数学分析复习资料
数学分析期末考试复习题及参考答案
数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。
A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。
A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。
A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。
其中。
参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。
A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。
A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。
数学分析总复习
(几何:斜率)
0
利用导函数： f ( x0 ) f ( x ) |x x 根据定义
二、f ( x ) 的计算
根据函数构成： 根据定义
导数的四则运算 反函数求导法则 复合函数求导法则
三、f ( n ) ( x ) 的计算
利用求导法则 ……
数学分析（一）总复习
幂指函数 对数求导法 分段函数 隐函数 参变量函数
数学分析（一）总复习 8
二、闭区间上连续函数的性质
最值定理 若 f ∈C[a, b], 则 f 在[a, b]上有最大值, 最小值.
有界性定理 若 f ∈C[a, b], 则 f 在[a, b]上有界. 介值定理 若 f ∈C[a, b] 且 f(a)≠f(b), 若 μ为介于 f(a), f(b) 之间的任何实数, 则至少存在一点x0∈(a, b) 使得 f(x0) =μ.
定理 数列{an}收敛 {an}的任何非平凡子列都收敛.
单调有界定理 单调有界数列必有极限.
lim (1
n
1 n
) e.
n
柯西收敛准则 数列{an}收敛
0 , N N , n , m N , 有 | a n ห้องสมุดไป่ตู้ a m | .
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数学分析（一）总复习 4
四、函数性态研究（单调、凹凸、渐近线等）
数学分析（一）总复习
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13
第八章
一、不定积分概念:
二、求不定积分：
不定积分
f ( x )dx F ( x ) C
① “求不定积分”是指用初等函数的形式将不定积分表示出 来.并非任何初等函数的积分都能求出来. ② 基本积分公式(p.180)
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。
下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。
1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。
下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。
证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。
首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。
由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。
我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。
经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。
因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。
2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。
数学分析复习资料
数学分析复习资料数学分析复习资料数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学基础学科的核心内容之一。
作为一门抽象而又具有广泛应用的学科，数学分析在理论和实践中都发挥着重要作用。
为了更好地掌握数学分析的知识，我们需要有一份系统全面的复习资料。
一、函数与极限在数学分析中，函数与极限是最基础的概念之一。
函数是描述自变量与因变量之间关系的工具，而极限则是描述函数在某一点附近的趋势。
我们需要掌握函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质。
此外，对于极限的概念和性质，我们需要理解其定义、收敛性以及计算方法。
在复习中，可以通过练习题来加深对函数与极限的理解。
二、导数与微分导数与微分是数学分析中的重要内容，它们是描述函数变化率的工具。
我们需要了解导数的定义、性质以及常见函数的导数公式。
同时，还要掌握导数的计算方法，如用极限定义法、基本公式法、隐函数求导法等。
在复习中，可以通过求导练习题来提高对导数的熟练度。
另外，微分的概念和性质也是需要掌握的内容，包括微分的定义、微分的计算以及微分的应用。
三、积分与定积分积分与定积分是数学分析中的重要概念，它们是描述函数面积和变化量的工具。
我们需要了解积分的定义、性质以及常见函数的积分公式。
同时，还要掌握积分的计算方法，如用不定积分法、换元法、分部积分法等。
在复习中，可以通过求积分练习题来提高对积分的熟练度。
另外，定积分的概念和性质也是需要掌握的内容，包括定积分的定义、定积分的计算以及定积分的应用。
四、级数与幂级数级数与幂级数是数学分析中的重要内容，它们是描述无穷序列和无穷级数的工具。
我们需要了解级数的定义、性质以及常见级数的收敛性判别法。
同时，还要掌握级数的计算方法，如用比较判别法、积分判别法、绝对收敛判别法等。
在复习中，可以通过求级数练习题来提高对级数的熟练度。
另外，幂级数的概念和性质也是需要掌握的内容，包括幂级数的收敛半径、幂级数的求和以及幂级数的应用。
五、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是数学分析中的重要内容，它们是描述多变量函数变化率的工具。
数学分析知识点最全汇总
数学分析知识点最全汇总本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-；；,0,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =.对于负实数01.nx a a a =-，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥． 命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ∀∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：a b c R ∀∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． 2、几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅；6）||||a ab b =（0b ≠）． 三、几个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈∀R n a a a 记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即： 1212111n n n a a a nn a a a +++≤≤+++等号当且仅当n a a a === 21时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+⇒4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>∀h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2)|1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >. 综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗对下界呢(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b与闭区间[],a b有相同的上确界b与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界. 证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设,D M R∀∈，⊂，如果存在对应法则f，使对x D存在唯一的一个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作:f D M→→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f D.()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．几点说明（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立D 到M 的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ ().x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二 、函数的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数） （借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 １）[]y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关一个的函数[]{}y x x x =-（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数, 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N qq q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩当为既约分数),当和内的无理数.