第24章 圆(小结)
九年级数学上册第24章《圆》整章分析(人教版)
第二十四章“圆”简介与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，是人们生活中常见的图形，也是“图形与几何”的主要研究对象。
本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。
本章共安排四节和三个选学内容，教学时间大约需要16课时，具体安排如下（仅供参考）：24.1 圆的有关性质5课时24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 5课时24.3 正多边形和圆2课时24.4 弧长和扇形面积 2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容本章在学习了直线图形有关性质的基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。
圆是常见的几何图形之一，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。
圆的有关性质，也被广泛应用。
圆也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。
圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。
所以本章教学在初中占有重要地位。
本章在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系。
本章共分四节，第1节是“圆的有关性质”，主要内容是圆的概念和有关性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置和数量关系的主要依据，是全章的基础。
这一节包括“圆”“垂直于圆的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四小节。
“24.1.1 圆”的主要内容是圆的概念和圆中一些相关概念。
圆的概念是研究圆的性质的基础，在小学，学生接触过圆，对它有一定的认识。
教科书首先结合生活中一些圆的实际例子，在小学画圆的基础上，用“发生法”给出圆的概念。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)正多边形和圆(第1课时)
24.3 正多边形和圆第1课时一、教学目标【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系.【情感态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、边心距，边长之间的关系.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2,3：观察上边的美丽图案，思考下面的问题：（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.（板书课题）（二）探索新知探究一正多边形的对称性教师问：什么叫做正多边形？（出示课件5）学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？学生答：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可.教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？（出示课件6,7）学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.教师归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.探究二正多边形的有关概念教师问:以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？（出示课件8，9）师生结合图形共同探究：EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD,OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.出示课件10：教师问：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？学生答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.教师问：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?学生答：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.教师问：所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？学生答：多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.教师出示概念：（出示课件11）1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.3.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360.n练一练：（出示课件12）完成下面的表格：学生计算交流并填表.探究三 正多边形的有关计算出示课件13：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF ：①它的中心角等于 度； ②OC BC(填＞、＜或＝）； ③△OBC 是 三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC 面积的 倍. ⑤圆内接正n 边形面积公式:_______________________. 学生计算交流后，教师抽学生口答.①60；②=；③等边；④6；⑤1=2S ⨯⨯正多边形周长边心距出示课件14:例 有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).教师分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.师生共同解答:（出示课件15）解：过点O 作OM ⊥BC 于M.在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝4222BC ==，利用勾股定理,可得边心距r ==亭子地基的面积：2112441.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈ 巩固练习：（出示课件16）如图所示，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．36°D ．30° 学生独立思考后自主解答：C.教师归纳：圆内接正多边形的辅助线（出示课件17）1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形. 巩固练习：（出示课件18）已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？学生独立思考后解答，一生板演.解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长为x. ∴ 另一边长为8-x.则该直角三角形面积：S=（8-x ）x ÷2,即214.2s x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时，S 有最大值244ac b a -＝8.∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8. （三）课堂练习（出示课件19-24）1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度.2.填表：3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为_____度.（不取近似值）5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．7.如图，正六边形ABCDEF的边长为点P为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和是多少？8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.参考答案：1.360°解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.2.3.34.412875.6.解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则圆的直径AC=2， ∴⊙O 的半径=.∴⊙O 的面积为22.ππ=7.解：过P 作AB 的垂线，分别交AB 、DE 于H 、K ，连接BD ，作CG ⊥BD 于G.22∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AB ∥DE ，AF ∥CD ，BC ∥EF ，∴P 到AF 与CD 的距离之和，及P 到EF 、BC 的距离之和均为HK 的长. ∵BC=CD ，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD ∥HK ，且BD=HK.∴CG=12BC=.∵CG ⊥BD ，∴BD=2BG=2×=2×3=6.∴点P 到各边距离之和=3BD=3×6=18． 8.解：⑴①120°；②90°；③72°；⑵360MON n ︒∠=.（四）课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？（五）课前预习22BG BC-预习下节课（24.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.。
人教版九年级数学上册第24章《圆》知识小结与复习
A
A.140°B.135°C.130°D.125°
DF
∠BOC＝90°+ 1∠A 2
R
E
BM
Q
O
G
P
NC
3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外 接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
4.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则 △ABC的外接圆半径为 。内切圆半径____ 5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半 径分别是______, ____
O1
AM
O
B
如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点 ⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度 移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移 动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一 点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时 间t（秒） 如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t 为何值时, ⊙P和⊙Q外切？
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_1____; (3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=_7___;
A
D
8
F
4
o
B
6E
C
1 S △ABC= 2 C △ABC·r内
2.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的
弦长相等.则 ∠BOC=__D__.
