沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》学案
15.4 角的平分线 优质课 公开课 教学设计 沪科版
15.4 角的平分线（第二课时）教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理。
2.会应用角平分线性质定理。
【过程与方法】1.经历探索角平分线性质定理的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线性质定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感、态度与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理。
【难点】理解并证明角平分线的性质定理。
教学过程一、复习导入,构建新知师:同学们还知道怎样作出角的平分线吗?学生回答，教师多媒体展示过程。
二、共同探究,获取新知<活动>探究角平分线的性质(1)(2)猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(3)验证猜想：通过证明的方式对猜想加以确认。
(4) 得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
<实践应用>(1)对角平分线的性质定理进行辨析，教师点拨。
(2)“角平分线的性质定理”在解决实际问题中的应用。
三、练习新知,加深理解<例题讲解>例题在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.<举一反三> 对例题的“变式训练”四、小结与作业(1)评价反思： a.这节课你有哪些收获？b.通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？(2)布置作业课本P144练习第2题。
五、板书设计15.4 角的平分线(第二课时)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2018-2019年初中沪科版八年级数学上册15.4角的平分线(2)导学案
15.4 角的平分线（2）导学案学习目标1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2．会叙述角的平分线的性质及“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
学习重点角平分线的性质及其应用．学习难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程一自主预习请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示投影片）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：学生通过讨论作出下列概括：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：二、探究新知在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO （HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．这一点在数学上叫“互逆性”．下面请同学们思考一个问题．三、随堂练习如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？四、应用与提升已知：如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于M．求证：AM⊥EF五、反思与修正AFB DEM。
《15.4角的平分线》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级上册
《角的平分线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对角的平分线概念的理解，能够通过实际作图掌握角的平分线画法，并能够通过习题加深对角平分线性质的认识，培养学生空间想象能力和数学逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础概念学习：- 要求学生阅读教材，明确角的平分线的定义，理解其几何意义。
- 完成相关概念的填空题，加深对角平分线定义的理解。
2. 作图练习：- 让学生利用直尺和圆规，实际作图，绘制不同角度的角的平分线。
- 强调作图规范，如使用尺规作图的基本要求，保证作图的准确性。
3. 性质理解：- 通过例题讲解角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等。
- 学生需通过习题，运用角平分线的性质解决实际问题。
4. 拓展应用：- 设计一些实际应用题目，如利用角平分线解决生活中的实际问题等。
- 鼓励学生进行小组讨论，分享解题思路和方法。
三、作业要求1. 按时完成：学生需在规定时间内完成作业，并按时提交。
2. 独立完成：作业需学生独立思考完成，严禁抄袭。
3. 作图规范：作图需使用尺规作图，线条清晰、规范。
4. 解题思路清晰：在解题过程中，需有清晰的解题思路和步骤。
5. 反思总结：学生需对作业进行反思总结，找出自己的不足和需要改进的地方。
四、作业评价1. 教师批改：教师需认真批改作业，对学生的作业情况进行评估。
2. 评价标准：根据学生完成作业的正确性、规范性、创新性以及解题思路的清晰程度进行评价。
3. 及时反馈：对作业中普遍存在的问题进行及时反馈，并指导学生进行改正。
五、作业反馈1. 个性化指导：针对学生在作业中出现的错误和不足，进行个性化指导和辅导。
2. 课堂讲解：在下一课时中，针对作业中的重点和难点进行讲解，加深学生对知识的理解。
3. 鼓励表扬：对完成优秀的作业进行表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
4. 家校沟通：与家长沟通学生在作业中的表现，共同促进学生的学习进步。
通过以上作业设计，旨在通过多层次、多角度的练习，使学生能够全面掌握角的平分线的基本概念、作图方法和性质应用，从而提高学生的数学能力和解题技巧。
沪科版数学八年级上册第1课时 角平分线的作法教案与反思
15.4 角的平分线知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰第1课时角平分线的作法【知识与技能】掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.【过程与方法】通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识.【情感与态度】培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.【教学重点】重点是角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.【教学难点】难点是熟记作图的步骤.一、创设情境，操作感知1.教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分∠A，∠E呢？你能说一说吗？”学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC＝BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即AE就是角平分线2.