第4章6节 高斯求积公式
高斯求积公式
x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
高斯求积公式
定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
第4章6节+高斯求积公式
(
1 ), 3
19
令它对 f (x) 1, x 都准确成立，有
A0 A0
A1 1 3
2;
A1
1 0. 3
由此解出 A0 A1 1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式
1
1
1
f (x)dx f ( ) f ( ).
0.0000000 0.8611363
0.3399810 0.9061798
0.5384693
0.0000000
Ak 2.0000000
1.0000000 0.5555556
0.8888889 0.3478548
0.6521452 0.2369269
0.4786287
0.5688889
1
3
3
三点高斯-勒让德公式的形式是
1 f (x)dx 5 f ( 15 ) 8 f (0) 5 f ( 15 ).
1
9
59
95
表4-7列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.
20
n 0 1 2
3
4
表4 - 7
xk 0.0000000
0.5773503 0.7745967
证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)2
I (g)
b
(x)g(x)dx 0
a
n
In Ak g(xk ) 0( g(xk ) 0) k 0
对2n 2次多项式不精确成立。
4
定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式 的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互 异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型 求积公式。
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
高斯求积公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
常用高斯积分公式
常用高斯积分公式高斯积分公式在数学领域中可是个相当重要的“宝贝”！咱先来说说高斯积分公式到底是啥。
简单来讲，高斯积分公式就是用来计算一些复杂积分的神奇工具。
比如说，对于形如∫e^(-x^2)dx 这样的积分，用普通方法可能会让你头疼不已，但高斯积分公式就能轻松搞定。
还记得我当年读书的时候，有一次做数学作业，遇到了一个特别复杂的积分题。
我盯着那道题，抓耳挠腮了半天，感觉头发都要被我薅掉了一大把。
各种常规方法都试了个遍，可就是算不出来。
就在我几乎要放弃的时候，突然想到了老师讲过的高斯积分公式。
我赶紧把相关的知识点在脑海里过了一遍，然后小心翼翼地按照公式一步一步地推导计算。
那过程可真是紧张又刺激，每一步我都提心吊胆，生怕出错。
当我终于算出答案的时候，那种成就感简直爆棚！就好像在黑暗中摸索了好久，突然看到了一束亮光。
在数学的世界里，高斯积分公式就像是一把万能钥匙，能打开很多看似紧闭的知识大门。
它在概率论、数理统计、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
比如说在概率论中，计算正态分布的概率密度函数的积分时，高斯积分公式就能大显身手。
正态分布在我们的生活中可是无处不在的，像学生的考试成绩分布、人的身高体重分布等等，很多都近似于正态分布。
在物理学中，求解一些电场、磁场相关的积分问题时，高斯积分公式也能发挥重要作用。
想象一下，科学家们在研究微观粒子的运动时，通过高斯积分公式就能更准确地描述和预测粒子的行为，这多厉害呀！再说说高斯积分公式的推导过程。
这可不是一件轻松的事儿，需要用到不少高深的数学知识和巧妙的方法。
但正是因为它的推导不容易，才更显得它的珍贵和神奇。
对于咱们学习数学的人来说，掌握高斯积分公式不仅能帮助我们解决难题，还能让我们感受到数学的魅力和力量。
总之，高斯积分公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，去运用，就能发现它的妙处，让它成为我们探索数学世界的有力武器！就像我当年攻克那道难题一样，只要不放弃，高斯积分公式总会给我们带来惊喜。
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
高斯速算法公式
高斯速算法公式
高斯速算法公式是一种快速算术技巧，可以在短时间内完成复杂的计算。
该公式由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末发明，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
高斯速算法公式的核心思想是将复杂的计算分解为简单的步骤，然后利用数学规律进行快速计算。
具体来说，高斯速算法公式包括以下几个常用公式：
1. 两数之积法：设要计算的两个数为a和b，将a和b分别加上（或减去）一个相同的数c，使得a+c和b-c均为整数的平方数，然后将a+c和b-c的平方数相减即为所求的积。
2. 平方差法：设要计算的两个数为a和b，将它们的平均数记为m，则a和b的平方差可表示为(m+(a-m))^2 - (m+(b-m))^2，化简后得到(a+b)(a-b)。
3. 三角形法则：对于一个三角形，若知道任意两边的长度和它们夹角的正弦值，则可以通过正弦定理求出第三边的长度。
4. 除法求余法：设要计算的除数为a，被除数为b，将a和b 分别除以一个相同的数c，得到商和余数，则a/b可表示为(c×商+余数)/c。
以上四个公式是高斯速算法中常用的公式，可以极大地提高计算效率。
此外，还有其他一些公式，例如完全平方数的求法、立方差公式等，都可以应用于高斯速算法中。
- 1 -。
高斯型函数的积分公式
ii =
12
1 1 i1i2 = i1i2 (2 2 1)!! 3
ii i i
1234
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } (4 2 1)!!