3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为 6cm,则另一个圆的半径为_____.
4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的 坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置 关系是______.
第24章 圆知识点
第24章圆知识点1、圆的有关性质：（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（2）垂径定理：如果过圆心的线垂直弦，那么平分弦和平分弦所对的两条弧。
推论：如果过圆心的线平分弦（这里的弦不能是直径），那么线垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
（注意：在求弦长、半径、弦心距的长度时，垂径定理经常要结合勾股定理。
）（3）两条弦相等⇔两条弧相等⇔两个圆心角相等⇔两个圆周角相等（4）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。
②半圆或直径所对的圆周角是直角。
③90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆内接四边形的对角互补。
（注意：运用圆周角定理及其推论的关键是找到这些角所对的弧）2、点和圆的位置关系：①点在圆内⇔d<r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆外⇔d>r。
3、三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；内心是三条角平分线的交点。
4、直线和圆的位置关系：①相交⇔d<r；②相切⇔d=r；③相离⇔d>r。
5、证明一条直线是圆的切线的方法：有两种情况（1）直线和圆有公共点：先连接公共点和圆心，再证明直线垂直半径。
（2）直线和圆没有公共点：先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段等于半径。
6、圆的切线的性质：先连接圆心和切点，然后得到切线垂直半径。
7、切线长定理：。
8、与圆有关的计算公式：（1）正多边形的中心角= ；（2）正多边形的每一个内角= ；（3）正多边形的周长= ；（4）正多边形的面积= ；（5）弧长= ；（6）扇形的面积= = ；（7）圆锥的侧面积= （8）圆锥的全面积= ；（9）圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的圆心角= ；（10）圆柱的侧面积= 。
9、圆中常用的辅助线：（1）有弦：一般都作弦心距，再结合垂径定理和勾股定理；（2）遇直径想直角，遇直角想直径；（3）连接圆心和切点。
10、圆中有“三多”：（1）直角多（直径所对的圆周角、切线引出的直角）；（2）等腰三角形多（可得等边对等角（即两条半径所对的两个底角相等））；（3）相等的角多（同弧或等弧所对的圆心角相等、圆周角相等，等边对等角）。
第24章《圆》思维导图
圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离 等于定长r的点的集合。
弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。
九年级数学上册第二十四章章圆小结与复习课件
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四 圆中的计算问题
例5 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条___直__径__所在的直
线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角 相等
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 弧
弦
两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 相等
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角.
四、 圆中的计算问题 1.弧长公式
n R
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=__18_0_____. 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= _n_36_R0_2或____12_l_R__. 3.弓形面积公式
n
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
R2 r2 (a)2. 2
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
S 1 nar 1 lr. 22
其中l为正n边形的周长.