折纸验证课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线.学生活动：按上面要求，画课本图15-21如下：在操作中，发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.教师引导：请同学们再用量角器量一量，看得出的这个结论对吗？学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识.【教学说明】通过上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识.二、尺规作图思考1：怎样用直尺和圆规来作角平分线？提示学生能否从折纸角中得到启示【教学说明】归纳角的平分线的作法并板书作法.下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）（2）分别以点M,N为圆心，以大于12MN长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）（3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图（3）.学生活动：证明作法的正确性.任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线.思考2：（1）你能作一个平角的角平分线吗？（）这个作图可以看作是什么？如何写已知，求作？【教学说明】过直线上一点作已知直线的垂线的步骤：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.思考3：问题刚才作的点是在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？【教学说明】过直线外一点作已知直线的垂线的步骤：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C（如图（2））求作：AB的垂线使它经过点C.作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.三、运用新知,深化理解1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.2.如图所示，在△ABC中，ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交C延长线于点F；（2）求证：△ABC≌△FCE.【参考答案】1.略2.(1)略.（2）作图如图所示.证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，∴∠FEC=∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE,∴∠ABC=∠FCE在△ABC与△FCE中，∵,,.FEC ACB EC CBABC FCE ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC≌△FCE(ASA).四、师生互动，课堂小结掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法1.课本第143页练习第1、2题.2.完成练习册中相应的作业.本节设计了“创设情境，操作感知——尺规作图——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个节，使学生掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，经历角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，提高几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
沪科版初中数学八年级上册 15.4 角的平分线 学案
15.4 角的平分线(第2课时)班级小组姓名评价 .【学习目标】1.经历探索、猜想、证明的过程，初步了解角平分线的性质．2.能用文字语言、符号语言描述角平分线的性质定理.3.能运用角平分线的性质定理解决简单的几何问题.重点：角平分线的性质定理.【学法指导】1. 通过折叠或者测量的方法，去探索、猜想、验证.2.在应用角的平分线性质定理时，必须关注：①是不是角平分线上的点；②是不是到角的两边上的垂线段.【自主学习】1.什么叫角的平分线？2.实验：任意画一个∠AOB，不借助任何工具，你能找到这个角的平分线吗？说说你的方法.3.已知：如图，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，过点P分别作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，求证: PD=PE.4.角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等。
用符号语言描述：如上图，P在∠AOB的平分线OC上，∵，∴ PD=PE.【合作探究】1、判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离PE为3cm，则P到OB 的距离也为3cm.2、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.【收获与反思】达标测试A组1、生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画出来看看.2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.求：（1）点D到AB的距离；（2）△ABD的面积.B组3、如图,AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠DAB。
新版沪科版八年级上册教案15.4角的平分线(2)
第二课时：角的平分线（二）教学内容本节课主要是巩固平分线定理和它的逆定理的应用，发展合情推理。
教学目标1、知识与技能掌握角平分线性质定理和它的逆定理，学会几何推理，以及表达能力。
2、过程与方法经历反思角平分线内容的过程，体会定理及逆定理所起着简化证明的作用，发展空间意识。
3、情感、态度与价值观培养操作、比较思想，体会获得数学结论的思想方法，形成逻辑思维。
重、难点与关键1、重点：掌握角平分线定理和逆定理。
2、难点：形成合情推理意识，培养有条理的思索。
3、关键：采用操作、观察、探究的数学方式，构建新知，简化证明。
教学过程一、回顾交流，系统跃进1、回顾思索。
教师提问：同学们能否从集合的观点来说明角平分线性质。
学生活动：在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
2、课堂演练。
（1）演练题1，如图16.4-10所示，△ABC中，AD是角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：EB=FC。
思路分析：只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等。
教师活动：巡视、启发学生运用角平分线定理推出DE=DF,再用直角三角形全等(HL)证明EB=FC.学生活动：先独立完成演练题，然后再与同伴交流，上讲台演示。
