高中数学《球的体积和表面积 》导学案

1.3.2 球的体积和表面积课前自主预习知识点 球的体积和表面积1.球的体积如果球的半径为R ，那么它的体积V ＝□143πR 3. 2.球的表面积如果球的半径为R ，那么它的表面积S ＝□24πR 2.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )(3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R 3S .( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)表面积为4π的球的半径是________．(2)直径为2的球的体积是________．(3)(教材改编，P 28，T 3)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为_______．答案 (1)1 (2)4π3 (3)4π3.(教材改编，P 27，例4)若球的过球心的圆面圆周长是c ，则这个球的表面积是( )A.c 24πB.c 22πC.c 2π D ．2πc 2答案 C课堂互动探究探究1 球的体积与表面积例1 (1)已知球的直径为6 cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)∵直径为6 cm ，∴半径R ＝3 cm.∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4.∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π，∴R 3＝125，R ＝5.∴S 球＝4πR 2＝100π.拓展提升求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 【跟踪训练1】 (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．(2)已知球的大圆周长为16π cm ，求这个球的表面积．答案 (1)364π3 (2)见解析解析 (1)设大、小两球半径分别为R ，r ，则由题意可得⎩⎨⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，∴⎩⎨⎧ R ＝4，r ＝3.∴它们的体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.(2)设球的半径为R cm ，由题意可知2πR ＝16π，解得R ＝8，则S 球＝4πR 2＝256π(cm 2).探究2 球的三视图例2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.拓展提升(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.【跟踪训练2】 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π 答案 C解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13π×32×4＝30π.探究3 球的截面问题例3 一平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝4＝43π.3π×(3)3答案B拓展提升球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.【跟踪训练3】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3 cm 3答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3).【跟踪训练4】 球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．答案 6解析 如图，由已知条件知球的半径R ＝10，截面圆的半径r ＝8，∴球心到截面的距离h ＝R 2－r 2＝6.探究3 球的组合体问题例4 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析 作出图形的轴截面如图所示，点O 即为该球的球心，线段AB 即为长方体底面的对角线，长度为a 2＋(2a )2＝5a ，线段BC 即为长方体的高，长度为a ，线段AC 即为长方体的体对角线，长度为a 2＋(5a )2＝6a ，则球的半径R ＝AC 2＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.答案 B[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为a 的正四面体，则球的表面积如何求？解 如图，过A 作底面BCD 的垂线，垂足为E ，则E 为△BCD 的中心，连接BE .∵棱长为a ，∴BE ＝32a ×23＝33a .∴在Rt △ABE 中，AE ＝a 2－a 23＝63a .设球心为O ，半径为R ，则(AE －R )2＋BE 2＝R 2，∴R ＝64a ，∴S 球＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2. 拓展提升1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．3．正四面体的外接球 正四面体的棱长a 与外接球的半径R 的关系为：2R ＝62a .【跟踪训练5】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 答案 B解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.【跟踪训练6】 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．答案932或332解析①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球的体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.1.球的有关性质(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝R2－r2.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．2.与球有关的组合体与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的轴截面．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出轴截面．课堂达标自测1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π答案 D解析 由该几何体的三视图知，它是由一个球和一个圆柱组成，S 表＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋π×22×2＋2π×2×2＝4π＋8π＋8π＝20π.3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍答案 C解析 设最小球的半径为r ，则另外两个球的半径分别为2r,3r ，其表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，故最大球是其余两个球的表面积之和的36πr 24πr 2＋16πr2＝95倍. 4.一个距离球心为3的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．答案 32π3解析 设所得的圆面的半径为r ，球的半径为R ，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(3)2＝R2，∴R＝2.∴V＝43πR3＝32π3.5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－4 3πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·⎝⎛⎭⎪⎫33h2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为( )A.24πB.6πC. 324πD. 36π答案 D解析 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝ 36π.2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π D.82π3答案 C 解析 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是( )A.202π B ．252π C ．50π D ．200π答案 C解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r ，则有(2r )2＝32＋42＋52＝50，即4r 2＝50，故它的外接球的表面积是S ＝4πr 2＝50π.4.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3答案 D解析 由三视图可得，该几何体的上部是一个球，球的直径为2，则V 球＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝4π3，该几何体的下部是一个圆锥，圆锥的底面直径为2，高为15，则V 圆锥＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×15＝15π3，所以该几何体的体积为V 球＋V 圆锥＝4π3＋15π3.5.一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A.96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．483答案 D解析 设正三棱柱的底面边长为a ，则球的半径R ＝33×12a ＝36a ，正三棱柱的高为33a .又V 球＝43πR 3＝4π3×(3)363a 3＝32π3.∴a ＝4 3.∴V 柱＝34×(43)2×33×43＝48 3.二、填空题6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.7.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．答案 16π解析 由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22，R ＝2，则球的表面积为16π.8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h ，球的半径为R ，则h ＋2h ＝3h ＝2R ，∴R ＝32h ，又∵底面边长为4，∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋(22)2， 解得h ＝2，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.三、解答题9.如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．解 这个几何体的直观图如图所示．因为V 长方体＝10×8×15＝1200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π12(cm 3)， 所以所求几何体的体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋125π12(cm 3)．因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，S 半球＝12×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π2， S 半球底＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π4，故所求几何体的表面积 S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋25π4(cm 2).B 级：能力提升练10.在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A－BCD，求此正三棱锥的体积．解①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H 为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．∵HB＝HC＝HD＝23×32×123＝12，∴OH＝OB2－HB2＝9，∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.又S△BCD＝34×(123)2＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×6＝216 3.综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。