第24章圆知识完整归纳
24章圆知识点一：圆的定义1、圆可以看作是的集合。
2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
知识点二：圆的相关概念1. 叫做弦，2. 叫做直径。
3. 的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
的弧（用三个点表示）叫优弧；的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
3、等圆：叫做等圆周。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
知识点三：圆的对称性圆是轴对称图形，都是圆的对称轴。
知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：。
注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。
（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。
2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分弦所对的.知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，所对的弦相等，所对的弧也相等。
2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等所对的相等。
知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半。
2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 . 知识点七：圆内接多边形圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角 .知识点八：三角形的外接圆1.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的外心，（1）三角形的外心到三角形的距离相等，等于外接圆的半径。
（2）一个三角形有且只有个外接圆，而一个圆却有个内接三角形。
（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心是。
九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
第二十四章圆复习课件
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
∟
O．
∴ OA⊥ l
A
l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；这点与圆心的连线 平分这两条切线的夹角。
．A
AC=BD
∟ ∟
O
．
C
B
若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC
两圆之间的环形面积 S= 1 πAB2
4
2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作 ⊙O交底边BC于点D,则:
A
点D是BC的中点
O
B DC
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这
个正多边形的半径．
EG
3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距．
C
D
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr 面积s=πr2
2.弧长的计算公式
L=
nπr 180
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
切线的判别方法
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直 线是圆的切线。
3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案) 点和圆的位置关系教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）学生交流，回答问题.教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）学生答：教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：边结论.读作“等价于”.⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.出示课件7,8：例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）学生独立思考后，师生共同解答.解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内;AC=5>r，故C点在⊙A外.⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D探究二过不共线三点作圆教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）出示课件14：例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）学生动手探究，交流，在教师指导下作图.作法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.巩固练习：（出示课件16）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．学生独立思考后口答：∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.探究三三角形的外接圆及外心已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.2.三角形的外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）学生动手探究，作图，交流后，教师总结.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．学生独立思考后师生共同解答.解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝因此圆的半径为3．点A的坐标(0),∴△AOB外接圆的面积是9π.教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习：（出示课件23）如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径AM==线段DM所以点D在圆M内.出示课件24：例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．学生独立思考后师生共同解答.解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC.则OD ＝5cm ，112cm 2BD BC ==在Rt △OBD 中,13cm OB ==，即△ABC 的外接圆的半径为13cm.巩固练习：（出示课件25）在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm学生思考后口答：A探究四 反证法教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.如图，假设过同一条直线l 上三点A 、B 、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l 1上，又在线段BC 的垂直平分线l 2上，即点P 为l 1与l 2的交点.而l 1⊥l ，l 2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．教师归纳：（出示课件27）1.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．2.反证法的一般步骤⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.出示课件28：例求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.师生共同解答.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°学生口答：D（三）课堂练习（出示课件30-36）1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣，则△ABC的外接圆半径=______．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=______.7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．参考答案：1.2582.3.解:如图所示.4.上；外；上5.B6.57.70°8.B9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材95页练习2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.。
九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆
第24章圆章节知识点及习题及答案
第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。
4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。
5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。
注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。
6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。
7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。
人教版初中数学九(下)第24章圆第1节圆
人教版初中数学九(下)第24章圆第一节、圆（一）圆的有关概念：(1)圆的定义：①在一个平面内，线段OA绕其固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
【圆心定位置，半径定大小】以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作”圆O”. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；等圆：能够重合的两个圆。
②在平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
练习：有两个同心圆，小圆的半径为2cm，大圆的半径为3cm，大圆上一点P与小圆上一点Q的距离PQ的取值范围是 .(2)圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定．．一个圆。
【两点定线，三点定圆】(3)概念：①弦：连结圆上任意两点的线段。
其中，过圆心的弦叫直径。
如图中的弦AB、AC、BC.其中，弦AB经过了圆心O，为直径。
②弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，用“”表示。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC和BAC；小于半圆的弧叫劣弧，如图中的AC和BC。
*同圆或等圆（半径相等的圆）中，能够互相重合．．的弧叫等弧。
《弧的相等要区别于线段的相等；在同圆或等圆中，弧与弧之间才能加减。
》③弦心距：圆心到弦的距离，如图中的OM。
④圆心角：顶点在圆心的角，如图中的∠AOC,∠BOC等。
《圆心角的度数和它所对的弧的度数相等》⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图∠ABC,∠BAC,∠ACB. （二）圆的有关性质：（1）对称性：★圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。
★圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（2）在一个圆中，①如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等；②如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等；③如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角．．．所对的弧相等《或者等弦所对的优弧和劣弧分别相等》。
第24章圆总结与张文彩2_-
C
M
O A 图4
B
x
【例7】
∴AL=AP，LB=MB， ， ， DN=DP， DN=DP，NC=MC ∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC 即 AB+ CD = AD+BC
思考题：如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm， 点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的 速度 移 动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、 Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也 随之停止运动，设运动的时间t（秒） （1）t为何值时，四边形APQD为矩形/ （2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t 为何值时， ⊙P和⊙Q外切？
A P O B
【例8】如图,在同心圆中,两圆半径分 如图,在同心圆中, 别为2 1,∠AOB=120° 别为2、1,∠AOB=120°,求阴影部分的 面积. 面积.
