第九章 重积分
理学第九章重积分
1
1
2
2
(
1 2
,
2)
y
(
1 2
,1)
yx (1,1)
2
dy
1
y f (x, y)dx
1
1 2
(
1 2
,
1 2
)
y
1 x
o 11 2
x
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4. 计算 I
2 dy
2
sin
x
dx.
0
yx
解: 积分区域如图. 交换积分顺序得:
I
2
sin
x
dx
0x
x
dy
0
x
cos(x y)dy
2
x
2
1
D2
o
D1
2
x
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x y , x2 y 2x2
8. 设 f (x, y)
0 , 其他
,求 I f (x, y)dxdy,
D
其中 D {(x, y) 0 x 1 , 0 y 1}.
解: 积分区域如图.
I f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy
z
1
解: 积分区域如图.
x2 y2 z2 6
z x2 y2
Dxy : x2 y2 2
y
2
o Dxy
x
1 : z 6 x2 y2
2 : z x2 y2
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S1 Dxy
6 6 x2 y2 dxdy
2
2
6 d
0
0
rdr 6 r2
重积分
第九章 重积分一、教学要点1． 了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的积分中值定理. 2． 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标）. 3． 会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.二、重点、难点1．二重积分的计算方法.2．用重积分求几何量与物理量（图形面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.三、典型问题解析例1．求二次积分dx xxdy y⎰⎰202sin ππ的值. -------1 解：dx x xdy y ⎰⎰202sin ππdy xx dx x ⎰⎰=200sin π⎰⎰=-=2020sin )0(sin ππxdx dx x xx1)10(cos 2=--=-=πx例2．求二次积分⎰⎰--21312x y dy e dx 的值. ------()1(214--e ） 解：⎰⎰--21312x y dy edx ⎰⎰+-=1122y y dx edy⎰-=202ydy e y)1(21214202---=-=e e y例3．求⎰⎰D zdxdy ， 22(,)14,D x y x y x y ⎧⎫⎪⎪=≤+≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.解：21≤≤r ，⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ， 36πθπ≤≤⎰⎰Dzdxdy θθππd rdr ⎰⎰=2136tan arctan⎰=3621221ππθθd r⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=22)6()3(21)212(ππ)369(4322ππ-= 例4．若{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，求Dx ydxdy -⎰⎰解：Dx ydxdy -=⎰⎰1D x y dxdy -+⎰⎰2D x y dxdy -⎰⎰1()D y x dxdy =-+⎰⎰2()D x y dxdy -⎰⎰1110()()xxdx y x dy dx x y dy =-+-⎰⎰⎰⎰1121200011()()22x x y xy dx xy y dx ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 112200111()222x x dx x dx =-++⎰⎰1201()2x x dx =-+⎰0311111()3223x x =-+=例5．计算积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中{}x y x x y y x D 2,0),(22≤+≤≤=.解：利用极坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 则原式=⎰⎰⎰=403cos 2040cos 38.πθπθθθd rdr r dθθπs i n)s i n 1(38402d ⎰-= 2910sin 31sin 38403=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ 例6．计算2Dxy d σ⎰⎰，其中D 是直线,23y x y x ==-+和2y =围成的闭区域. 解：三条直线的交点分别为()()1,2,1,1,2,22A B C ⎛⎫⎪⎝⎭. 将D 看作Y -型区域，把二重积分化为先对x 后对y 的二次积分。
第九章 重积分
第九章 重积分(一)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ, （比较大小）(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,y dx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
第九章重积分
性质 3 :
D1 D2
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D1 D2
性质 4 : 设 ( x, y ) D, f ( x, y ) g ( x, y ) 则
f ( x, y)d g ( x, y)d
2 2 2
x y z , x y z R , z 0.