证明：∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE=DF在Rt △EBD ≌Rt △FCD （HL ） ∴EB=FC（2）演练题2，如图16.4-11所示，A 、B 两村在公路两旁，现 需在公路上修建一个汽车站，使车站到两村的距离相等，你能在公路上 确定这个车站的位置吗？思路分析：只要连接AB ，作AB 的垂直平分线MN ，NM 与公路交点C 即为汽车站的地址。
（3）演练题3、求作一点C ，使∠AOB 的两边的距离相等，且CM=CN 。
思路分析：连接MN ，作MN 中垂线与∠AOB 平分线交于C ，点C 就是所求的点。
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16.4 角的平分线[教学目标]1、经历角平分线性质的发现过程，并通过将这一过程与线段垂直平分线性质的发现过程作对比，体会隐含其中的由“点”研究“线”的研究思想。
2、类比已学的“线段的垂直平分线”的知识结构和方法结构，通过探索和证明，建立“角的平分”一节的知识结构，并在探索和证明过程中，体会数学表述的严密性要求。
3、初步掌握角平分线的性质定理、逆定理以及用集合观点表述角平分线等知识，并能运用上述知识解决简单的几何问题。
[教学过程（实录）]一、复习旧知，引入课题通过多媒体展示飞机（模型-纸飞机），让学生折飞机，并引导学生观察折痕得出本节课的课题——角的平分线. 二、创设情景，学习新知 角的平分线的画法： 在角AOB 中，画角平分线 作法：1.以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M ，N ．2.分别以点M ，N 为圆心，以大于1／2MN 的长度为半径画弧，两弧交于点P3.作射线OP则射线OP 为角AOB 的角平分线让学生自己在草稿纸上自己画，同桌相互检查，集体订正。
师：上节课我们用一种探索的方法，对线段的垂直平分线作了较为深入的研究，今天我们要用类似的方法对角的平分线进行研究。
板书：角的平分线请同学们先回忆一下，关于角的平分线我们已经学过的有关结论。
生(1)： ∠AOC ＝∠BOC ；角是轴对称图形，对称轴是OC 所在的直线。
师： 板书：已有知识：若：OC 是∠AOB 的平分线则：①∠1＝∠2②OC 所在的直线是∠AOB 的对称轴那么关于角的平分线，还有哪些其他结论呢？请大家以小组为单位进行合作探究。
二、探究得出性质定理师 下发课堂教学操作单1。
（“操作单”见附一） 课件显示课堂教学操作单11 2OCB A生(众)：以小组为单位进行合作探究，并填写操作单1。
师： 巡视，并适时介入讨论。
下面我们把各组探究的成果一起来交流一下。
先从研究方法说起。
生(2)： 在OC 上任取一点P ，过P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB 。
沪科版-数学-八年级上册-15.4 角的平分线 教案
∴PQ=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理，PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
Ⅲ．随堂练习
1.如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C.D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；
看看条件够不够．
AB=AD
BC=DCAC=AC
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB，即射线AC就是∠DAB的平分线．
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA.OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
猜想与论证：
（1）引导学生把实际问题抽象为数学问题：就是在∠AOB内确定一点P，市场P的位置应满足的两个条件：
①OP=1000米；
②到两条路OA.OB的距离相等．
（2）猜想P能否在∠AOB的平分线上？并利用三角形全等学生自证，教师板书过程．
（3）归纳角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
探索活动
按以下步骤折纸
1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A.B.C．把角A对折，使得这个角的两边重合．
2．在折痕（即平分线）上任意找一点C．
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板书设计
16.4角平分线
作法作法作法
7.怎样用直尺和圆规来作角平分线？提示学生能否从折纸角中得到启示
8.如何在∠AOB的内部找到P点呢？
9.归纳角的平分线的作法并板书作法。
10.证明作法的正确性。
11．任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线。
思考
观察
交流
回答
归纳
回答
作图
承前
启后
深入
探究
【活动2】
1．问题：你能作一个平角的角平分线吗？
教学重点
角平分线及垂线的尺规作法
教学难点
角平分线的尺规作法的探索过程
教学
设想
1.本节课在设计时我曾想通过等腰三角形的三线合一的性质来设计，但考虑到学生对这一性质掌握不够，于是就按三角形全等的知识来设计。
2.在探索角平分线的尺规作法时，原考虑利用教材第110页B组复习题的第1题改编做一个简易的平分角的仪器来解决这一重、难点，但考虑到时间不够，也考虑到学生的接受能力，就降低了难度，利用折纸做的角来突破难点。
2．问题：这个作图可以看着是什么？如何写已知，求作？
3．刚才作的是点在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
4.提示学生：刚才我们是利用全等来操作的，这个题也可以利用全等来操作。
5.板书作法并作图。
6.点题：你能否用全等来证明作法的正确性。
7.任作一条直线，任取一个点，过这个点作这条直线的垂线。
3.本节课的两个练习较难，且课后习题没有关于本节课的题目，所以利用练习的第2题，另补充了一道题作为课后作业，同时鼓励学生做好预习，为下一节课打下了伏笔。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》教案
角的平分线【教学目标】（―）知识与技能：1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
（二）过程与方法：1.经历探索角平分线作法的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察能力。
2.探索角平分线定理，培养学生认真探究、积极思考的能力。
（三）情感、态度与价值观：1.体验数学与生活的联系，发展学生的空间观念和审美观。
2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，使学生具有一些初步研究问题的能力。
【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学过程】一、创设情境，导入新知。
师：同学们知道怎样作出角的平分线吗？31：可以通过折纸得到一个角的平分线。
42：也可以用量角器来画一个角的平分线。
师：下面我们来学习用尺规作图的方法作出NAOB的平分线。
作法：（-）以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图（1）。
（二）分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图（2）。
