辽宁省高中数学人教版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.2.2反证法同步练习

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高中数学人教版选修1-2(文科)第二章推理与证明2.2.2反证法同步测试

高中数学人教版选修1-2（文科）第二章推理与证明2.2.2 反证法同步测试共 14 题一、选择题1、用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A.a，b都能被3整除B.a，b都不能被3整除C.b不能被3整除D.a不能被3整除2、用反证法证明命题“若，则、全为0”，其反设正确的是（）A.、至少有一个为0B.、至少有一个不为0C.、全不为0D.、中只有一个为03、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有偶数根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A.假设不都是偶数B.假设至多有两个是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设都不是偶数4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角5、设a，b，c大于0，a＋b＋c＝3，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于26、下列命题不适合用反证法证明的是( )A.同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条B.两个不相等的角不是对顶角直线必相交C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x，y∈R，且x＋y>2，求证：x，y中至少有一个大于17、设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋ ( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于28、用反证法证明命题“若，则 ”时，下列假设的结论正确的是（）A.sinθ≥0或cosθ≥0B.sinθ﹤0且cosθ﹤0C.sinθ﹤0或cosθ﹤0D.sinθ﹥0且cosθ﹥0二、填空题9、△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________．10、和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________.11、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________.三、解答题12、用反证法证明不可能成等差数列.13、已知，试用反证法证明中至少有一个不小于1.14、若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．参考答案一、选择题1、【答案】B【解析】【解答】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除.故答案为:B.【分析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.2、【答案】B【解析】【解答】原命题的结论为：“ 、全为0”，反证法需假设结论的反面，其反面为“ 、至少有一个不为0”.故答案为:B.【分析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立,其反面为“a,b至少有一个不为0”3、【答案】D【解析】【解答】 “ 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”.故答案为:D.【分析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.4、【答案】B【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．5、【答案】D【解析】【解答】因为，等号成立的条件是，如果三个数都小于2，那么三个数相加不可能大于或等于6，所以至少有一个不小于2.太答案为:D.【分析】选项中都有反面语句,可用反证法,得到正确选项.6、【答案】C【解析】【解答】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．故答案为:C.【分析】结合反证法的特点,分析可知选项C不适合.7、【答案】C【解析】【解答】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝( ＋ )＋( ＋ )＋(＋ )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.故答案为:C.【分析】选项中都有反面语句,可用反证法,得到正确选项.8、【答案】C【解析】【解答】若用反证法证明，只需要否定命题的结论，的否定为，故答案为：C.【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．二、填空题9、【答案】【第1空】∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP【解析】【解答】反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.故答案为:∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．10、【答案】【第1空】异面【解析】【解答】假设AC与BD共面于平面α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．故答案为:异面.【分析】可用反证法推出结论.11、【答案】【第1空】丙【解析】【解答】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．故答案为:丙.【分析】用反证法,对各人的说法进行分析,得到正确结论.三、解答题12、【答案】证明：假设成等差数列，则，即即，，矛盾，不可能成等差数列.【解析】【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，推出矛盾,从而得出结论．13、【答案】证明：假设均小于1，即，则有，而，矛盾，所以原命题成立【解析】【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，推出矛盾,从而得出结论．14、【答案】证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不成立，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【解析】【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，推出矛盾,从而得出结论．。

