(人教A必修五)：第三章不等式

2012年高考数学按章节分类汇编（人教A 必修五）第三章不等式一、选择题1 ．（2012年高考（辽宁文理））设变量x,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则2x +3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．552 ．（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21x e x x ++…B211124x x <-+C ．21cos 12x x -…D ．21ln(1)8x x x +-… 3 ．（2012年高考（重庆文））不等式102x x -<+ 的解集是为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(-2,1)D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞ 4．（2012年高考（重庆理））设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（ ）A ．34πB ．35πC ．47πD ．2π5 ．（2012年高考（重庆理））不等式0121≤+-x x 的解集为 （ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121.D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,6 ．（2012年高考（浙江文））若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．67 ．（2012年高考（天津文））设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小值为 （ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．3 8 ．（2012年高考（四川文））若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,则34z x y =+的最大值是 （ ）A ．12B ．26C ．28D ．33 9 ．（2012年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元C ．2800元D ．3100元 10 ．（2012年高考（陕西文））小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a<b),其全程的平均时速为v,则 （ ）A ．B ．v=C2a b + D ．v=2a b+11 ．（2012年高考（山东文理））设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y=-的取值范围是 （ ）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2--C ．[1,6]-D ．3[6,]2-12．（2012年高考（课标文））已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ）A ．(1-3,2)B ．(0,2)C ．(3-1,2)D ．(0,1+3)13．（2012年高考（湖南文））设 a >b >1,0c < ,给出下列三个结论:① c a >cb;② c a <c b ; ③ log ()log ()b a a c b c ->-,其中所有的正确结论的序号是__. （ ）A ．①B ．① ②C ．② ③D ．①②③14．（2012年高考（广东文））(线性规划)已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y=+的最小值为 （ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6-15．（2012年高考（福建文））若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为 （ ）A ．-1B ．1C ．32D ．216．（2012年高考（安徽文））若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩;则x y -的最小值是（ ）A ．3-B ．0C ．32D ．3 17 ．（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 （ ） A ．50,0 B ．30.0 C ．20,30 D ．0,5018 ．（2012年高考（湖北理））设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3419 ．（2012年高考（广东理））已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-20．（2012年高考（福建理））若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．221．（2012年高考（福建理））下列不等式一定成立的是 （ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+ 二、填空题22．（2012年高考（浙江文））设z=x+2y,其中实数x,y 满足102000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩, 则z 的取值范围是_________. 23．（2012年高考（四川文））设,a b 为正实数,现有下列命题:①若221a b -=,则1a b -<;②若111b a-=,则1a b -<;③若1=,则||1a b -<; ④若33||1a b -=,则||1a b -<.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)24．（2012年高考（江西文））不等式2902x x ->-的解集是___________. 25．（2012年高考（湖南文））不等式2560x x -+≤的解集为______。

26．（2012年高考（湖北文））若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y=+的最小值是________.27．（2012年高考（大纲文））若函数1030330x y y x y x y -+≥⎧⎪=+-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y =-的最小值为_____.28．（2012年高考（新课标理））设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的取值范围为_______ 29．（2012年高考（浙江理））设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =______________. 30．（2012年高考（上海春））若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______.31．（2012年高考（陕西理））设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.32．（2012年高考（江苏））已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是____. 33．（2012年高考（江苏））已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为____.34．（2012年高考（大纲理））若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩,则3z x y =-的最小值为_________________.35．（2012年高考（安徽理））若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩;则x y -的取值范围为_____参考答案一、选择题1. 【答案】D【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大,最大值为55,故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 2. 【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+所以()g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 3. 【答案】:C【解析】:10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解. 4. 【答案】D【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 5. 【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩ 【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题. 6. 【答案】C【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧.【解析】x+3y=5xy,135y x+=, 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 7. 【解析】做出不等式对应的可行域如图,由y x z 23-=得223z x y -=,由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时,直线223zx y -=的截距最大,而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B. 8. [答案]C[解析]目标函数34z x y =+可以变形为443z x y +-=,做函数x y 43-=的平行线,当其经过点B(4,4)时截距最大时,即z 有最大值为34z x y =+=284443=⨯+⨯.[点评]解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件)、 二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、 四求(求出最优解). 