七年级数学反比例函数的图象性质和应用同步试题

20.7 反比例函数的图象、性质和应用练习第1题. 如果正比例函数y kx =与反比例函数my x=图象的一个交点为(24)A ，，那么k = ，m =．答案：2，8第2题. 已知点(2)P n n ，是第一象限的点，下面四个命题：①点P 关于y 轴对称的点1P 的坐标是(2)n n -，②点P 到原点O③直线2y nx n =-+不经过第三象限④对于函数ny x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小 其中命题不正确的是（填上所有命题的序号）．答案：①②第3题. 已知(1)a y a x =-是反比例函数，则它的图象在（ ）Ａ．第一，三象限 Ｂ．第二，四象限 Ｃ．第一，二象限Ｄ．第三，四象限答案：Ｂ第4题. 若点(34)，是反比例函数221m m y x +-=图象上一点，则函数图象必经过点（）Ａ．(26)，Ｂ．(26)-， Ｃ．(43)-， Ｄ．(34)-，答案：Ａ第5题. 如图，一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数的图象交于C ，D 两点．如果A 点的坐标为(20)，，点C ，D 分别在第一，三象限，且OA OB AC BD ===．试求一次函数和反比例函数的解析式．答案：设一次函数(0)y kx b k =+≠，由OA OB =，(20)A ，(02)B -，∴，而A ，B 在一次函数图象上，2002k b b +=⎧⎨+=-⎩，，∴解得12.k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为2y x =-．过C 点作CE 垂直于x 轴，垂足为E ．2OA OB AC ===∵，AEC ∴△为等腰直角三角形．AE CE ==∴点C的坐标为(2 设反比例函数解析式为my x=，(22m ==∴．故反比例函数解析式为2y x+=第6题. 如图，已知点(13)，在函数(0)ky x x=>的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点．函数(0)ky x x=>的图象经过A ，E 两点，点E 的横坐标为m ． （1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）； （3）当45ABD ∠=，求m 的值．答案：（1）把点(13)，代入ky x =中，求出3k =． （2）当x m =时，3y m =，当6y m =时，36x m =，12x m =∴，即B 点横坐标为12m ，那么C 点横坐标为3m 2． （3）BC m =，当45ABD ∠=时，AB BC m ==，A 点坐标为1()2m m ，代入3y x=中，得m =第7题. 如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数8y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标和B 点的纵坐标都是2-．求：（2）求AOB △的面积．答案：（1）先求A 点坐标为(24)-，，B 点坐标为(42)-，，把A ，B 两点坐标代入y kx b =+中，得4224k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，，12.k b =-⎧⎨=⎩，∴ ∴一次函数解析式为2y x =-+．（2）2y x =-+与x 轴交点坐标(20)M ，，即2OM =， 1111242262222AOB AOM BOM A B S S S OM y OM y =+=+=⨯⨯+⨯⨯= △△△∴第8题. 已知反比例函数ky x=的图象经过点(23)A -，． （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点A 的正比例函数y k x '=的图象与反比例函数ky x=的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．答案：（1）把(23)A -，代入k y x =中，求出6k =-，∴反比例函数解析式为6y x-=． （2）有．∵正，反比例函数的图象关于原点对称，且点A 在它们的图象上，(23)A -，∴关于原点的对称点(23)B -，也在它们的图象上，它们相交的另一个交点坐标为(23)-，．第9题. 如图，过反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足为A '，B '，连接OA ，OB ，设AA '与OB 的交点为P ，AOP △与梯形PA B B ''的面积分别为1S ，2S ，比较它们的大小，可有（ ）Ａ．12S S > Ｂ．12S S =Ｃ．12S S <Ｄ．大小关系不能确定答案：Ｂ第10题. 已知函数23k y x-=，当0x <时，y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是 ．答案：32k >第11题. 一个反比例函数在第三象限的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM x ⊥轴于M ，O 是原点，如果AOM △的面积是3答案：6y x=第12题. 若点(1)A m ，在函数1y x=的图象上，则点A 关于x 轴的对称点坐标是．答案：(11)-， 第13题. 如图，P ，Q 为反比例函数(0)ky k x=<的图象上任意两点，PP '，QQ '分别垂直x 轴于P '，Q '，则OPP S '△与OQQ S '△面积的大小关系是．