高中数学第二章推理与证明 2.2.2反证法课时作业含解析新人教A版选修2

第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[17]A级基础巩固一、选择题1．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足a＋b＋c≤6，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是(A)A．假设a，b，c都大于2B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2D．假设a，b，c至少有一个大于2[解析]“a，b，c中至少有一个不大于2”的对立面是“a，b，c都大于2”，故选A．2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确[解析]反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D．3．(2020·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C) A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R 同时大于零的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( D )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a m ＋n ＋b m ＋n －a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n )>0⇔⎩⎨⎧ a m >b m a n >b n 或⎩⎨⎧a m <b ma n <b n ，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/ a >b . 二、填空题7．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设__a ≠－1或b ≠－1__.[解析] a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1.8．下列命题适合用反证法证明的是__①②③④__.①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x >0，y >0且x ＋y >2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．[解析] ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.三、解答题9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[解析] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．(2020·深圳高二检测)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．[解析] 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级素养提升一、选择题1．(多选题)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ＞2；②设x ，y ，z 都是正数，用反证法证明三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 至少有一个不小于2时，可假设x ＋1y，y ＋1z ，z ＋1x都大于2，以下说法不正确的是( ABD ) A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确[解析] p ＋q ≤2的反面是p ＋q ＞2，①正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，故选ABD ．2．(多选题)(2019·龙岩期中)“已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12.”用反证法证明这个命题时，下列假设不正确的是( ACD ) A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥12B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<12C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于12D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于12[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12，故选ACD ．二、填空题3．(2020·嘉峪关校级期中)已知x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为__x ≤1且y ≤1__.[解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1，∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1，故答案为x ≤1且y ≤1.4．在用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的反设为__p ＋q >2__，得出的矛盾为__(q －1)2<0，或(p －1)2<0__.[解析] 由题意假设p ＋q ＞2，则p ＞2－q ，p 3＞(2－q )3，p 3＋q 3＞8－12q ＋6q 2，∵p 3＋q 3＝2，∴2＞8－12q ＋6q 2，即q 2－2q ＋1＜0，∴(q －1)2＜0，∵不论q 为何值，(q －1)2都大于等于0，即假设不成立，∴p ＋q ≤2；由以上分析过程可知：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，同理可得出矛盾(p －1)2＜0.综上：反设为p ＋q ＞2，得出的矛盾为(q －1)2＜0，或(p －1)2＜0.三、解答题5．设a ，b ，c 均为正实数，反证法证明：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. [解析] 证明：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 全部小于2.即a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6，① 又≥2a ×1a ＋2b ×1b ＋2c ×1c＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c) 所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 6．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立． [证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥12. 则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b 2>1， f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⎩⎨⎧ f (－1)＝1－b ＋c <12，f (1)＝1＋b ＋c >－12.⇒b >－12与b <－2矛盾． ∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．。

人教版2019高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课后训练新人教B版选修2_2

2.2.2 反证法课后训练1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )．A ．无解B ．有两个解C ．至少有两个解D ．无解或至少有两个解2．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )．A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解3．用反证法证明命题“如果a ＞b>( )． A=<C=<=4．设a ，b ，c 为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．有下列叙述：①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y ，或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的假设为________，得出的矛盾为________．7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．8．已知数列{a n }满足：112a =，11312111n n n n a a a a ++(+)(+)=--，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝221n n a a +-(n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．参考答案1. 答案：D “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有”或“至少有两个”．2. 答案：C “至多有两个”包括“0个，1个，2个”，其否定应为“至少有三个”．3. 答案：D 三个方面的关系，.4. 答案：C5. 答案：B ①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．6. 答案：p ＋q ＞2 (q －1)2＜0 假设p ＋q ＞2，则p ＞2－q ，∴p 3＞(2－q )3＝8－12q ＋6q 2－q 3.将p 3＋q 3＝2代入，得6q 2－12q ＋6＜0，∴(q －1)2＜0.这是错误的．∴p ＋q ≤2.7. 答案：分析：(1)充分利用已知条件中函数的单调性并结合不等式的性质推证，用综合法证明．(2)写出逆命题后，看一看能不能直接证，若不能，则可考虑用反证法．证明：(1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性，得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0b ≥－a f (b )≥f (－a )．两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b ＜0，那么0a b a b f a f b a b b a f b f a +<⇒<-⇒()<(-)⎫⎬+<⇒<-⇒()<(-)⎭f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故有a ＋b ≥0.逆命题得证．8. 答案：解：(1)由题意可知，22121(1)3n n a a +-=-，令2=1n n c a -，则123n n c c +=，又2113=14c a -=，则数列{c n }是首项为134c =，公比为23的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故1232143n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.又a 1＝12＞0，a n a n ＋1＜0，故a n ＝(－1)n －b n ＝221n n a a +-＝32143n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－132143n -⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝11243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.(2)用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以3t －121－r 化简，得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾，假设不成立，故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.2.2反证法同步练习B卷

