§9.16分组分解法(1)
分组分解法
思考题： 思考题：分解因式
x − 4 xy + 4 y − 3 x + 6 y
2 2
a(x+y)-x-y =a(x+y)-(x+y) =(x+y)(a-1)
如果是ax+ay-x-y你还会吗?
3、思考： 思考： 你能用前面同样的方法会将多项 ax + ay + bx + by 和 a 2 + 2ab + b 2 − 1 式 分解因式吗？ 分解因式吗？
因式分解－分组分解法 因式分解－ 分组分解法： 分组分解法：利用分组来分解 因式的方法叫做分组分解法。 因式的方法叫做分组分解法。
9.16 分组分解法
１、分解因式
(1)2ac − 6ad
= 2a(c − 3d )
2 2
(2) x − 9 y
2
2
= ( x + 3 y )( x − 3 y )
2
(3)x − 4xy + 4y (4) x + 5 x + 6
= ( x − 2 y)
2
= ( x + 2)( x + 3)
a(x+y)2 、你会将多项式 a(x+y)-x-y 分解因式吗？ 分解因式吗？
例题1 分解因式。 例题 把2ac-6ad+bc-3bd分解因式。 分解因式 解 2ac-6ad+bc-3bd
=2a(c-3d)+b(c-3d)
2ac-6ad+bc-3bd
=2ac+bc-6ad-3bd =c(2a+b)-3d(2a+b) =(2a+b)(c-3d)
=(c-3d)(2a+b)
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
分组分解法
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
七年级数学上册第九章(9.16-9.19 共4个专题)课件沪教版
新知学习
(a+b)(m+n)
整 am+an+bm+bn 因
=a(m+n)+b(m+n)
式 乘
=a(m+n)+b(m+n)
式 分
=am+an+bm+b 法 =(a+b)(m+n)
解
n 定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法
叫分组分解法。
注意：如果把一个多项式的项分组并提 出公因式后，它们的另一个因式正好相 同，那么这个多项式就可以用分组分解 法来分解因式。
得 b2+2ab+a2=c2+2ac+a2 得 b2+2ab-c2-2ac=0
即，（a+b)2=(a+c)2
（b2-c2)+(2ab-2ac)=0
因为a＞0，b＞0，c＞0， (b+c)(b-c)+2a(b-c)=0
所以 a+b＞0，a+c＞0 所以a+b=a+c，得b=c
(b-c)(b+c+2a)=0 因为a＞0，b＞0，c＞0
方法 分 组 分 解 法
分类
分组方法
特点
四项 五项 六项
二项、二项
①按字母分组②按系 数分组③符合公式的 两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平 方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项 二项、二项、二项
三项、二项、一项
各组之间有公因式 可化为二次三项式
典例讲析
例：因式分解：⑴ x2 y2 ax ay
= (x-y)(1-y)(x-1)
上海教育版数学七上9.16分组分解法word教案
9.16 分组分解法一、教学目标 理解分组分解法的意义；进一步理解因式分解的意义；初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。
尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦二、教学重点、难点掌握分组分解法的分组原则；如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法三、教学流程设计四、教学过程（一）复习把下列多项式因式分解 复习引入：由提取公因式法引入分组分解法分解因式让学生学会如何将四项多项式进行分解因式 通过一系列练习巩固学生分组分解法小结本节课所讲内容(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)（二）新课讲解1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。
怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)(三)．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。
解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可以继续提公因式。
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
分组分解法难得的好资料
分组分解法在计算机 科学中用于处理大规 模数据集，通过分组 和分解的方式提高数 据处理效率。
分组分解法在数据库查 询优化中广泛应用，通 过合理分组和分解查询 条件，提高查询速度。
在机器学习中，分组分 解法常用于特征降维和 矩阵分解，降低计算复 杂度并提高模型训练速 度。
分组分解法在数学教育中的应 用
分组分解法在计算机科学中的 应用
分组分解法在物理学中的应用
分组分解法在经济学中的应用
深度学习与分组 分解法的结合
分组分解法在自 然语言处理领域 的应用
分组分解法在图 像处理领域的应 用
分组分解法的理 论完善与创新
更多的应用场景：随着数学和其他学科的发展，分组分解法有望在更多领域得到应用。
理论体系的完善：随着研究的深入，分组分解法的理论体系将进一步完善。 算法优化：未来将不断优化分组分解法的算法，提高其效率和适用性。 与其他方法的结合：分组分解法有望与其他数学方法结合，形成更强大的工具。
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01.
