2017-2018九年级数学学案1-8
2017-2018学年九年级数学上册教案(打包24份) 北师大版14(免费推荐下载)
探索三角形相似的条件第课时两角分别相等的判定方法．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．．掌握两角分别相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：(一)知识探究．三角分别、三边的两个三角形叫做相似三角形．．两角分别的两个三角形相似．(二)自学反馈下列是两位同学运用相似三角形的定义判定下图中两个三角形是否相似的过程，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．甲同学：虽然这两个三角形的三个内角分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以他们不相似．乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．这两个三角形相似，理由：∵∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，又∵＝＝，∴△∽△.注意对应关系，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．活动小组讨论例如图，，分别是△的边，上的点，∥，＝，＝，＝，求的长．解：∵∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴△∽△(两角分别相等的两个三角形相似)．∴＝.∴＝＝＝.先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义可计算边的长．活动跟踪训练．下面能够相似的一组三角形为( )．两个等腰三角形．两个直角三角形．两个等边三角形．以上都不对．如图，∥∥，则图中相似三角形有( )．对．对．对．对．如图，∠＝∠，则一定可得( )．∶＝∶．∶＝∶．∶＝∶．∶＝∶．如图，∠＝∠＝°，＝，＝，＝，则＝.．如图，锐角三角形的边，上的高线，相交于点，请写出图中的两对相似三角形(用相似符号连接)．．如图，已知∠＝∠，那么△与△相似吗？·＝·成立吗？为什么？活动课堂小结．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．【预习导学】(一)知识探究．相等成比例.相等【合作探究】活动跟踪训练．.△∽△，△∽△．相似．成立．∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝.∴·＝·.第课时两边成比例且夹角相等的判定方法．掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：(一)知识探究两边且相等的两个三角形相似．(二)自学反馈根据下列条件，判断△和△′′′是否相似，并说明理由．如图，已知∠＝°，＝，＝，∠′＝°，′′＝，′′＝.活动小组讨论例如图，，分别是△的边，上的点，＝，＝，＝，且＝，求的长．解：∵＝，＝，∴＝.∵＝，∴＝.又∵∠＝∠，∴△∽△(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．∴＝＝.∵＝，∴＝＝×＝.判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下，夹这个角的两边的比相等有两种情形，不要只考虑其中一种情形，而忽视了另一种．易错提示：.只有两边成比例的两个三角形不一定相似，如：两个等腰三角形就未必相似；．两边成比例，且其中一边所对的角相等，这样的两个三角形不一定相似．活动跟踪训练．如图，不等长的两条对角线、相交于点，且将四边形分为甲、乙、丙、丁四个三角形，若∶＝∶＝∶，则下列关于此四个三角形的关系中说法正确的是( )．甲、丙相似，乙、丁相似．甲、丙相似，乙、丁不相似．甲、丙不相似，乙、丁相似．甲、丙不相似，乙、丁不相似．如图，若∶＝∶，则△∽△，∠＝∠.．如图所示，与相交于点，∶＝∶，＝，＝，＝，则＝.．在△和△′′′中，若∠＝∠′，＝，＝，′′＝，则当′′＝时，△∽△′′′. ．如图，在钝角△中，＝，＝，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，如果两点同时移动，经过秒时，△与△相似．活动课堂小结相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．【预习导学】(一)知识探究成比例夹角(二)自学反馈△和△′′′相似．理由：∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠＝∠′，∴△∽△′′′.【合作探究】活动跟踪训练．或第课时三边成比例的判定方法．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．(重点)．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．(难点)阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：(一)知识探究．三边成比例的两个三角形．．两角分别的两个三角形相似．．两边且相等的两个三角形相似．(二)自学反馈若△的各边都分别扩大为原来的倍，得到△′′′，则下列结论正确的是( )．△与△′′′的对应角不相等．△与△′′′不一定相似．△与△′′′的相似比为∶．△与△′′′的相似比为∶活动小组讨论例如图，在△和△中，＝＝，∠＝°，求∠的度数．解：∵＝＝，∴△∽△(三边成比例的两个三角形相似)．∴∠＝∠.∴∠－∠＝∠－∠，即∠＝∠.∵∠＝°，∴∠＝°.本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用，先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似，再通过观察图形，寻找∠和∠的关系．例如图，△与△′′′相似吗？你有哪些判断方法？△∽△′′′.判断方法有：()三边成比例的两个三角形相似；()两角分别相等的两个三角形相似；()两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；()定义法．以方格纸为背景呈现两个三角形，意在运用不同判定方法进行判断．活动跟踪训练．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )．在△和△′′′中，＝，＝，＝，′′＝，′′＝，′′＝，则△和△′′′(填“相似”或“不相似”)．．如图所示，要使△∽△，则＝.．如图，点是△外的一点，分别在射线，，上取一点′，′，′，使得＝＝＝，连接′′，′′，′′，所得△′′′与△是否相似？说明理由．．已知：如图，∠＝∠＝°，＝，＝，当与，之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？活动课堂小结．相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似．．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．【预习导学】(一)知识探究．相似.相等.成比例夹角(二)自学反馈【合作探究】活动跟踪训练．.相似．相似．∵＝＝，∠＝∠′′，∴△∽△′′.∴＝＝.同理可得＝，＝，∴＝＝.∴△′′′∽△. .∵∠＝∠＝°，()当＝时，△∽△，此时＝＝，即＝.∴＝.即当＝时，△∽△；()当＝时，△∽△，此时＝＝，即＝，＝.∴当＝时，△∽△.综上所述，当＝或＝时，这两个三角形相似．第课时黄金分割知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：(一)知识探究一般地，点把线段分成两条线段和(如图)，如果＝，那么称线段被点，点叫做线段的，与的比叫做．其中＝≈.(二)自学反馈已知点是线段的黄金分割点(＞)，则∶＝( )活动小组讨论例古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中的用虚线表示的矩形画成图中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以惊奇地发现，＝.点是的黄金分割点吗？矩形的宽与长的比是黄金比吗？解：∵四边形为正方形，∴＝.∵四边形为矩形，∴＝.∴＝.∵＝，∴＝.∴点是的黄金分割点，＝.∴＝.∴矩形的宽与长的比是黄金比．活动跟踪训练．已知点是线段的黄金分割点(＞)，若＝，则的长为( )．(－) ．(－)．(－) ．(－)．把长为的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( )．已知点是线段的黄金分割点，若＝，则＝，＝.．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为，则α＝度．．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少处．(结果精确到)．已知线段＝，点是它的黄金分割点，求的长．活动课堂小结．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？．一条线段有几个黄金分割点？．如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？．如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？【预习导学】(一)知识探究黄金分割黄金分割点黄金比(二)自学反馈【合作探究】活动跟踪训练． 5.7.6．分两种情况讨论：当点靠近点时，＝×＝(－)；当点靠近点时，＝×＝(－).。
2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上册全套电子版教案
2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上册全套教学案(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)九年级数学(上)(配人教地区使用)(这是边文，请据需要手工删加)第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页 练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：1.a ≠1；2.略；3.略；4.k ＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1.(2)由已知，得：(x＋3)2＝2直接开平方，得：x＋3＝±2即x＋3＝2，x＋3＝－ 2所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2解：略．例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x 2＋16x ＋16＝(2x ＋4)2，你能把4x 2＋16x ＝－7化成(2x ＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，求场地的长和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9 左边写成平方形式→(x ＋3)2＝25降次→x ＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8 可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上． 解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0(2)2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 2＝4 (2)(x －2)2＝7提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程 2x 2＋3＝7x (老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值． 2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0x 2－5x ＋6＝0(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2－7x －4＝0 3x 2＋2x －5＝0 5x 2－17x ＋6＝0小结：根与系数关系：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋ca＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题． 难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
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矩形的性质与判定第课时矩形的性质．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)阅读教材～，完成下列问题：(一)知识探究．有的平行四边形叫做矩形．．生活中你见到过的矩形有、.．矩形是的平行四边形，具有平行四边形的性质．．矩形的都是直角．．矩形的对角线．．直角三角形斜边上的中线等于斜边的．(二)自学反馈．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：()矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )()平行四边形是矩形．( )()平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )．已知△是直角三角形，∠＝°，是斜边上的中线．若＝，则＝.活动小组讨论例如图，在矩形中，两条对角线相交于点，∠＝°，＝，求矩形对角线的长．证明：∵四边形是矩形，∴＝(矩形的对角线相等)，＝＝，＝＝.∴＝.∵∠＝°，∴∠＝∠＝×(°－°)＝°.又∵∠＝°(矩形的四个角都是直角)，∴＝＝×＝.利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．活动跟踪训练．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )．对边相互平行．对角线相等．对角线相互平分．对角相等．如果矩形的两条对角线所成的钝角是°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( ) ．∶．∶．∶．∶．如图，在矩形中，＜，，相交于点，则图中等腰三角形的个数是( )．．．．．如图，在△中，∠＝°，、为、的中点．则下列结论中错误的是( )．＝．∠＝∠．∠＝°．＝．在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为．．矩形的一条对角线长，且两条对角线的一个夹角为°，则矩形的宽为.．如图，在矩形中，点是上一点，＝，⊥，垂足为.求证：＝.活动课堂小结．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【预习导学】(一)知识探究．一个角是直角.五星红旗毛巾.特殊一切.四个角.相等.一半(二)自学反馈．是轴对称图形，有两条对称轴．.()√()×()√【合作探究】活动跟踪训练．．证明：连接.∵＝，∴∠＝∠.∵四边形是矩形，∴∥，∠＝°.∴∠＝∠.∴∠＝∠.又∵⊥，∴∠＝∠＝°.∵＝，∴△≌△.∴＝.第课时矩形的判定能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)阅读教材～，完成下列问题：(一)知识探究．对角线的平行四边形是矩形．．有三个角是的四边形是矩形．(二)自学反馈．能够判断一个四边形是矩形的条件是( )．对角线相等．对角线垂直．对角线互相平分且相等．对角线垂直且相等．矩形的一组邻边分别长和，则它的对角线长.．如图，直线∥，交、于、两点，、、、分别是∠、∠、∠、∠的平分线．()判断和、和的位置关系？()∠、∠、∠、∠各等于多少度？()四边形是( )．菱形．平行四边形．矩形．不能确定()和有怎样的大小关系？为什么？活动小组讨论例如图，在▱中，对角线和相交于点，△是等边三角形，＝.求▱的面积．解：∵四边形是平行四边形，∴＝，＝.∵△是等边三角形，∴＝＝＝，∠＝°.∴＝＝＝＝.∴＝＝＝.∴四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．∴∠＝°(矩形的四个角都是直角)．∴由勾股定理得：＝＝.∴▱的面积是×＝×＝.先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．活动跟踪训练．下列说法错误的是( )．有一个内角是直角的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等．对角线相等的平行四边形是矩形．有两个角是直角的四边形是矩形．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) ．＝．＝．＝．＝．如图，在四边形中，已知∥，＝.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是．(填上你认为正确的一个答案即可)．如图，直角∠内的任意一点到这个角的两边的距离之和为，则图中四边形的周长为．．如图，在▱中，⊥，⊥，垂足分别为，.求证：()△≌△；()四边形为矩形．活动课堂小结矩形的判定方法：．有一个角是直角的平行四边形是矩形．．对角线相等的平行四边形是矩形．．有三个角是直角的四边形是矩形．【预习导学】(一)知识探究．相等.直角(二)自学反馈．.()∥，∥.()°.() ()相等．因为矩形的对角线相等．【合作探究】活动跟踪训练．.答案不唯一，如：∠＝°．证明：()∵⊥，⊥，∴∠＝∠＝°.∵四边形为平行四边形，∴＝，∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()．()∵四边形为平行四边形，∴∥.∴∠＋∠＝°.∵∠＝°，∴∠＝°.∴∠＝∠＝∠＝°.∴四边形为矩形．第课时矩形的性质与判定的运用能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)阅读教材～，完成下列问题：自学反馈．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知∠＝°，＝，则∠＝，＝，矩形＝.．如图，四边形是平行四边形，添加一个条件，可使它成为矩形．活动小组讨论例如图，在矩形中，＝，对角线与交于点，⊥，垂足为，＝.求的长．解：∵四边形是矩形，∴＝＝＝(矩形的对角线相等且互相平分)，∠＝°(矩形的四个角都是直角)．∵＝，∴＝.又∵⊥，∴＝.∴＝＝，即△是等边三角形．∴∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.在△中，∵∠＝°，∴＝＝×＝.例如图，在△中，＝，为∠的平分线，为△外角∠的平分线，⊥，垂足为.求证：四边形是矩形．证明：∵平分∠，平分∠，∴∠＝∠，∠＝∠.∴∠＝∠＋∠＝(∠＋∠)＝×°＝°.在△中，∵＝，为∠的平分线，∴⊥.∴∠＝°.又∵⊥，∴∠＝°.∴四边形为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．活动跟踪训练．如图，在矩形中，对角线、交于点，以下说法错误的是( )．∠＝°．＝．＝．＝．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为°，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为( )．．．．．如图，四边形为平行四边形，延长到，使＝，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是( )．＝．⊥．∠＝°．⊥．在矩形中，对角线、相交于点，若∠＝°，＝，则＝.．在四边形中，∥，∠＝°，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是．(写出一种情况即可)．如图，▱中，点是与的交点，过点的直线与、的延长线分别交于点、.()求证：△≌△；()请连接、，则与满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．活动课堂小结．说说你的收获．．说说你的困惑．．说说你的方法．【预习导学】自学反馈．°.答案不唯一，如：＝【合作探究】活动跟踪训练．.答案不唯一，如：＝.．()证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥.∴∠＝∠.又∠＝∠.∴△≌△.()连接、，则与满足＝时，四边形是矩形，理由：由()可知△≌△，∴＝.∵＝，∴四边形是平行四边形．∵＝，∴四边形是矩形.。