高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.2.2反证法同步练习B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A . 三个内角都不大于B . 三个内角都大于C . 三个内角至多有一个大于D . 三个内角至多有两个大于2. （2分）设a,b,c小于0，则3个数：，，的值（）A . 至多有一个不小于－2B . 至多有一个不大于2C . 至少有一个不大于－2D . 至少有一个不小于23. （2分）用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是（）A . 三角形的内角至少有一个钝角B . 三角形的内角至少有两个钝角C . 三角形的内角没有一个钝角D . 三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角4. （2分） (2017高二下·太原期中) 利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A . x，y都不为0B . x≠y且x，y都不为0C . x≠y且x，y不都为0D . x，y不都为05. （2分）设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（）A . 0B .C .D . 16. （2分） (2016高二下·信阳期末) 用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A . a，b，c，d中至少有一个正数B . a，b，c，d全为正数C . a，b，c，d全都大于等于0D . a，b，c，d中至多有一个负数7. （2分）用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是（）A . =B . <C . =且<D . =或<8. （2分）用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A . a，b，c都是偶数B . a，b，c都是奇数C . a，b，c中至少有两个偶数D . a，b，c中都是奇数或至少两个偶数二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是________10. （1分） A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则________ 必定是在撒谎．11. （1分）若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分） (2017高二下·西华期中) 设x，y都是正数，且x+y＞2．证明：＜2和＜2中至少有一个成立．13. （5分） (2018高二下·辽源月考) 已知，且求证：中至少有一个是负数。

(人教版)高中数学选修2-2检测第2章推理与证明2.3 Word版含答案

第二章一、选择题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＋＝(≠)”．在验证＝时，左端计算所得项为( ) ．＋．＋＋．＋＋＋．＋＋＋＋解析：将＝代入＋得，故选.答案：．用数学归纳法证明(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈)，从＝推导到＝＋时，左边需要增乘的代数式为( )＋．(＋) ．＋．．解析：当＝时，等式左端为(＋)(＋)·…·(＋)，当＝＋时，等式左端为(＋＋)(＋＋)…(＋)(＋＋)(＋)，∴从＝推导到＝＋时，左边需增乘的式子为(＋)．答案：．若命题()(∈*)＝(∈*)时命题成立，则有＝＋时命题成立．现知命题对＝(∈*)时命题成立．则有( )．命题对所有正整数都成立．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立．以上说法都不正确解析：由题意知＝时命题成立能推出＝＋时命题成立，由＝＋时命题成立，又推出＝＋时命题也成立…，所以对大于或等于的正整数命题都成立，而对小于的正整数命题是否成立不确定．答案：．棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱的对角面个数(＋)为(≥，∈*)( )．()＋－．()＋＋．()＋．()＋－解析：三棱柱有个对角面，四棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；五棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；六棱柱有个对角面(＋＝＋(－))．猜想：若棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱有()＋－个对角面．答案：二、填空题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有>”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值最小应当是．解析：∵＝>＝<，∴填.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋－＝－(∈*)的过程如下：()当＝时，左边＝，右边＝－＝，等式成立．()假设当＝(∈*)时等式成立，即＋＋＋…＋－＝－，则当＝＋时，＋＋＋…＋－＋＝＝＋－.所以当＝＋时等式也成立．由此可知对于任何∈*，等式都成立．上述证明的错误是．解析：本题在由＝成立，证＝＋成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)．证明：()当＝时，左边＝－＝＝右边，等式成立．()假设当＝时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当＝＋时，－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当＝＋时等式也成立．由()和()，知等式对所有∈＋都成立．．用数学归纳法证明＋≤＋＋＋…＋≤＋(∈*)．证明：()当＝时，左式＝＋，右式＝＋，∴≤＋≤，命题成立．()假设当＝(∈*)时命题成立，即＋≤＋＋＋…＋≤＋，则当＝＋时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋·＝＋.又＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋＋·＝＋(＋)，即＝＋时，命题成立．由()和()可知，命题对所有∈*都成立．☆☆☆(分)是否存在一个等差数列{}，使得对任何自然数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立，并证明你的结论．解析：将＝分别代入等式得方程组：。

