1.2函数及其表示习题课

例题3
求下列函数的值域：
y x 2x 2
2
方法四
配方法
通过把已知函数（或其部分）配成完全平方，再 利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。 ——常用于二次函数及与其有关的函数。
y x 2x 2
2
由 x2 2 x 2 0得
1 3 x 1 3。
5 故所求函数的值域为 y y R且y 。 4
例题2
求下列函数的值域：
5x 1 y ; 4x y 1 解：由y 解出x得x 。 4x 2 4y 5
5 而4 y 5 0，即y 4
5 故所求函数的值域为 y y R且y 。 4
f x x 1 x R 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x)
2
3. 若3f(x)+f (-x)=2–x,求f (x)的解析式.
4.若f ( f ( x)) 4 x 1, 求一次函数f ( x)的解析式
5.已知函数 f ( x) 对于一切实数 x, y 都有
f ( x y) f ( y) ( x 2 y 1) x 成立，且 f (1) 0, 求f ( x)的解析式.
程有解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别
式法。
——常用于分子或分母中有二次式的分式函数。
x y 2 x 1
解：由函数的表达式可知x R,
x 2 由y 2 yx x y 0。 x 1
当 y=0时，x=0,所以y可以为0；
1 1 当y 0时，＝1-4y 0 y ( y 0)。 2 2
y y R且y 0 答： 。
4)二次函数y ax2 bx c(a 0)的值域是什么？
4ac b 2 4ac b 2 答：a 0时为 y y ；a 0时为 y y 。 4a 4a
三.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 1.问题：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对 应法则分别是什么？
一次函数 函 数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) a＞0 a＜0 反比例函数
y＝ax＋b (a≠0)
y
k (k 0) x
对应关系 定义域
值 域
x→ax＋b R
R
4ac - b 2 4ac - b 2 {y|y≥ } {y|y≤ } 4a 4a
x→ R
ax2＋bx＋c
R
{x|x≠0} {y|y≠0}
JXSDFZ
专题-- 函数解析式的求法
专题一 求函数的解析式
2 f ( x 1 ) x 2 x 2 ，求 例1.已知
f x , f x 3
解： 方法一：配凑法
f ( x 1) x 2 x 2 x 2 2 x 1 1
2
f ( x) x 1 x R
2
当 1 3 x 1 3时，因为 3 ( x 1) 0
所以0 ( x 1)2 3 3
0 y 3。
故所求函数的值域为 0, 3
例题4
求下列函数的值域：
y 2 x 4 1 x；
方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于
2
1 1 综上可得所求函数的值 域为 , 。 2 2
方法总结
方法名称
直接法 配方法 分离常数法 （反表示法） 换元法 判别式法
求函数值域的常用方法
主要适用函数 注意事项
简单函数 一般与非负数有关 与二次函数有关的函数 取等号条件 分子分母都是 一次式的分式函数 部分根式函数 分子或分母中有 二次三项式的分式函数 可直接用结论 新元的取值范围 判断——讨论 ——检验
2
a 1, b 2, c 1
f ( x) x 2 x 1
2
1 例3.设f(x)满足关系式 f x 2 f 3x x
求函数f(x) 的解析式
方法四.方程组法
1 解： f x 2 f 3x x 3 1 f 2 f x x x 1 由1 2 消去f 得 x 2 f x = x x
2
作业： 1.求下列函数的值域
1) y x 1, x 1,2,3,4
3) y x 4x
2
2 3x 2) y 2x 1
5 4) y 2 2x 4x 3
5) y x 1 x
x2 6) y 2 x 3x 6
2.已知f (1 2 x) x 4 x 1, 求f ( x)的解析式.
数学小博士 考考你：（抢答）
c y y R且y a
cx d 1、函数y (ac 0)的值域为 __________________ 。 ax b
y y R且y 2。则a __________ 。 一 4__________
ax 3 2、函数y 的值域为 1 2x
2
( x 1) 2 1
y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2 2
已知：f ( x 1) x 2 x 2 ，求f(x)及f(x+3)
2
方法二：换元法
解：令t x 1, 则x t 1
2 2
f t f x 1 t 1 2 t 1 2 t 1 t R
方法二
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数
的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
解析：
5 10 (4 x 2) 1 5x 1 4 5 7 5 4 y y 。 4x 2 4x 2 4 2(4 x 2) 4
1 2
例4 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 f ( x y) f ( x) 2 xy y y 实数x,y满足：
且f (0) 1， 求 f
( x ).
方法五.赋值法 解： 令x y得
f (0) f ( x) 2 x 2 x 2 x
f ( x) x x 1
新元的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫
换元法。
——常用于部分根式函数。
y 2 x 4 1 x；
一）（换元升次）
解析：
设 1 x t 0 注意新元的取值范围 x 1 t 2，
则y 2t 2 4t 2 2(t 1) 2 4(t 0) 4。
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§1.2 函数及其表示
习题课
江西师大附中 蔡卫强
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专题-- 函数值域的求法
复
习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？
答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫函数的 值域。函数的值域应该用集合的描述法或区间表示。
2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。k 3）反比例函数 y (k 0)的值域是什么？ x
k x→ x
无论采用什么方法 求函数的值域，均应优 先考虑定义域。 求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。
方法一
直接法
根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观
察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。
——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
例1：求下列函数的值域：
1) y x 1;
2) y 2 x ;
2
2) ,2
1) 1,
3) y 1 2x ;
3) 0,
4)2, 1,2
4) y x2 2, x 1,0,1,2
例题2
求下列函数的值域：
5x 1 y ; 4x 2
二）（整体配方）
y 2(1 x) 4 1 x 2 2( 1 x 1) 4
2
因为 1 x 0，
所以y= 2( 1 x 1) 4 4 。
2
故所求函数的值域为 ,4
例题5
求下列函数的值域：
x y 2 x 1
方法五
判别式法
把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方
的解析式
例2 已知f(x)是二次函数，且
f ( x 1) f ( x 1) 2x 4x 4 求 f ( x ).
2
方法三.待定系数法
解： 设f ( x) ax2 bx c ( a 0)
f ( x 1) f ( x 1) 2ax 2bx 2a 2c 2 2x 4x 4