2017-2018学年湘教版九年级数学上册全册学案
2017-2018学年湘教版九年级数学上册全册学案目录1.1反比例函数1.2反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数y＝k∕x(k＞0)第2课时反比例函数y＝k∕x(k＜0)第3课时反比例函数的图象与性质的综合应用1.3反比例函数的应用2.1一元二次方程2.2.1配方法第1课时根据平方根的意义解一元二次方程第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程根的判别式2.4一元二次方程根与系数的关系2.5一元二次方程的应用第1课时增长(降低)率问题第2课时利润问题第3课时面积问题3.1.1比例的基本性质3.1.2成比例线段3.2平行线分线段成比例3.3相似图形3.4.1相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定的预备定理第2课时相似三角形的判定定理1第3课时相似三角形的判定定理2第4课时相似三角形的判定定理33.4.2相似三角形的性质第1课时与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质第2课时与相似三角形的面积、周长有关的性质3.5相似三角形的应用3.6位似第1课时位似图形的概念及画法第2课时平面直角坐标系中的位似图形4.1正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦值第2课时45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角第3课时余弦4.2正切4.3解直角三角形4.4解直角三角形的应用第1课时与仰角、俯角有关的应用问题第2课时与坡度、坡角有关的应用问题第3课时与方位角有关的应用问题5.1总体平均数与方差的估计5.2统计的简单应用第1课时用样本的“率”去估计总体相应的“率”第2课时对事物的发展趋势做出判断和预测第1章 反比例函数 1．1 反比例函数1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．(重点) 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数模型的思想．(重点)阅读教材P2～3，完成下列内容： (一)知识探究形如y ＝kx (k 是常数，________)的函数称为________，其中x 是________，y 是________．自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数． (二)自学反馈下列函数中，属于反比例函数的是________；每一个反比例函数的比例系数是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－23x；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.判断是不是反比例函数，一定要根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式．活动1 小组讨论例 如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC ，BD 的长分别为x ，y.写出变量y 与x 之间的函数表达式，并指出它是什么函数．解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， ∴S 菱形＝12xy ＝180.∴xy ＝360(定值)，即y 与x 成反比例关系． ∴y ＝360x. 因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y 是另一条对角线长x 的反比例函数． 活动2 跟踪训练1．下面的函数是反比例函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x2．在函数y ＝3x 中，自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠0B ．x ＞0C ．x ＜0D ．一切实数 3．若函数y ＝kx k－2是反比例函数，则k ＝________.4．已知函数y ＝－6x ，当x ＝－2时，y 的值是________．5．列出下列问题中的函数表达式，并指出它们是什么函数．(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式；(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；(3)小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． 活动3 课堂小结本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，自变量x 不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数？【预习导学】 知识探究k ≠0 反比例函数 自变量 因变量 自学反馈 ③④⑤⑦ ③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－23；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1. 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.1 4.3 5.(1)y ＝1 500x ，反比例函数． (2)y ＝4.75x ，正比例函数． (3)t ＝100v，反比例函数．1．2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数y ＝kx(k>0)的图象与性质1．能用“描点法”画反比例函数y＝kx(k>0)的图象．(重点)2．通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数y＝kx(k>0)的性质．(重点)阅读教材P5～7，完成下列内容：(一)知识探究1．类比一次函数的图象画法，画反比例函数的图象的一般步骤：________、________、________. 2．一般地，当k>0时，反比例函数y＝kx的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y轴都________，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而________．(二)自学反馈你能画出反比例函数y＝2x的图象吗？它是什么形状？有什么特点？活动1小组讨论例1画出反比例函数y＝6x的图象．解：列表，如下：描点、连线，如图所示：列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；描点时：尽量多描一些点，这样既可以方便连线，又能较准确地表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性．例2在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数y＝3x的图象．解：列表，如下：描点、连线，如图所示．例3观察画出的y＝6x，y＝3x的图象，思考下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？解：(1)两个函数的图象都分别位于第一、三象限．(2)y随x的增大而减小．(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，每个象限内y随x的增大而减小．(2)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y＝x和y＝－x.对称中心是原点．活动2跟踪训练1．反比例函数y＝1x(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值()A．减小B．增大C．不变D．先减小，后不变2．反比例函数y＝2x的图象位于平面直角坐标系的()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限3．已知P1(－2，y1)，P2(－1，y2)，P3(1，y3)是反比例函数y＝2x的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y14．反比例函数y＝2x的图象与两坐标轴________相交(填“会”或“不会”)．5．已知反比例函数y＝1－mx的图象如图所示，则m的取值范围是________．活动3课堂小结反比例函数y＝kx(k>0)的图象与性质：【预习导学】知识探究1．列表描点连线 2.一三曲线不相交减小自学反馈答案略【合作探究】活动2跟踪训练1．A 2.A 3.C 4.不会 5.m＜1第2课时反比例函数y＝kx(k<0)的图象与性质1．会画反比例函数y ＝kx (k<0)的图象．(重点)2．探索并掌握y ＝kx(k<0)的性质．(重点)阅读教材P7～9，完成下列内容： (一)知识探究当k<0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y 轴________，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而________． (二)自学反馈下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝12x ；④y ＝－7x .(1)图象位于第二、四象限的有________；(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．活动1 小组讨论例 画反比例函数y 1＝4x 和y 2＝－4x 的图象．解：列表→描点→连线，如图所示．反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝－k x 的图象关于x 轴、y 轴对称．当k<0时，反比例函数y ＝kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 活动2 跟踪训练1．反比例函数y ＝－1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A．增大B．减小C．不变D．先增大后减小2．反比例函数y＝－1－a2x(a是常数)的图象分布在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．点(1，y1)、(2，y2)在函数y＝－2x的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．4．已知反比例函数y＝3－kx，分别根据下列条件求出字母k的取值范围：(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每一象限内，y随x的增大而增大．牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断比例系数的符号．活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究二四曲线不相交增大自学反馈(1)②④(2)②④(3)①③【合作探究】活动2跟踪训练1．A 2.C 3.＜ 4.(1)∵函数图象位于第一、三象限，∴3－k＞0.解得k＜3.(2)∵在每一象限内，y随x 的增大而增大，∴3－k＜0.解得k＞3.第3课时反比例函数的图象与性质的综合应用1．能根据已知点坐标确定反比例函数的表达式．2．能借助一次函数与反比例函数的图象解决简单的实际问题．阅读教材P10～11，完成下列内容： 自学反馈已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)、C(－212，－445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？活动1 小组讨论例1 如图是反比例函数y ＝kx 的图象．根据图象，回答下列问题：(1)k 的取值范围是k>0，还是k<0？说明理由；(2)如果点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)由图可知，反比例函数y ＝kx 的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该图象上的两点，所以点A ，B 都位于第三象限．又因为－3<－2，由反比例函数图象的性质可知：y 1>y 2.例2 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)．试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，其中k 1，k 2为常数，且均不为零．由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式． 因此4＝k 1³(－3)，4＝k 2－3.解得k 1＝－43，k 2＝－12.因此这两个函数的表达式分别为y ＝－43x 和y ＝－12x .它们的图象如图所示：活动2 跟踪训练1．已知反比例函数y ＝kx 的图象经过点(2，－2)，则k 的值为( )A ．4B ．－12C ．－4D ．－22．如图，已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(－3，4)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(4，3) 3．设反比例函数y ＝k ＋1x，(x 1，y 1)、(x 2，y 2)为其图象上的两点，若x 1<0<x 2时，y 1>y 2，则k 的取值范围是________．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．求：(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．活动3 课堂小结 本课时学会解决的问题：1．根据点的坐标确定反比例函数表达式．2．根据反比例函数的图象比较已知两点坐标值的大小． 3．综合利用图象及性质解决一次函数与反比例函数的交点问题．【预习导学】 自学反馈(1)设这个反比例函数为y ＝k x ，∵图象过点A(2，6)，∴6＝k2.解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x.∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，∴点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.C 3.k<－1 4.(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数y＝m x (m ≠0)的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1x .∵一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(2，12)，点B(－1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝12，－k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12.∴一次函数的表达式为y ＝12x －12.(2)由图象可知：当x ＞2或－1＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值.1.3 反比例函数的应用1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．(重点、难点) 2．体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．阅读教材P14～15，完成下列内容： 自学反馈某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m 2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N.(1)用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象；(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的实际问题．建立反比例函数模型，能帮助我们更好地解决实际问题．活动1 小组讨论例 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式：U ＝IR ，且该电路的电压U 恒为220 V.(1)写出电流I 关于电阻R 的函数表达式；(2)若该电路的电阻为200 Ω，则通过它的电流是多少？(3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R ，就可以使电路中的电流I 增大？分析：由于该电路的电压U 为定值，即该电路的电阻R 与电流I 的乘积为定值，因此该电路的电阻R 与电流I 成反比例函数关系．解：(1)因为U ＝IR ，且U ＝220 V ，所以IR ＝220，即该电路的电流I 关于电阻R 的函数表达式为I ＝220R .(2)因为该电路的电阻R ＝200 Ω，所以通过该电路的电流I ＝220200＝1.1(A)．(3)根据反比例函数的图象及性质可知，当滑动变阻器的电阻R 减小时，就可以使电路中的电流I 增大．当我们把物理电学问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题即可迎刃而解． 活动2 跟踪训练1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m 3)的反比例函数，如图所示，则用气体体积V 表示气压p 的函数表达式为( )A ．p ＝120VB ．p ＝－120VC ．p ＝96VD ．p ＝－96V2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是( )3．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数表达式为____________；500度的近视眼镜镜片的焦距为________．5．学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y 与另一边x 之间的函数关系式如图所示．(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40 m ，那么它的宽应控制在什么范围内？活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 自学反馈(1)p ＝600S (S>0)，p 是S 的反比例函数． (2)p ＝3 000 Pa. (3)至少0.1 m 2. (4)图略． (5)问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p ＝6 000下方的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练 1．