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效演练知能提升含解析新人教A版选修2_2

2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是( )A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．用反证法证明“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：B3．“实数a，b，c不全大于0”等价于( )A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是______________．解析：“大于”的否定为“小于或等于”．答案：3a＝3b或3a<3b成立7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．(1)当x>1时，求证：x2＋1x2>x＋1x；(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.证明：(1)x2＋1x2－⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x＝（x－1）2（x2＋x＋1）x2，因为x>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋1x2>x＋1x.(2)假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，①而a ＋b ＋c ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3≥3，②①与②矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个不小于1.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数， f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级能力提升1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( ) A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6解析：假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a<18，利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ≥2b ·4b ＋2a ·16a ＋2 c ·9c ＝4＋8＋6＝18，当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时取等号．这与假设矛盾，故假设不成立，故a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a这三个数中至少有一个不小于6. 答案：D2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a ≤－2或a ≥－1.答案：{}a |a ≤－2或a ≥－13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2＞0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．。

人教A版高中数学选修2-2同步练习第2章 2.2.2 反证法

2.2.2 反证法明目标、知重点1．了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题．1．定义：假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[情境导学]王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍．一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述,运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即“李子苦”),(2)以此为条件,经过正确的推理,最后得出一个结论(“早被路人摘光了”),(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法．思考2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾．思考3 反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1 已知直线a,b和平面α,如果a⊄α,b⊂α,且a∥b,求证：a∥α.证明因为a∥b,所以经过直线a,b确定一个平面β.因为a ⊄α,而a ⊂β,所以α与β是两个不同的平面．因为b ⊂α,且b ⊂β,所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P,如图所示,则P ∈α∩β＝b,即点P 是直线a 与b 的公共点,这与a ∥b 矛盾．所以a ∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法．跟踪训练1 如图,已知a ∥b,a ∩平面α＝A.求证：直线b 与平面α必相交．证明假设b 与平面α不相交,即b ⊂α或b ∥α.①若b ⊂α,因为b ∥a,a ⊄α,所以a ∥α,这与a ∩α＝A 相矛盾；②如图所示,如果b ∥α,则a,b 确定平面β.显然α与β相交,设α∩β＝c,因为b ∥α,所以b ∥c.又a ∥b,从而a ∥c,且a ⊄α,c ⊂α,则a ∥α,这与a ∩α＝A 相矛盾．由①②知,假设不成立,故直线b 与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是,存在互质的正整数m,n,使得2＝m n,从而有m ＝2n,因此m 2＝2n 2,所以m 为偶数．于是可设m ＝2k(k 是正整数),从而有 4k 2＝2n 2,即n 2＝2k 2,所以n 也为偶数．这与m,n 互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误,从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时,由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法．跟踪训练2 已知三个正数a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证：a,b,c 不成等差数列．证明假设a,b,c 成等差数列,则a ＋c ＝2b,即a ＋c ＋2ac ＝4b,而b 2＝ac,即b ＝ac,∴a ＋c ＋2ac ＝4ac,∴(a －c)2＝0.即a ＝c,从而a ＝b ＝c,与a,b,c 不成等差数列矛盾,故a,b,c 不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)＝0在区间[a,b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ,不妨设α<β,又因为函数f(x)在[a,b]上是增函数,所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾,所以方程f(x)＝0在区间[a,b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时,常用反证法来证明,用反证法证明时,注意准确写出命题的假设．跟踪训练3 若a,b,c 均为实数,且a ＝x 2－2y ＋π2,b ＝y 2－2z ＋π3,c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明假设a,b,c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,所以a ＋b ＋c ≤0,而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3,所以a ＋b ＋c>0,这与a ＋b ＋c ≤0矛盾,故a 、b 、c 中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )A ．三角形中至少有一个直角或钝角B ．