答案：OPP OQQ S S ''=△△第14题. 如图，函数(0)y kx k =-≠与4y x=-的图象交于A ，B 两点，过A 点作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则BOC △的面积为 ．答案：2第15题. 如图，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交双曲线1y x=于点Q ，连结OQ ，当点P 沿x 轴的正方向运动时，R t QOP △的面积（）Ａ．逐渐增大Ｂ．逐渐减小Ｃ．保持不变Ｄ．无法确定答案：Ｃ第16题. 若点11()x y ，，22()x y ，，33()x y ，都是1y x=-的图象上的点，且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）Ａ．123y y y << Ｂ．231y y y <<Ｃ．123y y y >>Ｄ．132y y y <<答案：Ｂ第17题. 如图，A ，C 是函数(0)ky k x=≠的图象上关于原点对称的任意两点，AB ，CD 垂直于x 轴，垂足分别为B ，D ，那么四边形ABCD 的面积S 是（ ）Ａ．2kＢ．2k Ｃ．4k Ｄ．k答案：Ｂ第18题. 已知反比例函数ky x=和一次函数y mx n =+的图象的一个交点是(34)A -，，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式．答案：先把(34)A -，代入k y x =中，求出12k =-．∴反比例函数12y x-=． 又y mx n =+与x 轴交点为(50)，或(50)-， 4305m n m n =-+⎧⎨=+⎩，，∴125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴或4305m n m n =-+⎧⎨=-+⎩，，210.m n =⎧⎨=⎩，∴ 故一次函数解析式为210y x =+或1522y x =-+． 第19题. 已知正比例函数(3)(0)y a x a =+<与反比例函数3a y x-=的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4．（1）求这两个函数的解析式；（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）．答案：（1）2y x =-和8y x=- （2）图略第20题. 如图，已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数(0)my m x=≠的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直x 轴，垂足为D ．若1OA OB OD ===． （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．答案：（1）1OA OB OD ===∵，∴点A ，B ，D 的坐标分别为(10)A -，，(01)B ，，(10)D ，．（2）∵点A ，B 在一次函数(0)y kx b k =+≠上，01k b b -+=⎧⎨=⎩，，∴解得11.k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为1y x =+．C ∵在一次函数1y x =+的图象上且CD x ⊥轴．(12)C ，∴．又点C 在my x=上，2m =∴．故反比例函数解析式为2y x =．第21题. 在同一坐标系中画出函数6y x =和6y x=-的图象．答案：第22题. 下列各函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） Ａ．1y x =-+． Ｂ．3y x=-． Ｃ．21y x =+． Ｄ．23y x =-． 答案：Ｄ第23题. 已知反比例函数4ky x-=，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围：（1）函数图象位于第一、三象限；（2）在每一象限内，y 随x 的增大而增大．答案：（1）4k < （2）4k >第24题. 已知y144⎛⎫-⎪⎝⎭，在它的图象上，求y 与x 间的函数关系式．答案：解：设0)y k =≠，把144⎛⎫-⎪⎝⎭，代入上式，得14-=，解得12k =-． ∴反比例函数解析式为1y -=，即y = 第25题. 反比例函数21339n n y x--=的图象所在象限内，y 随x 的增大而增大，求n 的值．答案：∵反比例函数必须满足2131390.n n ⎧-=⎨-≠⎩，又y 随x 的增大而增大，390n -<∴．3.n n n ⎧=±⎪⇒=-⎨<⎪⎩∴ 注意：y 随x 增大而增大390n -<就已考虑到390n -≠，故n 满足2131390n n ⎧-=⎨-<⎩，即可．第26题. 已知12y y y =-，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1x =-时，5y =-；1x =时，1y =，求y 与x 之间的函数关系式． 答案：解：∵1y 与x 成反比例，∴设111(0)k y k x=≠． 2y ∵与2x 成正比例，∴设2222(0)y k x k =≠．12y y y =-∵，212k y k x x=-∴． ① 把15.x y =-⎧⎨=-⎩，和11.x y =⎧⎨=⎩，分别代入①，得121251.k k k k -=--⎧⎨=-⎩，解得1232.k k =⎧⎨=⎩，y ∴与x 的函数解析式为232y x x=-． 第27题. 已知12y y y =+，1y2y 与2x 成反比例，当1x =时，12y =-，当4x =时，7y =．