三 函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：１）若12D D D φ==，则f 与g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得221(())2f v t mg t =.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例子例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例 ⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则)( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例 讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行在哪个数集上进行复合函数的最终定义域是什么例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是一函数，如果∀1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠⇒≠(或由2121)()(x x x f x f =⇒=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个解x .定义 设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈∀, 由)(x f y =唯一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域Y X f →:X Y f →-:1显然有X X I f f →=-:1 (恒等变换）Y Y I f f →=-:1 (恒等变换)Y X f f →=--:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 )(1x f y -=, 这样它的图形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数. 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=.2. 按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得)(1x f y -=. 例 求 2)(x x e e x sh y --== ：R → R 的反函数. 解 固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为 122-=z zy0122=--zy z12+±=y y z ( 舍去12+-y y )得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理 给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ， 若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=. 分析：要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g y f y -=. 证 要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.∀1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =， 则由定理条件，我们有对应.再证1()()g y f y -=.∀Y y ∈，∃X x ∈，使得)(x f y =.由反函数定义 )(1y f x -=，再由定理条件()(())g y g f x x ==.1()()g y f y -⇒=例 :f R R →，若))((x f f 存在唯一（|∃）不动点，则)(x f 也|∃不动点.证 存在性，设)]([* * x f f x =，)]([)(* * x f f f x f =，即)(* x f 是f f 的不动点，由唯一性* * )(x x f =，即存在)(x f 的不动点* x .唯一性： 设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，说明 x 是f f 的不动点，由唯一性，x =*x .从映射的观点看函数. 设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.３、注释a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈1(()),().f f x y y f D -≡∈c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),().y f x x f D -=∈应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六 、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数 sin ,cos ,,c y x y x y tgx y tgx ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,,y x y x y arctgx y arcctgx ====.注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xr a r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义xa 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否更明确一点相应的“确界是否存在呢”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y = （２） ln |sin |.y x =3.初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则（1） )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =（2）{})( , )(m ax )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(m in )(x g x f x =φ都是初等函数,因为 {})( , )(m ax )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, {})( , )(m in )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= . （3）幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==［作业］ 15P ： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义1设f为定义在D上的函数，若存在数()M L，使得对每一个x D∈有()(())≤≥，则称f为D上的有上（下）界函数，f x M f x L()M L称为f在D上的一个上（下）界.注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域()f D是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L为f在D上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin=，1是其一个上y x界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f在D上有界⇔()f D是一个有界集⇔f在D上既有上界又有下界⇔f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.2、有界函数定义定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个∈有|()|x D≤，则称f为D上的有界函数.f x M注：（1）几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（2）f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义. 3、 例题例 1 证明:f X R →有界的充要条件为：∃M ,m ，使得对X x ∈∀,M x f m ≤≤)(.证明 如果:f X R →有界，按定义∃M >0，X x ∈∀有()f x M ≤，即()M f x M -≤≤,取M m -=,M M =即可.反之如果∃M ,m 使得,()x X m f x M ∀∈≤≤，令{}0max 1,M M m =+，则0()f x M ≤，即∃00M >，使得对x X ∀∈有0()f x M ≤，即:f X R →有界.例2．证明1()f x x=为(0,1]上的无上界函数. 例3．设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+； （2）{}sup ()()sup ()sup ()x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+.例4验证函数 325)(2+=x xx f 在R 内有界. 