a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

第三章泊松过程1§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2) 意外事故或意外差错的发生;(3) 要求服务的顾客到达服务站.232. 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程计数过程的一个典型样本函数45定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：（1）()0≥t N（2）()t N 取正整数（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；（4）当t s <时，)()(s N t N −等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。

6•独立增量计数过程对于t 1< t 2 < …< t n ，N (t 2) -N (t 1),N (t 3) -N (t 2), …, N (t n )-N (t n-1) 独立•平稳增量计数过程在(t , t+s ]内(s >0)，事件A 发生的次数N (t+s ) -N (t )仅与时间间隔s 有关，而与初始时刻t 无关7定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：（1）0)0(=X（2）)(t X 是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布，即对任意0,≥t s ，有{}L ,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P n t λλ Poisson 分布λλ−==e k k X P k !)(教材有误,)]([t t X E λ=,/)]([t t X E =λ☆注：(1)泊松过程是平稳增量过程(2)由E[X(t)]=λt ,知λ=E[X(t)]/ t故λ表示过程的强度例在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等89定义 3.3 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：由定义中条件(3)，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，有两个或两个以上事件同时发生可能性极小。

（1）0)0(=X（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；（3）)(t X 满足下列两式：{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ{})(2)()(h o t X h t X P =≥−+定义3.2↔定义3.310定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：（1）0)0(=X（2）)(t X 是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布， 定义3.3 （1）0)0(=X（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；（3）)(t X 满足下列两式：{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥−+11定义1⇒定义2 由（2）知平稳性，又当h 充分小的，有{}2X()X(0)n P h n ∞==−=∑{}{}X()X()1X()X(0)1P t h t P h +−==−={}{}X()X()2X()X(0)2P t h t P h +−≥=−≥0()1!!nhn hh e h n λλλλ∞−=−==∑[1()]h h o h λλ=−+()o h =(1)hheeh λλλ−=−−2()!nhn h en λλ∞−==∑()h o h λ=+12定义2⇒定义1{}{}()X()X()X(0),n P t P t n P t n ===−=令{}0()X()0P t h P t h +=+={}X()X(0)0P t h =+−={}X()X(0)0,X()X()0P t t h t =−=+−={}{}X()X(0)0X()X()0P t P t h t =−=+−=0()[1()]P t h o h λ=−+,0)1(时当=n 000()()()(),P t h P t o h P t h h λ+−=−+00()()P t P t λ′=−0(),t P t ke λ−=1}0)0({)0(0===X P P Q 0()tP t eλ−∴=13(2)对n ≥1，建立递推公式{}()X()n P t h P t h n +=+={}X()X(0)P t h n =+−={}[X()X()][X()X(0)]P t h t t n =+−+−={}{}0[X()X(0)]X()X()n j P t n j P t h t j ==−=−+−=∑{}0[X()X(0)],X()X()nj P t n j t h t j ==−=−+−=∑{}{}[X()X(0)]X()X(0)nj P t n j P h j ==−=−−=∑14{}{}0[X()X(0)]X()X(0)nj P t n j P h j ==−=−−=∑0()()nn j j j P t P h −==∑0112()()()()()()nn n n j j j P t P h P t P h P t P h −−==++∑011()()()()()n n P t P h P t P h o h −=++1(1())()[()]()()n n h o h P t h o h P t o h λλ−=−++++222()()()()(()(0)2)()n nn j j j j j j j P t P h P h P h P N h N o h −==∞=⎛⎞≤≤⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−≥=⎜⎟⎝⎠∑∑∑1(1)()()()n n h P t hP t o h λλ−=−++)(h t P n +=15h h o t P t P ht P h t P n n n n )()()()()(1++−=−+−λλ)()()(01t P t P t P h n n n−+−=′→λλ时，当[])()()(1t P e t P t P en tn nt−=+′λλλλ[])()(1t P e t P e dtd n tn t −=λλλ10()()t t t td e P t e P t e e dtλλλλλλλ−⎡⎤===⎣⎦1()(),tP t t C e λλ−=+{}10X(0)10P P ===由于（）10()tC P t teλλ−==所以，,1)3(时当=n16江西理工大学理学院(4)用数学归纳法证明!)