C 2.C 3.0.5 4.y ＝100x(x>0) 0.2米 5.(1)绿化带面积为10³40＝400(m 2)．设该反比例函数的表达式为y ＝k x ，∵图象经过点A(40，10)，把x ＝40，y ＝10代入，得10＝k40，解得k ＝400.∴函数表达式为y＝400x .(2)40 20 40310 若长不超过40 m ，则它的宽应不小于10 m.第2章 一元二次方程 2．1 一元二次方程1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．阅读教材P26～27，完成下列问题： (一)知识探究如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． (二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0 C.1x 2－1＝0 D.x 22－x －13＝02．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是____________．活动1小组讨论例1判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0；(4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2；(6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．活动2跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－13x－1＝0；(4)x2＋2x－3＝1＋x2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x的方程：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)a b c自学反馈1．D 2.3－2，－3， 2【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)是一元二次方程． 2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3.(1)a≠4.(2)a＝4. 4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2.2.2.2公式法1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．阅读教材P35～37，完成下列问题：(一)知识探究1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为：x＝______________(b2－4ac≥0)．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．2．运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作________．(二)自学反馈1．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，探究求根公式：因为a≠0，方程两边都除以a，得______________．把方程的左边配方，得________________，即(x＋________)2－________＝0.若b2－4ac≥0，原方程可化为(x＋b2a)2＝(________)2.由此得出：x ＋b 2a ＝________或x ＋b2a ＝－________.x ＝________或x ＝________. 若b 2－4ac ＜0，则此方程________． 2．用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2； (3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 解方程：3x 2＝4x －1.解：将方程化为一般形式，得3x 2－4x ＋1＝0. a ＝3，b ＝－4，c ＝1， b 2－4ac ＝(－4)2－4³3³1＝4， ∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝2³3＝4±26．∴x 1＝1，x 2＝13．例2 用公式法解方程：x(x －6)＋18＝9. 解：将方程化为一般形式，得x 2－6x ＋9＝0. 因此a ＝1，b ＝－6，c ＝9， b 2－4ac ＝(－6)2－4³1³9＝0， ∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±02³1＝3.∴x 1＝x 2＝3. 活动2 跟踪训练1．用公式法解x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( ) A ．1，3，－1 B ．1，－3，－1 C ．1，－3，1 D ．1，3，1 2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋5x －1＝0； (2)x 2＋4x －6＝0； (3)x 2＋22x －1＝0; (4)2x 2－3x ＋1＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式，确定a ，b ，c 的值，求出b 2－4ac 的值； ②若b 2－4ac ≥0，则代入公式求解；若b 2－4ac<0，则原方程无解．【预习导学】 知识探究1.－b±b 2－4ac 2a2.公式法自学反馈1．x 2＋b a x ＋c a ＝0 x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b 2a )2＋c a ＝0 b2ab 2－4ac 4a 2 ±b 2－4ac 2a b 2－4ac2ab 2－4ac 2a －b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a 无解 2.(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.(1)x 1＝－5＋292，x 2＝－5－292.(2)x 1＝－2＋10，x 2＝－2－10.(3)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－3.(4)x 1＝1，x 2＝12.2．2.1 配方法第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程1．会根据平方根的意义解形如x 2＝a(a ≥0)或(mx ＋n)2＝a(a ≥0)的一元二次方程． 2．理解解一元二次方程的基本思路，体会降次和转化的思想方法．阅读教材P30～31，完成下列问题： (一)知识探究1．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的________．2．解一元二次方程的基本思路是通过________，将一个一元二次方程转化为两个________方程． (二)自学反馈1．根据平方根的意义解下列方程： (1)x 2－49＝0； (2)4x 2－49＝0. 解：①移项，得x 2＝____. 解：②移项，得____． 直接开平方，得x ＝____. 两边同时除以4，得____． ∴x 1＝____，x 2＝____. 直接开平方，得____． ∴x 1＝____，x 2＝____.用平方根的意义解一元二次方程的一般步骤：先通过移项，用等式的性质等将方程化为形如x 2＝a(a ≥0)的形式．再利用平方根的意义求得方程的解为x ＝±a. 2．方程(x ＋1)2＝3能根据平方根的意义求解吗？解：若把(x ＋1)看成整体，再根据平方根的意义，得x ＋1＝________或x ＋1＝________，解得x 1＝________，x 2＝________.若(mx ＋n)2＝a(a ≥0)，则开平方，得mx ＋n ＝±a ；若a ＜0，则此一元二次方程无解．活动1 小组讨论例1 下面哪些数是方程x 2－x －6＝0的根？－2，3． －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.直接将x 的值代入方程，检验方程两边是否相等．例2 根据平方根的意义解下列方程： (1)4x 2－1＝0； (2)13x 2－27＝0.解：原方程可化为x 2＝14. 解：原方程可化为x 2＝81.x ＝±14， x ＝±81， ∴x 1＝12，x 2＝－12. ∴x 1＝9，x 2＝－9.例3 根据平方根的意义解下列方程： (1)(x ＋1)2－25＝0; (2)9(x ＋1)2－25＝0.解：原方程可化为(x ＋1)2＝25. 解：原方程可化为[3(x ＋1)2]＝25. x ＋1＝±5, 3x ＋3＝±5，∴x 1＝4，x 2＝－6. ∴x 1＝23，x 2＝－83.运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．活动2 跟踪训练1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 2．解下列方程： (1)x 2－3＝0; (2)4x 2－20＝0； (3)(x －2)2＝9; (4)(2x ＋1)2－49＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．根 2.降次 一元一次 自学反馈1．(1)49 ±49 7 －7 (2)4x 2＝49 x 2＝494 x ＝±494 72 －722.3 －3 －1＋3 －1－ 3 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．B 2.(1)x 1＝3，x 2＝－ 3.(2)x 1＝5，x 2＝－ 5.(3)x 1＝5，x 2＝－1.(4)x 1＝3，x 2＝－4.第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程． 2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．阅读教材P32～33，完成下列问题： (一)知识探究1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解． (二)自学反馈 1．用适当的数填空：(1)x 2－8x ＋(______)2＝(x －______)2； (2)x 2＋10x ＋(______)2＝(x ＋______)2. 2．用配方法解下列方程：(1)x 2＋2x ＝7； (2)x 2－5x ＋14＝0.活动1 小组讨论例 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0; (2)x 2＋1＝3x. 解：x 1＝4＋15，解：x 1＝52＋32， x 2＝4－15. x 2＝－52＋32.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方． (3)注意：配方时一定要在方程的两边同加． 活动2 跟踪训练1．把二次三项式x 2＋8x ＋2进行配方，正确的是( ) A ．(x ＋8)2－1 B ．(x ＋4)2－14C ．(x ＋4)2＋18D ．(x ＋2)2－16 2．填空：(1)x 2－4x ＋______＝(x －______)2； (2)x 2＋6x ＋______＝(x ＋______)2； (3)x 2－7x ＋______＝(x －______)2.3．解方程x 2－3x －2＝0，配方，得(x －______)2＋______＝0. 4．用配方法解下列方程： (1)x 2－2x ＝1; (2)x 2＋6x －2＝0；(3)x 2＋4x ＋3＝0; (4)x 2＋x －1＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．一半 平方 减去 完全平方式 平方根的意义 2.平方根的意义 一元一次 自学反馈1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x 1＝－1＋22，x 2＝－1－2 2.(2)x 1＝52＋6，x 2＝52－ 6.【合作探究】 活动2 跟踪训练1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3)494 72 3.32 －1744．(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝11－3，x 2＝－11－3.(3)x 1＝－1，x 2＝－3.(4)x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52. 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤． 2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．阅读教材P34～35，完成下列问题： (一)知识探究用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： (1)化——化二次项系数为________；(2)配——________，使原方程变为(x ＋m)2－n ＝0的形式； (3)移——移项，使方程变为(x ＋m)2＝n 的形式； (4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得________； (5)解——方程的解为x ＝________. (二)自学反馈1．解方程2x 2－4x －1＝0.解：将方程两边同时除以2，得________． 把方程的左边配方，得________， 即(x －________)2－32＝0.x －1＝________， ∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62.当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质将方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解． 2．用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋2＝5.解一元二次方程的实质是：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．活动1 小组讨论 例1 用配方法解方程：(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94.解：原方程可化为 解：原方程可化为 y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34＝0.∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋(32)2＝34＋(32)2，即(y －1)2＝64. 即(x ＋32)2＝3.∴y －1＝±8. ∴x ＋32＝±3.解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝－3＋232，x 2＝－3－232. 例2 用配方法解方程：－3y 2＋12y ＋36＝0. 解：方程两边同时除以－3，得y 2－4y －12＝0， 即(y －2)2＝16. ∴y －2＝±4. ∴y 1＝6，y 2＝－2.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数． (2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方． (3)注意：配方时一定要在方程两边同加． 活动2 跟踪训练1．用配方法解方程2x 2－4x －3＝0，把二次项系数化为1后，方程两边都应加上( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．解一元二次方程2x 2＋2x －3＝0，配方正确的是( ) A ．(x ＋12)2＝74B ．(x ＋1)2＝4C ．(2x ＋1)2＝4D ．(x ＋12)2＝1343．在下列各式中填上适当的数，使等式成立： (1)2x 2＋4x ＋______＝2(x ＋______)2； (2)3x 2＋6x －1＝3(x ＋______)2＋______. 4．用配方法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0； (2)2x 2－4x －3＝0； (3)3x 2－4x ＋1＝0; (4)6x 2－x －12＝0. 活动3 课堂小结用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；②把二次项系数化为1；③配方，得到方程(x ＋m)2－n ＝0的形式；④利用平方根的意义求解．【预习导学】 知识探究(1)1 (2)配方 (4)x ＋m ＝±n (5)－m±n 自学反馈1．x 2－2x －12＝0 x 2－2x ＋1－1－12＝0 1 ±622．(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(2)x 1＝62，x 2＝－62. 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.(1)2 1 (2)1 －4 4.(1)x 1＝1，x 2＝－12.(2)x 1＝1＋102，x 2＝1－102.(3)x 1＝1，x 2＝13.(4)x 1。
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目录第二十一章一元二次方程1、一元二次方程（1） (4)2、一元二次方程（2） (6)3、一元二次方程的解法直接开平方法和因式分解法 (8)4、一元二次方程解法-配方法 (11)5、一元二次方程根的判别式 (13)6、一元二次方程解法-公式法 (15)7、一元二次方程解法--习题课 (18)8、一元二次方程根与系数的关系 (21)9、实际问题与一元二次方程（1） (24)10、实际问题与一元二次方程（2） (27)11、一元二次方程复习 (30)12、一元二次方程测试 (33)第二十二章二次函数1、二次函数 (36)2、二次函数2=的图像 (38)y ax3、二次函数()k-y+=2的图象（1） (42)hxa4、二次函数()k-=2的图像（2） (45)y+axh5、二次函数()ky+-=2的图像（3） (47)ahx6、二次函数()k-=2的图像（4） (49)y+hxa7、二次函数2y ax bx c=++的图像 (51)8、用待定系数法求二次函数的解析式 (53)9、用函数观点看一元二次方程（1） (56)10、用函数观点看一元二次方程（2） (59)11、实际问题与二次函数 (61)12、二次函数复习（1） (64)13、二次函数复习（2） (67)14、二次函数测试 (69)第二十三章旋转1、图形的旋转（1） (71)2、图形的旋转（2） (73)3、中心对称（1） (75)4、中心对称（2） (77)5、中心对称（3） (79)6、图形的旋转复习 (81)7、图形的旋转测试 (83)第二十四章圆1、圆 (86)2、垂直于弦的直径 (87)3、弦、弧、圆心角 (89)4、圆周角 (92)5、弦、弧、圆心角、圆周角习题课 (95)6、点、直线、圆和圆的位置关系（1） (99)7、点、直线、圆和圆的位置关系（2） (102)8、点、直线、圆和圆的位置关系（3） (105)9、点、直线、圆和圆的位置关系（4） (108)10、正多边形和圆 (110)11、弧长和扇形面积(1) (113)12、弧长和扇形面积(2) (115)13、圆小结与复习 (117)14、圆综合测试 (121)第二十五章概率初步1、随机事件（1） (126)2、随机事件（2） (129)3、概率 (131)4、用列举法求概率 (133)5、用树形图求概率 (135)6、利用频率估计概率 (137)7、概率复习 (140)8、概率测试 (146)x 问题导学式提纲----一元二次方程（1）一、学习目标：1、了解一元二次方程的概念、一般形式及其有关概念．2、应用一元二次方程概念解决一些简单题目．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、自主学习（阅读教材第25至26页，完成以下问题。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版2(免费推荐下载)