（三）作射线OP,则OP为所要求作的NAOB的平分线，如图（3） o师：通过上面的作图，启发我们可以用尺规完成：“经过一点作已知直线的垂线。
” 由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB上一点C,如图（1）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角ACB的平分线CFo直线CF就是所求的垂线。
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C,如图（2）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作示：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；（2）以点C为圆心、CK长为半径作弧，交AB于点D和E；（3）分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；（4）作直线CF。
直线CF就是所求的垂线。
八年级数学上册15.4角的平分线教案沪科版(2021-2022学年)
１５．４角的平分线第1课时作角平分线掌握画已知角的平分线的方法及经过一点作已知直线的垂线的方法.重点用尺规作图的方法作已知角的平分线及经过一点作已知直线的垂线.难点用尺规作图的方法作已知角的平分线及经过一点作已知直线的垂线.一、创设情境，导入新课什么是角平分线？什么是线段的垂直平分线？问题1:如图，怎样作∠AOB的平分线呢？(①折纸法；②度量法)如果用尺规作图，该怎么做呢?问题2:怎样作线段的垂直平分线呢?今天我们就来解决上述两个问题．二、合作交流，探究新知[活动1] 角的平分线的画法教师出示:已知:∠AOC．求作：∠AOＣ的平分线．然后让学生阅读如下思考题:如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC＝DC。
将点A放在角的顶点，AB和AＤ沿着角的两边放下，沿AC画一条射线ＡE，AＥ就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗?提出要解决的问题.启发学生根据分角仪的原理平分已知角.学生分组讨论,说明仪器的原理,并写出证明过程.通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角平分线的方法,师生共同完成具体作法.（见教材P141～142)[活动２］线段的垂直平分线的作法ﻬ作法：（１)分别以点A,Ｂ为圆心，以大于＼ｆ(１，２)AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；(２)作直线ＣD．所以直线CD就是线段AB的垂直平分线．问:（1)这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线?（2)你能作出线段AＢ的中点吗?[活动3］过一点作已知直线的垂线问题1：过已知直线ｌ外一点P,你能作这条直线l的垂线CD吗？(只用圆规和直尺）作法:(1)任意取一点K，使点K和P在直线l的两旁;（2)以Ｐ点为圆心,以PK长为半径画弧，交直线ｌ于A,B两点;(3）分别以点A，B为圆心,以大于错误!AB的长为半径画弧,两弧交于点F；(4)作直线PF.则直线PF就是直线l的垂线.问题２：过已知直线l上一点Ｐ,你能作这条直线l的垂线CD吗?(只用圆规和直尺)三、运用新知，深化理解例1请在图中作出线段AD，使其平分∠BAＣ且长度等于ｍ。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》学案
角的平分线【学时安排】3学时【第一学时】【学习目标】1．归纳总结已学的几种尺规作图。
2．会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习重难点】会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习过程】一、学前准备：1．角平分线是指。
2．已学过的基本作图有哪些？试完成以下题目（不写作法保留作图痕迹）。
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；3．请你尝试用折叠的方法，能否找出角的平分线？二、合作探究认真阅读教材内容，完成下列问题（一）角是对称图形，是它的对称轴。
（二）探究学习1．学习教材内容作角平分线。
2．根据作图证明OP是∠AOB的平分线。
提示：这里可连接PM、PO、PN，应用全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义去证明。
思考：①当∠ABC的两边成一条直线时，这时的角平分线与直线AB的关系是怎样的？②平面内的点与直线的位置关系有哪几种？（三）例题解析1．过一点作已知直线的垂线。
（阅读教材内容，自己尝试作一下。
）①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线；②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线2．已知一直角边和斜边作直角三角形。
四、学习检测1．作△ABC的三个内角的平分线。
2．已知底边及底边上的高，作等腰三角形。
【第二学时】【学习目标】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习重难点】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习过程】一、学前准备1．复习旧知：叫做角平分线；2．怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
二、合作探究（一）操作：1．作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足。
2．量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？3．猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？（二）根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
2019秋沪科版八年级数学上册 15.4角的平分线(第1课时)导学案
角的平分线的性质（1）【学习目标】1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功.学习重点：掌握角的平分线的性质定理.学习难点: 角平分线定理的应用.【学习过程】一、自主学习1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗?3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本48页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有哪些？O AB E D CP D 二、合作探究1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB.三、学以致用在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长.四、当堂检测如图,在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长五、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流六、作业：A。
