微格直线与平面垂直判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．答案：①③④线面垂直的判定[典例]如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值． [解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ， ∴AO ＝BO ＝CO ， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角． 在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33，∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE . 折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1. (1)求证：AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，。
高中数学知识点：直线和平面垂直的定义与判定
高中数学知识点：直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
要点诠释：
(1)定义中“平面α内的任意一条直线”就是指“平面α内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭
I 特征：线线垂直⇒线面垂直
要点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视
.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．。
直线与平面垂直的判定
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③
B.①②
C.②④
D.①④
解析:三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边
答案:B
(
)
3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1,则 BD1 与平面 A1B1C1D1
所成的角的大小为
.
解析:如图所示,连接 B1D1,
则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,
则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角.
直线与平面不一定垂直.
做一做 1
若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于
A.平面 OAB B.平面 OAC
C.平面 OBC D.平面 ABC
解析:由线面垂直的判定定理知 OA 垂直于平面 OBC.
答案:C
(
)
3.直线和平面所成的角
(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫
求证:AF⊥SC.
思路分析:要证 AF⊥SC,可证 SC⊥平面 AEF,又 EF⊥SC,只需证 AE⊥
SC.只需证 AE⊥平面 SBC,又 AE⊥SB,只需证 AE⊥BC,最后只需证 BC⊥平
面 SAB.又 BC⊥AB,BC⊥SA,结论得证.
证明:∵SA⊥平面 AC,BC⊂平面 AC,∴SA⊥BC.
交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
正解:证明:∵AA1⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC,
直线和平面垂直的判定定理
直线和平面垂直的判定定理直线与平面垂直性是几何学中许多平面图形的基础，因此掌握判断它们是否垂直的方法也是十分重要的。
而判断它们是否垂直的定理就成了学习和掌握的关键环节。
直线与平面垂直的判定定理是几何学中的重要定理，它定义了直线与平面是否垂直的关系。
定理中提出：若一直线与一平面相交，当且仅当直线与该平面上的任意一点的线段的中垂线垂直于所求平面，则该直线与这个平面垂直。
因此，我们可以把这个定理拆解为三步：1.判断直线是否与平面相交。
当两者都在同一空间中，并且直线与平面交于一点时，它们就相交。
2.找出任意一点的线段的中垂线。
从直线上任意一点引一垂线，它与任意一点的线段的中垂线确定一个中垂平面，该平面与直线所在平面垂直，其中垂线就是中垂平面上任意一点线段的中垂线。
3.比较中垂线与所求平面的垂直性。
如果中垂线垂直于所求平面，那么直线与所求平面就是垂直的，否则就不是垂直的。
直线与平面垂直的判定定理可以让我们更加直观的判断几何图形的垂直性。
不仅可以用于判断直线与平面的关系，而且还可以判断平面与平面的关系。
如果两条平面都交于相同的一点，那么我们就可以判断它们是否垂直，判断它们是否垂直，只需遵循直线与平面垂直的判定定理。
虽然这个定理简单，但是它却是几何学中十分重要的定理，可以让我们更直观的判断几何图形的垂直关系以及几何图形的关系。
由于它的重要性，直线与平面垂直的判定定理已经成为几何学中的重要定理，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
总而言之，《直线与平面垂直的判定定理》是几何学中十分重要的定理，它可以帮助我们正确判断几何图形的垂直性以及几何图形的关系，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
当我们开始掌握有关《直线和平面垂直的判定定理》的知识时，就可以更加轻松的掌握几何图形的垂直关系，为今后的几何学学习打下基础。
直线和平面垂直的判定
a
m
a b
m
b m
m
b
例2.已知AB、CD是两条不在同一个平 面内的线段，且AC=AD，BC=BD，
求证：AB⊥CD.
A
B
D
C
例3 MN与异面直线a、b均垂直相交，且a、
b 均平行于面 ，求证：MN⊥面 .