课题：二次根式的乘除一、教学目标.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算..会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点.重点：二次根式的乘法法则..难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的概念和性质，从本节课开始我们要学习二次根式的乘除（板书课题：二次根式的乘除），这节课我们先学习二次根式的乘法.（二）尝试指导，讲授新课师：，并指准）这是一个二次根式，这也是一个二次根式，这两个二次根式怎么相乘呢？（稍停）还是让我们先来看几个具体的例子.师：⨯⨯于（边讲边板书：×）⨯）.师：，）.师：（指准等式）⨯⨯（边⨯.师：我们再来看一个例子.师：⨯⨯.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：.（多让几名同学回答）师：⨯（边讲边板书：×），等于（边讲边板书：）.师：等于什么？大家算一算.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：.（多让几名同学回答）师：）等于（边讲边板书：）.师：（⨯也等于，⨯⨯）.师：⨯⨯，从这两个等式，你能发现什么规律？（让生思考一会儿）师：⨯⨯生：……（多让几名同学回答）师：（⨯⨯也就是等于.师：⨯⨯.）师：等于什么？师：法法则）.师：于等于；因为也是被开方数，所以也必须大于等于（边讲边板书：(≥≥)）.师：下面我们利用二次根式的乘法法则来做几个题目.（师出示例）例计算：⨯；⨯（以下师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）（三）试探练习，回授调节.计算：⨯⨯（四）尝试指导，讲授新课师：简.怎么化简？）.师：×？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子），所以反过来，..师：化简的目的是把被开方数中的因数开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式）.师：个等式反过来得到的.师：下面我们来化简几个二次根式.（师出示例）例化简：；（师边讲解板书，()()小题解题过程如课本第页所示，()小题解题过程如下）（()小题教学时，暂时不要说明本章字母都表示正数这个约定，以免使问题复杂化）（五）试探练习，回授调节.化简：（六）归纳小结，布置作业那个题）这就是二次根式乘法法则；运用法则后，如果得到的二次根式还可以化简，就要化简二次根式.化简的目的是把像这样的因数或因式开方后移到根号外.（作业：练习.） 四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.会进行二次根式的乘法运算. .培养学生的运算能力. 二、教学重点和难点.重点：二次根式的乘法运算. .难点：正确地进行乘法运算. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 .(≥，≥)⨯⨯.化简：（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）≥≥)(≥≥)师：上节课我们学习了二次根式的乘法法则和二次根式的化简.（指准板书），利用用这个等式可以化简二次根式.师：（指准板书）会运用乘法法则，会化简二次根式，就会做二次根式乘法了.为什么这么说？（稍停）因为做二次根式的乘法实际上就是做这两件事，一件事是运用乘法法则，一件事是化简二次根式.师：下面我们来做几个二次根式乘法的题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）⨯；()⨯；⨯（()()小题第一步运用法则，第二步化简；()小题第一步化简，第二步运用法则，第三步化简.教学时，师边讲解边板书，()()小题的解题过程如课本第页所示，()小题的解题过程如下）⨯⨯⨯师：（指例题）我们做了三道二次根式的乘法，从这三道题目，哪位同学会归纳做二次根式乘法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准()小题）做二次根式的乘法，第一步：先看二次根式能不能化简，如果能化简先要化简；第二步：运用二次根式的乘法法则；第三步：再看所得的二次根式能不能化简，如果能化简还要化简.简单地说，就是化简——运用法则——再化简.（四）试探练习，回授调节.计算：⨯()⨯⨯⨯.和，则这个矩形的面积为.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几道二次根式的乘法，请大家在脑子里想一想，做二次根式乘法的步骤是什么？（让生想一会儿）（作业：习题1.4.5.）四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.知道二次根式的除法法则，会运用法则进行简单的二次根式的除法运算..会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点.重点：二次根式的除法法则..难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.计算：（二）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的乘法，这节课我们要学习二次根式的除法（板书课题：二次根式的乘除）（三）尝试指导，讲授新课师：谁来说说二次根式的乘法法则？（板书：乘法法则）生：……（让一两名学生回答）≥≥)），这就是二次根式的乘法法则.师：二次根式的除法法则也是类似的（板书：除法法则）.等于什么？（让生思考一会儿再师：叫学生）生：……（让几名学生发表看法）.师：（指等式）在这个等式中，必须大于等于，必须大于（边讲边板书：(≥＞)）.师：（指准板书）这是二次根式的乘法法则，这是二次根式的除法法则，两个法则是类似的，大家仔细看一看，对比对比（生观察对比）.师：下面我们就利用除法法则来做几个题目.（师出示例）例计算：（四）试探练习，回授调节.计算：()÷÷（五）尝试指导，讲授新课师：÷）刚才我们做的这个题目的结果是什么？.还可以化简.怎么化简？）.？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）师：师：（指准式子）我们知道，.）.师：这样的二次根式还可以化简，化简的目的是把被开方数的分母开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式就.师：得到的.师：下面我们利用这个等式来化简二次根式.（师出示例）例化简：；（师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）（六）试探练习，回授调节.化简：（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次根式的除法法则，）这个等式就是二次根式的除法法则，把这个等式反过来，（指等式），利用它可以化简二次根式.（作业：习题.）四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.会利用第二种方法（分母有理化）进行二次根式的除法运算..培养运算能力，渗透转化思想.二、教学重点和难点.重点：利用第二种方法进行二次根式的除法运算..难点：两种方法的选择.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.填空：()(≥≥)；(≥＞).()（二）创设情境，导入新课师：≥＞)）这是二次根式的除法法则，上节课我们用这个法则做二次根式的除法.实际上，利用法则只是做二次根式除法的第一种方法（板书：第一种方法），做二次根式的除法还有第二种方法（板书：第二种方法）.师：那么，怎么用第二种方法做二次根式的除法呢？（三）尝试指导，讲授新课师：，分母成了2（边讲边板书：()2），讲边板书：b）.师：（指准板书）第二种方法是怎么做的呢？（稍停）第二种方法是通过分子分母同乘分母中的那个二次根式，来去掉分母中的根号，从而把二次根式的除法转化为二次根式的乘法.（如有必要可再讲一遍）师：下面我们就用第二种方法来做几个题目.（师出示例题）例计算：；.（师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）师：（指例题）做了几道题目，哪位同学能归纳用第二种方法做二次根式除法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准()小题）用第二种方法做二次根式的除法，一般有这么三步，第一步：个二次根式，去掉分母中的根号；第三步：做二次根式的乘法.师：按这样的步骤，下面请同学们自己来做几个题目.（四）试探练习，回授调节.计算：（五）尝试指导，讲授新课师：（指准板书）做二次根式的除法有这么两种方法，一种是利用法则来做，一种是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.可能有同学会问：做题的时候，用哪一种方法做会更简单呢？这要看具体的题目.师：这个题目，（指准式子）被开方数除以，商是一个整数，用第一种方法比较简单.师：÷÷（指准式子）被开方数3 2除以118，商等于，商也是一个整数，也是用第一种方法比较简单.师：我们再来看这个例题，法比较简单.同样，（指()()题）这两个小题也是用第二种方法比较简单.师：总之，两个二次根式相除，如果它们的被开方数的商是整数，一般用第一种方法比较简单；如果商不是整数，一般用第二种方法比较简单.÷一种方法比较简单.之所以这样说，只是为了教学上的方便）（以下师出示写有下面式子的卡片，让生判断用哪种方法比较简单）÷（六）归纳小结，布置作业师：好了，最后我们把这节课的内容来小结一下.师：（指准板书）做二次根式的除法有两种方法，一种方法是利用法则来做，一种方法是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.对任何一个二次根式的除法题，两种方法都可以做，但有的题目用第一种方法比较简单，有的题目用第二种方法比较简单.所以，同学们要学会根据题目的特点来选择合适的方法.（作业：习题）课外补充作业.选择合适的方法计算：÷四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.知道什么是最简二次根式，能把所给的二次根式化成最简二次根式..培养运算能力，发展数感.二、教学重点和难点.重点：最简二次根式..难点：最简二次根式的概念.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.计算：÷（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们做了两道二次根式的除法，有同学是这样做的，大家看一看他做的对不对.师：（板书：÷÷他怎么做？利用法则，.师：（板书：）第()）.师：这位同学做的如何，你有什么评论？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：这位同学利用法则计算，这有没有错？没错.问题出在什么地方？（稍停）问题出在他没有把结果化简..（稍停）），等于讲边板书：.师：（指准不能再化简了，它是最简二次根式（板书：最简二次根式）.），结果等于2.师：（指准2.师：所以它们不是最简二次根式，不能再化简了，所以它们是最简二次根式.从这两个例子，请大家想一想，什么样的二次根式是最简二次根式？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准被开方数中含有能开得尽方的因数.可见，最简二次根式首先要满足这样一个条件.（师出示下面的板书）()被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；师：（指板书）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.师：这是一个条件，下面我们来看第二个条件.师：32中含有分母.可见，最简二次根式要满足的第二个条件是：（师出示下面的板书）()被开方数不含分母.师：（指准板书）被开方数不含分母.师：（指准板书）我们把同时满足这样两个条件的二次根式叫做最简二次根式.师：.师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：（生让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）不是最简二次根式.2a5（三）试探练习，回授调节.下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：.把下列各式化成最简二次根式：()()x（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了最简二次根式，什么是最简二次根式？从字面上讲，最简二次根式就是化得最简的二次根式，换句话说，就是不能再化简的二次根式.这种二次根式有两个特点，（指准板书）第一个特点是，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；第二个特点是，被开方数不含分母.师：知道了什么是最简二次根式，对我们做二次根式的乘法和除法有很大的帮助.有什么帮助？（稍停）它可以帮助我们判断题目有没有做完，如果结果是最简二次根式，说明题目做完了；如果结果不是最简二次根式，说明题目还没有做完，还要继续化简，直到化成最简二次根式为止.（作业：练习习题.）四、板书设计。
2017-2018学年人教版九年级数学下册全册学案【广西版】
2017-2018学年人教版九年级数学下册全册学案目录26.1.1 反比例函数26.1.2 反比例函数第1课时反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用26.2 实际问题与反比例函数27.1 图形的相似第1课时相似图形第2课时相似多边形与比例线段27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例第2课时相似三角形的判定定理1,2第3课时相似三角形的判定定理327.2.2 相似三角形的性质27.2.3 相似三角形应用举例27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法第2课时平面直角坐标系中的位似28.1 锐角三角函数第1课时正弦第2课时锐角三角函数第3课时特殊角的锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值28.2 解直角三角形及其应用第1课时与视角有关的解直角三角形应用题第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题28.2.1 解直角三角形29.1 投影第1课时投影第2课时正投影29.2 三视图第1课时几何体的三视图第2课时由三视图确定几何体第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数1.理解并掌握反比例函数的概念.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.自学指导：阅读课本P2-3，完成下列问题.知识探究1.小学里我们知道：如果两个变量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系.例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系.2.一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量.3.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化.解：v=1463 t(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化.解：y=1000 x(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位：平方千米/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.解：S=41.6810n⨯ (4)上面三个函数关系式形式上有什么共同点?解：都是y=k x 的形式，其中k 是常数,k ≠0. 4.形如y=k x(k 是常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 5.y=k x，y=kx -1，xy=k 是反比例函数的三种表现形式.其中k 是常数，k ≠0. 自学反馈下列函数中，反比例函数是 ；每一个反比例函数相应的k 值是多少?①y=2x+1;②y=22x ;③y=15x;④y=3x -;⑤xy=3;⑥2y=x;⑦xy=-1.判断是否是反比例函数，一定根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式.活动1 小组讨论例1 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6.(1)写出y 与x 的函数关系式;(2)求当x=4时y 的值.分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设y=k x ，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k 的值.解：(1)设y=k x，因为当x=2时y=6，则有6=2k .解得：k=12, ∴y=12x. (2)把x=4代入y=12x ，得y=124=3. 例2 已知y 与x 2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y 等于( )A.-2B.2C.12D.-4 分析：已知y 与x 2成反比例，∴y=2k x (k ≠0).将x=-2，y=2代入y=2k x 可求得k ，从而确定该函数表达式.解：∵y 与x 2成反比例，∴y=2k x(k ≠0). 当x=-2时y=2,∴2=2(2)k .解得：k=8, ∴y=28x. 把x=4代入y=28x 得：y=12. 所以选择C.活动2 跟踪训练1.一个矩形的面积为20 cm 2，相邻的两条边长分别为x cm 、y cm,那么变量y 是变量x 的函数吗？是反比例函数吗？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n 的函数吗？是反比例函数吗？3.当m 时，y=3x m-7是反比例函数.4.如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，那么y 与x 具有怎样的函数关系？ 课堂小结1.根据反比例函数的意义判断是否是反比例函数.2.求反比例函数的解析式.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈反比例函数是③④⑤⑦ ③y=15x 中k=15；④y=3x -中k=3-；⑤xy=3中k=3；⑦xy=-1中k=-1.【合作探究】活动2 跟踪训练1.表达式：y=20x；是反比例函数. 2.表达式：m=346.2n ；是反比例函数. 3.64.由题意得：y=1k z ,z=2k x . y=1k z =k 1÷2k x=k 1·2x k =12k k x. ∴y 是x 的正比例函数.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质1.会画出反比例函数的图象.2.并能说出它的性质.自学指导：阅读课本P4-6，完成下列问题.知识探究1.