第三章 多维随机变量及其分布(第1 -- 5节)

ij xi ≤ x i
∞
( i = 1,2,) ( j = 1,2,)
同理 P {Y = y j } = ∑ pij
i =1
P { X = xi } = ∑ pij P {Y = y j } = ∑ pij
i =1 j =1 ∞
∞
( i = 1,2,) ( j = 1,2,)
记
pi = ∑ pij = P{ X = xi }
离散型随机变量X和 的联合分布函数 的联合分布函数F(x, y)具有形 离散型随机变量 和Y的联合分布函数 具有形 式： F ( x , y ) = ∑ ∑ pij ,
xi ≤ x y j ≤ y
其中和式是对一切满足 xi ≤ x , y j ≤ y 的 i , j 求和. 与一维连续型随机变量类似， 与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量 的分布函数 F(x, y), 如果存在非负的函数 f (x, y), 使 得对任意的实数x, ， 得对任意的实数 y，有
∞ ∞ ∞
=A = A∫
∫ f ( x , y ) dxdy ∫∫ ( R x + y
2
R
∞
2
) dxdy
x 2 + y2 ≤ R2
2π 0
dθ ∫ ( R r ) rdr = A 0
π R3
3
,
3 . ∴ A= 3 πR
例2：设连续型二维随机变量 ：设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为 的概率密度为 2 2 2 A( R x 2 + y 2 ) x +y ≤R f ( x, y) = 0 x 2 + y 2 > R2 求 (1) 常数 A; ( 2) 概率 P {0 ≤ Y ≤ X }. 解： ( 2) 概率 P {0 ≤ Y ≤ X }
F ( x, y) = ∫
y
∞
∫
x
∞
f ( u, v )dudv ,
连续型二维随机变量， 则称 (X, Y) 是连续型二维随机变量，而 f (x, y) 称为 二维随机变量( 的概率密度或随机变量X 二维随机变量(X, Y) 的概率密度或随机变量X和Y的 联合概率密度。 联合概率密度。
联合概率密度 f (x, y)具有以下的性质： 具有以下的性质： (1) f ( x , y ) ≥ 0,
( 2) ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
f ( x , y ) dxdy = F (∞ , ∞ ) = 1,
( 3) 若 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 连续， 连续， 则
2F ( x, y) = f ( x , y ), x y
(4) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域，则点 (X, Y) 落 平面上的一个区域， 在G 内的概率
y → ∞
x → ∞
F ( ∞ , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0,
x → ∞ y → ∞
F (∞ ,∞ ) = lim F ( x , y ) = 1.
x →∞ y →∞
(3) F(x, y) 关于 右连续，关于 也右连续， 关于x 右连续，关于y 也右连续， 即 F ( x + 0, y ) = F ( x , y ), F ( x , y + 0) = F ( x , y ). 如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有 如二维随机变量 所有可能取的值是有 限对或无限可列对，则称(X,Y)是二维离散型随 限对或无限可列对，则称 是 机变量。 机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 设二维离散型随机变量 所有可能取的 值为 ( xi , y j ) ( i , j = 1,2,) 记 P { X = xi , Y = y j } = pij , ( i , j = 1,2,) 则称上述一系列等式为二维离散型随机变 量(X,Y)的概率分布律， 或随机变量 和Y的联 的概率分布律， 或随机变量X和 的 合概率分布律。 合概率分布律。 显然有： 显然有：pij ≥ 0, ∑ ∑ pij = 1.