Ma
Nb
例4. 已知E、F分别是正方形ABCD边
AD，AB的中点，EF交AC于M，GC
如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂 直于这个平面。
m
l
n m
n
A
l
Hale Waihona Puke .mnlm
l n 关键：由线线垂直转化为线面垂直
例1. 如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这
个平面。
a b ， a b
证明：设m是 内的任意一条直线。
ab
a m
一、概念：
1、定义：
如果一条直线 l 和一个平面 内的 任意一条直线都垂直，我们就说直线 l
和平面 互相垂直。记作 l
2、画法：
l
P
l
P
3、相关概念：
l 叫做 的垂线 叫做 l 的垂面 l 与 的交点P 叫做垂足
l
4、作用：
g m
Pk
由线面垂直转化为线线垂直
l m
l
m
二、判定定理：
直线和平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与 平面所成的角
直线和平面所成的角： [0 ,90 ]
1) l 或l // 0
2) l
90
3) l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
直线和平面垂直的判定定理的证明
直线和平面垂直的判定定理的证明说到直线和平面垂直的判定定理，那可是一个看似简单却又不容小觑的概念。
你想，生活中有多少事物都遵循着“垂直”的规律啊。
比如，你在画个十字的时候，横竖两条线要是不能互相垂直，那就不好看了。
而在几何的世界里，这种“垂直”关系也非常重要，关系到好多定理的成立。
今天就来聊聊怎么判断直线是否与平面垂直。
相信我，过程一点也不难，简单易懂，还能让你觉得挺有趣。
我们得明白一个基本概念。
什么是“垂直”呢？简单来说，直线和平面垂直，就是这条直线完全“站”在这个平面上，像一根笔直的旗杆立在地面上一样。
不偏不倚，直接垂直地穿过平面。
这听起来很抽象？别急，听我慢慢解释。
我们常常在物理或者建筑中看到垂直的例子，比如一根电线杆就得跟地面垂直。
可问题来了，怎么判断呢？难道拿着直尺、量角器去测量？那也太麻烦了吧！所以，我们用一种简单的方式——通过法向量来判断。
你可能会问，法向量是什么鬼？别担心，这个名字听起来很高大上，但其实不复杂。
平面上总是有一条“方向线”，我们叫它法向量。
它的特点就是，它是垂直于这个平面的，站在这个平面上的任何直线都会和它形成一定的角度，除非这条直线与法向量平行，或者刚好垂直。
现在，假设我们有一个平面和一条直线。
我们只要找出平面上的法向量，再看看直线的方向向量是否与法向量垂直。
如果两者的点积为零，那就说明这条直线和这个平面是垂直的，换句话说，这个直线“顶”到了这个平面，正好垂直。
这种方法其实很简洁。
为了让大家更容易理解，我们可以举个例子。
比如，平面给定的方程是 ( ax + by + cz = d )，这个平面的法向量就是 ( (a, b, c) )，假设直线的方向向量是 ( (l, m, n) )。
要判断直线是否和这个平面垂直，只需要看法向量和方向向量的点积是不是零。
也就是说，计算 ( a cdot l + b cdot m + c cdot n )，如果结果是零，那直线就和这个平面垂直。
直线和平面垂直的判定
直线和平面垂直的判定
例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面。
a ， a // b 。 已知： b 。 求证：
证明：设 m 是 内的任意一条直线。
a a m m b m b a // b m
直线和平面垂直的判定
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l 。 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面。 它们惟一的公共点即交点叫做垂足。
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
问题
（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此 直线是否和平面垂直？ （2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此 直线是否和平面垂直？
直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面．
l m， l n． 已知： m ， mn B， n ，
求证： l ．
有以下几种情况：
