约束条件下多变量非线性函数的区间算法

一种求解约束条件下多变量非线性函数所有全局最优解的区间算法*李爽，许才军， 王新洲（武汉大学 测绘学院，湖北，武汉，430079）摘 要：研究和实践中经常会遇到附有约束条件的非线性优化问题，对这类问题，通常采用随机搜索的方法来解决，但是，随机搜索法不能证明所得到的解就是全局最优解。

本文给出了一种求解约束条件下非线性优化问题所有全局最优点和最优值的区间算法，认为该算法非常宜于解决优化问题，它能求出问题的所有全局最优解，给出解的包含区间，并很容易获得解的逼近误差，这是随即搜索等其它方法做不到的。

理论分析和数值结果均表明，区间算法是稳定而可靠的。

关键字：区间算法；全局约束最优；非线性函数0 概述研究和实践中经常遇到某些问题的模型参数，由于要考虑到很多具体设计或参数的物理意义等方面的要求，会受到某种约束或限制的情况。

比如在地球物理反演当中，断层的长度和宽度不能为负值，甚至约束可能是非线性的，这就使问题成为附有约束条件的非线性优化问题。

对这种问题的求解，目前用的较多的是遗传算法和模拟退火算法，但这两种方法由于采用随机搜索，不能保证每次运算都能得到全局最优解，对这种随机搜索的改进也只是提高了运算获得全局最优解的概率，不能达到准确无误的效果。

本文提出一种求解该问题的扩展的区间算法，采用穷尽搜索原则，能够同时求出目标函数的所有全局最优解，解决了其他方法难以做到的问题。

在区间运算中约定，I 是实数R 上所有闭区间R b a b a ∈,],[，的集合，m I 是I 上的m 维区间矢量，m I X ∈是优化问题的定义域，那么优化问题的一般表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===≤∈rk j x h k i x g x f ji X x ,,10)(,,10)()(min定义1 函数→m R f :R ，设m I X ∈在f 的定义域内，若对任意X x ∈，都有)(}:)({X F X x x f ⊆∈则称I I F m →:为函数f 的包含函数[1]。

定义 2 如果I A ∈，],[b a A =，则A 的中点为2/)()(b a A m i d +=，宽度为a b A w -=)(；如果m I A ∈，T 1),,(m A A A =，I A i ∈，则A 的中点为T1))(,),(()(m A mid A mid A mid =，宽度为))((max )(1i mi A w A w ==。

定义3 如果I A ∈，],[b a A =，则定义)sup(A 表示区间A 的上界，定义inf (A)表示区间A 的下界，即sup (A)=b ，inf (A)=a 。

其它相关的定义可参见文献[2]。

1 算法设初始域为X ，H G F ,,分别是h g f ,,的包含函数，L 是以),,(R y Y 为元素的区间列，其中Y 是分割得到的子域、y 是子域上目标函数的极小值，),,,(21r R R R R =是子域的标志矢量，R 的分量取值0或1，若0=i R ，表明到目前为止，对任意Y x ∈，还不能判断是否满足0)(≤x g i 或0)(=x h i ，称Y 是未定的；若1=i R ，则表示，对任意Y x ∈，都满足0)(≤x g i 和0)(=x h i 。

f ~表示到目前为止f 在可行点的最小值。

把多维区间向量称为盒子（box ）。

* 本文得到国家自然科学基金项目（编号：49904001）以及高等学校骨干教师资助计划资助(2123) 李爽（1971- ），女，博士生。

现主要从事大地测量地球物理反演和优化理论的研究，email ：geo_lish@1.1 穷尽准则区间算法是使穷尽准则得以实现的主要工具，其它算法迫于无法解决该准则的计算量才转而求助随机搜索。

穷尽准则在区间算法中有两次体现。

体现1 初始化域X 被分割，测试每个子域是否满足等式和不等式约束。

假设Y 是分割产生的一个子域，计算k i Y G i ,,2,1),( =和r k k i Y H i ,,2,1),( ++=，判断Y 是否可行。

若Y 可行，则保留至L 中；不可行，则舍弃。

若不能做出Y 是否可行的判断，则Y 被分割，以至进一步判断Y 的子域是否可行。

把L 中的子域按照y 不递减的次序进行排列，以使得算法总分割第一个未定（无法判断是否可行）的子域，而且，在这个子域上，目标函数具有最小的下界，这利于优先求取全局最小点。

体现2 用),,(R z Z 表示L 中的所有元素，对它们进行中点测试，舍弃L 中满足z f <~的不可能包含最优解的子域。

1.2 计算步骤假设目标函数的参数个数为m ，用x ~表示一个已知的可行点，给定松弛参数01≥ε，如果01=ε，则原约束优化问题被解决，如果01>ε，则表示通过把原问题的等式约束0)(=x h j )(X x ∈用不等式约束],[)(11εε-∈x h j ),,1(X x r k j ∈+= 所代替，解决原问题的松弛问题。