y (x2, y2)
(x1, y1) x
分布函数 F(x, y) 具有以下的基本性质： 具有以下的基本性质： (1) F(x, y) 是变量 x, y 的单调不减函数， 的单调不减函数， 即对于任意固定的 y, 当 x2>x1 时, 有 F ( x2 , y ) ≥ F ( x1 , y ), 对于任意固定的 x, 当 y2>y1 时, 有 F ( x, y2 ) ≥ F ( x, y1 ); (2) 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1, 且 对于任意固定的 y，有 F ( ∞ , y ) = lim F ( x , y ) = 0, ， 对于任意固定的 x，有 F ( x , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0, ，
它们分别被称为二维连续型随机变量(X, Y)关 它们分别被称为二维连续型随机变量 关 于X和Y的边缘概率密度函数。 和 的边缘概率密度函数。
的概率分布如下： 例1：设二维离散型随机变量 ：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下： 的概率分布如下 和关于Y 的边缘分布律。 求关于 X 和关于 的边缘分布律。
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
在有些随机现象中， 在有些随机现象中，每次试验的结果不能只 用一个随机变量来描述， 用一个随机变量来描述，而要同时用几个随机变 量来描述。如对于钢的成分的研究， 量来描述。如对于钢的成分的研究，需要同时指 出它的含碳量、含硫量、含磷量等等， 出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研究它 们之间的联系， 们之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量 即多维随机变量）及其取值规律---多维分布 多维分布。 （即多维随机变量）及其取值规律 多维分布。 本章着重介绍二维的情况， 本章着重介绍二维的情况，至于二维以上的 情况可由二维类似推得。 情况可由二维类似推得。
j=1
∞
(i = 1,2, )
p j = ∑ pij = P{Y = yj }
i =1
∞
( j = 1,2, )
分别称上述两式为二维离散型随机变量 (X, Y)关于 和Y的边缘分布律。 关于X和 的边缘分布律。 关于
对于二维连续型随机变量(X, Y)，设其概率密度为 对于二维连续型随机变量 ， f (x, y)。 。 x ∞ 由 FX ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∫ [ ∫ f ( x , y ) dy ]dx
P {( X ,Y ) ∈ G } = ∫∫ f ( x , y )dxdy .
G
例2：设连续型二维随机变量 ：设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为 的概率密度为 2 2 2 A( R x 2 + y 2 ) x +y ≤R f ( x, y) = 0 x 2 + y 2 > R2 求 (1) 常数 A; ( 2) 概率 P {0 ≤ Y ≤ X }. 解：1) 1 = ( ∫
定义： 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 y， 是二维随机变量， 是二维随机变量 对于任意实数x, ， 二元函数 F ( x , y ) = P {( X ≤ x ) ∩ (Y ≤ y )} P{ X ≤ x , Y ≤ y } = 称为二维随机变量 二维随机变量( 的分布函数或随机变量X 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和 Y的联合分布函数。 的联合分布函数。
∞ ∞
是一连续型随机变量， 知X是一连续型随机变量，具有概率密度函数为 是一连续型随机变量
f X ( x) = ∫
∞ ∞
f ( x , y ) dy .
同理, 也是一连续型随机变量 也是一连续型随机变量, 同理 Y也是一连续型随机变量 其概率密度函数为
fY ( y ) = ∫
∞ ∞
f ( x , y ) dx .
i j
随机变量X和 的联合概率分布律也可用表格表示 随机变量 和Y的联合概率分布律也可用表格表示
X Y
x1 p11 p12
p1 j
x2 p21 p22
p2 j
xi xi 1 xi 2
y1 y2
yj
xij
例1：设随机变量 在1,2,3,4四个整数中等可能地取 ：设随机变量X在 四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在 一个值，另一个随机变量 在1 ~ X中等可能地取一 中等可能地取一 整数值。试求(X, Y)的分布律。 的分布律。 整数值。试求 的分布律 的所有可能的取值为： 的所有可能的取值为 解：(X, Y)的所有可能的取值为： X 等可能地取 等可能地取1,2,3,4中的一个，Y 等可能地取 中的一个， 等可能地取1 中的一个 之间的整数值。 到 X 之间的整数值。 且 P { X = i ,Y = j } = P {Y = j | X = i } P { X = i } 1 1 1 i = 1,2,3,4, j ≤ i . = = , i 4 4i 对应的概率分布表可参见教材第77页 对应的概率分布表可参见教材第 页。
一般地， 是一个随机试验， 一般地，设E是一个随机试验，它的样本 是一个随机试验 空间是S，再设X和 是定义在 是定义在S上两个随机变 空间是 ，再设 和Y是定义在 上两个随机变 由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二 叫做二 量。 由它们构成的一个二维向量 叫做 维随机向量或二维随机变量。 维随机向量或二维随机变量。 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与 及Y有 的性质不仅与X及 有 二维随机变量 的性质不仅与 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 因此， 逐个地研究X和 的性质是不够的 的性质是不够的， 因此， 逐个地研究 和Y的性质是不够的， 还 需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。 需将 作为一个整体来进行研究。 作为一个整体来进行研究 和一维的情况类似， 和一维的情况类似，我们也是借助于 “分 布函数” 来研究二维随机变量。 布函数” 来研究二维随机变量。