ N( , 2/n),
•例:设有一批电子元件的寿命X~N(a,1), 现从中抽取容量为5的一组样本,算得其样本 均值为5000小时,试估计a.
ˆ 解:由点估计,a的估计值为 a 5000 . 实际上a的值是非真是5000呢?显然,不同的 ˆ 抽样,可得到不同的 a 值,故5000与a会有 差异.这种差异有多大呢? 我们从另一个角度考虑
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