2 2 2 2 2 2 2
§3.重积分的应用
1.二重积分的应用 (1)立体的体积
例1. 计算由曲面 z x 2 y 2 和 x 2 y 2 ( z 1) 2 1 所围公共部分的立体体积。
3 例2. 计算 x y z 2 z 和 x y z 2 公共部分的立体体积。
0 x
1
1
2 y2
dy
2。利用极坐标计算二重积分 设积分区域是由不等式
r r2 ( )
r r1 ( )
r1 ( ) r r2 ( ) ,
积分元素d rdrd
β α 0
d
x
来表示，其中r1 ( ) , r2 ( ) 在[ , ] 上连续。
来表示，其中 r ( ) 在[ , ] 上连续。0
则极坐标下二重积分可化为二次积分
β α
r r ( )
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D D
d
r ( )
0
f (r cos , r sin )rdrd
例9. 计算二重积分 e
例3. 计算三重积分 e dv，其中 是由曲面
y
x y z 1及 y 0 , y 2 所围成。
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
高等数学讲义第九章重积分
性质6:(二重积分的中值 ) 定理
设函数 f (x, y)在闭区D域上连续 ,是D的面,积 则(,)D,使得
f(x,y)d f(,)
D
a
4
§2. 二重积分的计算法
1。利用直角坐标计算二重积分 z
A(x) y2(x) f(x,y)dy y1(x)
A(x)
o
a
yy1(x)
x
b x
a
y yy2(x)
5
d dr r
则极坐标下二重积分可化为二次积分
f(x,y)d f(rco ,rs si)n rdrd
D
D
dr2()f(rco ,srsin )rdrd r1()
a
11
设积分区域是由不等式
0rr(),
r r()
来表示r， ()在 其 [,中 ]上连0 续 β α。
则极坐标下二重积分可化为二次积分
z z=z2(x,y)
1 : z z1 ( x , y )，
2 : z z 2 ( x , y )，
其中 z1 ( x , y ), z 2 ( x , y ) 都是 D xy 上的连续函数，
z=z1(x,y)
o
y
且 z1(x, y) z2 (x, y)
Dxy
(如图所示 )
x
F(x,y) z2(x,y) f(x,y,z)dz z1(x,y)
a
13
例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
D
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
a
14
§3. 三重积分的计算法
复旦 第六版《高等数学》教案-第09章-重积分
第十章 多元函数积分学（Ⅰ）教学目的：1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。
第一节 二重积分一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).这个平顶柱体体积之和i i i ni f V σηξ∆≈=∑),(1.可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即i i i ni f V σηξλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: ρ(ξ i , η i )∆σ i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:i i i ni M σηξρ∆≈=∑),(1.将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量i i i ni M σηξρλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值.定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和i i i ni f σηξ∆=∑),(1.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D⎰⎰),(, 即i i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi =∆x i ∆y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二、二重积分的性质性质1σσd y x f k d y x kf DD⎰⎰⎰⎰=),(),(性质2 设c 1、c 2为常数, 则σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则σσσd y x f d y x f d y x f D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(.性质4σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰DDd d 1(σ为D 的面积).性质5 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(.性质6 σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤|),(||),(|.性质7(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰.§9. 2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分 X --型区域:D : ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域:D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }. 此时二重积分σd y x f D⎰⎰),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[ϕ1(x 0), ϕ2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 ⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 ⎰=ba dx x A V )(dx dy y x fb a x x ⎰⎰=]),([)()(21ϕϕ. 即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D⎰⎰⎰⎰=]),([),()()(21ϕϕσ.可记为⎰⎰⎰⎰=ba x x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.类似地, 如果区域D 为Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d , 则有⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.例1. 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域. 解: 画出区域D .方法一. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][xDdx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x .注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx D ydy xdx xydy dx d xy σ.解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是⎰⎰⎰⎰=212][y Ddy xydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142=-=y y .例2. 计算σd y x yD⎰⎰-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰-+=-+-122112211x Ddy y x y dx d y x y σ⎰⎰----=-+-=1131112322)1|(|31])1[(31dx x dx y x x21)1(32103=--=⎰dx x . 也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1, -1≤x <y . 于是⎰⎰⎰⎰---+=-+111222211yDdx y x ydy d y x y σ.例3 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D =D 1+D 2,其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41210xx x xDxydy dx xydy dx d xy σ.积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是⎰⎰⎰⎰-+=2122y yDxydx dy d xy σ⎰-+=21222]2[dy y x y y ⎰--+=2152])2([21dy y y y855]62344[21216234=-++=-y y y y .讨论积分次序的选择.例4 求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2.