O 的直径， C 是⊙ O AB 是⊙ 练习1:已知PA 平面ABC ， 上的任一点，求证： PC BC ．
PA 于A ， PB 于B ， AQ l 练习2: 已知 l， 于点Q ，求证： BQ l ．
直线垂直于平面的判定定理
直线垂直于平面的判定定理直线垂直于平面的判定定理一、引言在几何学中，直线和平面是最基本的概念之一。
我们通常需要判断一个直线是否垂直于一个平面。
因此，本文将介绍如何判定一条直线是否垂直于一个平面。
二、定义在三维空间中，我们定义：- 直线：由两个不同的点所确定的一条无限长的线段。
- 平面：由三个不共线的点所确定的一个无限大的平面。
三、判定条件为了判断一条直线是否垂直于一个平面，我们需要以下两个条件：- 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零。
- 直线与该平面法向量相互垂直。
下面我们将详细解释这两个条件。
3.1 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零假设有一个平面P，其法向量为n=(a,b,c)，其中a、b、c均为实数。
另外，假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。
首先，我们需要计算出从A到P上任意一点M(x,y,z)的向量v=(x-x1,y-y1,z-z1)。
然后，我们需要计算出该向量与平面法向量n的内积，即：v·n = (x-x1)*a + (y-y1)*b + (z-z1)*c如果该内积为零，则直线L垂直于平面P。
为什么这个条件成立呢？因为对于一个平面P，其法向量n垂直于该平面上的所有向量。
因此，如果一条直线L垂直于该平面P，那么它上面任意一点到该平面上任意一点的向量都应该与法向量n相互垂直。
而两个向量相互垂直时，它们的内积为零。
3.2 直线与该平面法向量相互垂直假设有一个平面P，其法向量为n=(a,b,c)，其中a、b、c均为实数。
另外，假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。
我们可以用两种方法来判断这条直线是否与该平面法向量相互垂直：- 方法一：计算出从A到B的向量u=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，然后计算出u与n的内积，即：u·n = (x2-x1)*a + (y2-y1)*b + (z2-z1)*c如果该内积为零，则直线L垂直于平面P。
直线平面垂直的判定及其性质
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 。
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直 线与这个平面垂直。
如果一个平面内的一条直线垂直于这个平面外的一条直线， 则这个平面与这条直线垂直。
直线与平面垂直的充分必要条件
光学
直线与平面垂直的性质在光学中也有应用，例如光线从 一个介质射向另一个介质时会发生折射，而光线的折射 方向通常与光线所在的平面垂直。
05
直线与平面垂直的习题与解析
例题一：直线与平面垂直的判定
总结词
直线与平面垂直的判定定理是，如果一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个 平面。
利用判定定理证明
总结词
利用直线与平面垂直的判定定理证明。
详细描述
根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条 直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这 条直线与这个平面垂直。因此，要证明直线 与平面垂直，我们可以将直线与平面内两条 相交的直线垂直作为已知条件，然后利用判
定定理进行证明。利用性质来自明要点一关系。
垂直平分线
利用直线与平面垂直的性质，我们 可以找到一个图形的垂直平分线， 从而将图形分为两个相等的部分。
等腰三角形
在几何作图中，直线与平面垂直的 性质可以帮助我们证明一个三角形 是等腰三角形，以及找到它的腰和 底边。
在立体几何中的应用
空间直线与平面
在立体几何中，直线与平面垂直 的性质可以帮助我们确定空间直
线和平面之间的关系。
体积计算
通过利用直线与平面垂直的性质 ，我们可以计算某些立体图形的
体积。
投影问题
在立体几何中，直线与平面垂直 的性质可以帮助我们解决投影问 题，例如一个平面投影到一个直
直线与平面的垂直关系与判定
直线与平面的垂直关系与判定直线与平面的垂直关系一直是几何学中的重要概念。
在几何学中，垂直被定义为与直角（90度）相交或成直角的关系。