一次函数的表达式是：y=kx+b，它的图象是一条直线.2.一次函数y=kx+b当k>0时，y随x的增大而增大.当k<0时，y随x的增大而减小.3.作函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线.自学反馈1.反比例函数的表达式是： .2.类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：、、 .3.反比例函数图象是 .4.在反比例函数y=kx(k≠0,k为常数)中，当k>0时，双曲线位于象限；当k<0时，双曲线位于象限.活动1 小组讨论例1 画出反比例函数y=6x和y=6x的函数图象.解:函数图象画法→描点法：列表→描点→连线自学反馈1.作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样即可简化计算，又便于对称描点；列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确的表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.2.函数y=6x的图象在第一、第三象限；每个象限内y 随x 的增大而减小. 3.函数y=6x -的图象在第二、第四象限，每个象限内y 随x 的增大而增大. (1)列表时自变量取值要均匀和对称.(2)x ≠0.(3)选整数较好计算和描点.例2 在同一坐标系画出反比例函数y=4x和y=-4x的函数图象.解：列表→描点→连线1.观察上图，回答问题：(1)每个反比例函数的图象都是由两支曲线组成的.(2)函数图象分别位于哪几个象限？y随的x变化有怎样的变化？解：y=4x的图象位于第一、第三象限.每个象限内y随x的增大而减小y=-4x的图象位于第二、第四象限.每个象限内y随x的增大而增大.2.综合例1和例2可知：当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内,每个象限内y随x的增大而减小.当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内，每个象限内y随x的增大而增大.3.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴有两条：直线y=x和y=-x.对称中心是原点.活动2 跟踪训练1.下面给出了反比例函数y=2x和y=-2x的图象，你知道哪个是y=-2x的图象吗？为什么？2.反比例函数y=-5x的图象大致是( )3.(1)函数y=20x的图象在第 象限,在每一象限内，y 随x 的增大而 . (2)函数y=-30x的图象在第 象限,在每一象限内，y 随x 的增大而 . (3)函数y=xπ,当x>0时,图象在第 象限,y 随x 的增大而 . 4.已知反比例函数y=4k x -. (1)若函数的图象位于第一、三象限，则k ;(2)若在每一象限内，y 随x 增大而增大，则k .5.函数y=kx-k 与y=k x在同一直角坐标系中的图象可能是( )6.设x 为一切实数，在下列函数中，当x 减小时，y 的值总是增大的函数是( )A.y=-5x -1B.y=2x C.y=-2x+2 D.y=4x牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断.课堂小结反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线；当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小.当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈1.y=kx(k≠0,k为常数)2.列表描点连线3.双曲线4.第一、第三第二、第四【合作探究】活动2 跟踪训练1.第二个是y=-2x的图象.因为y=-2x中的k<0,图象在第二、四象限.2.D3.(1)一、三减小(2)二、四增大(3)一减小4.(1)<4(2)>45.D6.C第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力.自学指导：阅读课本P7-8，完成下列问题.知识探究1.填表分析正比例函数和反比例函数的区别.活动1 小组讨论例1 已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y 随x 的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(-212，-445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 解：(1)设这个反比例函数为y=kx，∵图象过点A(2，6)， ∴6=2k.解得k=12. ∴这个反比例函数的表达式为y=12x. ∵k>0,∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.（2）把点B 、C 、D 的坐标代入y=12x，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，所以点B 、C 在函数y=12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上.例2 如图是反比例函数y=5m x的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a ，b)和B(a ′，b ′)，如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？解：(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限.∵函数的图象在第一、第三象限，∴m-5＞0.解得m＞5.(2)∵m-5＞0，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴当a＞a′>0和0>a>a′时b＜b′；当a>0>a′时b>b′.活动2 跟踪训练1.反比例函数y=kx的图象经过(2，-1)，则k的值为 .2.反比例函数y=kx的图象经过点(2，5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于( )A.10B.5C.2D.-63.下列各点在反比例函数y=-2x的图象上的是( )A.(-43，-32) B.(-43，32) C.(34，43) D.(34，83)4.在反比例函数y=21ax+-的图象上有三点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是( )A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2因为k<0，所以图象在二、四象限；y随x的增大而增大.又x1>x2>0>x3，所以y1、y2在第四象限且0>y1>y2；y3在第二象限且y3>0，所以y3>y1>y2.5.如图,点P是反比例函数y=2x图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .因为点P在图象上，所以n=2m，即mn=2；故S△ABC=12OD·PD=12mn=1.6.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .设函数为y=kx，而P在图象上，所以k=mn,又阴影部分面积是|mn|=3，函数图象在第二象限，所以k<0,即k=-3,所以函数关系是为y=-3 x .课堂小结反比例函数图象和性质的综合运用.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【合作探究】活动2 跟踪训练1.-22.A3.B4.A5.16.y=-3 x26.2 实际问题与反比例函数1.运用反比例函数解决实际问题.2.把实际问题转化为反比例函数.自学指导：阅读课本P12-15，完成下列问题.知识探究复习回顾：(1)反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线；(2)当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；(3)当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；(4)画函数图象的方法：列表→描点→连线.自学反馈1.地下室的体积V一定，那么底面积S和深度h的关系是；表达式是 .2.运货物的路程s一定，那么运货物的速度v和时间t是；表达式是 .3.电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关系：PR=U2.这个关系式还可以写成P= ,或R= .活动1 小组讨论例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两为小数)？解：(1)根据圆柱体的体积公式，有S·d=104.变形得S=4 10 d即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数(2)把S=500代入S=410d得：d=20如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深.(3)根据题意，把d=15代入S=410d得：S=41015≈666.67当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666.67 m2才能满足需要.例2 近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m.(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；(2)求1 000度近视眼镜镜片的焦距. 解：(1)设y=k x， 把x=0.25，y=400代入，得：400=0.25k， 所以，k=400×0.25=100即所求的函数关系式为y=100x . (2)当y=1 000时，1 000=100x，解得：x=0.1 m例3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m 3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； (2)写出此函数的解析式；(3)若要6 h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？解：(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000(m 3). (2)因为此函数为反比例函数， 所以解析式为：V=48000t. (3)若要6 h 排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=480008=8 000(m 3) 例4 制作一种产品，需先将材料加热到达60 ℃后，再进行操作.设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解，该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图所示).已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？解：（1）当0≤x ≤5时，设y=k1x+b,由15,5160.b k b =+=⎧⎨⎩得19,15.k b ==⎧⎨⎩∴y=9x+15.当x ≥5时，设y=2k x， 由x=5时，y=60知k 2=300.∴y=300x. (2)当y=15时，由y=300x ，得x=20.故从开始加热到停止操作，共经历了20 min.活动2 跟踪训练1.A 、B 两城市相距720千米，一列火车从A 城去B 城.(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是 .(2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于 .2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的13，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是 .3.已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为( )4.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是( )A.小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系B.菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系C.一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系D.压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系5.面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是( )6.为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示).现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y=34x，自变量的取值范围是：；药物燃烧后y与x的函数关系式为：y= ；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？课堂小结利用反比例函数解决实际问题.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈1.反比例函数S=V h2.反比例函数v=s t3.2UR2UP【合作探究】活动2 跟踪训练1.(1)v=720 t(2)240千米/小时2.y=90 x3.A4.C5.C6.(1)0≤x≤8 48 x(2)30(3)有效，因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克，当到第16分钟含药量开始低于3毫克，这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟，故有效.第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时相似图形1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.阅读教材P24-25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.活动1 小组讨论例下列各图中哪组图形是相似图形( C )观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是( )A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.活动3 课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈2017-2018学年人教版九年级数学下册全册【广西版】①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.②⑥第2课时相似多边形与比例线段1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.阅读教材P26-27，自学“例”，掌握相似多边形的概念及性质，理解并掌握“相似比”的概念，能运用相似多边形的性质进行相关的计算.自学反馈学生独立完成后集体订正①对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于,如ab=cd(即ad=bc),那么我们就说这四条线段是 .②相似多边形的相等，对应边 .③相似多边形的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形 .④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( )A.角A是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对⑤五边形ABCDE的五边长分别为5 cm、20 cm、30 cm、35 cm、40 cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10 cm，则这个五边形的最长边为 .第④题注意相似多边形的角的度数相等，对应边成比例；第⑤题注意对对应的理解.活动1 小组讨论例1 在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：设1、2、3、4对应边长为a 、b 、c 、d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有1a =2b =3c =4d =85， 解得a=85,b=165,c=245,d=325. ∴另一个五边形的周长为： a+b+c+d+8=85+165+245+325+8=24.相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别为4和12，另一个矩形的宽为6，求这两个矩形的面积的比.解决问题要从题中的需要入手，因为矩形的面积等于长与宽的积，而题中已知另一矩形的宽，应求出长.2.下列各组线段中，成比例线段的是( )A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、33.已知A 、B 两地的实际距离AB=5 km ，画在地图上的距离CD=2 cm ，则这张地图的比例尺是 .图上距离与实际距离的比叫做比例尺.4.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的放缩比例为 .5.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为 .6.已知三个数，1、(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 .活动3 课堂小结本节学习的数学知识:1.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b =cd(即ad=bc)，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段.2.相似多边形的性质:相似多边形对应角相等，对应边的比相等.3.相似比:相似多边形对应边的比.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①另两条线段的比比例线段②对应角成比例③对应边全等④B⑤12米⑥80 cm2017-2018学年人教版九年级数学下册全册【广西版】【合作探究】活动2 跟踪训练1.1∶42.B3.1∶250 0004.4∶1∶16.略27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.阅读教材P29-31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果△ABC∽△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为 .②如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().③如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF④平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形 .找准对应线段是关键.活动1 小组讨论例1如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,则试求AE∶EC的值.解:∵l1∥l2，∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE.∴AGBD=AFFB=23，∴AG=23 BD.又∵BCCD=21,BC+CD=BD，∴CD=13 BD.∴AEEC=AGCD=2.即AE∶EC=2.可从AE∶EC出发，只需要证得他们所在的两个三角形相似及他们的相似比即可，而AF与FB所在的两个三角形相似，两个相似关系可以得到线段AG、CD与线段BD的数量关系，从而就可以得出AG与CD的比，即△AGE与△CDE的相似比.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，ED∥BC，EC、BD相交于点A，过A的直线交ED、BC分别于点M、N，则图中有相似三角形( )A.1对B.2对C.3对D.4对2.如图，DE∥BC，则下面比例式不成立的是( )A.ADAB=AEACB.DEBC=ECACC.ADDB=AEECD.BCDE=ACAE3.ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是( )A.∠AEF=∠DECB.FA∶CD=AE∶BCC.FA∶AB=FE∶ECD.AB=DC本题除运用相似三角形对应边的比相等外，还应根据图形对比例式进行适当的变形.活动3 课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学1】自学反馈①1 k②DE EF AC ()()DEEFABAC（）=DEDF（）BCEF（）（）=ACDF（）（）③A④相似【合作探究1】活动2 跟踪训练1.C2.B3.B第2课时相似三角形的判定定理1,2掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.阅读教材P32-34，自学“探究2”、“探究3”、“思考”与“例1”，掌握相似三角形判定定理1与判定定理2.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形 .②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学:这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，ACIJ≠ABHJ≠BCHI，所以他们不相似.乙同学:这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.注意对应关系，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版12(免费推荐下载)