利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是σd x R V D⎰⎰-=228⎰⎰--=R x R dy x R dx 022228⎰--=Rx Rdx y x R 002222][83022316)(8R dx x R R=-=⎰.二. 利用极坐标计算二重积分有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D⎰⎰),(.按二重积分的定义i ni i i Df d y x f σηξσλ∆=∑⎰⎰=→1),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:i i i i i i θρθρρσ∆⋅⋅-∆⋅∆+=∆2221)(21i i i i θρρρ∆⋅∆∆+=)2(21i i i i iθρρρρ∆⋅∆⋅∆++=2)(i i i θρρ∆∆=, 其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.在∆σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ),则有i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.于是 i i ni i i i i i i ni i i f f θρρθρθρσηξλλ∆∆=∆∑∑=→=→11)sin ,cos (lim ),(lim , 即θρρθρθρσd d f d y x f DD)s i n ,c o s(),(⎰⎰⎰⎰=. 若积分区域D 可表示为ϕ 1(θ)≤ρ≤ϕ 2(θ), α≤θ≤β,则ρρθρθρθθρρθρθρθϕθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (.讨论:如何确定积分限?ρρθρθρθθρρθρθρθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos ()sin ,cos (.ρρθρθρθθρρθρθρθϕπd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(020)sin ,cos ()sin ,cos (.例5. 计算⎰⎰--Dy xdxdy e 22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解 在极坐标系中, 闭区域D 可表示为 0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是⎰⎰⎰⎰---=DDy xd de dxdy e θρρρ222θθρρπρπρd e d d e a a020200]21[ ][22⎰⎰⎰---==)1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ.注: 此处积分⎰⎰--Dy xdxdy e 22也常写成⎰⎰≤+--22222a y x y xdxdy e .利用)1(222222a a y x y x e dxdy e -≤+---=⎰⎰π计算广义积分dx e x 2-+∞⎰:设D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0},S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }. 显然D 1⊂S ⊂D 2. 由于022>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y xSy xD y xdxdy e dxdy e dxdy e .因为20)(22222⎰⎰⎰⎰⎰-----=⋅=Rx Ry Rx Sy xdx e dy e dx e dxdy e ,又应用上面已得的结果有)1(42122R D y xe dxdy e ----=⎰⎰π,)1(422222R D y xe dxdy e ----=⎰⎰π,于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220R R x R e dx e e ----<<-⎰ππ.令R →+∞, 上式两端趋于同一极限4π, 从而220π=-∞+⎰dx e x . 例6 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. ⎰⎰--=Ddxdy y x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 20πθ≤≤.于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa Dd a d d d a V)322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a .§9.3 三重积分一、三重积分的概念定义 设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将Ω任意分成n 个小闭区域 ∆v 1, ∆v 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆v n其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξi , η i , ζ i )∆v i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )并作和i i i i ni v f ∆=∑),,(1ζηξ. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 记作dv z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(. 即i i i i ni v f dv z y x f ∆==→Ω∑⎰⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 三重积分中的有关术语:⎰⎰⎰Ω——积分号, f (x , y , z )——被积函数, f (x , y , z )dv ——被积表达式, dv 体积元素, x , y , z ——积分变量, Ω——积分区域.在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分Ω, 则∆v i =∆x i ∆y i ∆z i , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz , 三重积分记作⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(.当函数f (x , y , z )在闭区域Ω上连续时, 极限i i i i ni v f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ是存在的,因此f (x , y , z )在Ω上的三重积分是存在的, 以后也总假定f (x , y , z )在闭区域Ω上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如dv z y x g c dv z y x f c dv z y x g c z y x f c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ±=±),,(),,()],,(),,([2121;dv z y x f dv z y x f dv z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+Ω+=2121),,(),,(),,(;V dv =⎰⎰⎰Ω, 其中V 为区域Ω的体积.二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域Ω可表为 z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b , 则σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=ba x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx)()(),(),(2121]),,([ ⎰⎰⎰=ba y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx ),(),()()(2121),,(, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 提示:设空间闭区域Ω可表为z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b , 计算⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(.基本思想:对于平面区域D : y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b 内任意一点(x , y ), 将f (x , y , z )只看作z 的函数, 在区间[z 1(x , y ), z 2(x , y )]上对z 积分, 得到一个二元函数F (x , y ), ⎰=),(),(21),,(),(y x z y x z dz z y x f y x F ,然后计算F (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 这就完成了f (x , y , z )在空间闭区域Ω上的三重积分.⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z Dd dz z y x f d y x F σσ]),,([),(),(),(21⎰⎰⎰=bax y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )()(),(),(2121]),,([,则σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=ba x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx)()(),(),(2121]),,([ ⎰⎰⎰=ba y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx),(),()()(2121),,(.即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 例1 计算三重积分dxdydz x ⎰⎰⎰Ω, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区域.解 作图, 区域Ω可表示为:0≤z ≤1-x -2y , )1(210x y -≤≤, 0≤x ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=10210210x y x xdz dy dx dxdydz x⎰⎰---=10210)21(xdy y x xdx⎰=+-=1032481)2(41dx x x x . 讨论: 其它类型区域呢?有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域Ω={(x , y , z )|(x , y )∈D z , c 1≤ z ≤c 2}, 其中D z 是竖坐标为z 的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面闭区域, 则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωz D c c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(21.例2 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2, 其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域.解 空间区域Ω可表为:2222221cz b y a x -≤+, -c ≤ z ≤c .于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω=cc Dzdxdy dz z dxdydz z 223222154)1(abc dz z c z ab cc ππ=-=⎰-.练习1. 将三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为三次积分, 其中(1)Ω是由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.(2)Ω是双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域. (3)其中Ω是由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域. 2. 将三重积分dxdydzz y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中Ω由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域. 2. 利用柱面坐标计算三重积分设M (x , y , z )为空间内一点, 并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为P (ρ, θ ), 则这样的三个数ρ、θ 、z 就叫做点M 的柱面坐标, 这里规定ρ、θ 、z 的变化范围为: 0≤ρ<+∞, 0≤θ ≤2π , -∞<z <+∞. 坐标面ρ=ρ0, θ =θ 0, z =z 0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系:x =ρcos θ, y =ρsin θ, z =z . ⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos柱面坐标系中的体积元素: dv =ρd ρd θdz . 简单来说, dxdy =ρd ρd θ , dxdydz =dxdy ⋅dz =ρd ρd θ dz . 柱面坐标系中的三重积分:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ),sin ,cos (),,(.例3 利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz , 其中Ω是由曲面z =x 2+y 2与平面z =4所围成的闭区域.解 闭区域Ω可表示为: ρ2≤z ≤4, 0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z zdxdydz θρρ⎰⎰⎰=πρρρθ202042zdz d d ⎰⎰-=πρρρθ20204)16(21d d πρρπ364]618[2212062=-⋅=.3. 利用球面坐标计算三重积分设M (x , y , z )为空间内一点, 则点M 也可用这样三个有次序的数r 、ϕ、θ 来确定, 其中 r 为原点O 与点M 间的距离, ϕ为→OM 与z 轴正向所夹的角, θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段→OP 的角, 这里P 为点M 在xOy 面上的投影, 这样的三个数r 、ϕ 、θ 叫做点M 的球面坐标, 这里r 、ϕ、θ 的变化范围为0≤r <+∞, 0≤ϕ<π, 0≤θ ≤2π. 坐标面r =r 0, ϕ=ϕ0, θ=θ0的意义: 点M 的直角坐标与球面坐标的关系:x =r sin ϕcos θ, y =r sin ϕsin θ, z =r cos ϕ . ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x球面坐标系中的体积元素: dv =r 2sin ϕdrd ϕd θ . 球面坐标系中的三重积分:θϕϕϕθϕθϕd d r dr r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=. 例4 求半径为a 的球面与半顶角α为的内接锥面所围成的立体的体积. 解 该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r ≤2a cos ϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. 于是所求立体的体积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dxdydz V sin 2⎰⎰⎰=παϕϕϕθ200cos 202sin a dr r d d⎰⎰=αϕϕϕπ0cos 202sin 2a dr r d⎰=αϕϕϕπ033s i n c o s 316d a )c o s 1(3443a a -=π. 提示: 球面的方程为x 2+y 2+(z -a )2=a 2, 即x 2+y 2+z 2=2az . 在球面坐标下此球面的方程为r 2=2ar cos ϕ, 即r =2a cos ϕ.§9. 4 重积分的应用元素法的推广:有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理. 这种元素法也可推广到二重积分的应用中. 如果所要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(就是说, 当闭区域D 分成许多小闭区域时, 所求量U 相应地分成许多部分量, 且U 等于部分量之和), 并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域d σ时, 相应的部分量可近似地表示为f (x , y )d σ 的形式, 其中(x , y )在d σ内, 则称f (x , y )d σ 为所求量U 的元素, 记为dU , 以它为被积表达式, 在闭区域D 上积分: ⎰⎰=Dd y x f U σ),(,这就是所求量的积分表达式. 一、曲面的面积设曲面S 由方程 z =f (x , y )给出, D 为曲面S 在xOy 面上的投影区域, 函数f (x , y )在D 上具有连续偏导数f x (x , y )和f y (x , y ). 现求曲面的面积A .在区域D 内任取一点P (x , y ), 并在区域D 内取一包含点P (x , y )的小闭区域d σ, 其面积也记为d σ. 在曲面S 上点M (x , y , f (x , y ))处做曲面S 的切平面T , 再做以小区域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则 σγσd y x f y x f d dA y x ),(),(1cos 22++==, 这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为 σd y x f y x f A y x D),(),(122++=⎰⎰,或 d x d yyz x z A D22)()(1∂∂+∂∂+=⎰⎰. 