02.
03.
04.
05.
06.
分组分解法是一种数 学方法，通过分组的 方式将多项式进行分 解，将其转化为几个 简单的因式。
分组分解法通常按照一 定的规律将多项式分组， 然后对每组进行因式分 解，最后得到原多项式 的因式分解结果。
分组分解法在数学中 有着广泛的应用，可 以用于解决各种数学 问题，如代数方程、 几何图形等。
对每组进行因式分解 确定分组分解法的分组方式
将各组的因式相乘，得到原 多项式的因式分解形式
整理得到最简结果
实例名称：分组分解法在因式分解中的应用
9.16分组分解法
§9.16 分组分解法（1）学习目标：1、理解分组分解法的概念，进一步理解因式分解的意义；2、在尝试分组的过程中掌握含有四项的多项式的分组分解的方法；3、在探求一题多解的同时培养学生观察、分析、归纳的能力。
学习重难点：把握分组分解法的特征，会用分组分解法进行因式分解。
；注意结果要分解到不能再分解为止。
学习过程： 一、课前预习 1、复习回顾：我们已经学习了因式分解的四种方法，在解因式分解时，应按怎样的考虑顺序进行分解： ①先考虑： 。
②再看 ，（1）若多项式的项数是二项，考虑用 。
（2）若多项式的项数是三项，考虑用 或 。
（3）若多项式的项数是四项或四项以上，考虑用 。
（注意：这格若填不出来，先放一放，学完这节课就一定能填出来）（4）最后千万不要忘记： 。
2、因式分解：(1) 2153xy xy + (2) 416x - (3) 29124x x -+3、课前练习填空：（1）))((_________)(3)(2b a b a a b a +=+++ （2）_))(________()()(b a b a y b a x -=--- （3）_))(________()()(2y x y x y x --=----4、预习课本第52-54页，写下你的疑惑：二、课堂学习思考1：如何将多项式by bx ay ax +++分解因式呢？先观察多项式by ba ay ax +++，它有什么特征，回答：多项式共有几项？ ， 前两项有什么特征？ ，后两项又有什么特征？ ， 把前两项分成一组，提取a 后得： ，把后两项分成一组，提取b 后得： ，然后发现了什么 ？ ，再把 提取后就完成了本题的因式分解。
具体的解题过程你会写吗？by ba ay ax +++总结：什么叫分组分解法： 。
例题1 因式分解：263ac ad bc bd -+-课堂练习1 因式分解：（1）c b ac ab -+- （2）kn mn km k 46962--+思考2：如何将多项式1222-++b ab a 分解因式呢？本题共有几项？ ，你发现前三项是什么？ ，因此把前三项分成一组，分解为： ，然后和后面的1-组成平方差公式，也就完成了本题的因式分解。
9.16分组分解法-
一、填空题
1、分解因式xy-xz+y-z=
2、式3x-6y+ax-2ay=
二、分解因式
3 x2-4y2-x+2y
4、ac-bc-a2+2ab-b2
5、x2-y2+2y-1
能力提升
6、分解因式（x2-3x）2－2(x2－3x)－8
7、分解因式a2-3a+b2-3b+2ab-54
课后反思
ax+ay+bx+by将它们分成两组
=a(x+y)+b(x+y)（两、两分组）
=(x+y)(a+b)
这个多项式还有其它分组的方法吗
？
ax+ay+bx+by
=ax+bx+ay+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
a2+2ab+b2-1将它们分成两组
=(a+b)2-1（一、三分组）
=(a+b+1)(a+b-1)
教学目标
知识与技能
理解分组分解法的意义；掌握用分组分解法分解含有四项的多项式
过程与方法
注意培养学生观察、分析和应用能力以及团队协作的能力
情感、态度
与价值观
尝试中获得合作的成功，感受成功的喜悦
教学策略与手段
教学重点
掌握分组分解法的分组原则
教学难点
如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法
教学策略
（或方法、模式）
=(c-3d)(2a+b)
用一，三；二，四分组的方法，独立完成这道题。
分组分解法
分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
分组分解法1
分组分解法1【教学目标】1、理解分组分解法的概念和意义2、掌握分组分解法中使用“二二”和“一三”分组的不同题型的解题方法。
3、渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。
【教学重点】1、掌握分组的规律和方法2、综合运用提公因式法和公式法进行分解因式。
【教学难点】综合运用各种方法法进行分解因式。
【教学过程】复习引入分解因式：（1）（2）对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公式法和十字相乘法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解，即采用分组分解法。
例1 分解因式（1）a2 m - b2m＋a2n－b2n；（2）3+2-2 - 2（3） 2 - 2+a+a；例2 分解因式（1）42-9 a2 - 4+ 2（2）总结规律：分组分解法通常有“二二”、“三一”两种分法：（1）“二二”分法：各组内可以提公因式或使用平方差公式，组间再分解时往往可以继续提取公因式。
（2）“三一”分法：如果一个多项式中有三项是一个完全平方公式或者通过提取负号是一个完全平方公式，一般采用“三一”分组法进行因式分解。
随堂练习1、用分组分解a2-b2-c2+2bc的因式，分组正确的是（）2、把分解因式为（）A、（2x-a+3）(2x-a-3)B、(2x-a+3)(2x+a-3)C、(2x+a+3)(2x-a-3)D、(2x+a+3)(2x+a-3)3、填空：（1）ax+ay-bx-by=(ax+ay)- ( )=( )( )(2)x2-2y-4y2+x=( )+( )=( )( )(3)4a2-b2-4c2+4bc=( )-( )=( )( )4、分解因式（1） (2)(3) (4)(5)5、已知a、b、c是△ABC的三条边，求证：代数式的值一定是负数。