解法一 由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+当0≠x 时,有.3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f 30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根.22245 y -=∆∴.2 ,42425,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三 令 ⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 ==+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625 )( ,2sin 625 ≤=⇒=t x f t二、单调函数定义3设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5．证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明：设21x x <，))((222121213231x x x x x x x x ++-=- 如021<x x ，则3231120x x x x <⇒>> 如120x x >，则22331122120,x x x x x x ++>⇒<故03231<-x x 即得证. 例6．讨论函数[]y x =在R 上的单调性.12,x x R ∀∈，当12x x <时，有[][]12x x ≤，但此函数在R 上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1．设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.证明：设f 在D 上严格增函数.对(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=有使.下面证明这样的x 只有一个.事实上，对于D 内任一1,x x ≠由于f 在D 上严格增函数，当1x x <时1()f x y <，当1x x >时1()f x y >，总之1()f x y ≠.即(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=都只存在唯一的一使得，从而例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4. 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y 0； （4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数 1、定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期. 2、几点说明：（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.。
数学分析复习要点
数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。
重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。
第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。
重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。
第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。
重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。
第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。
重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。
第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。
重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。
第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。
重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。
第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。
闭区间上连续函数性质的证明。
重点：区间套定理。
第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。
数学分析(1)复习要点
数学分析（一）复习要点第一章函数、极限与连续1、区间与邻域。
2、基本初等函数的性质。
3、求函数的定义域。
4、函数的复合运算。
5、数列与函数极限的精确定义，用定义证明简单极限。
6、单调有界原理、加逼准则及其相关证明。
7、几个常用不等式与两个重要极限公式。
8、无穷小的概念与性质，无穷小阶的比较。
9、等价无穷小替换定理及常用等价无穷小公式。
10、函数连续的概念。
11、间断点的概念、分类及判别。
12、闭区间上连续函数的最值性质与零点定理。
第二章导数与微分1、导数与微分的定义、几何意义。
2、函数的可导性、可微性及连续性的关系，“微商”的含义。
3、基本初等函数的求导公式与微分公式。
4、导数的四则运算法则与复合函数的求导法则。
5、隐函数的求导方法、对数求导法、参数方程确定函数的求导公式。
6、高阶导数的概念与二、三阶导数的计算。
第三章微分学基本定理及其应用1、微分中值定理及其相关命题的证明。
2、求不定式极限的洛必达法则及其与等价无穷小替换定理的综合运用。
3、函数的单调性、凹凸性的判别，极值与拐点的求法（必要条件和充分条件）。
4、闭区间上连续函数的最值、以及实际问题中简单最值的求法。
5、曲线渐近线的求法。
6、不等式的证明（利用函数的单调性、凹凸性，拉格朗日中值定理及泰勒公式等）。
7、方程根的讨论。
第四章不定积分1、原函数与不定积分的概念，积分运算与微分运算的互逆性。
2、基本积分公式（22个）。
3、求不定积分的“凑微分法”（第一类换元法）。
4、求不定积分的第二类换元法。
5、求不定积分的分部积分法，LIATE选择法，被积函数为一个函数时如何分部积分。
6、利用“凑微分法”求简单有理函数的不定积分。
7、利用第二类换元法求简单无理函数的不定积分。
数学分析总结复习提纲
数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。
§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。
§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。
§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。
§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。
§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。
§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。
§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。
§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。
§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。
第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。
§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。
数学分析复习重点前八章
数学分析(1)复习纲要一实数集与函数1、理解实数的概念，了解实数的四则运算、有序性、稠密性、阿基米德性等主要性质，会绝对值的常用不等式。
2、了解区间与邻域的概念，了解有界集及上下确界的定义并会证明, 理解确界原理。
3、理解函数的概念和表示法，了解反函数和复合函数的概念，了解基本初等函数的性质和图形。
4、了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。
典型例题：P2，例1；P6，例2。
典型习题：P4，1；P9，4(1)(3)。
二数列极限1、理解数列极限的概念，并掌握用ε—N定义证明数列极限的一般方法。
2、了解收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算和子列的性质，并且掌握求数列极限的相应方法。
3、掌握单调有界定理并会用于证明数列极限的存在性，了解Cauchy收敛准则。
典型例题：P24，例3；P29，例1、2、5；P36，例2。
典型习题：P27，1，2(2)；P33，1(1) (4)，4(6)；P39，1(1) (3)，3(2)。
三函数极限1、理解函数极限的概念(当自变量趋向于无穷或有限点时以及单侧极限)，并掌握“ε—δ”和“ε—M”证明的一般方法。
2、了解函数极限的性质: 唯一性, 局部有界性, 局部保号性,保不等式性和四则运算法则，并且掌握求函数极限的相应方法。
3、了解函数极限存在的条件: 归结原则, 单调有界准则和Cauchy准则。
4、掌握两个重要极限及其求极限应用。
5、了解无穷小(大)量及其阶的概念和应用；了解曲线的渐近线的概念及其求法。
典型例题：P45，例5；P50，例2、3；P53，例1；P56，例1-5；P62，例2、5。
典型习题：P47, 1(1)(2), 2；P51, 1(3)(7), 2(1)；P58, 1(8)(10), 2(3), 4(1)；P66, 2, 4(3)。
四函数的连续性1、理解函数在一点连续的概念(三个等价定义及左右连续)，并会判断间断点的类型。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
《数学分析》1复习
xx 无穷大.