沪科版八年级数学上册《15.4.1角的平分线》教案1
《15.4.1角的平分线》教案学习目标1、会画已知角的平分线.2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线.3、会画经过一点作已知直线垂线.学习重点掌握尺规作已知角的平分线的作法.学习难点从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线.教学流程一、新课导入：师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？生：翻折、用量角器量、用直尺和圆规.师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线(出示课题)，这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标.②若学生说不出用尺规作图，则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段，画一个角等于已经角，那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容.二、探索新课1、下面介绍用尺规作图法作出角AOB的角平分线.○1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．○2．分别以M，N为圆心．大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于P．○3．作射线OP．射线OP即为所求．2、思考：怎么证明射线OP就是角AOB的平分线呢？学生课堂自己证明.3、当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？已知：直线AB及一点C，求作：直线AB的垂线，使它经过点C. 解：分两类情况作图1.当点C在直线AB上时作平角ACB的平分线CF，直线CF就是所求的垂线.2.当C在直线AB外时.作法：任意取一点K，使K和C在AB的两旁；以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作直线CF.直线CF是所求的垂线.三、小结1.尺规作图的两种种常用基本作图.2.掌握一些规范的几何作图语句.3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.4.解决尺规作图问题，先作出符合.四、作业课本P143页练习.。
2022年沪科版数学八年级上《角的平分线的作法与性质》教案
15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性;2.掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法.【过程与方法】1.培养学生用直尺和圆规作图的能力及语言表述能力;2.培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中,培养学生的几何直觉;培养学生探究问题的兴趣,增强探究问题的信心;体验数学活动的探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线及垂线的尺规作法.【教学难点】角平分线的尺规作法的探索过程.◇教学过程◇一、情境导入1.什么是角平分线?2.如图,已知∠AOB,如何作∠AOB的平分线?3.度量法:用量角器作∠AOB的角平分线.4.说明:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是对称轴.5.设问:除了这种方法,还有什么方法能作∠AOB的平分线呢?二、合作探究典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案] A典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案] D三、板书设计角的平分线的作法与性质1.已知∠AOB,求作:∠AOB的平分线.2.过直线外一点作已知直线的垂线.◇教学反思◇本节课开头设计的折纸和画一画的活动,丰富了学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.第2课时三角形中边的关系◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.【过程与方法】经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.三、板书设计三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.◇教学反思◇本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。
沪科版八年级数学上册 第15章 15.4 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 导学案(无答案)
角的平分线的判定学习内容：1，通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。
学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤2、进一步理解角平分线的性质及运用学习重点：角平分线的性质及运用学习难点：角平分线的性质的灵活运用学习方法：探究、交流、练习学习过程：一、课前巩固1、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等二、学习新知（一）思考：证明一个几何命题的一般步骤：①；②；③。
（二）应用：1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？（2．比例尺为1：20000是什么意思？三、基础练习1.到角的两边距离相等的点在上。
2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A.三条边上的高线的交点；B. 三个内角平分线的交点；C.三条边上的中线的交点；D.以上结论都不对。
3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是。
4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证: ∠BAO=∠CAO四、拓展延伸已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.五、课堂小结六、当堂检测1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B.两处C.三处D.四处2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证：DF ＝EF3. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE ＝CF 。
2022年沪科版八上《角的平分线导学案2》精品导学案
A、三条中线的交点B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点二、学习重难点：
重点：探究图形在平面直角标系中经过平移变换，其对应点之间的坐标关系.难点：应用坐标来自中的平移规律，解决简单的问题.