设dA 为曲面S 上点M 处的面积元素, dA 在xOy 面上的投影为小闭区域d σ, M 在xOy 面上的投影为点P (x , y ), 因为曲面上点M 处的法向量为n =(-f x , -f y , 1), 所以 σσd y x f y x f d dA y x ),(),(1||22++==n . 提示: dA 与xOy 面的夹角为(n ,^ k ), dA cos(n ,^ k )=d σ, n ⋅k =|n |cos(n ,^ k )=1, cos(n ,^ k )=|n |-1.讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？dydz z x y x A yzD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1,或 dzdx xy z y A zxD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1. 其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域, D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为R 的球的表面积.解 上半球面方程为222y x R z --=, x 2+y 2≤R 2.因为z 对x 和对y 的偏导数在D : x 2+y 2≤R 2上无界, 所以上半球面面积不能直接求出. 因此先求在区域D 1: x 2+y 2≤a 2 (a <R )上的部分球面面积, 然后取极限.dxdy y x R R a y x 222222--⎰⎰≤+⎰⎰-=πθ20022a r R rdr d R )(222a R R R --=π.于是上半球面面积为2222)(2lim R a R R R Ra ππ=--→.整个球面面积为 A =2A 1=4πR 2. 提示:222y x R x x z ---=∂∂, 222yx R y y z ---=∂∂, 22222)()(1y x R R y z x z --=∂∂+∂∂+. 解 球面的面积A 为上半球面面积的两倍. 上半球面的方程为222y x R z --=, 而222y x R x x z ---=∂∂, 222yx R y y z ---=∂∂,所以 22)()(12222yz x z A R y x ∂∂+∂∂+=⎰⎰≤+dxdy yx R R R y x 2222222--=⎰⎰≤+⎰⎰-=πρρρθ200222R R d d R20224 4R R R Rπρπ=--=.例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面的高度为h =36000km , 运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km).解 取地心为坐标原点, 地心到通讯卫星中心的连线为z 轴, 建立坐标系. 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为 222y x R z --=, x 2+y 2≤R 2sin 2α. 于是通讯卫星的覆盖面积为 ⎰⎰⎰⎰--=∂∂+∂∂+=xy xyD D dxdy yx R R dxdy yz x z A 22222)()(1. 其中D xy ={(x , y )| x 2+y 2≤R 2sin 2α}是曲面∑在xOy 面上的投影区域. 利用极坐标, 得 )cos 1(222sin 022sin 02220απρρρπρρρθααπ-=-=-=⎰⎰⎰R d R R d R R d A R R . 由于hR R +=αcos , 代入上式得hR h R h R R R A +=+-=222)1(2ππ.由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%5.4210)4.636(21036)(246≈⋅+⋅=+=h R h R A π. 由以上结果可知, 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积, 故使用三颗相隔π32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 二、质心设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为 ⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(, ⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 y M M x =⋅, x M M y =⋅ . 于是⎰⎰⎰⎰==DDyd y x d y x x MM x σμσμ),(),(, ⎰⎰⎰⎰==DDxd y x d y x y MM y σμσμ),(),(.在闭区域D 上任取包含点P (x , y )小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ. 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为 ⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(, ⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 y M M x =⋅, x M M y =⋅ . 于是⎰⎰⎰⎰==DDy d y x d y x x M M x σμσμ),(),(, ⎰⎰⎰⎰==DD x d y x d y x y MMy σμσμ),(),(. 提示: 将P (x , y )点处的面积元素d σ看成是包含点P 的直径得小的闭区域. D 上任取一点P (x , y ), 及包含的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？求平面图形的形心公式为⎰⎰⎰⎰=DDd xd x σσ, ⎰⎰⎰⎰=DDd yd y σσ.例3 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心.解 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x . 因为 ⎰⎰⎰⎰=DDd d yd θρθρσsin 2πρρθθθθπ7sin sin 4sin 220==⎰⎰d d ,πππσ31222=⋅-⋅=⎰⎰d D, 所以3737===⎰⎰⎰⎰ππσσDD d yd y . 所求形心是)37 ,0(C .类似地, 占有空间闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )(假宽ρ(x , y , z )在Ω上连续)的物体的质心坐标是 ⎰⎰⎰Ω=dv z y x x Mx ),,(1ρ,⎰⎰⎰Ω=dv z y x y My ),,(1ρ, ⎰⎰⎰Ω=dv z y x z M z ),,(1ρ,其中⎰⎰⎰Ω=dv z y x M ),,(ρ.例4 求均匀半球体的质心.解 取半球体的对称轴为z 轴, 原点取在球心上, 又设球半径为a , 则半球体所占空间闭区可表示为Ω={(x , y , z )| x 2+y 2+z 2≤a 2, z ≥0} 显然, 质心在z 轴上, 故0==y x .⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ==dv zdvdvdv z z ρρ83a =.故质心为)83,0 ,0(a . 提示: Ω: 0≤r ≤a , 20πϕ≤≤, 0≤θ≤2π.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωadr r d d dv 022020sin ϕθϕππ⎰⎰⎰=adr r d d 022020sin ππθϕϕ323a π=,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=Ωadr r r d d dv z 022020sin cos ϕϕθϕππ⎰⎰⎰=adr r d d 0320202sin 21ππθϕϕ42214a ⋅⋅=π.三、转动惯量设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为μ(x , y ), 假定ρ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )d σ , dI y =x 2μ(x , y )d σ .整片平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量分别为 σμd y x y I Dx ),(2⎰⎰=, σμd y x x I Dy ),(2⎰⎰=.例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量μ)对于其直径边的转动惯量. 解 取坐标系如图, 则薄片所占闭区域D 可表示为 D ={(x , y )| x 2+y 2≤a 2, y ≥0}而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量I x , ⎰⎰⎰⎰⋅==DDx d d d y I θρρθρμσμ222sin⎰⎰⎰⋅==ππθθμρρθθμ0240032s i n 4 s i n d a d d a2441241Ma a =⋅=πμ, 其中μπ221a M =为半圆薄片的质量.