图形的旋转典型例题 例 如图，将△绕点旋转得到△，指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。
分析 旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。
解 旋转中心是点；旋转角是∠或∠；对应线段是：与、与、与；对应角是：∠与∠、∠与∠、∠与∠。
点评 要记清旋转（对称）的如下特征： 旋转后的图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
例 如图，已知ｔ△的周长为，∠＝°，∠＝°，△的边在直线l 上，按顺时针方向在直线l 上转动两次，使它转到△222C B A 位置，则=2AA,∠=B C A 11分析 由旋转后对应角相等，∠=111B C A ∠°可知第一次旋转的角度∠2ACA ＝ °，第二次旋转了°后至△222C B A 的位置，所以∠=B C A 11°－°＝°，又由旋转后对应线段相等，11C B BC =，AB B A =22，故1222112=++=++=AB BC AC A B C B AC AA 。
解 122=AA ；∠=B C A 11°例 圆心角（圆心为顶点，两半径所夹的角）都是°的扇形与扇形按如图所示那样叠放在一起，连结、。
说明△是由△旋转得到的；若＝㎝，＝㎝，求图中阴影部分的面积。
分析 由条件可知，图中且∠∠,可得△与△是旋转关系，从而阴影部分面积恰好就是两个扇形面积之差。
解 ⑴由题意，且∠∠, 所以△是由△绕点顺时针方向旋转°得到； ⑵πππ214134122=⨯⨯-⨯⨯=阴影S 点评 把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解此类题的关键。
2017-2018年新人教版九年级数学下册全册教案【初中】
新人教版九年级数学下册全册教案（新教材）特别说明：本教案为最新人教版教材（改版后）配套教案，各单元教学内容如下：第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.2实际问题与反比例函数第二十七章相似27.1图形的相似27.2相似三角形27.3位似第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图29.3课题学习制作立体模型第二十六章反比例函数26.1反比例函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解反比例函数的定义；2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；【重点难点】1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；知识概览图反比例函数的定义反比例函数反比例函数的图象与性质新课导引【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?教材精华知识点1反比例函数的定义重点理解一般地,形如y k(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数, x自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.也就是说,分母不能是多项式,只能是 x 的一次单项式,如 y = , y = 等都是反比例函数,但 y = 就不是关于 x 的反比例函数.y 是 x 的反比例函数 ⇔ y =数为 k.k x(k ≠0) ⇔ xy =k(k ≠0)⇔ 变量 y 与 x 成反比例,比例系拓展 (1)在反比例函数 y = k x(k ≠0)的左边是函数 y ,右边是分母为自变量 x 的分式,1 3x1 x 22x + 1(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为 0 的常数 ,因此可以写成y =kx -1 或 xy =k 的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点 2 用待定系数法确定反比例函数的表达式 难点:运用由于反比例函数 y = k中只有一个待定系数 ,因此只要有一对对应的 x ,y 值,或已x知其图象上一点坐标,即可求出 k ,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:(1)设反比例函数关系式 y = k(k ≠0).x(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于 k 的方程.(3)解方程,求出待定系数 k 的值.(4)将待定系数 k 的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点 3 反比例函数图象的画法 难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以 0 为中心点,沿 0 的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算 y 的值.(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点 ,双曲线的两个分支是断开的 ,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展 (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.(3)反比例函数y=k(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称. x(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.知识点4反比例函数(k≠0)的性质难点；灵活应用(1)如图所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数y=k的图象是由两支曲x线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
2017-2018人教版九年级上册数学教案
义务教育课程标准人教版数学教案九年级上册2017—2018学年度第一学期2017—2018第一学期九年级上册数学教学工作计划本学期我担任九年级（2）（3）两个班的数学教学工作。
共有学生116人，上学期期末考试成绩不理想，落后面比较大,学习风气还欠浓厚。
正如人们所说的“现在的学生是低分低能”,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。
使用的教材是新课程标准义务教育教科书《人教版数学九年级上册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。
为此，特制定本计划。
一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。
通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析九年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。
九（2）班和九（3）班比较，九（3）班学生稍活跃，但有少数学生不上进，思维不紧跟老师，九（2）班学生相对单纯，有部分同学基础较差，问题较严重。
要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
三、教材分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：1、认识一元二次方程及其有关概念，掌握配方法、公式法和因式分解法等方法解方程。
经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程的基本能力。
2、第22章二次函数本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。
这些内容分为三节安排。
第22.1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大（小）值的问题。
2017-2018学年度第一学期九年级数学教学进度
25.3 解直角三角形（5）复习 第26章 随机事件的概率 27.1二次函数 复习、测验、讲评
27.2 二次函数的图像与性质
27.2二次函数的图像与性质 27.3求二次函数的关系式 27.3实践与探索 复习本章内容
复习27章、测验讲评 28.1圆的认识（圆的基本元素、圆的对称性、圆周角） 复习22、23、24 全面复习迎接质量监测考试 全面复习迎接质量监测考试 期末考试 质量监测 期末考试 元旦
2017-2018学年度第一学期教学内容及进度安排（供参考）
九 年级 周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1.8 9.4 9.11 9.18 9.25 10.2 10.9 10.16 10.23 10.30 11.6 11.13 11.20 11.27 12.4 12.11 12.18 12.25 1.1 1.8 1.15 1.22 1.29 时间 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 9.3 9.10 9.17 9.24 10.1 10.8 10.15 10.22 10.29 11.5 11.12 11.19 11.26 12.3 12.10 12.17 12.24 12.31 1.7 1.14 1.21 1.28 1.31 22.1二次根式 22.3二次根式的加减法 数学学科 ( 华师大版 ) 周课时数 7 节 备注 教学内容及进度 开学各种事项安排 22.2二次根式的乘法和除法 22.3 小结 23.1一元二次方程 教师节
23.2一元二次方程的解法 23.3实践与探索 23章复习小结测验讲评 十一长假 24.1相似的图形 24.2相似图形的性质 24.3相似三角形 1.相似三角形 2.相似三角形的判定 24.3（3）.相似三角形的性质 24.4中位线 24.3（4）.相似三角形的应用 国庆节
华东师大版_2017-2018年第一学期九年级数学初三上册全册教案(含教学反思)
二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事通过探究b物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab（a≥0,b≥0）.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab（a≥0，b≥0）.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥0）.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.a•=ab（a≥0,b≥0），这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba•（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生让学生推导ab=b准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出a•（a≥0,b≥0）.ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0. 三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳. 四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •（a ≥0,b ≥0）.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算. 2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力. 【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用.【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题.1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba =（a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0； （2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0； （3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根. ∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b （a ≠0,ab ≥0）的方程. 2.灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程. 【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽分别是多少？ 设场地的宽为xm ，则长为（x+6）m ，根据矩形面积为16m 2,得到方程x （x+6）=16,整理得到x 2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知 探究如何解方程x 2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m ）2=n （n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？ （1）（x+3）2=25 （2）x 2+6x+9=25 （3）x 2+6x=16 （4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16， 两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次） 即x+3=5或x+3=-5 解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2（3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1.用配方法解下列方程： （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0 解：（1）x 1=-1,x 2=-2 （2）无解 二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c 也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a,b,c 而定，因此: （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c 代入式子aac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根.（2）aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0 解：①x 1=1+26,x 2=1-26②x 1=2,x 2=-31③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解 1.用公式法解下列方程： （1）x 2+x-12=0 （2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11 （4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0（6）x 2+25x+10=0解：（1）x 1=3,x 2=-4; （2）x 1=232+,x 2=232-； （3）x 1=1,x 2=-3;（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6； （5）x 1=0,x 2=-2; （6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式. 四、师生互动，课堂小结 1.求根公式的概念及其推导过程. 2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-31（2）x1=x2=3（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acb b x 2421-+-=,aac b b x 2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab2; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0, （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41; （3）m ＞41.。