=
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } 5 3 1
2A x B 0
注意 x 是 B 的函数。 2.
1 xA -1 x 2
f (x) （2） det A e
-n -1
dx xf (x)
n
x 0
1 1
dx n xxf (x) x x A dx n xxxf (x) x x x + x x x + x x x 0 dx n x x x x f (x) x x x x + x x x x + x x x x
ii i i i i
123456
1 { i1i2 i3i4 i5i6 i1i2 i3i5 i4i6 i1i2 i3i6 i4i5 7 5 3 1 i1i3 i2i4 i5i6 i1i3 i2i5 i4i6 i1i3 i2i6 i4i5 i1i4 i2i3 i5i6 i1i4 i2i5 i3i6 i1i4 i2i6 i3i5 i1i5 i2i3 i4i6 i1i5 i2i4 i3i6 i1i5 i2i6 i3i4 i1i6 i2i3 i4i5 i1i6 i2i4 i3i5 i1i6 i2i5 i3i4 }
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2
第四章-4-Gauss公式
f (x ) n1
i 0 i
n
R[ f ]
( 2 n 2) 2 f ( ) 2 n 2 2 (2n 2)!
(-1, 1)
简单 G-C 公式
n=0
1
1
(1 x 2 )1/ 2 f ( x ) dx f (0)
n=1
n=2
1
2 1/ 2 f 2 2 f (1 x ) f ( x ) d x 1 2 1
关键点！
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是 [a, b] 上带权 (x) 正交 的多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点 Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解线性方程组 或利用 Lagrange 基函数
G-L 公式
一般区间上的 G-L 求积公式
I [ f ] f ( x)dx
a b
ab ba t 令 x 2 2 ab ba t) 则 g (t ) f ( 2 2 从而 b ba 1 ba n I [ f ] f ( x)dx g (t )dt Ai g (ti ) a 2 1 2 i 0 在标准区间上采用G-L求积公式！
I [ f ] f ( x)dx
b a i 0
m 1
xi1
xi
f ( x)dx
xi xi 1 hi t , hi xi 1 xi 在每个区间上令 x 2 2 m 1 hi 1 hi I [ f ] f ( xi 1/ 2 t )dt 1 2 i 0 2
高斯求积公式.ppt
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos
(2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x
2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
高斯型求积公式的证明
高斯型求积公式的证明高斯型求积公式，这可是数学里相当厉害的一个家伙！咱们今天就来好好聊聊它的证明。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，那场面可真是“热闹非凡”。
我刚在黑板上写下“高斯型求积公式”这几个字，下面就有同学开始小声嘀咕：“这名字听起来就很复杂！” 我笑着说：“别担心，咱们一步一步来，其实没那么可怕。
”咱们先来说说为啥要研究这个高斯型求积公式。
想象一下，你要计算一个不规则图形的面积，直接算很难吧？这时候求积公式就派上用场啦。
而高斯型求积公式呢，就是求积公式中的“高手”，它能让计算更准确、更高效。
那它到底是怎么来的呢？这就得从积分的定义说起。
咱们都知道，积分可以看作是对一个函数在某个区间上的“累加”。
但是，简单的求积方法可能会有误差，就像你用不太准的尺子去量东西一样。
高斯型求积公式的核心思想就是找一些特殊的点和对应的权重，让求积的结果尽可能接近真实值。