类似地, 占有空间有界闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )的物体对于x 、y 、z 轴的转动惯量为 ⎰⎰⎰Ω+=dv z y x z y I x ),,()(22ρ,⎰⎰⎰Ω+=dv z y x x z I y ),,()(22ρ,⎰⎰⎰Ω+=dv z y x y x I z ),,()(22ρ.例6 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.解 取球心为坐标原点, z 轴与轴l 重合, 又设球的半径为a , 则球体所占空间闭区域 Ω={(x , y , z )| x 2+y 2+z 2≤a 2}.所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量I z . ⎰⎰⎰Ω+=dv y x I z )(22ρθϕϕθϕθϕρd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222+=⎰⎰⎰Ωθϕϕρd drd r 34sin ⎰⎰⎰Ω=dr r d d a ⎰⎰⎰=ππϕϕθρ200043 sin ρπ5158a =M a 252=, 其中ρπ334a M =为球体的质量.提示: x 2+y 2=r 2sin 2ϕcos 2θ+r 2sin 2ϕ sin 2θ=r 2sin 2ϕ.四、引力我们讨论空间一物体对于物体外一点P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力问题. 设物体占有空间有界闭区域Ω, 它在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z ), 并假定ρ(x , y , z )在Ω上连续.在物体内任取一点(x , y , z )及包含该点的一直径很小的闭区域dv (其体积也记为dv ). 把这一小块物体的质量ρdv 近似地看作集中在点(x , y , z )处. 这一小块物体对位于P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力近似地为 ),,(z y x dF dF dF d =F )))(,,(,))(,,(,))(,,((303030dv r z z z y x Gdv r y y z y x Gdv r x x z y x G ---=ρρρ,其中dF x 、dF y 、dF z 为引力元素d F在三个坐标轴上的分量,202020)()()(z z y y x x r -+-+-=, G 为引力常数. 将dF x 、dF y 、dF z 在Ω上分别积分, 即可得F x 、F y 、F z , 从而得F =(F x 、F y 、F z ).例7设半径为R 的匀质球占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2). 求它对于位于点21 M 0(0, 0, a ) (a >R )处的单位质量的质点的引力.解 设球的密度为ρ0, 由球体的对称性及质量分布的均匀性知F x =F y =0, 所求引力沿z 轴的分量为dv a z y x a z G F z 2/32220])([-++-=⎰⎰⎰Ωρ ⎰⎰⎰--≤+-++-=R Rz R y x a z y x dxdy dz a z G 22222/32220])([)(ρ ⎰⎰⎰---+-=2202/322200])([)(z R R R a z d d dz a z G ρρρθρπ ⎰-+----=R R dz aaz R z a a z G )211)((2220ρπ ]2)(12[2220⎰-+--+-=R Ra az R d a z a R G ρπ )3222(2230aR R R G -+-=πρ 2203134a M G a R G -=⋅⋅-=ρπ, 其中0334ρπR M =为球的质量. 上述结果表明: 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.。
高等数学第九章重积分
第9章 重积分典型例题一、二重积分的概念、性质 1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者）， i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。
所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。
3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（3X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。
9重积分
曲面面积公式为：A
D xy
z z 1 ( x ) ( y ) dxdy 2 2
同理可得 ２．设曲面的方程为：x g ( y , z ) 曲面面积公式为：A
3 D 2 2 D
( x 2 ) ( y 1) 2 所 围 成 .
2 、 ln( x y ) d 与 [ln( x y )] d ,其 中 D 是 矩 形
2 D
闭 区 域 : 3 x 5 ,0 y 1 .
四 、估 计积 分 I
2
( x 4 y 9 ) d 的 值 ,其 中 D 是 圆
练习题
一 、填 空 题 : 1 、 当 函 数 f ( x , y ) 在 闭 区 域 D 上 ______________ 时 , 则 其在 D 上 的 二重 积分必 定存 在 . 2 、二 重 积 分
D
f ( x , y )d
的 几 何 意 义 是
___________________________________. 3 、若 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且 D D 1 D 2 ,当 f ( x , y ) 0 时 , 则 f ( x , y ) d __________ f ( x , y ) d ;
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步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域， 用若干个小平
z f ( x, y )
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
D
y
( i , i )
顶柱体的体积，x
曲顶柱体的体积 V
lim
0
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第九章 重积分PPT教学课件
D
D 1
D 2
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PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
7
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n
Mlim ( , ) 2020/12/09 0i1
ii
i
3
1、二重积分的定义
• 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，
把 D 任意 n 个 分 小 割 1 , 区 2 成 , , 域 n
• 在小闭区域 i 上任取一点 (i,i) 作和
n
n
f(i,i)i
i1
若 lim
D
D
4、几何意义 曲顶柱体的 , f(体 x,y)积 0
f(x,y)dxdy曲顶柱体的体 , f积 (x,y负 )0值
D
各曲顶柱体的体 和,否 积则 代
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二、二重积分的性质
• 1、[ f ( x ,y ) g ( x ,y )d ] x f( d x ,y ) d y x g ( d x ,y ) d yx
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质 一、 二重积分的概念 例1 曲顶柱体的体积。
Z=f(x,y)为有界闭区域D上的连续非负函 数，以曲面Z=f(x,y)为顶、以D为底的 “曲顶柱体”的体积记为V。
2020/12/09
1
把 D 任意 n 个 分 小 割 1 , 区 2 成 , , 域 n
V if(i,i) i
0i1
f(i,i)i存,在
则称此极限为f(x,y)在D上的二重积分，记
n
f(x,y)d l i0 m f(i,i) i
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i 1
第9章-重积分
(3) 作和: 平面薄板的质量
M=
m r ( , )s
i 1 i i 1 i i
n
n
i
(4) 取极限: 令s i 的直径为 d i , M=lim
0
max {di , 则
1i n
i
r ( , )s
i 1 i i
n
定义 设二元函数f (x,y) 在有界闭区域D上定义. 将D任意 分成n个小闭子区域 s 1 , s 2 ,, s n ，其中si表示
f ( x, y)ds
D
存在, 那么就称函数
f (x, y) 在区域D上是可积(分)的. 根据二重积分的定义, 上面问题1的曲顶柱体体积V和 问题2的平面薄片质量M可分别表示为 V=
f ( x, y)ds
D
和 M=
r ( x, y)ds
D
对二重积分的定义作两点说明.