导数与微分
1．设函数
f
(x) 在 x
=
x0 处可导，且
f ′(x0 )
=
2, 则 lim h→0
f
(x0
− h) − h
f (x0 )
=
。
2．设
f
(0) = 0 ，且
（10） y = (tan5x2 )3 （12） y = e−x sin 2x
（13） y = xsin x
（14） y = ln(arcsin 2x)
6．设 f (x) = ⎪⎨⎧12 x 2 !!! x ≤ 2 ，且 f (x) 在 x = 2 可导，求 a, b 。 ⎪⎩ax + b!! x > 2
上有界。
15.设 b > 0, a0 > 0，数列{an}由以下递推公式给出,
an
=
1 2 (an−1
+
b )， an−1
n=1,2,3….证明该数列{an}收敛，并求其极限值。 16.设 f (x) 为定义在[a,+∞) 上的增函数，证明： lim f (x) 存在的充要条件是
x→+∞
f (x) 在[a,+∞) 上有上界。
f
(x)
=
3 x −1 x −1 ，则
x=1
是函数
f
(x) 的（
）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点
D、无穷间断点
13、设 f (x) = ⎪⎨⎧sinx x ⎪⎩0
x>0 ，则 x=0 是函数 f (x) 的第
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结一、引言数学分析是研究函数、极限、导数、积分等概念的数学分支。
它是现代数学的基础，对于理解和应用更高级的数学理论至关重要。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质- 极限的概念- 极限的性质和运算法则- 无穷小与无穷大- 极限存在的条件2. 无穷级数- 级数的收敛性- 收敛级数的性质- 级数的极限3. 函数的连续性- 连续函数的定义- 间断点的分类- 连续函数的性质三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的直观理解- 导数的严格定义2. 导数的计算- 导数的基本公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 高阶导数3. 微分- 微分的概念- 微分的几何意义- 微分的应用四、中值定理与泰勒展开1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒展开- 泰勒级数- 泰勒展开的应用- 泰勒级数的收敛性五、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的计算3. 积分的应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长六、级数1. 级数的收敛性- 收敛级数的定义- 收敛性的判别方法2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 幂级数的应用3. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的物理意义七、多元函数分析1. 多元函数的极限与连续性 - 多元函数的极限- 多元函数的连续性2. 偏导数与梯度- 偏导数的定义- 梯度的概念3. 多重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法八、结论数学分析是数学学科的基石，它的概念和方法广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。
掌握数学分析的知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。
以上是数学分析的主要知识点概述。
每个部分都可以进一步扩展，包含更多的细节和例子。
这篇文章的结构旨在提供一个清晰的框架，便于读者理解和复习数学分析的核心概念。
数学分析考研复习
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤④a b a b a b -≤±≤+三角不等式 ⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理三、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>d ,满足绝对值不等式x a -<d 的全体实数x 的集合称为点a 的d 邻域，记作();U a d 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+d d d d 。
数学分析复习提纲(全部版)
数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
(完整版)数学分析复习资料及公式大全
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
数学与应用数学-《数学分析》复习资料
数学 《数学分析》复习资料1一、填空1、yx y x y x y x f +++-=22),(关于原点的先x 后y 的累次极限为（ ）.2、)sin(y x y z +=的全微分为（ ）.3、笛卡儿叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线方程为（ ）. 二、选择 1、函数22y x z +=在点)0,0(处 （ ）A 连续且偏导数存在B 连续但偏导数不存在C 不连续但偏导数存在D 不连续且偏导数不存在2、设32),,(z y x z y x f ++=，则f 在点)1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数为 （ ）.A32 B 31 C 32- D 31- 3、⎰+→++αααα12201limx dx=（ ）. A4π B 2π C 6π D 3π 三、 计算下列各题1、设t uv z sin +=，其中t e u =，t v cos =，求dtdz.2、设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂和zy ∂∂.3、利用Lagrange 乘数法，求函数22),(y x y x f +=在条件01=-+y x 下的极值。
4、计算二重积分⎰⎰Dd σ，其中D 为由直线y x x y 2,2==以及3=+y x 所围成的区域。
四、求解下列各题1、考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx xy y x f 在点)0,0(处的可微性。