三角形中至少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°答案 B3．“a<b ”的反面应是( )A ．a ≠bB ．a>bC ．a ＝bD ．a ＝b 或a>b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内,若a ⊥c,b ⊥c,则a ∥b ”时,应假设( )A ．a 不垂直于cB ．a,b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0,证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明由于a ≠0,因此方程至少有一个根x ＝b a. 如果方程不止一个根,不妨设x 1,x 2是它的两个不同的根,即ax 1＝b, ①ax 2＝b.② ①－②,得a(x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2,所以x 1－x 2≠0,所以应有a ＝0,这与已知矛盾,故假设错误．所以,当a ≠0时,方程ax ＝b 有且只有一个根．[呈重点、现规律]1．反证法证明的基本步骤是什么？(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性,但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后,只要找到矛盾即可,可以与题设矛盾,也可以与假设矛盾,与定义、定理、公式、事实矛盾．因此,反证法与证明逆否命题是不同的.一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④答案 D2．否定：“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a,b,c都是偶数B．a,b,c都是奇数C．a,b,c中至少有两个偶数D．a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a,b,c”中都是奇数或至少有两个偶数．3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )A．a,b都能被5整除B．a,b都不能被5整除C．a,b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为( )A．a,b,c都是偶数B．a,b,c都不是偶数C．a,b,c中至多一个是偶数 D．至多有两个偶数答案 B解析 a,b,c 中存在偶数即至少有一个偶数,其否定为a,b,c 都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________________.答案存在一个三角形,其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中,a 、b 、c 均为整数,且f(0),f (1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k,则ak 2＋bk ＝－c.①又∵f(0)＝c,f(1)＝a ＋b ＋c 均为奇数,∴a ＋b 为偶数,当k 为偶数时,显然与①式矛盾；当k 为奇数时,设k ＝2n ＋1(n ∈Z),则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na＋a ＋b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．已知x 1>0,x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2,…),试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”,当此题用反证法否定结论时应为( )A ．对任意的正整数n,有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n,使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n,使x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n,使x n ≤x n ＋1答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9．设a,b,c 都是正数,则三个数a ＋1b ,b ＋1c ,c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析假设a ＋1b <2,b ＋1c <2,c ＋1a<2, 则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a)<6. 又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6,这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0,x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根,则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－2或a ≥－1解析若两方程均无实根,则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0,∴a<－1或a>13.Δ2＝(2a)2＋8a ＝4a(a ＋2)<0,∴－2<a<0,故－2<a<－1.若两个方程至少有一个方程有实根,则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ＋b ＋c>0,ab ＋bc ＋ca>0,abc>0.求证：a>0,b>0,c>0.证明用反证法：假设a,b,c 不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a<0,b<0,c>0,则由a ＋b ＋c>0,可得c>－(a ＋b),又a ＋b<0,∴c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b),ab ＋c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b)＋ab,即ab ＋bc ＋ca<－a 2－ab －b 2,∵a 2>0,ab>0,b 2>0,∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0,即ab ＋bc ＋ca<0,这与已知ab ＋bc ＋ca>0矛盾,所以假设不成立．因此a>0,b>0,c>0成立．12．已知a,b,c ∈(0,1),求证：(1－a)b,(1－b)c,(1－c)a 不可能都大于14. 证明假设三个式子同时大于14, 即(1－a)b>14,(1－b)c>14,(1－c)a>14, 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>143,① 又因为0<a<1,所以0<a(1－a)≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b(1－b)≤14,0<c(1－c)≤14, 所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c ≤143② ①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立．三、探究与拓展13．已知f(x)是R 上的增函数,a,b ∈R.证明下面两个命题：(1)若a ＋b ＞0,则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b),则a ＋b ＞0.证明(1)因为a＋b＞0,所以a＞－b,b＞－a,又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)＞f(－b),f(b)＞f(－a), 由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0,则a≤－b,b≤－a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(－b),f(b)≤f(－a), 所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b),这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立．。