（1）二重积分
f (x，y) ≥0且在D上连续，如图9-1-1(a). 这种立体称为曲 顶柱体.
如果f (x，y) 是常数, 则该立体为平顶柱体, 它的体积
可用公式 体积=底面积×高 来计算. 但对于曲顶柱体, 当点(x，y)在D上变动时, “高” f (x，y) 是个变量，因此它的体积不能直接用上述公式来 计算, 采用求曲边梯形面积的思想方法, 可按下述步骤计 算.
为底的平顶柱体的体积为 f (i ,i ) s i ，于是
Vi f (i ,i )s i i 1, 2, , n
（3）作和: 将这n个小平顶柱体体积相加, 就得到整个曲
顶柱体体积V的近似值，即 V = Vi f (i , i )si
i 1 i 1 n n
D D D
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f ( x, y )d 化为二次积分， D 由两坐标轴及 x y 2 围成．
D
例２计算
(3x 2 y )d 化为二次积分， D 由两坐标轴及 x y 2 围成．
D
例３计算
xyd , D 是由抛物线 y
D
2
x 及直线 y x 2 所围成的区域．
D D
特别地 ,由于 |
f ( x, y) | f ( x, y) | f ( x, y) | ，有：
D
| f ( x, y ) d | | f ( x, y ) | d
D
5．估值不等式 设 M 与 m 分别是 f x , y 在闭区域 D 上最大值和最小值 , 是 D 的面积 ,则
教 学 重 点 教 学 难 点
1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4.
二重积分的概念 二重积分的计算 三重积分的计算 重积分微元法的应用 二重积分的概念 二重积分的计算 三重积分的计算 重积分微元法的应用
教 学 内 一、二重积分的概念 容
1． 两个引例 例 1 曲顶柱体的体积
第一节 二重积分的概念与性质
D
与
[ln( x y )] d 的大小，其中 D 是三角形
2 D
闭区域，三顶点各为 (1,0),(1,1),(2,0) ． 解 三角形斜边方程
x y 2
， 在 D 内 有 1 x y 2 e , 故
ln( x y ) 1,
因此
于是 ln( x y ) ln( x y )2
[ln( x y )] 2 d ． ln( x y )d D
D
三、二重积分的对称性 1.积分区域 D 关于 x 轴对称 ,被积函数 f x , y 关于变量 y 有奇偶性
2 f ( x, y )d , f ( x, y)关于y为偶函数 即 f x , y d D1 D 0, f ( x, y)关于y为奇函数 2. 积分区域 D 关于 y 轴对称 ,被积函数 f x , y 关于变量 x 有奇偶性 2 f ( x, y )d , f ( x, y)关于x为偶函数 即 f x , y d D1 D 0, f ( x, y)关于x为奇函数 3. 积分区域 D 关于原点对称 ,被积函数 f x , y 关于变量 x、 y 有奇偶性
f x , y d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f x, y 为顶的曲
D
b a
顶柱体的体积．利用微元法得
f ( x, y)d V
D
A( x)dx a dx ( x ) f ( x, y )dy.