2、设az z y x S 2:222=++，求解第一型曲面积分⎰⎰++SdS z y x )(222的值.答案及评分标准一、填空题（1） -1（2） dy y x y y x dx y x y dz )]cos()[sin()cos(+++++= （3） 06-4y -x 5= 二、选择1、B2、B3、A三、 计算下列各题（8分/题，共计40分） （1）t t t cos )sin (cos e t +-（2）21211xyf f yzf f xz--+=∂∂,2121)(1xzf f xyf f zy++-=∂∂（3）（4）3/2三求解下列各题（1）（2）π4 =8a数学《数学分析》复习资料2 一．单选题1.A.B.C.D.2.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要条件D. 非充分也非必要条件3.A.B.C.D.4.A.B.C.D.5.A. 2B. 0C.D.6.A.B.C.D.二判断题1. （）2. （）3. （）4. （）5. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）（）6. （）7. （）8. （）9. （）10. （）三计算题1.2.3.4.四．证明题1．证明：含参量积分xy xe dy+∞-⎰（i）在[],a b，0a>上一致收敛．（ii）在[]0,b上不一致收敛．答案一．C A B C D C二、 TTTTF TTTFT三．计算题1．2．3．4. 三．证明题1．证明：含参量积分xy xe dy+∞-⎰数学 《数学分析》复习资料3一．选择题1．当0→x 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）A ．x 1sinB ．x xsin C ．12--x D ．x ln2．()f x ，y 在点00(,)x y 存在连续偏导数是()f x 在点00(,)x y 可微的（ ）条件A ．充分必要;B ．必要;C ．充分;D ．既非充分又非必要3．设00()()0f x f x '''==，0()0f x '''>，则（ ）A ．0()f x '是()f x '的极大值 B ．0()f x 是()f x 的极大值 C ．()00,()x f x 是曲线()y f x =的拐点 D ．0()f x 是()f x的极小值4.设()f x 为不恒等于零的奇函数，且()0f '存在，则函数()()f xg x x =( )A ．在0x =处左极限不存在；B ．有可去间断点0x =；C ．在0x =处右极限不存在；D ．有跳跃间断点0x =． 5．曲线()arctan f x x x =-的渐近线条数为（ ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 3． 二．填空题1．若函数,0()sin ,0x e x f x a x x x ⎧≤=⎨+>⎩在0x =处连续，则a = . 2．设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩，则224t d y dx π== ．3．设2sin()()x xxy f x dyy ，则()df x dx = ．4．求函数3322339z x y x y x =-++-的驻点为 .三．解答题1．计算3z sin 21x y xy y =+-+ 的偏导数． 2．求方程20x y xy y '''+-=的通解．3．求方程22x y y y e '''+-=的通解．四、证明题1.证明级数11n ∞=是发散的2. 证明在整个xoy 面内，22xy dx x ydy +是某个函数的全微分，并求这样的一个这样的函数。
《数学分析》考试知识点.
《数学分析》考试知识点.第一篇：《数学分析》考试知识点.《数学分析》考试知识点题目类型及所占比例：填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算； 3 函数的连续性和一致连续性； 4 实数系的连续性； 5 连续函数的各种性质。
考试要求：理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
掌握实数系的基本定理。
熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。
熟练掌握闭区间上连续函数的性质。
二、一元函数微分学考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
考试要求：理解导数和微分的概念。
熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
考试要求：理解不定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
数学复习数学分析
数学复习数学分析数学分析是数学的重要分支之一，它研究数学中的变化、极限和连续性等概念。
在学习和应用数学分析的过程中，复习是非常重要和必要的。
本文将为你介绍一些数学分析的基本知识和重点内容，帮助你进行有效的复习。
1. 实数与数列实数是数学分析的基础，它包括有理数和无理数。
在数学分析中，我们常会涉及到实数的性质和运算规律。
另外，数列也是数学分析中的重要概念。
数列可以用来描述一系列有序的数的排列，它的极限和收敛性质十分重要。
2. 函数与极限函数是数学分析的核心概念之一。
数学中的函数可以用来描述两个变量之间的关系，并且可以通过极限来研究函数的性质。
极限是数学分析中非常重要的内容，它可以用来描述变量趋于无穷时的特性。
3. 连续性与导数连续性是数学分析中十分重要的概念，它与函数的极限密切相关。
我们通过判断函数在某点是否连续，来研究函数在该点的性质。
导数是描述函数变化率的概念，它可以通过极限的方法来定义。
4. 不定积分与定积分不定积分和定积分是数学分析中重要的概念和方法。
不定积分可以用来求函数的原函数，而定积分可以用来计算曲线下的面积。
这两个概念在数学分析中有广泛的应用。
5. 级数与收敛级数是由一列数相加的无穷和，它在数学分析中非常重要。
我们通过判断级数的和是否收敛，来研究级数的性质和特点。
级数的收敛性质是数学分析中的重点内容之一。
通过以上五个方面的复习，你将对数学分析的基本内容有一个清晰的了解，为更深入的学习和应用打下基础。
答案与解析：1. 实数与数列答案：实数由有理数和无理数组成。
解析：这个问题是关于实数的构成的基本知识，需要明确实数由有理数和无理数组成的概念。
2. 函数与极限答案：函数可以用来描述两个变量之间的关系，而极限可以用来研究函数的性质。
解析：这个问题是关于函数和极限的基本概念，需要明确函数可以描述变量关系，而极限可以用来研究函数性质的概念。
3. 连续性与导数答案：连续性是描述函数在某点的性质，而导数可以用来描述函数的变化率。
第一课数学分析复习3一致收敛
C[a
,
b],
⑵ fn'(x) 在[a,b]一致收敛于g(x),
⑶ x0 [a,b], fn( x0 )收敛
则 fn( x)在[a,b]上一致收敛于f ( x),
且对x [a,b], f '( x) g( x),
即
[ lim n
fn ( x)]'
[lim n
f
2 一致收敛
定义：
设 fn在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ),
s.t 当n N时,对一切x I,
都有 fn( x) f ( x) ,
称 fn在I上一致收敛于f .