这就好比你在一堆苹果里挑出最有代表性的几个，通过它们来估计整堆苹果的重量。
要证明高斯型求积公式，咱们得用到一些数学工具，比如多项式插值。
假设我们有一个函数 f(x)，我们用多项式去逼近它。
然后通过巧妙地选择插值点，让误差尽可能小。
具体来说，我们先假设求积公式的形式是∫a^b f(x)dx ≈ ∑wi f(xi) ，这里的 xi 就是那些特殊的点，wi 是对应的权重。
为了找到合适的 xi 和 wi ，我们要让这个求积公式对于尽可能多的多项式都能准确成立。
这就像是在解一个很复杂的谜题，要不断尝试和调整。
比如说，对于一次多项式 p(x) = ax + b ，我们让求积公式准确成立，就能得到一些关于 xi 和 wi 的方程。
然后对于二次多项式、三次多项式……这样一直下去，就能逐步确定 xi 和 wi 的值。
在证明的过程中，还会用到一些线性代数的知识，像矩阵运算什么的。
这就像是给这个谜题加上了更多的线索，帮助我们一步步找到答案。
回到最初给学生们讲这个的时候，有个聪明的小家伙突然站起来说：“老师，我好像有点明白了，就是要找到最厉害的那些点和权重，让计算变得超准确！” 我高兴地给他鼓掌，说：“对啦，你理解得很棒！”总之，高斯型求积公式的证明虽然有点复杂，但只要咱们一步一个脚印，就能慢慢揭开它神秘的面纱。
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b
n
f ( xk ).
12
可见求积公式对一切次数不超过 确成立. 因此， xk (k
2n 1
的多项式均精
0,1, , n)为高斯点.
定理表明在 [ a, b]上带权 ( x )的 零点就是求积公式的高斯点. 有了求积节点
次正交多项式的 n 1
xk (k 0,1, , n)，再利用
2 9
7
; ;
.
由此解出
x0 x1
5 21
,
x0 x1
10 9
,
从而
8
1
0
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A f ( x1 ). 1
x0 0.821162, A0 0.389111,
m 这样，高斯公式是 A x
x1 0.289949; A 0.277556. 1
~
n1
( x) 是最高项系数为1的勒让德多项式.
~ Pn ( x)
n!
d
n n
[( x
2
1) ].
n
( 2n)! dx
n
1
1
m n; 0, f ( xn ( x) Pm ( x )dxk xk 2. A f( ) 1 P)dx m n. k 0 2n 1
a
2 n 1
故成立.
n1
b 对于 x)f ( x1x) ( x)用 0.( x) 除 充分性. P( n ) ( H , dx
f ( x)
， ,
记商为 P ( x ), 余式为
q ( x ),
即
f ( x) P( x)n 1 ( x) q( x)
其中 P( x), q( x) H n.
[1,1]
上辛普森公式的余项
1
1
f ( x)dx f (
三点高斯-勒让德公式的形式是
1 1
f ( x)dx
5 9
f (
15 5
)
8 9
f (0)
5 9
f(
15 5
).
表4-7列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.
20
表4 - 7 n 0 1 2 0. 0000000 0. 8611363 3 0. 3399810 0. 9061798 0. 5384693 0. 0000000 0. 8888889 0. 3478548 0. 6521452 0.2369269 0.4786287 0. 5688889 xk 0. 0000000 0. 5773503 0. 7745967 Ak 2. 0000000 1 0000000 . 0. 5555556
b
I
b
f ( x) ( x)dx,
a
f ( x ) ( x )dx
a
A
k 0
n
k
f ( xk ),
的求积系数. Ak (k 0,1, , n) 为不依赖于 f ( x ) 为求积节点， xk (k 0,1 , n) , 适当选取 使其具有最高 次代数精度
xk 及Ak
b
a
P( x)n 1) ) )dxdx q( x) ( x)dx. f ( x ( x ( x ( x) 0.