（1）求y 与x 的函数关系式和x 的取值范围；（2）当14x =时，求y 的值．答案：①216y x =（0x >）②254- 第28题. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点E ，F 分别在CB 和BC 的延长线上，且120EAF ∠= ，设BE x =，CF y =，求y 与x 的函数关系，并画出这个函数图象（如图）．答案：△ABE ∽△FCA ，函数式4(0)y x x =>． 图象如图．第29题. 如图所示，已知点(13)，在函数ky x=(0)x >的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 为对角线BD 的中点，函数(0)ky k x=>的图象又经过A ，E 两点．点E 的横坐标为m ，解答下列问题： （1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）； （3）当45ABD ∠=时，求m 的值．答案：解：（1）∵函数ky x=的图象过点(13)，， 31k=∴，3k =． （2）∵当x m =时，3y m=．2∴E 点的坐标为3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，．作EG BC ⊥，G 为垂足．E ∵是BD 的中点，EG DC ∥，∴BG GC =．12EG DC =∴． ∴点D 的纵坐标为6m． D ∵，A 两点纵坐标相等， ∴点A 的纵坐标为6m． 又∵点A 在双曲线k y x =上，即在3y x=上．当6y m =时，有63m x =．解得2mx =．∴点A 的坐标为62m m ⎛⎫⎪⎝⎭，．A ∵，B 两点的横坐标相等．02m B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴．22m mBG m =-=∴． BG GC =∵， 2BC BG m ==∴．322m OC OB BC m m =+=+=∴． ∴点C 的横坐标为32m ．（3）当45ABD ∠=时，AB AD =，则有6m m=，即26m =．解得1m =2m =．m =∴第30题. 已知直线y x m =+和双曲线k y x=的一个交点为()αβ，．其中αβ<，并且α，β是方程22410x x -+=的两个实数根，求这两图象的解析式．答案：此题通过求交点坐标解题较繁，用根与系数关系比较简单，把交点坐标（α，β）代入两解析式，并变形，得m βα=-，k αβ=，α，β是方程22410x x -+=的根，不难算出m ，n 的值．结果是：y x =12y x=． 第31题. 如图所示，直线AB 过点(0)A m ，，(0)B n ，，(00)m n >>，，反比例函数为m y x =的图象与AB 交于C ，D 两点，P 为双曲线m y x=上任意一点，过P 作PQ x ⊥轴于Q ，PR y ⊥轴于R ，请分别按（1）、（2）、（3）的要求解答问题．（1）若10m n +=，n 为何值时△AOB 的面积最大？最大值是多少？（2）若AOC ODB OCD S S S == ，求n 的值；（3）在（2）的条件下，过C ，O ，D 三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为1x =时，矩形PROQ 的面积是多少？答案：解：（1）1122AOB S OA OB m n == ∵， 又10m n +=∵， 211(10)522AOB S n n n n =-=-+ ∴ ∴2125(5)22AOB S n =--+ ． 5n =∴时，△AOB 面积最大，最大值为252． （2）分别过D ，C 作y 轴平行线与x 轴交于M ，N 两点，则DM x ⊥轴，CN x ⊥轴．由已知得△OBD ，△ODC ，△OCA 等高等底． BD CD CA ==∴．又BO DM CN ∵∥∥，13OM MN NA OA ===∴．D ∴点的横坐标为13m ．又∵点D 在函数my x =的图象上，∴点D 纵坐标为313mm=．∴点D 坐标为133m ⎛⎫⎪⎝⎭，．同样可求得C 点坐标为2332m ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 解析式为(0)y kx b k =+≠， 把A ，B 两点坐标代入，得0.km b b n +=⎧⎨=⎩，解得.nk m b n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 解析式为ny x n m =-+．把D 点坐标代入，得133nm n m -+= ．0m ≠∵， ∴133n n -+=．92n =∴．（3）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，把O ，D ，C 三点坐标分别代入，得22011393423.932c m a mb c m a mb c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，，解得2814a m =-，634b m =，0c =．∴抛物线解析式为22816344y x x m m =-+． 由已知，得263418124m m -=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 解得187m =或0m =（不合题意，舍去）．设P 点坐标为()a b ，， ∵点P 在双曲线m y x =上，则mb a =．即ab m =．187PQOK S PQ PR a b m ==== 矩形∴．。