2 一致收敛
定理1. 记 : n sup fn ( x) f ( x)
n1 n n1 n
0
证明：
取an
cos nx,bn
1 ,则 n
bn (x)单调减，一致趋于0.
n ak (x)
k 1
n
cos kx
k 1
1 sin x
1
sin
2
2
一致有界
cos nx 在[ ,2 ]上一致收敛.
n1 n
Abel判别法 an ( x)bn ( x) n1
由M任意性, S( x)C(,).
二、逐项积分 1.函数列：
定理3：设 fn R[a,b],且fn ( x) uni f ( x),
则f R[a,b] 且 lim ab fn( x)dx ab f ( x)dx n 极限与积分交换
推论 设 fn C[a,b],且fn uni f ( x),则
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一、选择题1.0lim ()x f x →=+∞的定义为 （ B ）A .0>∀ε,0>∃δ:x ∀δ<x 都有ε<)(x fB .0>∀G ,0>∃δ:x ∀δ<x 都有()f x G >C .0>∀G ,0>∃A :x ∀A x -<都有G x f >)(D .0>∀G ,0>∃A :x ∀A x >都有G x f >)( 2.关于)(x f =arctan xx在0=x 处是否出现间断点及其类型正确的论断是 （ C ） A .出现间断点且为第二类间断点 B .函数)(x f 在0=x 处连续 C .出现间断点且为可去间断点 D .无法判定其类型3.2sin x 的微分是 ( C ) A .2cos d x x B .sin 2d x x C .22cos d x x x D .tan d x x4.2256161616x x y x A x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩其中A 取（ D ）时，函数y 能连续开拓.A .4B .8C .16D .325.21lim(1)x x x→∞+= ( A )A .2eB .1C .∞D .e6.函数cos 2y x x =+是 （ D ） A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数，又是偶函数 D .非奇非偶函数7.123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ A ）A .eB .1e -C .2eD .18.1lim sinn n n→∞= （ C ）A .∞B .0C .1D .1-9.若数列n a 满足（ D ），则数列n a 收敛.A .有界B .单调C .存在不为零的点D .非平凡子列都收敛到相同实数 10.ln(sin )x 的导数是 ( B )A .1sin xB .cot xC .sin xD .tan x 11.数列:111,,,,393n 的极限是 ( C )A .0或1B .1C .0D .不存在12.设函数1()sinf x x= ,则0x =是()f x 的( C )间断点. A .可去 B .第一类 C .第二类 D .不是13.下列论断中不正确的是 ( D ) A .可微与可导等价 B .可微必连续 C .连续点处存在极限 D .间断点处不存在极限 14.若111()f x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x = ( B ) A .||x B .11x-+ C .x D .不存在 15.设()f x 在[,]a b 上连续，则下列命题错误的是 （ D ） A .()f x 在[,]a b 上一致连续 B .()f x 在[,]a b 上有界 C .()f x 在[,]a b 上能取到最大、最小值 D .()f x 在[,]a b 上可导16.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上为偶函数，且()()F x f x =-，则()F x 是 （A ） A .偶函数 B .奇函数且为偶函数 C .奇函数 D .非奇非偶函数17.若对任意实数范围总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim(()())0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞= （D ）A .存在且为零；B .存在但不一定为零；C .一定不存在；D .不一定存在18.已知x →∞时，()()f x g x +收敛，则在x →∞时，也必有 （D ） A .(),()f x g x 同时收敛 B .(),()f x g x 同时发散 C .(),()f x g x 不一定同时收敛或发散 D .若()f x 发散，()g x 也必发散19.设7()f x x =，56()56x x g x =+，则0x →时，()f x 是()g x 的（B ）无穷小 A .低阶 B .高阶 C .等价 D .同阶但不等价 20.设()e bxxf x a =+在(,)-∞+∞上连续，且lim ()0x f x →-∞=，则常数,a b 满足 （D ）A .0,0a b <<B .0,0a b >>C .0,0a b ≤>D .0,0a b ≥<二、填空题1.lim ()x af x +→和lim ()x af x -→存在但不相等，则a 为)(x f 的 跳跃 间断点. 2.设A 为(0,100)内所有有理数组成的集合，则=A sup 100，A inf = 0 . 3.()D x ={1,,0,\.x Q x R Q ∈∈4.()()n n x =!n .5.抛物线21y x x =++在2x =处的切线方程为530y x -+=.6.31limn n →∞= 0 .7.1lim(1)x x x-→∞-=e . 