计算步骤为步骤1 设X Y =；步骤2 如果x ~存在，取)~(~x f f =，否则∞=f ~；步骤3 设)0,,0(),,(1 ==r R R R ，)(inf Y F y =；步骤4 初始化区间列)),,((R y Y L =；步骤 5 在方向},,1),()(:{m i Y w Y w i v i ==∈分割Y ，得到21V V 、，并使21V V Y =，然后从L 中删除),,(R y Y 的纪录，但保留R 作为21V V 、的标志；步骤6 对2,1=j1）设R R R R jr jj==),,(1 ； 2）计算)(inf j j V F v =； 3）如果j v f <~，转至⑺；4）对于k i ,,1 =，如果0=i R ，计算)(j i V G 。

若0)(>j i V G ，转至⑺；若0)(1≤V G i ，则1=j i R ；5）对于r k k i ,,2,1 ++=，如果0=i R ，计算)(j i V H 。

若)(0j i V H ∉，转至⑺；若],[)(11εε-⊆j i V H ，则1=j i R ；6）若)1,,1( =jR ，则)(j j V mid c =，))(,~min(~j c f f f =，并对j V 进行单调性测试，若测试后未被删除，则把),,(jj j R v V 按第二个元素不递减的顺序存入L ；7）结束j 循环。

步骤7 若L 为空，则步骤13，终止计算，表明初始域内没有可行点； 步骤8 指定L 的第一个元素为)~,~,~(R y Y ；步骤9 中点测试：删除L 中满足z f <~的所有元素； 步骤10 把L 的第一个元素指定为),,(R y Y ；步骤11 如果终止条件成立，转至步骤12，否则，转至步骤5； 步骤12 终止时对L 中的l Z Z ,,1 ，有两种可能：1）如果没有标志矢量)1,,1( =R ，则表明，或者不能判定可行域是否为空，或者如果已知可行域D 不为空，能够得出i l i Z D X 1*=⊆⊆ ，*~f y ≤；2）如果存在标志矢量)1,,1( =R ，则能够得出0/≠D ，i l i Z X 1*=⊆ ，f f y ~*~≤≤；步骤13 计算结束。

1.3 收敛条件设n L 是上述算法第n 次迭代时的区间列，n l 是其长度，即元素个数，n nl n Z Z ,,1 是nL 中的所有区间，ni li n Z U n 1== ，在n L 中，y ~的值被表示为n y ~，f ~的值被表示为n f 。

对任何)(X I Y ∈，对于h g f ,,的包含H G F ,,，假设当0)(→Y w 时，0))((→Y F w ，0))((→Y G w ，0))((→Y H w （1） 成立，即h g f ,,都是连续函数。

还假设，在可行域D 的内部存在一个点列n x ，满足当∞→n 时有**X x x n ∈→ （2）引理1 设∞=1)(n n Y 是算法产生的区间序列，)(n n Y w w =，那么当∞→n 时，0→n w 。

证明：假设初始区间是X ，其边长数是m ，w 是所有边长中的最大值，则满足w Y w w ≤<)(2/的所有区间Y 的数量可由数列,11=N 121+=-m m mN N 算出，即至多有m N 个。

满足2/)(4/w Y w w ≤<的区间Y 的数量至多m N m !)!2(个，也就是有限个，由于∞=1)2/(k k w 是零序列，所以，对任意的0>ε，只有有限个盒子的宽度大于等于ε。

因此，可以得出，任给一0>ε，存在0n ，使得对任意0n n ≥，总有ε<)(n Y w 。

下面用反证法，假设对0>ε，存在0n ，使得对任意0n n ≥，ε≥)(n Y w ，这说明存在∞=1)(n n Y 的一个子列∞=0)(v k v Y ，并且对 ,1,0=v ，有ε≥)(v k Y w 。

这与前面只有有限个盒子的宽度大于等于ε相矛盾。

所以引理得证，当∞→n 时，0→n w 。

引理2：设X 为上述算法的初始区间，松弛参数01=ε，（1）、（2）两式成立，则)(n U 是嵌套序列，并且n n U D ∞==1 ，即D U n →；当∞→n ，*~f y n ≤，*~f y n →，n f ↘*f 。

证明：从算法本身可直接得出)(n U 是嵌套序列，D U n ⊇，*~f y n ≤，n f f ≤*和n n f f ≤+1。

顾及对于n l i ,,1 =，)()(ni n Z w Y w ≥和引理1，能够得出当∞→n ，0)(→ni Z w （3）首先证明*~f y n →。

对所有n l i ,,1 =，有ni n n z Y F y ≤=))~(inf(~成立。

根据（3），当∞→n 时，有0)~(→n Y w ，再根据（1），有0))~((→n Y F w 。

由于)~(*n Y F f ∈，所以*~f y n →。

用假设法证明)~(*n Y F f ∈，假设)~(*n Y F f ∉，根据*~f y n ≤，则有*~0f f y n <→，由此得出0)~(f Y F n →和*))~(sup(f Y F n <，即对足够大的n ，n Y ~将不是可行域，应该已经被算法在中间的处理中舍弃掉。

所以前面假设不成立，*~f y n→得证。

下面证明n f ↘*f 。

由n f f ≤*和n n f f ≤+1足够得出*f f n →。

设)(n x 是满足（2）的点列，∞=1)(n k n f 是∞=1)(n n f 的子列，给定n x ，根据上述算法有)(n k x f f n ≤，由于*x x n →和（1），所以*)(f x f n →，)(*n k x f f f n ≤≤，顾及n n f f ≤+1，得到n f ↘*f 。