本文将探讨直线与平面垂直关系的性质，并介绍几种判定直线与平面垂直的方法。
一、直线与平面的垂直性质1. 定理1：如果一条直线与一个平面垂直，则与这条直线在同一平面内的另外一条直线也与这个平面垂直。
证明：首先，设一条直线L与一个平面P垂直。
在平面P内，我们可以找到另外一条直线M与直线L垂直。
如果我们在直线M上选取一点N，并以N为中心作一个圆，圆上的任意点都在平面P内。
因此，直线M上任意一点到平面P的距离都是相等的，即直线M与平面P垂直。
2. 定理2：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
证明：设一条直线L与平面P内的两条相交直线AB和CD垂直。
构造两个平面，一个是由直线L和线段AB所确定的平面，另一个是由直线L和线段CD所确定的平面。
这两个平面的交线就是直线L，因此，直线L与平面P的夹角为90度，即直线L与平面P垂直。
二、判定直线与平面垂直的方法1. 方法1：通过判定直线的方向向量与平面的法向量是否相互垂直来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线的方向向量与平面的法向量相互垂直，即两个向量的点积为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：2x + 4y + 6z = 10。
直线L的方向向量为(1, 2, 3)，平面P的法向量为(2, 4, 6)。
计算两个向量的点积(1*2 + 2*4 + 3*6)，得到的结果是20，不为0，所以直线L与平面P不垂直。
2. 方法2：通过判定直线上的一点到平面的距离是否为0来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线上的一点到平面的距离为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：x - 2y + z = 4。
直线与平面垂直判定定理证明
直线与平面垂直判定定理证明直线与平面垂直判定定理是几何学中的一个重要定理，用来判断一条直线是否与一个平面垂直。
在几何学中，垂直是指两个物体或图形之间的角度为90度。
直线与平面垂直判定定理可以帮助我们解决很多与垂直有关的问题，如求解两个平面的交线、判断两个平面是否平行等。
我们来了解一下直线与平面的基本概念。
直线是由无数个点组成的，它在空间中没有宽度和厚度，可以看作是无限延伸的。
平面是由无数个点组成的，它在空间中有长度和宽度，但没有厚度，可以看作是无限大的。
直线与平面垂直判定定理的表述如下：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则该直线与该平面垂直。
为了证明这个定理，我们需要从几何学的基本定理出发，逐步推导出直线与平面垂直的条件。
我们先假设一条直线L与一个平面P相交于点A。
我们再在平面P 上任取两条不相交的直线BC和DE，并分别过点A作BC和DE的垂线，分别交于点F和G。
根据几何学的基本定理，如果两条直线互相垂直，则它们的斜率之积为-1。
我们可以计算直线L与直线BC和DE的斜率，分别为k1和k2。
由于直线L与平面P相交，所以直线L与平面P上的所有直线都垂直。
因此，直线L与直线BC和DE垂直，根据斜率之积为-1的条件，我们可以得出以下结论：k1 * k2 = -1接下来，我们需要证明直线L与平面P上的所有直线都垂直。
我们可以通过反证法来证明。
假设存在一条直线LM在平面P上，与直线BC不垂直。
根据几何学的基本定理，如果两条直线不垂直，则它们的斜率之积不为-1。
假设直线LM的斜率为k3，则有：k1 * k3 ≠ -1由于直线L与平面P上的所有直线都垂直，所以直线L与直线LM也应该垂直。
这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即直线L与平面P上的所有直线都垂直。
我们可以得出直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则该直线与该平面垂直。
通过直线与平面垂直判定定理，我们可以解决很多与垂直有关的问题。
2024版直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定contents•直线与平面垂直定义及性质•直线与平面垂直判定方法目录•直线与平面垂直判定实例分析•直线与平面垂直判定在生活中的应用•直线与平面垂直判定总结与展望直线与平面垂直定义及性质01直线与平面垂直当一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直时，称这条直线与此平面垂直。