分组分解法2教学目标1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.教学过程设计一、复习把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2－ab+3b－3a；(2)x2－6xy+9y2－1；(3)am－an－m2+n2；(4)2ab－a2－b2+c2.解(1) a2－ab+3b－3a=(a2－ab)－(3a－3b)=a(a－b)－3(a－b)=(a－b)(a－3);(2)x2－6xy+9y2－1=(x－3y)2－1=(x－3y+1)(x－3y－1);(3)am－an－m2+n2=(am－an)－(m2－n2)=a(m－n)－(m+n)(m－n)=(m－n)(a－m－n);(4)2ab－a2－b2+c2=c2－(a2+b2－2ab)=c2－(a－b)2=(c+a－b)(c－a+b).第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二；例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：====例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]=5a[(3m2)－(2x－y) 2]=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.解2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an=(2a2－3an)+(4am－6mn)=a(2a－3n)+2m(2a－3n)=(2a－3n)(a+2m).指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.三、课堂练习把下列各式分解因式：(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；(3)4a2+4a－4a2b+b+1；(4)ax2+16ay2－a－8axy；(5)a(a2－a－1)+1；(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；答案：(1)(a+b)(a+b－c)；(2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)；(4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；(5)(a－1) 2 (a+1)；(6)(bm+an)(am+bn).四、小结1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.五、作业1.把下列各式分解因式：(1)x3y－xy3；(2)a4b－ab4；(3)4x2－y2+2x－y；(4)a4+a3+a+1；(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；(7)x2+x－(y2+y)；(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.答案：1.(1)xy(x+y)(x－y)；(2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；(3)(2x－y)(2x+y+1)；(4)(a+1) 2 (a2－a+1)；(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)；(6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；(7)(x－y)(x+y+1)；(8)(ax－by)(bx+ay).2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.课堂教学设计说明1.突出“通法”的作用.对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.2.加强各种方法的纵横联系.把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.3.打通相反的思维过程.因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.探究活动系数为1的型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式怎么分解呢？如：1．；2. .有兴趣的同学可以模仿型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?答案:1. ;2. .规律：二次项系数不是1的二次三项式分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为：可分解为，即可分解为，即，，，满足，即按斜线十字交叉相乘的积之和若与一次项系数相等，则可分解因式，第一个因式由第一行的两个数组成第二个因式由第二行的两个数组成分解结果为：《分组分解法》例题精讲与同步练习3【基础知识精讲】1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.例如：把x2-y2+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意：1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，2ab-a2-b2+1=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b)【重点难点分析】1.重点难点分析重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.2.典型例题解析例1 分解因式2a3+a2-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.