人教版高中数学选修2-2习题第二章推理与证明2.2.2反证法

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法A 级基础稳固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否认是()A．三角形中有两个内角是直角B．三角形中有三个内角是直角C．三角形中起码有两个内角是直角D．三角形中没有一个内角是直角分析：“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否认是“三角形中起码有两个内角是直角”．答案： C2． a＋ b＞ c＋ d 的一个必需不充足条件是()A． a＞ c B． b＞ cC． a＞ c 且 b＞ d D． a＞ c 或 b＞ d分析：由a＞ c 或 b＞ d 可得 a＋b＞ c＋ d，反之则不必定，选项 D 正确．答案： D3．“实数a， b， c 不全大于0”等价于()A． a， b， c 均不大于0B． a， b， c 中起码有一个大于0C． a， b， c 中至多有一个大于0D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于”．选项 D 正确．答案： D4．用反证法证明命题“若直线AB、 CD是异面直线，则直线AC、 BD也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、 B、C、 D 四点共面，因此AB、CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②所以假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案： B5．设实数a、 b、 c 知足 a＋ b＋c＝ 1，则 a、 b、 c 中起码有一个数不小于() 11A． 0 B.3 C.2D． 1分析：假定a、 b、 c 都小于1，则 a＋ b＋ c＜1，与 a＋ b＋c＝ 1 矛盾．选项 B 正确．3答案： B二、填空题6．有以下表达：①“a＞b”的反面是“a＜b”；② “x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④ “三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．此中正确的表达有________(填序号 )．分析：“x＝ y”的反面是“x≠y”，即是“x＞ y 或 x＜ y”，因此②正确；“a＞ b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②7．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)有有理根，那么a、b、c 中起码有一个是偶数”时，应假定 ______________ ．分析：“a、b、c 中起码有一个是偶数”的反面是“a、b、c 都不是偶数”，故应假定 a、b、c 都不是偶数．答案： a、 b、 c 都不是偶数8．已知数列 {a n}，{ b n}的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a， b 是常数，且 a＞ b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝ b n，由题意 a>b， n∈ N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞ bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 0三、解答题9．若 a、 b、 c 均为实数，且ππa＝ x2－ 2y＋，b＝ y2－ 2z＋，232πc＝ z－ 2x＋，6求证： a、 b、 c 中起码有一个大于 0.证明：设 a、 b、c 都不大于0，即 a≤0，b≤ 0， c≤ 0，因此 a＋ b＋ c≤0.而 a＋ b＋ c＝ x2－ 2y＋π2＋ y2－ 2z＋π3＋ z2－ 2x＋π6＝ ( x2－ 2x)＋ (y2－ 2y)＋ (z2－ 2z)＋π－3＝ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＋ (z－ 1) 2＋π－ 3≥π－ 3＞ 0.因此 a＋ b＋ c＞ 0，这与 a＋ b＋ c≤0矛盾，故 a、b、 c 中起码有一个大于0.10．求证： 1、3、 2 不可以为同一等差数列的三项．证明：假定1、3、 2 是数列 {a n}(n∈ N* )中某三项，不如设为a n＝ 1， a m＝3， a p＝ 2， (n， m， p 互不相等 )由等差数列定义可有即 3－1＝ 1 ，则m－n p－ n a m－an＝a p－an，m－ n p－ nm－ n 3－ 1＝p－n .因为 m， n， p 是互不相等的正整数，因此m－n必为有理数，而3－ 1 是无理数，两者不会相等．p－ n因此假定不建立，结论正确．B 级能力提高1．设 a、 b、 c 都是正数，则三个数111) a＋， b＋， c＋ (b c aA．都大于 2B．起码有一个大于2 C．起码有一个不小于2D．起码有一个不大于2分析：假定a＋1＜ 2， b＋1＜ 2， c＋1＜ 2，b c a则 a＋1＋ b＋1＋ c＋1＜ 6；b c a因为 a＋1a≥ 2， b＋1b≥ 2， c＋1c≥ 2，因此 a＋1＋ b＋1＋ c＋1≥ 6.b c a因此假定错误，选项 C 正确．答案： C2．若以下两个方程x2＋ (a－ 1)x＋ a2＝ 0， x2＋ 2ax－ 2a＝ 0 中起码有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是________________．分析：若双方程均无实根，则1＝ (a－ 1)2－ 4a2＝ (3a－ 1)( － a－1)＜ 0，解得 a＜－ 1 或 a＞1 3.2＝ (2a)2＋ 8a＝ 4a(a＋ 2)＜ 0，解得－ 2＜ a＜ 0，因此－ 2＜ a＜－ 1.因此，若两个方程起码有一个方程有实根，则有 a ≤－ 2 或 a ≥－ 1.| ≤－或≥－1}答案： {a a 2 a3．求证：无论 x ， y 取何非零实数，等式 1＋ 1＝1总不建立．x y x ＋ y证明：假定存在非零实数x ，y 使得等式 1＋1＝1建立．于是有y(x ＋ y)＋ x(x ＋y)＝xy ，＋x y即 x 2＋ y 2＋ xy ＝ 0，即 (x ＋ y )2＋ 3y 2＝0. 2 43 2由 y ≠0，得 4y ＞ 0.又 (x ＋ y )2≥ 0，因此 (x ＋ y )2＋ 3y 2＞ 0.224与 x 2＋ y 2＋ xy ＝ 0 矛盾，故原命题建立．。