垂线与垂足这条与平面垂直的直线称为平面的垂线，垂线与平面的交点称为垂足。
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
唯一性相互性传递性如果一条直线垂直于一个平面，那么该平面也垂直于这条直线。
如果两条直线都与第三个平面垂直，那么这两条直线相互平行。
03020103利用向量的数量积判断如果直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，那么这条直线与此平面垂直。
01直线与平面内两条相交直线垂直如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。
02直线与平面内无数条直线垂直如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，且这些直线不都在同一条直线上，那么这条直线与此平面垂直。
判定条件直线与平面垂直判定方法02利用定义法01直线与平面内任意一条直线都垂直。
02直线与平面内两条相交直线都垂直。
利用三垂线定理在平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
利用向量法直线的方向向量与平面的法向量平行。
直线上任取一点，则该点与平面上任一点连线的向量与平面的法向量数量积为零。
直线与平面垂直判定实例分析03在平面内选择两条相交直线；第一步分别验证待判定的直线与这两条相交直线是否垂直；第二步如果待判定的直线与这两条相交直线都垂直，则根据定义，该直线与平面垂直。
第三步实例一：利用定义法判定实例二：利用三垂线定理判定第二步第一步过该平行线的垂足作平面的垂线；在平面内找到或构造一条与待判定直线平行的直线；第三步如果这条垂线与待判定直线重合，则根据三垂线定理，待判定直线与平面垂直。
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言
摘要：
1.直线与平面垂直的判定定理
2.符号语言的理解与应用
3.实际问题中的应用与举例
正文：
一、直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理是指：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
这个定理是空间几何中非常重要的判定定理，可以帮助我们快速判断直线与平面的垂直关系。
二、符号语言的理解与应用
在直线与平面垂直的判定定理中，符号语言如下：
a、b：表示直线
abp：表示平面
la、lb：表示直线与平面内的两条相交直线
l：表示要判断的直线
通过这些符号，我们可以简洁地表达直线与平面垂直的判定定理，便于理解和交流。
三、实际问题中的应用与举例
直线与平面垂直的判定定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑、机械等领域，我们需要判断一条直线（如螺纹轴）与一个平面（如轴承）
是否垂直，以确保设备的正常运行。
利用这个定理，我们可以快速判断两者之间的垂直关系。
又如，在解决几何问题时，已知一个直角三角形的直角边与斜边垂直，我们可以通过这个定理判断其他边与斜边的垂直关系，从而简化问题。
总之，直线与平面垂直的判定定理在实际问题中具有很高的实用价值。
通过掌握这个定理，我们可以更好地解决各类问题，提升几何知识的应用能力。
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言
摘要：
1.直线与平面垂直的判定定理简介
2.符号语言的解释
3.判定定理的应用实例
4.总结与启示
正文：
【提纲】
1.直线与平面垂直的判定定理简介
在几何学中，直线与平面的关系是一个核心研究领域。
垂直性是其中一种重要的关系，而判定定理则是帮助我们判断直线与平面是否垂直的依据。
这个判定定理可以用如下符号语言来表示：
设直线L和平面α，若存在直线L"α，使得L"与L平行，则称直线L与平面α垂直。
记作：L⊥α。
【提纲】
2.符号语言的解释
在这个符号语言中，“⊥”表示垂直，“”表示包含关系，“∥”表示平行。
这个判定定理告诉我们，如果存在一条直线L"在平面α内，且与直线L平行，那么我们可以判断直线L与平面α是垂直的。
【提纲】
3.判定定理的应用实例
举个例子，假设有一根直线L位于平面α上，我们需要判断L与α的关系。
如果我们在α内找到一条直线L"，使得L"与L平行，那么我们可以确定L 与α是垂直的。
反之，如果无论我们如何选择L"，都无法使L"与L平行，那么我们可以推断出L与α不是垂直的。
【提纲】
4.总结与启示
直线与平面垂直的判定定理为我们提供了一种有效的方法来判断直线与平面的垂直关系。
