线性规划的对偶问题

6 x1 1 2 x 8 0 1 2 3 x 1 0 max z=CX x 2 s.t. AX ≤b X≥0
y1 2 y2 y3 4 y , y , y 0 1 2 3 yj 表示对第 j 种资源的估价 y1 min w 6 8 3 y2 y s.t. 3
周长一定面积最大的矩形是正方形 : 面积一定周长最短的矩形是正方形 某企业生产甲、乙两种产品，要用 A、B、C三种不同的原料。每生产 1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为 6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 (P) …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
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二、原问题与对偶问题的对应关系
P
max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6 y 1
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
D
y2 y3
矩阵形式： s.t. 1 1
x1 max z (3 4) x2
其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量。
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(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 x2， x3 x3 x3 ( x3 0, x3 0) 令 x2 分析：化为对称形式。 c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2 a13 x3 a13 x3 b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a23 x3 a23 x3 b2 a21x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b2 a21x1 a22 x2 a ax a ax b2b2 a a ax 21 ax 1x 2x 3x 3x 21 1 22 22 2 23 23 3 23 23 3 a33 a33 x x a31 a32 a33 a33 x3 a31 x1x a32 x2 x3 x3 b3b3 1 2 3 , x3 , x3 0 x1, x2
s.t. 3 y1 y2 把企业所有原料出让的总收入： w 6 y1 8 y2 3 y3
y1 2 y2 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
只能在满足≥所有产品的 利润的条件下,其总收入 尽可能少,才能成交.第4页
一、对偶问题的提出
任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性 规划问题与之对应，反之亦然. 把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题， 这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。 LP1 max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6
原料 产品 甲 乙 供应量 A 1 1 6 B 1 2 8 C 0 1 3
单位利润 （百元） 3 4
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假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将 厂里的现有资源外售。决策者应怎样制定每种资源的收 例1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？ 费标准才合理？
原料 产品 甲 乙 供应量 A 1 1 6 B 1 2 8 C 0 1 3 单位利润 （百元） 3 4
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(一)对称型对偶问题
变量均具有非负约束，且约束条件：当目标函数求极大时 max z=CX min w =bTY 均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“ ≥”号。 s.t. AX ≤b s.t. ATY ≥CT
X≥0
Y≥0 min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1 a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2 (D) …… a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
y1 1 1 0 3 1 2 1 y2 4 y 3 y1 min w =bTY y 0 2 s.t. ATY ≥CT y 3 Y≥0
min w 6 y1 8 y2 3 y3 s.t. y1 y2 3
设 xj 表示第 j 种产品每天的产量
max z = 3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 ≤ 6 x1 + 2x2 ≤ 8 x2 ≤ 3 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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分析问题： 1、出让每种资源的收入不能低于自己生产时的可获利润； 例1、应怎样制定收费标准才合理？ 2、定价不能太高，要使对方能够接受。
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
LP2 min w 6 y1 8 y2 3 y3 s.t. y1 y2 3
y1 2 y2 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原问题（P）
对偶问题（D）
原料 产品 甲 乙 供应量 A 1 1 6 B 1 2 8 C 0 1 3 单位利润 （百元） 3 4
设 yj 表示第 j 种原料的收费单价
把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨 甲产品的利润： y1 y2 3
y18 y y 4 乙产品同理： min w 6 y1 y2 2 23 y3 3
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释——影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
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一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
例如：平面中矩形的面积与周长的关系 例1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？