b b a a
11
由于求积公式是插值型的， 即
它对于q( x) H
n
是精确的，
b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.
b
再注意到
f ( x) P( x)n1 ( x) 精确成立，即有
因
b
a
n P ( x )n 1 ( x ) ( x ) dx b
f ( x ) ( x )dx
a
k 0
A P x ), ( x A f (
k
kk 0 k
n
k
)n 1 ( xk ).
n 1 ( xk ) 0(k 0,1, , n),
4
21
余项
( 2 n 2) b f f ( ) ( ) 2 1 ~ 2 Rn [ f ] f ] Pn x)) x Rn [ a)! n 1 ( x)1 (( xddx. [1,1], 1 (2n 2)! 2 ( 2n ( 2 n 2)
这里 P
2
n
x xj
k
xj
,
它是 n次多项式， 因而
故高斯求积 l k ( x ) 是 2n次多项式，
公式对于它能准确成立，即有
0
b
a
lk ( x ) ( x )dx
2
Al
i i 0
n
2 k
( xi ).
注意到
lk ( xi ) ki , 上式右端实际上即等于 Ak ,
从而有
3
定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 不超过2n+1. 证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)2
I (g)
n
b
( x) g ( x)dx 0
a
I n Ak g ( xk ) 0( g ( xk ) 0)
k 0
对2n 2次多项式不精确成立。
4
1
22
得
Rn [ f ] 2
2 n 3
[( n 1)!]
4 3
(2n 3)[( 2n 2)!]
f
( 2 n 2)
( )
(1,1).
当 n 1 时，有
R1[ f ] 1 135 R1[ f ] 1 90 f
( 4)
f
( 4)
( ). ( )
它比区间
1 3
) A f ( 1
),
令它对
f ( x) 1, x
都准确成立，有
A0 A 2; 1 1 1 A0 A 0. 1 3 3
由此解出
A0 A 1, 1
从而得到两点高斯-勒让德求积公式
1 3 ) f ( 1 3 ).
Rn [ f ] I Ak f ( xk )
k 0 n
b
f
( 2 n 2)
( )
a
(2n 2)!
2 n 1 ( x) ( x)dx.
由于
2 n 1
( x) ( x) 0,
由积分中值定理得为
Rn [ f ]
b
f
( 2 n 2)
( )
(2n 2)!
解 令公式(5.3)对于 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 准确成立，
得
2 A0 A ; 1 3 x A x A 0 0 0 0 2 2 1 x0 A0 x1 A 3 3 x0 A0 x1 A 1 2 5 2 7
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
9
b
f ( x ) ( x )dx
a
A
k 0
n
k
f ( xk ),
定理5 插值型求积公式的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
m 0,1, ,2n 1.
n
k
k
k 0 1
b
x ( x)dx,
m
a
x f ( x)dx 0.389111 f (0.821162)
0
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组较复杂， 故一般不通过解方程
通常 n 2就很难求解.
求xk 及Ak (k 0,1,, n) ，
定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式 的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互 异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型 求积公式。
5
根据定义要使求积公式具有 2n 1次代数精度，只要对
f ( x) x
m
(m 0,1, ,2n 1),
令
b
f ( x ) ( x )d x
与任何次数不超过 n 的多项式 P ( x )带权 ( x ) 正交，即
b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.
证明 必要性. 设 P( x) H n , 则 P( x) n1 ( x) H 2 n1 ,
10
因此，如果
x0 , x1 , , xn
是高斯点，则求积公式对于
a k k k 0
b
n
Ak (k 0,1, , n).
下面讨论高斯求积公式的余项. 利用
H 2 n1 ,
f ( x ) 在节点 xk (k 0,1, , n) 的埃尔米特插值
即
H 2 n1 ( xk ) f ( xk ), k 0,1,, n.
H 2 n1 ( xk ) f ( xk ),
§6
高斯求积公式
1
1.
求积公式
b
一般理论
n
f ( x )dx
a
A
k 0
k
f ( xk )
含有 2n 2个待定参数 当
xk , Ak (k 0,1, , n).
x k为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至