解 2a3+a2-6a-3=(2a3+a2)-(6a+3)=a2(2a+1)-3(2a+1)=(2a+1)(a2-3)例2 分解因式4x2-4xy+y2-16z2分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.解4x2-4xy+y2-16z2=(4x2-4xy+y2)-16z2=(2x-y)2-(4z)2=(2x-y+4z)(2x-y-4z)例3 分解因式ax-ay-x2+2xy-y2分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.解 ax-ay-x2+2xy-y2=(ax-ay)-(x2-2xy+y2)=a(x-y)-(x-y)2=(x-y)(a-x+y)例4 把(x2+y2-1)2-4x2y2分解因式解 (x2+y2-1)2-4x2y2=(x2+y2-1)2-(2xy)2=[(x2+y2-1)+2xy][(x2+y2-1)-2xy]=[(x2+2xy+y2)-1][(x2-2xy+y2)-1]=[(x+y)2-1][(x-y)2-1]=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)例5 分解因式x(x-1)(x-2)-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x(x-1)(x-2)-6=x3-3x2+2x-6=(x3-3x2)+(2x-6)=x2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x2+2)【难题巧解点拨】例6 分解因式a4+4分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.解 a4+4=a4+4a2+4-4a2 (添拆项)=（a4+4a2+4）-4a2 (分组)=(a2+2)2-(2a)2 （完全平方公式）=(a2+2a+2)(a2-2a+2) (平方差公式)点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.例7 已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.分析由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.解由x2+10xy+25y2-1=0可得(x+5y)2-1=0 即(x+5y+1)(x+5y-1)=0当x+5y+1=0时x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=2x2【命题趋势分析】熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.【典型热点考题】例8 把2x3+x2-6x-3分解因式. (沈阳中考题)解 2x3+x2-6x-3=(2x3+x2)-(6x+3)=x2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x2-3)例9 把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式. (广州中考题)解 abx2-aby2-a2xy+b2xy=(abx2-a2xy)+(b2xy-aby2)=a(bx-ay)+by(bx-ay)=(bx-ay)(ax+by)点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab. (长春中考题)解法一 xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab)=x(y-a+b)+a(y-a+b)=(y-a+b)(x+a)解法二 xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab)=y(x+a)-a(x+a)+b(x+a)=(x+a)(y-a+b)点评本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.【同步达纲练习】一、填空题(4分×10=40分)1.x2+2y-y2+2x=(x+y)( ).2.因式分解x2+xy-3x-3y= .3.因式分解1-a2+2ab-b2= .4.因式分解x5+x4+x3+x2= .5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式a4b-a2b3+a3b2-ab4= .9.若a-b=2,a-c=4,则b2-2bc+c2+3(b-c)= .10.分解因式a2-b2+4a+2b+3= .二、分解因式（10分×6=60分）11.ab+bc-cd-da 12.x3-xyz+x2y-x2z13.y2-x2+6x-9 14.x-+2xy+y2-ax-ay15.6x(m-n)-2m+2n 16.4x2-4y2+4y-1参考答案：【同步达纲练习】一、 1.(x-y+2) 2.(x+y)(x-3) 3.(1+a-b)(1-a+b) 4.x2(x+1)(x2+1)5.(a+b)(x-y+a)6.(a-x)(b+2y-3c)7.(2y+1)(2x-1)8.(ab(a-b))(a+b)29.10 10.(a+b+1)(a-b+3)二、11.原式=(a+c)(b-d) 12.原式=x(x+y)(x-z) 13.原式=(y+x-3)(y-x+3)14.原式=(x+y)(x+y-a) 15.原式=2(m-n)(3x-1) 16.原式=(2x+2y-1)(2x-2y+1)。
9.16分组分解法老师
年级
课题
日期
七年级（上）
9.16分组分解法
2018.10
教学
目标
人人掌握
会用分组分解法进行因式分解.学会如何分组，以及分组的注意点，使分组合理。
多数掌握
经历对四项式的分组体验；体验如何分组才能使因式分解进行下去，以及分组的多样性。
少数掌握
运用数学思想方法思考问题，层次清晰，遇到困难要积极动脑，以种方法不行，就可以考虑用另一种方法。
为什么？
目标：培养学生探索新知的能力
问：这个式子可以看成是几项的和？还能不能用提取公因式法？有没有可能有公因式?