()(n t et P nt n λλ−=n =0,n =1时，结论已成立假设n -1时(n ≥1)，结论成立，由递推公式[])!1()()!1()()()(111−=−==−−−−n t n t e e t P e t P e dt d n n t t n t n t λλλλλλλλλ()()ntn t e P t Cn λλ=+积分得！{}(0)X(0)0n P P n ===由于()()nt n t P t en λλ−=从而！()nt t e n λλ−=！{}X()X()P t s s n +−=所以(0,1,2)n =L17江西理工大学理学院§3.2 泊松过程的基本性质一.数字特征{}L,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P ntλλ,0)0(=X {}L,1,0,!)()(===−n n t e n t X P nt λλ,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2∑∞=−=0!)()]([n nt n t ne t X E λλ∑∞=−−−=11)!1()(n n t n t te λλλt λ=,!)()]([022∑∞=−=n ntn t en t X E λλ22)])([()]([)]([t X E t X E t X D −=18)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X ⋅−=)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ特征函数t s <设),(t s R X )]}()()()[({s X s X t X s X E +−=})]({[)]}()()][0()({[2s X E s X t X X s X E +−−=2)]}([{)]([)]}()()][0()({[s X E s X D s X t X X s X E ++−−=证2)()(s s s t s λλλλ++−=)1(+=t s λλ),,min(),(t s t s B X λ=)1(+=t s λλt s λλ⋅−s λ=19对照维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ),,min(),(t s t s B X λ=)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ20二.时间间隔与等待时间的分布L,2,1,1=−=−n W W T n n n 记,),0[)(内到达服务点的顾客数为时间区间设t t X .}0),({过程的为强度且Poisson t t X λ≥i W ,个顾客到达的时间为第i 为时间序列},2,1,{L =i W i .},2,1,{点间间距序列为到达时间间隔序列或称L =n T n nn T T T +++=∴L 21τ1T 2T n T O1W 1−n W nW 2W21江西理工大学理学院定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10.,0,0 ,e )(L =⎩⎨⎧≤>=−i t t t f tT i λλ22江西理工大学理学院L ,2,1 ,1=−=−i W W T i i i 1T 2T n T O1W 1−n W nW 2W ,程过程是独立平稳增量过Poisson Q 相互独立　L ,2,1 ,1=−=∴−i W W T i i i ,),0[}{1事件无出现内表示在Poisson t t T >)(1)()(111t T P t T P t F T >−=≤=()0)(1=−=t X P teλ−−=1{}!)()(n t en t X P ntλλ−==∑==nk kn T W 123江西理工大学理学院}|{12s T t T P =>}|],({1s T t s s P =+=内无事件发生在}|],({1s T t s s P =+=内无事件发生在}1 )(0)()({2==−+=s X s X t s X P }0)()({2=−+=s X t s X P }0)0()({=−=X t X P }0)({==t X P te λ−=)0(X −}{1}{)(222t T P t T P t F T >−=≤=teλ−−=1.2的指数分布服从参数λT24江西理工大学理学院,3≥∀n },,,|{112211−−===>n n n s T s T s T t T P L } )()({1111=++−++−−n n s s t X s s t X P L L 0}0)0()({=−=X t X P }0)({==t X P te λ−=}{1}{)(t T P t T P t F n n T n >−=≤=te λ−−=1.的指数分布服从参数λn T 定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布参数且服从是相互独立的随机变量间隔则其时间的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n ⎩⎨⎧≤>=−.0 ,0,0 ,e )(t t t f t T n λλ25⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=−−.0 ,0,0 ,e )!1()()(1t t n t t f tn W nλλλ.分布的和服从参数为则其到达时间Γλn W n 定理3.3 ,}0),({过程的为强度设Poisson t t X λ≥概率密度函数证:)()(t W P t F n W n ≤=))((n t X P ≥=tn k k e k t λλ−∞=∑=!)()()(t F t f nn W W ′=t n k kt n k k e k t e k t λλλλλλ−∞=−∞=−∑∑−−=!)()!1()(1t n e n t λλ−−−=)!1()(1)0(>t26例设{X 1(t ), t ≥0}和{X 2(t ), t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2。