O
120°
A
B
1.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。 已知△ 已知 ， ， ， 。 则△ABC的外接圆半径为 的外接圆半径为 。内 切圆半径为________。 切圆半径为 。 2. 正三角形的边长为 它的内切圆和外接圆 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆 的半径分别是______ , ____ 的半径分别是 3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 ．如图， A，B，C，其中 点 ， ， ，其中B点 坐标为（ ， ）， ），则 坐标为（4，4），则 该圆弧所在圆的圆心 坐标为 。
A
Eபைடு நூலகம்C F
D
B
【例6】
解：设圆锥底面半径为R，母线长l 设圆锥底面半径为R 母线长l 则依题意，得
第24章 圆(期末考点精讲)(原卷版)
第24章圆（期末精讲）目录24.1 与圆有关的基本性质 (4)知识点①圆的定义 (4)知识点②与圆有关的基本概念 (5)知识点③同心圆和等圆 (5)知识点④圆心角和圆周角 (5)知识点⑤弓形、扇形 (5)知识点⑥圆的对称性 (6)知识点⑦垂径定理及其推论 (6)知识点⑧圆心角、弧、弦之间的关系 (6)知识点⑨圆周角定理及其推论 (6)知识点⑩圆内接四边形及其性质定理 (7)方法①弧、弦、半径、直径等概念的区分方法 (15)方法②圆周角的识别方法 (15)方法③利用圆的半径相等进行计算的方法 (15)方法④证明几个点是否共圆的方法 (15)方法⑤运用垂径定理进行有关弦的计算 (15)方法⑥垂径定理在实际问题中的应用方法 (15)方法⑦圆心角、弧、弦的关系的应用方法 (15)方法⑧利用圆周角定理求角度的方法 (16)方法⑨圆周角定理的推论的应用方法 (16)方法⑩利用圆内接四边形的性质定理求角度的方法 (16)24.2 与圆有关的位置关系 (28)知识点①点与圆的位置关系 (29)知识点②过已知点的圆 (29)知识点③三角形的外接圆与外心 (29)知识点④直线与圆的位置关系 (29)知识点⑤直线和圆的位置关系的性质与判定 (29)知识点⑥切线的性质定理 (30)知识点⑦切线的判定定理 (30)知识点⑧切线长定理 (30)知识点⑨三角形的内切圆与内心 (31)知识点⑩圆外切四边形 (31)方法①点与圆的位置关系的识别方法 (35)方法②三角形外心的应用方法 (35)方法③直线与圆的位置关系的识别方法 (35)方法④利用切线的判定定理判定直线为切线的方法 (35)方法⑤利用“作垂直，证相等”判定直线为切线的方法 (36)方法⑥切线的性质的应用方法 (36)方法⑦三角形的内心的应用方法 (36)方法⑧利用切线长定理进行计算的方法 (36)方法⑨解决与圆的位置关系有关的多解问题的方法 (36)方法⑩圆的有关知识在动态问题中的应用 (36)24.3 与圆有关的计算 (49)知识点①正多边形与圆的关系 (49)知识点②正多边形的中心与中心角 (49)知识点③正多边形的半径与边心距 (49)知识点④正多边形的有关计算 (50)知识点⑤正多边形的对称性 (50)知识点⑥弧长公式 (50)知识点⑦扇形面积公式 (50)知识点⑧圆柱侧面展开图 (50)知识点⑨圆锥侧面展开图 (51)方法①弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法 (54)方法②应用弧长公式解决运动轨迹问题的方法 (55)方法③不规则图形的面积的计算方法 (55)方法④求圆锥侧面上两点之间的最短距离的方法 (55)方法⑤运用圆锥侧面积知识解决实际问题的方法 (55)24.1 与圆有关的基本性质知识点①圆的定义★☆☆圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．知识点② 与圆有关的基本概念 ★☆☆与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦；经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．知识点③ 同心圆和等圆 ★☆☆1.同心圆：圆心相同 ,半径不相等的两个圆叫做同心圆。
24章圆教材分析
知识补充2：过圆内一点作圆的弦，最小最大弦分别是谁？
例6. 圆心在 y 轴的负半轴上，半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半轴交 于点 A(0,1)，过点 P(0,-7)的直线 l 与⊙B 相交于 C、D 两点， 则弦 CD 长的所有可能的整数值有 个．
知识补充2：过圆内一点作圆的弦，最小最大弦分别是谁？
例5. 点 A 与⊙O 在同一平面内，若点 A 与⊙O 上各点的连线段中，最
大为 10，最小为 2，则⊙O 的半径是
．
点A在圆内
点A在圆外
二、圆的轴对称性
垂径定理使得圆的轴对称性得以量化.