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降次——解一元二次方程疑难分析．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出, 配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由方程的系数确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式20ax bx c ++=,当240b ac -≥,将代入式子x =就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根..用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于的形式,再使这两个一次式分别等于.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. .配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为,再分别使各个一次式等于.配方法、公式法适用于所有一元二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.例题选讲例1． 用配方法解下列方程：（）2820x x -+= （）22490x x +-=解:()移项，得282x x -=-配方 2228424x x -+=-+2(4)14x -=由此可得 4x -=124,4x x ==.() 移项，得2249x x +=二次项系数化为,得2922x x +=配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2x +=∴12x +=±∴121,122x x =-=-- 评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“” 的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为2()ax b m +=的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为的形式下,方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.例. 解下列方程()2104x += ()(3)30x x x --+=解:()11,4a b c ===,2214(4114b ac -=-⨯⨯=(1212x -±==⨯1211,22x x == ()因式分解,得(1)(3)0x x --=于是得 10x -=或30x -=121,3x x ==评注：掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义.解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.。
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降次——解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为）..培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：()解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.()解方程：().解：原方程化成.开平方，得，，.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例）例解方程：.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成().开平方，得（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例解方程：.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么＝常数的这种样子，也就是左边化成含有的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得），然后在这个方程的两边加上（板书：），左边等于什么？（稍停）等于()（边讲边板书：()），右边等于（边讲边板书：＝）.这样我们把原方程化成了含有的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得±（边讲边板书：开平方，得±），解一元一次方程，得到两个根，，（边讲边板书：，）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上，把方程的左边配成().这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：；解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..填空：()··13 ()；()()； ()32()； ()().（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方）（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）配方法第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么＝常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例.（师出示例）（三）尝试指导，讲授新课例 用配方法解方程：14. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得14. 配方 252⎛⎫ ⎪⎝⎭14252⎛⎫ ⎪⎝⎭， 25x+=62⎛⎫ ⎪⎝⎭.开平方，得52， 5-2，5-2. （四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：74. 解：移项，得.配方，. 开平方，得，，.（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例 用配方法解方程：.师：（指准方程）这个方程与例这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例这个方程的二次项系数是，而这个方程的二次项系数不是.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得.二次项系数化为，得231x -x=-22. 配方 2223313x -x+=-+2424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 231x-=416⎛⎫ ⎪⎝⎭ 开平方，得31x-=44±， , 12. （六）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例）先移项，再把二次项系数化为，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.（作业：习题.）四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：先整理再用配方法解一元二次方程..难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：－.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例 用配方法解方程：()()()；()().（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：()整理，得.移项，得.配方 212⎛⎫ ⎪⎝⎭212⎛⎫⎪⎝⎭，2149x+=24⎛⎫⎪⎝⎭.开平方，得1272±，， .()整理，得.移项，得. 二次项系数化为，得24x -2x=-3配方 224x -2x+1=-+13，()21x-1=-3.原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例）第一步要把原方程化成什么＝常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：().解：整理，得.移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：()().（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：练习()()）四、板书设计（略）课题：22.2.2公式法（第课时）一、教学目标.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程..发展符号感.二、教学重点和难点.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用..难点：一元二次方程求根公式的推导.三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：，并指准）这是一个一元二次方程，是未知数，，，都是常数，而且≠（板书：(≠)）.怎么用配方法来解这个一元二次方程？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项移到右边（板书：移项，得）.师：再把二次项系数化为，得2bc x +x=-a a （板书：二次项系数化为，得2b c x +x=-a a）. 师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：222b b c b x +x+=-+a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），左边是2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（板书：2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭），右边222222222c b b c b 4ac b -4ac -+=-=-=a 4a 4a a 4a 4a 4a（边讲边在黑板的其它地方板演），所以2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b -4ac 4a （边讲边板书：22b -4ac 4a ）. 师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为、配方，现在我们把原方程化成了什么常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），b x+=2a边板书：b x+=2a ，这个二次根式还可以化简，化简结果是2a（边讲边将上面的二次根式改写成2a）.师：（指准方程）把b 2a 移到方程右边去，可以解出，-b x=2a ±（边讲边板书：）.师：1x （边讲边板书），2x .师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程的两个根是-b x=2a（在这个式子外加框）.师：（指）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数、一次项系数、常数项代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程. （师出示例题）例 利用求根公式解下列方程： ()； ()；().师：（指()题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：()） 师：（指()题）首先要找出这个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，这个方程的，，等于什么？生：，，（生答师板书：，，）.师：找出了，，，接下来干什么？接下来要计算-4ac 的值（板书：-4ac ）. -4ac()××()（边讲边板书：()××()）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了，，，为什么不把，，直接代入求根公式，而是先计算-4ac 的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是-4ac ，可见-4ac 必须大于等于.计算-4ac 的目的是什么？目的是看一看-4ac 的值是大于等于还是小于.如果-4ac 的值大于等于，下一步才把，，代入求根公式；如果-4ac的值小于，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把，，代入求根公式，先要求-4ac 的值.师：（指准板书）这个方程的-4ac 等于，大于（边讲边板书：＞），所以下一步可以把，，代入求根公式.师：-b -(-4)4x=2a 212±±±⨯（边讲边板书）.师：1x 1x . （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） ()整理，得. ，，， -4ac()××()＞.-b -(-4)46x=2a 2510±±⨯，14+6x ==110，14-61x ==-105.()，××.-b 0x==2a 224±⨯，12x =x =2()整理，得. ，，， -4ac()××＜. 方程没有实数根. （二）试探练习，回授调节 .完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：. 解：，，.-4ac ＞.，1x =_________，1x =__________..利用求根公式解下列方程：()21x =04；()24x ； ()；（三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.（作业：习题()()()()） 四、板书设计（略）22.2.2公式法(≠) 例移项，得…… 二次项系数化为，得……配方…… …… 开平方，得…… …………课题：22.2.2公式法（第课时） 一、教学目标.会较熟练地用公式法解一元二次方程..知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况.二、教学重点和难点.重点：根据判别式的值确定解的情况. .难点：根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 .完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程： (). 解：，，. -4ac ＞.，1x =_________，1x =__________.解：整理，得. ，，. -4ac.，12x =x =_________.()().解：整理，得. ，，. -4ac ＜.方程实数根. （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 一元二次方程()当-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；()当-4ac时，方程有两个相等的实数根；()当-4ac时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是这样的形式.师：然后计算-4ac的值，（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当-4ac＞时（多让几名同学回答，然后师填入：＞）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当-4ac＝时（多让几名同学回答，然后师填入：＝）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当-4ac＜时（生答师填入：＜）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子-4ac决定，所以我们把式子-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：-4ac叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()；()().（师边讲解边板书，解题过程如下）解：()，，.△-4ac××()＞，方程有两个不相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××，方程有两个相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××＜，方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节.利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()()()；（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）（作业：习题()()）四、板书设计（略）一元二次方程例()当-4ac＞时……()当-4ac时……()当-4ac＜时……课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次..培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点.重点：用因式分解法解一元二次方程..难点：式的变形.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用公式法解方程：()() 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.x=__________________=______，1x =_________，2x =__________.（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程（边讲边板书：），然后用公式法求出两个根.师：（指）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到()（边讲边板书：()）.师：（指准()）乘以等于，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准()）乘以等于，说明或者（板书：于是得或）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由得到（板书：），由，得到23x =2（板书：23x =2）. 师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？ 生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.（师出示例题）例 用因式分解法解下列方程： ()()；()1434；()()().（师边讲解边板书，()()题解题过程如课本第页所示，()题解题过程如下） ()移项，得 ()().因式分解，得()().于是得或，12y=-3，.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让两名学生归纳）师：（指准例()题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解：移项，得.因式分解，得.于是得或，，..用因式分解法解下列方程：()；()；()()；()()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程，从而达到降次的目的（边讲边板书：降次）.解一元二次方程的基本思路是什么？（稍停）基本思路是降次.配方法是通过配方来降次，因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基本思路，这一点还希望同学们能好好理解，好好体会.（作业：习题）四、板书设计（略）22.2.3因式分解法例因式分解，得()于是得或，，3 2课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.通过基本训练，复习巩固解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）..