9. [答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400z x 43+- 这是随Z 变化的一族平行直线解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).10. 解析:设从甲地到乙地距离为s ,则全程的平均时速2211s v s s a ba b==++,因为a b <,221111a a aa b==<<++,故选A.11. 解析:作出可行域,直线03=-y x ,将直线平移至点)0,2(处有最大值,点)3,21(处有最小值,即623≤≤-z .答案应选A.12. 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.【解析】有题设知作出直线0l :0x y -+=,平移直线0l ,有图像知,直线:l z x y =-+过B 点时,max z =2,过C 时,min z=1z x y =-+取值范围为(1-3,2),故选A. 13. 【答案】D【解析】由不等式及a >b >1知11a b <,又0c <,所以c a >cb,①正确;由指数函数的图像与性质知②正确;由a >b >1,0c <知11a c b c c ->->->,由对数函数的图像与性质知③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.14. 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以2z x y =+的最小值为5-.15. 【答案】B【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力. 16. 【解析】选A【解析】x y -的取值范围为[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-17. B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+.线性约束条件为 50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组50,43180,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C .平移直线0.9z x y =+,可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =(万元).故选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.18. 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.解析:由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++ 等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ,10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x c b a z y x c b a z c y b x a 所以,答案选C. 19. 解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩,解得32x y =⎧⎨=⎩,所以3z x y =+的最大值为11.20. 【答案】B【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力21. 【答案】C【解析】由基本不等式得212||()x x x R +≥∈,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键. 二、填空题22. 【答案】72【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确,表示出区域,然后借助于直线平移大得到最值.【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点13,22⎛⎫⎪⎝⎭时最大值为72.23. [答案] ①④[解析]若a,b 都小于1,则a-b<1若a,b 中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,由a 2-b 2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确. 对于|a 3-b 3|=|(a-b)(a 2+ab+b 2)|=1,若a,b 中至少又一个大于等于1,则a 2+ab+b 2>1,则|a-b|<1 若a,b 都小于1,则|a-b|<1,所以④正确. 综上,真命题有 ① ④ .[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习. 24. 【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可. 【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式,考查高次不等式的解法. 25. 【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0,得(3)(2)0x x --≤,从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.26. 2 【解析】作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部).目标函数23z x y =+在ABM ∆的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2,比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值;在哪个端点,目标函数取得最小值.来年需注意线性规划在生活中的实际应用. 27.答案:1-【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时,直线z x y -=3的截距最 大,此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .28. 【解析】2z x y =-的取值范围为[3,3]-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域:(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-29. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－, 无解; (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－, 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x >0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)我们知道:函数y 1=(a -1)x -1,y 2=x 2-ax -1都过定点P (0,—1).考查函数y 1=(a -1)x -1:令y =0,得M (11a -,0),还可分析得:a >1; 考查函数y 2=x 2-ax -1:显然过点M (11a -,0),代入得:211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭,解之得:302a or=,舍去0a =,得答案:32a =. 【答案】32a = 30. (,2]-∞31.解析:1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩,(1)1f '=,曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-,围成的封闭区域为三角形,2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2. 32. 【答案】[] 7e ，.【考点】可行域.【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为:354a c a bc c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩. 设==a b x y c c，,则题目转化为:已知x y ，满足35400xx y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，,求y x 的取值范围. 作出(x y ，)所在平面区域(如图).求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥,则00000==y ex m m e x x x ++,要使它最小,须=0m . ∴yx的最小值在()00P x y ，处,为e .此时,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间. 当(x y ，)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩,∴y x的最大值在C 处,为7.∴yx的取值范围为[] 7e ，,即b a 的取值范围是[] 7e ，.33. 【答案】9.【考点】函数的值域,不等式的解集.【解析】由值域为[0)+∞，,当2=0x ax b ++时有240a b =-=V ,即24a b =,∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭.∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<,22a a x <<.∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,∴)()622aa -=,解得9c =. 34. 答案:1-【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时,直线z x y -=3的截距最 大,此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .35. 【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-。