垂径定理要点：条件要推理出对称轴
对称轴就是弦的中垂线
平分弦（不是直径）的直径垂直 弦，平分弦所对的两段弧.
旋转圆周角顶点,角度不变,但有运动范围.
例14. 若三角形的某一边长等于其外接圆
半径，则将此三角形称为等径三角
形，该边所对的角称为等径角.已知
△ABC 是等径三角形，则等径角的
度数为
.
知识补充3：四点共圆
两个圆周角对同一段弧
两个圆周角所对的弧组成一个整圆
2012在 △ABC 中， BA BC，BAC ， M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上
三、丰富的圆中角
圆周角展现了圆中最独特的性质.
圆周角定理的证明过程是学生成长的机会
1.为什么弧不变,角不变? 2.怎么想到要研究圆周 角与圆心角的关系? 3.怎么想到要先让角的 一边过圆心? 4.怎么找到的三种情况?
这些“被回忆、 再现、套用、重 组改造”的数学 学科本质的外显 物从何而来？
A．点 P 一定在射线 BE 上 B．点 P 一定在线段 AB 上 C．点 P 可以在射线 AF 上 ，也可以在线段 AB 上 D．点 P 可以在射线 BE 上 ，也可以在线段
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生自主完成练习；
教师巡视学生完成情况，然后找学生说出答案并讲解，同时要求学生总结解决以上问题所运用的知识点.方法及规律.
综
合
应
用
如图6，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10.
求此圆的半径.
2.如图⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm,
3.圆锥底面半径为6cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图圆心角等于，表面积为.
4.如图9，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE，EF.求证：AE是∠BAC的平分线.
先请学生独立完成，然后在小组内交流，再请学生讲解.
完
善
整
合
小结与反思
1.请大家反思一下，你是否真正达到了本节课要达到的目的了？
2.认识直线与圆，圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力.
情感
态度
通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感.
重点
圆的有关性质，直线和圆，圆和圆的重要位置关系，以及一些与圆有关的计算.
难点
掌握本章的知识，能解决综合性的问题；圆有关的计算等及其应用.
2.通过本节课的学习，你能说说在学习过程中你认为比较好的方法吗？
教师出示问题.
学生自由发言
教师适时补充.鼓励，以完善本节所复习的知识.方法.规律.
2．如图2，在⊙O中，弦AB＝10，弓高CD＝3，求⊙O的半径
（圆心角、弧、弦和弦心距定理的应用）
【例2】如图3所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出弧AC与弧BD的数量关系，并给予证明．
【例3】（圆周角与圆心角）
1.如图4，点A,B,C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠OBC的度数是________；
2.如图5是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，则∠APB=_____º
教师引入课题：
圆是生活.生产中常见的几何图形之一，也是平面几何中最基本的图形之一.我们已经学习了圆的有关知识，并用它来解决了一些简单的实际问题，今天我们以下面题组为基础对本章进行复习.
证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确
定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；
圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公
式，圆锥的侧面积．
二.【例题解析】你能独立思考完成下列各题吗？
【例1】（关于弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算）
1．如图1，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为___.
求图中的三个扇形（即阴影部分的面积）之和.
教师出示题目
先让学生独立思考，然后小组内讨论.请学生发表自己的见解.
补
偿
提
高
1.（.如图7）∠A是⊙O的圆周角，∠A＝30°，则∠BOC=°，∠OBC=°.
2.如图8，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，两圆的半径分别为5cm和3cm，则AB=.
关键是掌握圆的有关性质.
【教学环节安排】
环节
教学问题设计
教学活动设计
知
识
回
顾
一.回顾本章内容
本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪
内容吗？
首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形又
是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对
称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的
方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理
第24章圆（小结）
仲里中学张莹
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1．通过回顾与思考,进进一步了解圆的有关性质,会判断点.直线.圆与圆的位置关系，能熟练进行和圆有关的计算.
3．能利用圆的有关知识解决有关实际问题.
过程
方法
1.通过练习，复习巩固本章知识要点，使学生形成知识结构.