8.曲线32y x x =-在(1,1)--处的切线方程为20x y ++=. 9. ()ln ln x 在点x 的导数是1ln x x. 10. 21lim(33)x x x →+=36.11.设1lim ()100x f x →=,且()f x 在1x =处可导,则(1)f =100.12.()(1)n n x +!n .13.lim ()x f x →+∞存在的柯西条件为1212120,0,,:,()-()|A x x x A x A f x f x εε∀>∃>∀>><有|.14.集合[1,99]的上确界是99.15.曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程为21y x =-. 写出以下定义+∞=-∞→)(lim x f x （0>∀G ,0>∃A :x ∀A x -<都有G x f >)( ） -∞=-∞→)(lim x f x （0>∀G ,0>∃A :x ∀A x -<都有G x f -<)(）+∞=→)(lim x f ax （0>∀G ,0>∃δ:x ∀δ<-<a x 都有G x f >)(）-∞=→)(lim x f ax （0>∀G ,0>∃δ:x ∀δ<-<a x 都有G x f -<)(）∞=→)(lim x f a x （0>∀G ,0>∃δ:x ∀δ<-<a x G x f >)(）+∞=-∞→)(lim x f x （0>∀G ,0>∃A :x ∀A x -<都有G x f >)(）b x f x =-∞→)(lim ε<-b x f )(）)()(lim a f x f ax =→δ<-a ε<-)()(a f x f ）)(lim x f ax →不存在 （ ε,δδ<-<a x ε≥-b x f )(）∞=→)(lim x f ax （0>∀G ,0>∃δ:x ∀<-<a x G x f >)(）三、判断题1.数列{}n a 收敛的充要条件是{}n a a -为无穷小数列. （ √ ）2.有界数列一定是收敛数列. （ × ）3.lim0n = （01a <<）. （ × ） 4.闭区间上连续函数必为有界函数. （ √ ） 5.01lim sinx x→不存在. （ √ ） 6.收敛数列必为有界数列，有界数列也必收敛. （ × ） 7.若数列有两个具有不同极限的子列，则该数列必发散. （ √ ）8.设点0x 是函数()f x 的间断点，如果0()f x -与0()f x +都存在，则称点0x 为可去间断点. （ × ） 9.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. （ √ ） 10.若()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处可导. （ × ） 11.若函数)(x f y =在点0x 处不连续，则)(x f y =在点0x 处必不可微. （ √ ） 12.如果极限000(2)(2)lim4x f x x f x x x∆→+∆--∆∆存在，则该极限与0()f x '相等. （ × ）13.lim ()x f x A →+∞=充分必要条件是()f x A -为x →+∞时无穷小量. （ √ ）14.0lim ()0lim ()0x x x x f x f x →→=⇔=. （ √ ）15.若函数()f x 有界，则()f x 在定义域内任意点0x 收敛. （ × ） 16.非空数集有上界则存在上确界 （ √ ） 17.非空数集有下界则有唯一的下确界 （ √ ） 18.数列有两个子列同时收敛则其本身收敛 （ × ） 19.数列收敛则任意子列也收敛 （ √ ） 20.连续函数和一致连续函数定义上没有区别 （ × ）四、计算题1.22232lim 21n n n n →∞+++. 解 22232lim 21n n n n →∞+++=22221(232)lim 1(21)n n n n n n →∞+++=22322lim 12n n n n →∞+++=22322lim lim 12lim n n n n nn→∞→∞→∞+++=200120++=+ 2.求极限n →∞+ .解 利用数列极限四则运算公式有n n n n →∞+=+3.求极限()1lim 48x xxx →+∞+.解 ()111l i m4l i m 812xxxx xx x →+∞→+∞⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11221lim 812xx xx x ⋅→+∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦088e =⋅=4.lny ='y .解首先12y =-11((22y x '''=-=-+1(12=-+= 5.设y = 求'y .解 首先将函数变形22ln4ln2ln 2ln 22y x x==--，根据函数求导法则1122112'x x y x--++-=-=. 6.求函数2,5,().,x c x f x x c ax b ≥⎧=⎨<+⎩在c 的右导数. 当a 与b 为何值时, 函数()f x 在c 可导.解 2255()lim 10x c x c f c c x c++→-'==-.若可导, 则()f x 在c 点连续, 所以(0)(0)f c f c +=-. 于是有25c ac b =+.并且()()f c f c +-''=, 所以()()lim 10x c ax b ac b f c a c x c--→+-+'===-. 所以210,5.a c b c ==-时, 函数()f x 在c 可导.1.求极限：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ .解 注意22)1)(1(11nn n n +-=-，则 )11()311)(211(lim 222n n ---∞→ =222)1)(1(34*2*23*1(lim n n n n +-∞→ =122222222)1()1(32)1(32lim nn n n n n +--∞→ =2(1)lim 2n n n n →∞+=12 2.求极限4x →.解x →=x →43x x →→===3.设y =，求y '.解22y '=2223322221(1)ln ln (1)(1)x x x xx x x x x ---+==--.4.求 x y x =()0x >的导数.解 对xy x =两端求自然对数，有ln ln y x x =，对ln ln y x x =两端求导1ln +='x yy 即)1(ln +='x x y x5.求函数2(arctan )y x =的微分d y . 解[]2d d d (arctan )y x =+22a r c t a nd 1x x x x =++22arctan d 1x x x ⎛⎫=+⎪⎪+⎭. 1.求极限9x →解x →9x →65x →==. 2.求函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭的导数.解 两边同时取对数，则有ln ln1xy x x=+，求导有 211ln 1(1)y x x x y x x x '+=-⋅⋅++， 解得1ln 111xx x y x x x ⎛⎫⎛⎫'=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.3.求极限n →∞.解n n →∞→∞=+n n →∞→∞=+n n =-=04.设e arctan xy x=，求d y .解 2arctan de e d arctan d arctan xxx xy x-=221e arctan e 1d arctan x xx x x x -+=222(1)arctan 1e d (1)arctan xx x x x x⎡⎤+-⎣⎦=+. 5.求极限n .解n=nn =1.求极限31lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭解 x x x x 3)2111(lim ++∞→=x x x x 3)2111(lim ++∞→=623])21[(])11[(lim x x x xx ++∞→=3e -. 2.求极限x xx 2tan 2lim0→解 x x x 2tan 2lim 0→=xxx x x 2sin 2lim 2cos lim 00→→=1 .3.求极限32128lim 22+++∞→n n n n 解 32128lim 22+++∞→n n n n =)32(1)128(1lim 2222+++∞→n n n n n n =2232128limn n n n +++∞→ =22lim 21lim 2lim 8nnn n n n ∞→∞→∞→+++=402008=+++ 4.求函数2,,()3,.ax b x c f x x x c +≥⎧=⎨<⎩在c 的左导数. 当a 与b 为何值时, 函数()f x 在c 可导. 解 ()lim x cax b ac b f a x c--→+-+'==-若可导, 则()f x 在c 点连续, 所以(0)(0)f c f c +=-. 于是有23c ac b =+.并且()()f c f c +-''=, 所以. 2233()lim6x c x c f c c x c++→-'==-， 所以26,3.a c b c =⎧⎨=-⎩时, 函数()f x 在c 可导. 1.求极限：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ 解 注意22)1)(1(11n n n n +-=-则)11()311)(211(lim 222n n ---∞→ =222)1)(1(34*2*23*1(lim nn n n +-∞→ = =122222222)1()1(32)1(32lim n n n n n n +--∞→ =2(1)lim 2n n n n →∞+=122.求极限：2221lim n n n n→∞+-解2221lim n n n n →∞+-=212lim 11n n n→∞+-=212lim 211limn n n n →∞→∞+=-3.求极限202cos 1lim xxx -→ 解202cos 1lim x x x -→=22022sin 2lim x xx →=42sin lim 41220x x x →=22sin lim 410x x x →22sinlim 0x x x →=41 4.求极限3212lim 22++∞→x x x解3212lim 22++∞→x x x =)32(1)12(1lim 2222++∞→x xx x x =223212lim xx x ++∞→=223lim 21lim2x x x x ∞→∞→+++=1五、证明题1.用数列极限定义证明335215lim212n n n n →∞++=-. 证明 限定7>n 或更大，从而310n ->，0>∀ε，要使不等式3335215472122(21)n n n n n +++-==--3472(21)n n +=-33472(1)n n n ++-33451222n n n n n n ε+<=<<成立. 解得ε21>n ，取}21,7max{ε=N 于是符合极限定义：,0>∀εN ∃N n >∀有 ε<---+25324533n n n 成立，即得证. 2. 设1a1n a +=1,2,3)n = , 证明数列{}n a 收敛,并求其极限值.证明 先证{}n a 严格单调增加.事实上，当1n =时，有1a==2a ，设n k =时有k a <1k a +，则，即1k a +<2k a +，从而由数学归纳法知数列{}n a 严格单调增加。