会选择适当的方法解一元二次方程.二、教学重点和难点.重点：复习巩固四种方法..难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、..完成下面的解题过程：()用直接开平方法解方程：()；解：原方程化成.开平方，得，，.()用配方法解方程：；解：移项，得.二次项系数化为，得. 配方， .开平方，得， ，.()用公式法解方程：(). 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.,，.()用因式分解法解方程：(). 解：移项，得. 因式分解，得. 于是得或， ，.（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下表）直接开平方法 配方法公式法因式分解法过程 简单 复杂 较简单简单 适用某些所有所有某些师：前面我们学习了解一元二次方程的四种方法，哪四种方法？（指准表）直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点，这个表反映了它们各自的特点.师：（指准表格）直接开平方法解方程的过程简单，但这种方法只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书），这样的方程可以用直接开平方法来解.师：（指准表格）配方法解方程过程最复杂，但这种方法适用于所有的一元二次方程，也就是说，任何一元二次方程都可以用配方法来解.师：（指准表格）公式法解方程的过程比较简单，而且这种方法适用于所有的一元二次方程.师：（指准表格）因式分解法解方程的过程简单，但这种方法和直接开平方法一样只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书方程），这样的方程可以用因式分解法来解.师：知道了四种方法各自的特点，下面我们来看一道例题.（师出示例题）例指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()()；()；()().师：解一元二次方程有四种方法，现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当，请大家自己先考虑考虑.（让生思考一会儿）师：谁来说说你的想法？生：……（多让几名同学发表看法，最好要说出理由）师：（指准表格）在四种方法中，用直接开平方法、因式分解法解方程最简单，所以先要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解，也不能用因式分解法来解，就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程，它是“万能”的，而且比较简单.师：根据这样的思路，我们来看这道例题.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）能（板书：解：()因式分解法）.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）不能.所以要用公式法解（板书：()公式法）.师：（指例()题）这个方程用什么方法解合适？生：（齐答）直接开平方法（生答师板书：()直接开平方法）.师：这个例题做完了，做完了例题有的同学可能会提出一个问题，什么时候用配方法解方程？（稍停）老师要告诉大家，因为用配方法解方程最复杂，所以我们一般不用配方法解方程.师：有的同学可能会接着问：既然不用配方法解方程，为什么要学配方法？（稍停）在四种方法中，公式法最有用，什么方程都可以用公式法来解，而且比较简单，但求根公式是怎么推导出来的？（稍停）求根公式是用配方法推导出来的，不学配方法哪有公式法？所以我们说，公式法最有用，配方法最基本，而直接开平方法、因式分解法最简单，但这两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程.（三）试探练习，回授调节.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()；()()()；()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法，这四种方法各有各的特点，但它们的基本思路是相同的.相同的思路是什么？（稍停）相同的思路是把一元二次方程化为一元一次方程，也就是降次（板书：降次）.不管用什么方法，降次是解一元二次方程的基本思路.课外补充作业：.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：()()；()()()；()()()..用配方法解方程：.四、板书设计表格例()()。
[初中数学]2017-2018学年九年级数学上册教案(24份) 北师大版22
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6.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象能画出反比例函数的图象，进一步掌握画函数图象的步骤．(重点)阅读教材P152～153，完成下列内容： (一)知识探究1．反比例函数的表达式是：________________.2．类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：________、________、________.3．反比例函数图象是________．4．在反比例函数y ＝kx (k ≠0，k 为常数)中，当k>0时，两支曲线位于________象限内；当k ＜0时，两支曲线位于________象限内． (二)自学反馈你能画出反比例函数y ＝2x 的图象吗？它是什么形状？有什么特点？y ＝－2x 呢？活动1 小组讨论例1 画出反比例函数y ＝4x 的图象．(3)连线：如图2所示．在列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应地就得到绝对值相等而符号相反的对应的函数值，这样既可以简化计算，又便于在坐标系中描点．在用光滑的曲线连接各点时，注意曲线是无限延伸的，且不和坐标轴相交． 例2 在如图的平面直角坐标系内画出反比例函数y ＝－4x 的函数图象．解：列表→描点→连线，如图所示．y ＝4x 和y ＝－4x的图象分别是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，且图象具有对称性．活动2 跟踪训练1．已知点(1，1)在反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是( )2．当x ＞0时，函数y ＝－5x 的图象在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．对于反比例函数y ＝3x 图象的对称性，下列叙述错误的是( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称4．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式________．5．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限，则常数m 的取值范围是________．6．按要求填空，并作图．(1)请用描点法在直角坐标系上画出y ＝6x的函数图象．(2)点(12，12)在y ＝6x 的函数图象上吗？为什么？活动3 课堂小结1．反比例函数y ＝kx的图象是由两支曲线组成的．①当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内． ②当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．2．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y ＝x 和y ＝－x.对称中心是原点．【预习导学】 (一)知识探究1．y ＝kx (k ≠0，k 为常数) 2.列表 描点 连线 3.双曲线 4.第一、三 第二、四(二)自学反馈 答案略． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.A 3.D 4.答案不唯一，如：y ＝－1x 5.m>16．(1)列表如下：(2)∵12×12＝6，∴点(12，12)在y ＝6x的函数图象上．第2课时 反比例函数的性质1．通过比较，探索并掌握反比例函数的增减性．(重点) 2．理解并掌握反比例函数k 的几何意义．(难点)阅读教材P154～155，完成下列内容： (一)知识探究y随x 的增 大而________每个象限内y 随的增大而________(二)自学反馈下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝12x ；④y ＝－7x 中，(1)图象位于第二、四象限的有________；(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．活动1 小组讨论例1 观察反比例函数y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，你能发现它们的共同特征吗？(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 解：(1)第一、三象限．(2)在每个象限内y 的值随着x 值的增大而减小．例2 考察当k ＝－2，－4，－6时，反比例函数y ＝kx的图象，它们有哪些共同特征？提示：前面已经对k>0时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出k ＜0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨． 解：函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大．反比例函数y ＝kx的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大．例3 在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？为什么？解：如图所示，S 1＝x 1y 1＝k ，S 2＝x 2y 2＝k ，所以S 1＝S 2.矩形面积总等于||k .活动2 跟踪训练1．对于反比例函数y ＝2x ，下列说法不正确的是( )A ．点(－2，－1)在它的图象上B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．当x>0时，y 随x 的增大而增大D ．它的图象在第一、三象限2．函数y ＝－1x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若0＜x 1＜x 2，则( )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定3．函数y ＝－2x的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．4．已知反比例函数y ＝1－2mx 的图象上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是________．5．如图，点P 是反比例函数图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，若阴影部分面积为3，则这个反比例函数的关系式是________．设函数为y ＝kx，而点P 在函数图象上，所以k ＝mn ，又阴影部分面积是|mn|＝3，函数图象在第二象限，所以k ＜0，即k ＝－3，所以函数关系式为y ＝－3x .活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 (一)知识探究直线 双曲线 一、三 一、三 增大 减小 二、四 二、四 减小 增大 (二)自学反馈(1)②④ (2)②④ (3)①③ 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.A 3.增大 4.m ＜12 5.y ＝－3x。
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§21.1.1二次根式(1)主备人：吴静波 审核人：刘海洋万薇 课 型：新 授 授课时间：2017.9.1 一、【学习目标】1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、【课前预习】 （一）知识准备：（1）已知x 2= a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是。
（二）【学习内容】1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）课中探究自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a，12+x2、计算 ：(1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是。
3、当a 为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。
（三）合作探究1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A. B.负数 C.非负数 D.非正数（四）知识梳理1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。
（五）课后测试1、在实数范围内因式分解：（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2= (x+ _____) (x- _____) 2、计算 （ ）A. 169B.-13 C ±13 D.13 3、已知 的值不能确定 4、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C 2)3.0(=0.3 D 2)75(=35 5、下列各式中，正确的是（ ）。
A. BC D 6、如果等式2)(x -= x 成立，那么x 为（ ）。
A x ≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x ≥07、 若20a -=，则 2a b -= 。
8、当x=教学反思：2)3(________)(2=a x--21的值为2)13(-0,x =则为（ ）4949+=+4994⨯=⨯2424-=-653625=4§21.1.2二次根式(2)主备人：吴静波 审核人：刘海洋万薇 课 型：新 授 授课时间：2017.9.4 一、【学习目标】1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点重点：二次根式的性质a a =2．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
三、【课前预习】 （一）知识准备：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（二）【学习内容】 1、式子aa =2表示什么意义?2、如何用aa =2来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）课中探究1、计算：=24=22.0=2)54(=220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=>a a ,0时2、计算：=-2)4(=-2)2.0(=-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时3、计算：=20当==a a ,0时 （四）知识梳理 归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a（六）课后测试：1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x3、化简下列各式：______=______=_______=_____a 0=（<）4、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
5、 已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+xx6、 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．教后反思：§21.2.1二次根式的乘法主备人：吴静波 审核人：刘海洋万薇 课 型：新 授 授课时间：2017.9.5 一、【学习目标】1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、【课前预习】 （一）知识准备 1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____94⨯ （2）16×25____2516⨯（3） 100×36__36100⨯ （二）【学习内容】1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
（三）课后探究 1、用计算器填空：（1）2×3____6 （2）5×6____30 （3）2×5____10 （4）4×5____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗？（四）知识梳理二次根式的乘法法则（五）课后测试： 1、选择题（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=85B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 2、化简：（1）360； （2）432x ； （3）2212b a ；（6）4925⨯； （5）64100⨯。
3、计算：（1）3018⨯； （2）7523⨯；（3）9×27 （4）25×324、选择题（1）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-5、计算：（1）68×（-26）； （2教后反思：§21.2.2二次根式的除法主备人：吴静波 审核人：刘海洋万薇 课 型：新 授 授课时间：2017.9.6 一、【学习目标】1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、【学习过程】 （一）知识准备1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1（2=________=________（3（二）【学习内容】1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习 1、计算：______2、计算填空: （1=_________（2=_________（3=___________（四）知识梳理根据以上练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。
点拨：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。
拓展延伸：阅读下列运算过程：数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：=_________(３=_____ ___ (４=___ _（五）达标测试：1、选择题（1的结果是（）． A ．． CD ．（2的结果是（ ）A．B ．C ．．2、计算： （1）482 （2）xx 823 （3（4 （5）16141÷ （63、用两种方法计算： （1（2）346 教后反思：3==5==27277§21.3.1二次根式的加减主备人：吴静波 审核人：刘海洋万薇 课 型：新 授 授课时间：2017.9.7 一、【学习目标】1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。