1
b
2 ( x )
1( y ) x 2 ( y ),c y d ，
解 (法一 ) D1 : 0 x 1, x y
x，
D2 :1 x 4 , x 2 y x
xyd xyd xyd
D D1 D2
dx
0
1
x
x
xyd dx
1
4
x
x2
xyd
45 8
(法二 ) D : 1 y 2 , y x y 2
第九章 重积分 教 1. 理解二重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理 学 2. 熟练掌握二重积分在直角坐标和极坐标系下的计算方法 目 3. 三重积分的概念，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算 方法 的
4. 会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理 量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）
n
i
其中 : f x , y 叫做被积函数； f x , y d 叫做被积表达式；d 叫做面积元素；x 与
y 叫做积分变量； D 叫做积分区域； f i , i i 叫做积分和．
i 1
n
存在条件 :若 f x , y 在闭区域 D 上连续 由于二重积分的定义中对区域 D 的划分是任意的 ,若用一组平行于坐标轴的 直线来划分区域 D ,绝大多数的小区域都是矩形 ,因此 ,可以将 d 记作 dxdy (并称
2
例５求 解
xe D
2 y2
e y dy 无法用初等函数表示，积分时必须考虑次序．
xe D
2 y2
dxdy 0dy0 x e
1
y
2 y2
dx 0e
1 y2
y3 dy 3
0e
1 y2
y2 2 1 2 dy ( 1 ). 6 6 e
如果积分区域 D 为 Y－型：
1( y ) Байду номын сангаас 2 ( y ) 在区间 c , d 上连续．
f ( x, y )d
D
d
c
dy ( y ) f ( x , y )dx ．
1
2 ( y )
X－型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两 个交点 .Y－型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两 个交点 .如果积分区域既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域，则可把 D 分成几部分， 使每个部分是 X 型区域或是 Y 型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分 对于积分区域具有可加性，它们的和就是在 D 上的二重积分． 例１将
D D1 D2
3 ．若在 D 上， f x , y 1 , 为区域 D 的面积 ,则：
1d d
D D
几何意义 :高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积． 4．比较大小：若在 D 上 ,
f ( x, y) ( x, y) ,则有不等式：
f ( x, y )d ( x, y )d
2
xyd dy 2 xydx
D 1 y
2
y 2
45 8
3 y
例４改变积分 解 原式
2
0 dx 0 f ( x, y)dy 的次序 .
1 3
1
3 x
0 dy 0 f ( x, y)dx 2 dy 0 f ( x, y)dx
dxdy ，其中 D 是以 ( 0,0 ),( 1,1 ), ( 0,1 ) 为顶点的三角形 .
dxdy 为直角坐标系下的面积元素 ),二重积分也可表示成为
f x , y dxdy．
D
柱体的体积．如果 f x , y 是负的，柱体就在 xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍
几何意义 :若 f x , y 0 ,二重积分表示以 z f x , y 为顶 ,以 D 为底的曲顶
注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分 的次序．这时，即要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f x , y 的特性． 例６求由曲面 z x2 2 y 2 及 z 6 2x2 y 2 所围成的立体的体积． 解 立体在 xoy 面的投影区域为 D : x2 y2 2
等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 f x , y 在 D 的若干部分区域上是 正的， 而在其他的部分区域上是负的， 我们可以把 xoy 面上方的柱体体积取正，xoy 下方的柱体体积取负，则 f x , y 在 D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体 体积的代数和．
二、二重积分的性质 (二重积分与定积分有相类似的性质 ) 1．线性性质：
m f ( x, y )d M
D
6．二重积分的中值定理 设函数 f x , y 在闭区域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点
, ,使得 f ( x, y )d f ( , )
D
例 1 估计二重积分 I 解 求被积函数
( x 2 4 y 2 9) d 的值 , D 是圆域 x2 y 2 4 ．
D
f ( x, y) x2 4 y 2 9在区域 D 上的最值：
fmax 25, fmin 9 ， 于是有 36 I 100 ． 例 2 比较积分 ln( x y ) d
[ f ( x, y) g ( x, y)]d f ( x, y)d g ( x, y)d
D D D
其中 , 是常数． 2．对区域的可加性：若区域 D 分为两个部分区域 D1 与 D2 ,则
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
它的体积值． ）从而 V
i ．
i 1
n
i f i ,i i
V f i ,i i
i 1 n
i ,i i ．
一个闭区域的直径 :是指区域上任意两点距离的最大者．设 n 个小区域直径中 的最大者为 ,则
V lim f i ,i i
i 1
n
n
M lim i , i i
0
i 1
2．二重积分的定义 定义 设 f x , y 是有界闭区域 D 上的有界函数，将区域 D 任意分成 n 个小闭
区域： 1, 2 ,, n ( i 既表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积 )．在每 个 i 上任取一点 i , i ，作乘积 f i ,i i i 1, 2 ,, n ，并作和
曲顶柱体:设有一空间立体 ,它的底是 xoy 面上的有界区域 D ,它的侧面是以 D 的边界曲线为准线,而母线平行于 z 轴的柱面,它的顶是曲面 z 在 D 上连续)且
f ( x, y) ( f ( x, y)
的边界曲线为准线， 作母线平行于 z 轴的柱面， 这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成 n 个小曲顶柱体 1 , 2 ,