通过运用符号语言和寻找平面内与直线平行的直线L"，我们可以快速地确定直线与平面的垂直性。
这个判定定理在几何学和相关领域具有广泛的应用，是几何学基础中的重要知识。
直线与平面垂直判定定理证明
直线与平面垂直判定定理证明以直线与平面垂直判定定理为题，我将通过详细的论述和解释来证明这个定理。
直线与平面垂直判定定理是在几何学中非常重要的一个定理，它用来判断直线与平面之间的关系。
在证明这个定理之前，我们需要先了解一些基本概念和定义。
我们知道直线是由无数个点组成的，在平面上呈现出一维的形态。
而平面则是由无数个点和直线组成的，在空间中呈现出二维的形态。
直线和平面都是几何学中的基本要素，它们有着密切的联系和相互作用。
定理的内容是：如果一条直线与一个平面的两个不同点A和B相交，并且这条直线与平面的法线垂直，那么这条直线与平面垂直。
我们来证明这个定理的充分性。
假设直线l与平面P的两个不同点A和B相交，且直线l与平面P的法线垂直。
我们可以通过反证法来证明直线l与平面P垂直。
假设直线l与平面P不垂直，即存在平面P上的一条辅助线l'与直线l相交于一点C，且直线l'与平面P垂直。
那么根据平面几何的基本原理，直线l'与直线l在平面P上的投影线段AC、BC与直线l 在平面P上的投影线段A'C'、B'C'相等。
因为直线l与平面P的法线垂直，所以直线l在平面P上的投影线段A'C'、B'C'也与直线l'垂直。
根据几何学中的一条基本定理：如果两条直线在一个平面上的投影线段相等，并且两条直线中的一条与该平面垂直，那么另一条直线也与该平面垂直。
根据这个定理，我们可以得出结论：直线l也与平面P垂直。
这与我们的假设矛盾，所以我们可以得出结论：如果直线l与平面P的法线垂直，那么直线l与平面P垂直。
接下来，我们来证明这个定理的必要性。
假设直线l与平面P垂直，我们需要证明直线l与平面P的法线垂直。
由于直线l与平面P垂直，所以直线l在平面P上的投影线段与直线l在平面P内的垂直线段相等。
假设直线l的两个不同点A和B 分别在平面P上，那么直线l在平面P上的投影线段AB与直线l在平面P内的垂直线段AC相等。
直线与平面垂直的判定(一)
直线与平面垂直的判定（一）简介在三维空间中，直线和平面是常见的几何元素。
判断直线与平面是否垂直是几何学中的基础问题之一。
本文将介绍一种常用的方法来判定直线与平面是否垂直。
定义首先，我们来回顾一下直线和平面的定义：•直线：直线是由无数个点组成的，它们在同一条直线上，且没有起始点和终止点的限定。
直线可以用一个点和一个方向来确定。
•平面：平面是由无数个点组成的，它们在同一个平面上。
平面可以用一个点和两个不共线的方向来确定。
判定方法那么如何判断直线与平面是否垂直呢？下面是一种常用的判定方法：1.首先，我们需要知道平面的法向量。
平面的法向量是垂直于平面的一个向量，可以通过平面的法向量公式求得。
2.接下来，我们需要求出直线的方向向量。
直线的方向向量可以通过直线上两个点的坐标差求得。
3.然后，我们计算法向量和方向向量的点积。
点积为0时，表示两个向量垂直。
4.最后，根据计算结果来判断直线和平面是否垂直。
若点积为0，则直线和平面垂直；否则，它们不垂直。
具体步骤下面是具体的步骤，来帮助我们判断直线与平面是否垂直：1.假设平面的法向量为$$\\boldsymbol{n}=(a, b, c)$$2.，直线的方向向量为$$\\boldsymbol{d}=(x_1, y_1, z_1)$$3.。
4.计算法向量和方向向量的点积。
点积的计算公式为$$\\boldsymbol{n} \\cdot \\boldsymbol{d} = ax_1 + by_1 + cz_1$$5.。
6.判断点积是否为0。
若$$\\boldsymbol{n} \\cdot \\boldsymbol{d} = 0$$7.，则直线和平面垂直；否则，它们不垂直。
示例我们来看一个简单的示例，来演示如何使用上述方法判断直线与平面是否垂直。
假设有一条直线L和一个平面P，它们的方程分别为：直线L：$$\\boldsymbol{r} = \\boldsymbol{a} + t\\boldsymbol{d}$$，其中$$\\boldsymbol{a}=(1, 2, 3)$$，$$\\boldsymbol{d}=(2, -1, 1)$$。
检验直线与平面垂直的方法
检验直线与平面垂直的方法一、引言在三维空间中，直线与平面的关系是非常重要的一个问题。
有时候我们需要判断一个直线是否与平面垂直，这时候就需要用到一些方法来进行检验。
本文将介绍几种常见的检验直线与平面垂直的方法。
二、法向量法法向量法是最基本也是最常用的方法之一。
它的基本思想是：如果一个向量与平面上任意一条向量的内积为0，则这个向量垂直于这个平面。