高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习(II)卷

高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分）(2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A .B .C .D .二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分） (2016高二下·会宁期中) 用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·九江期中) 用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A . 56×34k+1+25（34k+1+52k+1）B . 34k+1+52k+1C . 34×34k+1+52×52k+1D . 25（34k+1+52k+1）4. （2分） (2018高二下·重庆期中) 用数学归纳证明：时，从到时，左边应添加的式子是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·河南期中) 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（）A . k2+1B . （k+1）2C .D . （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）27. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-28. （2分）下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是（）A . 6＋6·7kB . 2＋7k－1C . 2(2＋7k＋1)D . 3(2＋7k）三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．10. （1分） (2018高二下·邗江期中) 利用数学归纳法证明“ ，（）”时，在验证成立时，左边应该是 ________．11. （1分）用数学归纳法证明：第一步应验证的等式是________．四、解答题 (共3题；共25分)12. （5分） (2015高二下·和平期中) 用数学归纳法证明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1．13. （10分）(2017·南通模拟) 设．有序数组经m次变换后得到数组，其中，（ 1，2，，n），，．例如：有序数组经1次变换后得到数组，即；经第2次变换后得到数组．（1）若，求的值；（2）求证：，其中 1，2，，n．（注：当时，， 1，2，，n，则．）14. （10分） (2017高二下·郑州期中) 设正项数列{an}的前n项和为Sn ，且满足．（1）计算a1，a2，a3的值，并猜想{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。