请有想法的同学来分享自己的做法。
师：还有没有其它方法？可以让学生尝试自己构造公因式，为即将学习的分组分解法作铺垫，顺利的话，可以顺势提出分组分解法。
目标：经历对四项式的分组体验，寻找方法
师：观察这两个多项式有什么特点？
（3）因式分解一定要分到不能分解为止
注意引导第3题3个小题的题目层次，灵活处理，运用方法。
预测：第（3）题题目较长，学生有困难。
（4）可能没有分解到最后
拓展练习一
分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
师：直接用四种方法都无效时，尝试“破镜重圆”。
预测：大部分学生束手无策。
通过一步步提问，少部分同学能够想到将（x+y）看成一个整体。
放手让学生讨论后，主要有两种意见：一种添括号，一种去括号后重新组合；
各项无公因式，且都是四项式。
（1）两项两项有公因式。
（2）前三项是个完全平方式。
新课探索二
试一试，请根据多项式 和 的特点将它们因式分解。
将它们分成两组.
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=c(2a+b)–3d(2a+b)
=(c–3d)(2a+ b)
注意符号 可按系数特征分组
=(2a+b)(c–3d)
2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–3bd)+(–6ad+bc)
例题2 分解因式
4a2+2a–b2+b 解： 4a2+2a–b2+b 4a2+2a–b2+b
课堂练习
分解因式：
(1) a2－ab－2a+2b
2 3 x y 6 xy 4 x 8 (2)
(3) a 2 9b2 2a 6b
(4)
x x 4y 2y
2 2
例题3 分解因式
2x3–2x2y+8y–8x 解： 2x3–2x2y+8y–8x =2(x3–x2y+4y–4x) =2[(x3–x2y)+ (4y–4x)]
1 =(4a2–b2)+(2a1 +b )
=2a(a+1)+b(–b+1)
=(2a+b)(2a–b)+(2a+b)
=(2a+b)(2a–b+1)
全部提取后括号内保留1
可按字母指数特征分组
适时小结：
我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组． “二二”分组分解时应注意的问题： （1）把四项式二二分为两组(按字母特征分组， 或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)； （2）分组分解后产生新公因式； （3）继续用提取公因式法来分解因式； （4）分解到不能分解为止．
有公因式的先提 取公因式
=2 [x2(x–y)–4(x–y)]
=2(x–y)(x2–4)
还能继续分解吗？
=2(x–y)(x+2)(x–2) （1）分解因式时先观察，有公因式的应先提取公因式； （2）分解到不能分解为止．
课堂练习 分解因式： a3 a 2 ab2 ab
自主小结
分解因式时，有公因式的要先提公因式； 分组分解法： 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 . “二二”分组分解的要点 ： （1）按字母特征分组，或按系数特征分组，或 按字母指数特征分组 ； （2）分组分解后产生新公因式，继续用提取公 因式法来分解因式 ；
=(ax+bx)+(ay+by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(x+y)(a+b)
=(a+b) (x+y)
方法不同，答案相同．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
例题1 分解因式
2ac–6ad+bc–3bd 解： 2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd) =2a(c–3d)+b(c–3d) 方法二： 解：2ac–6ad+bc–3bd
（3）分解到不能分解为止 .
回家作业
练习册 9.16 第1、4题
9．16 分组分解法（1）
复习引入 (1) 分解因式的方法:
提取公因式法 公式法 十字相乘法
(2) 填空：
a(x+y)+ b(x+y) = (a+b) (x+y)；
还有其他分组方法吗？
思考: 如何将多项式ax+ay+bx+by分解因式？
解：ax+ay+bx+by =(ax+ay)+(bx+by) =a(x+y)+ b(x+y) 方法二：解：ax+ay+bx+by