因此，我们可以通过计算直线方向向量和平面法向量之间的内积来判断它们是否垂直。
具体步骤如下：1.求出直线方向向量和平面法向量；2.计算它们之间的内积；3.如果内积为0，则说明这个直线与平面垂直。
三、点法式点法式也是一种常用的方法。
它基于以下原理：如果一个点在平面上，那么从这个点到平面上任意一点所形成的向量都垂直于该平面。
因此，我们可以通过取一个在该直线上的点，并计算从该点到该平面上任意一点所形成的向量与该平面法向量之间的内积来判断它们是否垂直。
具体步骤如下：1.取一个在该直线上的点；2.计算从该点到平面上任意一点所形成的向量；3.计算该向量与平面法向量之间的内积；4.如果内积为0，则说明这个直线与平面垂直。
四、交点法交点法是一种比较容易理解的方法。
它基于以下原理：如果一个直线和一个平面垂直，那么它们的交点一定在该平面上。
因此，我们可以通过计算该直线与该平面的交点，并判断该交点是否在该平面上来判断它们是否垂直。
具体步骤如下：1.求出直线方向向量和平面法向量；2.计算它们之间的内积，如果内积为0，则说明这个直线与平面垂直；3.求出该直线与该平面的交点；4.判断该交点是否在该平面上，如果在，则说明这个直线与平面垂直。
五、总结以上介绍了三种常见的检验直线与平面垂直的方法：法向量法、点法式和交点法。
每种方法都有其优缺点，应根据具体情况选择合适的方法进行检验。
同时，在实际应用中，还需要注意数值误差等问题，以保证检验结果的准确性。
13直线与平面垂直的判定
l
lm
ln
m,n
l
m n B
m
n
l
A
m
g
n
Hale Waihona Puke BCDE
A'
『说明』
1. 证明直线l 平面的关键: 在内的两条相交
直 线 与l垂 直;
2.
l 平面 a
l
a
: 线线垂直又可通过线面
垂 直 获 证.
【练习】 1. 下列命题是真命题的是( ) A. 若两条直线都与第三条直线垂直,则它们平行. B. 若两条直线都与同一平面平行,则它们平行. C. 若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,
例1. 已知PA 圆O所在的平面，AB是圆O的直径， C是圆O上的任意一点，过A作AE PC于E 求证：AE 平面PBC
P
E
A
O
B
C
例2. 已知四面体A BCD中, AB CD, AD BC 求证 : AC BD
A
D B
O
C
例3. 空间四边形ABCD中，BC AC, AD BD， 作BE CD，E为垂足，作AH BE，H为垂足. 求证：AH 平面BCD
则这条直线与这个平面垂直. D. 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则
另一条也垂直于这个平面.
2. 若直线a∥平面 ,直线b ,则a与b不可能( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
3. 若两直线a, b异面,则过a且与b垂直的平面( )
A. 有且只有一个 B. 可能存在也可能不存在
直线与平面垂直的判定
定义 : 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个
平面内的任意一条直线垂直. 我们就说这条
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回顾复习：
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l
P
直线 l 的垂面
探究：
请同学们桌面上的三角形纸片做一个实验。过 ABC的一个顶点A翻 折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC 与桌面接触）。 A
问： 折痕AD与桌面垂直吗？ B D C
如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
直线与平面垂直判定定理1：
一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直． l
a l b a b A
la l b
b
A
a
线不在多，相交就灵
作用： 判定直线与平面垂直．
（T ） （F ） （T ）
例1.
已知：a // b, a 求证:
b
a
b
例2： 如图，点P 是平行四 边形ABCD 所在平面外一点， O 是对角线AC与BD的交点， 且PA =PC PB =PD .求证： PO⊥平面ABCD
A
P
D O C
B
课堂练习：
1. 判断题：
(1)l l与 相交； (2)m , n , l m , l n l ; (3)l m , m n, l n .