新人教版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效测评新人教A版选修2_2

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时，反设正确的是( )A．假设三个内角都小于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”，故选A.答案： A2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.答案： D3．下列四个命题中错误的是( )A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角B．17，13，11不可能成等差数列C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60°D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c，则∠A>∠B>∠C，若∠C>60°，则∠A>60°，∠B>60°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.答案： C4．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定是________．解析：命题的结论为a>b，其否定为a<b或a＝b.答案：a≤b6．与两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．解析：假设AC与BD相交或平行，则AC与BD共面，∴AB与CD共面，这与AB与CD是异面直线相矛盾．∴假设错误，∴AC，BD异面．答案：异面三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．8．求证方程2x＝3有且仅有一个实根．证明：∵2x＝3，∴x＝log2 3，这说明方程有一个实根．下面用反证法证明根的唯一性．假设方程2x ＝3有两个实根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则2b 1＝3,2b 2＝3，两式相除得2b 1－b 2＝1，如果b 1－b 2＞0，则2b 1－b 2＞1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾．如果b 1－b 2＜0，则2b 1－b 2＜1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾．因此b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故方程2x ＝3有且只有一个实根．尖子生题库☆☆☆ (10分)已知方程x 2－4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解析：设三个方程都没有实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－－4a ＋，a －2－4a 2<0，a 2－－2a ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋4a －3<0，3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1或a >13，－2<a <0，∴－32<a <－1. ∴当三个方程中至少有一个方程有实根时，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a ≤－32或a ≥－1。

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辽宁省高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.2.2反证法同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）用反证法证明命题：“， a+b=1，c+d=1，且ac+bd>1，则a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为（）
A . a,b,c,d 中至少有一个正数
B . a,b,c,d 全为正数
C . a,b,c,d 全都大于等于0
D . a,b,c,d 中至多有一个负数
2. （2分）用反证法证明命题：“,,且,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为（）
A . a,b,c,d中至少有一个正数
B . a,b,c,d全为正数
C . a,b,c,d全都大于等于0
D . a,b,c,d中至多有一个负数
3. （2分）用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）
A . a，b，c都是偶数
B . a，b，c都是奇数
C . a，b，c中至少有两个偶数
D . a，b，c中都是奇数或至少两个偶数
4. （2分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）
A . 假设a、b、c都是偶数
B . 假设a、b、c都不是偶数
C . 假设a、b、c至多有一个偶数
D . 假设a、b、c至多有两个偶数
5. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
正确顺序的序号为（）
A . ①②③
B . ③①②
C . ①③②
D . ②③①
6. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）
A . 假设至少有一个钝角
B . 假设至少有两个钝角
C . 假设没有一个钝角
D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角
7. （2分） (2016高二下·信阳期末) 用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）
A . a，b，c，d中至少有一个正数
B . a，b，c，d全为正数
C . a，b，c，d全都大于等于0
D . a，b，c，d中至多有一个负数
8. （2分） (2017高二下·台州期末) 用反证法证明”若x，y都是正实数，且x+y＞2，则＜2或
＜2中至少有一个成立“的第一步应假设（）
A . ≥2且≥2
B . ≥2或≥2
C . ≥2且＜2
D . ≥2或＜2
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分）用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为________
10. （1分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________ ．
11. （1分） A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则________ 必定是在撒谎．
三、解答题 (共3题；共15分)
12. （5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（， 1），则此直线不能经过两个有理点．
13. （5分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根，求证：a3+ab+c≠0．
14. （5分）设连续函数f（x）的定义域为R，已知，若函数f（x）无零点，则f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
（1）用反证法证明：“若存在实数x0 ，使得f（f（x0））=x0 ，则至少存在一个实数a，使得f（a）=a”；
（2）若f（x）=ex﹣+x2﹣2cosx﹣mx﹣2，有且仅有一个实数x0 ，使得f（f（x0））=x0 ，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共15分)
12-1、
13-1、
14-1、。