三、学法指导：自主学习、合作讨论、交流展示
1.通过观察教材图11-13三角形在坐标系中的平移，发现图形在坐标系中经过平移变换，对应点的坐标之间的规律，能利用总结的规律解决简单的问题.
二、合作探究
1、比拟角平分线的性质与判定
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
三、学以致用
练习题P146
四、能力提高(*)
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
五、课堂小结
这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
你发现了什么特点吗？
〔2〕、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
〔提示：先画图，并写出、求证，再加以证明〕
3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？〔比例尺1：20 000〕
把吉普车从点A向上平移4个单位长度得到A2的坐标是___________
知识点归纳
预习时不能解决的问题：〔记录上课时交流〕
五、合作探究解决问题:
(一)、根底知识应用
1、A点的坐标是〔1，2〕，那么点A向右平移2个单位得到对应点 的坐标是。
2、在平面直角坐标系内作点A(2，-1)，B〔-1,2〕，C〔-4,-3〕，D(1，1),E(7，0)。
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课题：15.4.2角的平分线
主备人：审稿人：
授课人：授课时间：授课类型：
【学习目标】
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的判定定理，进一步发展推理证明意识和能力．
2．能够利用角的平分线的性质定理与判定定理证明相关结论，能理解其相关结论并能加以运用．
3．能够利用角的平分线的判定定理解决相关问题．
【学习重点、难点】
1.重点：利用角的平分线的判定定理解决相关问题.
2.难点：利用角的平分线的性质定理与判定定理证明相关结论，能理解其相关结论并能加以运用.
【学法指导】通过对发掘知识的本质属性，启发、指导学生在生成初步知识的同时，学会如何分析、灵活运用.
【应知应会、初步学习】
问题情境：如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
温故知新：
1．快速用尺规作一个已知角的平分线.
2．角平分线的性质定理: 3．思考：对于角平分线的性质定理，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
【师生互动、深入学习】
角平分线的性质定理的逆命题：
判断：此逆命题是真命题吗？如果是真命题，请证明.
已知：如图，
求证：
证明：
由此可得角平分线判定定理：
活动探究，解决问题：
问题1：如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个
集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB 的两边的距离相等？若能请作出此点P.
例题讲解：
例1、已知：如图，△ABC 中， ∠ABC 的平分线BM 与∠ACB 的平分线CN 相交于点P.
求证：点P 在∠BAC 的平分线上.
三角形内角平分线相交的结论：三角形三条内角平分线 ，这点到三角形三边的距离 。
s
C ●
D ● A
B
O
C
P
N A
B
M
变式探究：
已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F. 求证：点F 在∠DAE 的平分线上．
三角形外角平分线相交的结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分线 ，这点到三角形三边的距离 。
利用结论，解决问题：
1.画一画：如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想：在确定度假村的位置时,一定要画出三个内角的平分线吗?
2.选一选：如上图，直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,
则可供选择的地址有:( )
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处 例题讲解：
例2、已知：如图，在Rt △ABC 与Rt △EDC 中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD ，BA=DE ，AB 、ED 的延长线相交于
点P 。
求证：CP 平分∠APE
P
D E
C
A B
【当堂练习、巩固达标】
已知：如图，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点D ，BD=CD 。
求证：AD 平分∠BAC
【知识整理】
1、角平分线判定定理：
2、角平分线的性质定理:
3、三角形内角平分线相交的结论：
4、三角形外角平分线相交的结论：
【能力提升】
已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。
求证：AM 平分∠DAB
【学习反思】
【作业巩固】
A B
C
D
E
F
A B C D M。