《正弦函数和余弦函数的图象》教学设计
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教案
教学目标：1．要求学生了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象. 2．通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象．3．培养学生利用类比的思想方法研究正弦、余弦问题；培养学生的动手操作能力． 教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．教学难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系，五点作图法关键点如何找。
教学方法：自主学习，合作探究、启发式 教学用具：多媒体、直尺、铅笔【教学过程】一、预习提案（课前完成）1．用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ 问题：如何作出x y sin =，]2,0[π∈x 的图象． (1)（3) 连线2．sin α、cos α、tan α的几何意义. （三角函数线） 在图像上作出相应的三角函数线：正弦线：_____________ 余弦线：_____________ 正切线：_____________ 3.预习教材p30---p33二、讲授新课（合作探究为主）问题1：想一想，如何画出]2,0[,sin π∈=x x y 的图象思路点拨：我们可以借助单位圆，利用正弦线作出比较精确的正弦函数图象（其中]2,0[π∈x ），方法如下： 第一步：先作单位圆，把⊙O 1十二等分；第二步：十二等分后得0,6π, 3π,2π,…2π等角，作出相应的＿＿＿；第三步：将x 轴上从0到2π一段分成＿＿＿等份(2π≈6.28)； 第四步：取点，平移正弦线，使＿＿＿与＿＿＿上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的＿＿＿连接起来，得y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象；问题2：如何根据]2,0[,sin π∈=x x y 的图象作出x y sin =，R x ∈的图象．思路点拨：终边相同的角的同一三角函数值相同。
可将函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象向左向右平行移动（每次＿＿＿个单位长度）就可以得到正弦函数的图象．如图所示：说明：该图象称为“正弦曲线”. 问题3：1.在做正弦函数的图象时，应抓住那些关键点？ 思路点拨：与x 轴的交点，最高点和最低点坐标。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计教学要求：熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征.教学重点：正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征.教学难点：正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（余弦）值. 由这个对应法则所确定的函数sin y x =（或cos y x =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R .2. 提问：如何作出正弦函数的图象？（利用正弦线可以画出较精确的正弦函数图象）二、讲授新课：1. 教学正弦函数图象的画法：① 提问：正弦线的意义？(正弦线是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，它是正弦函数的几何表示)② 用正弦线画出正弦函数的图象（边讲边画）：第一步：先作单位圆，把⊙O 1十二等分（当然分得越细，图象越精确）；第二步：十二等分后得0,6π, 3π,2π,…2π等角，作出相应的正弦线； 第三步：将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”；第四步：取点，平移正弦线，使起点与x 轴上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象； 第六步： 由终边相同的三角函数性质知y=sinx ，x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图象与函数y=sinx ， x ∈[0,2π]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长.③ 用“五点（画图）法”作正弦函数图象时，要抓住关键的五个点：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0). （通过学生观察正弦函数的图象，找出体现图象形状特征的点，再来讲“五点法”.）“五点法”的优点是方便，但精确度不高，熟练后才使用.2. 教学余弦函数图象的画法： 由于cos sin()2y x x π==+，而s i n (),2y x x R π=+∈的图象可以通过将正弦函数sin ,y x x R =∈的图象向左平移2π个单位长度得到，因此只需将函数sin ,y x x R =∈的图象向左平移2π个单位长度就可以得到函数cos ,y x x R =∈的图象.思考：如果用“五点法”作余弦函数的图象，则应抓住哪五个关键点？3. 例题讲解：例、画出下列函数的简图：（1）sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）1cos ,[0,2]y x x π=+∈. （教师引导→学生板书）4、小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法、“五点法”画法及正弦、余弦函数图象的形状特征.三、巩固练习：1. 在同一直角坐标系中，分别作出函数3cos ,[,]22y x x ππ=∈- 、3sin(),2y x x R π=-∈的草图.2. 讨论如何用“五点法”画sin(2)6y x π=-的图象？（方法：取320,,,,2622x πππππ-=） 3. 作业：教材P52 第1题。
教学设计2：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象． 3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【要点梳理】1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法 (1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cos x＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(2)用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【思考诊断】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√【课堂探究】题型一 用“五点法”作简图【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线． [解] (1)列表：描点连线，如图所示．(2)列表：描点连线，如图所示．[名师提醒]用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 (1)列表(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π2，y 4，(2π，y 5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [针对训练]1．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解] (1)列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2， －1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．题型二 正、余弦函数图象的简单应用【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合． (1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．[解] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . (2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z . [名师提醒]用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)； (2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． [针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0. 由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z . (2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z . 【课堂小结】1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x 轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.【随堂验收】1．用“五点法”画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0)D ．(2π，0)[解析] 五个关键点为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，故选A. [答案] A2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确． [答案] D3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[解析] 列表描点与选项比较，可知选B. [答案] B4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π[解析] 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. [答案] C5．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解] 在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.。
5.4.1正弦函数余弦函数的图象教学设计
引入新课观看生活中的波形视频设计问题,回归教材三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,类比指数函数,对数函数的研究过程,学习了三角函数的定义之后,接下来我们应该研究什么问题呢?根据教师的提问,学生进行知识衔接。
师：生活中有大量这样的波形,如果抽象成数学问题,可以用哪一类函数来刻画呢?生:三角函数师:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,类比指数函数,对数函数的研究过程,学习了三角函数的定义之后,接下来我们应该研究什么问题呢?生:用定义画图象师;定义-图象-性质请同学们先看一下本节课的学习目标,复习一下定义和诱导公式.温故知新图象的形成学生探索,尝试解决问题 1.如何画出正弦函数Rxxy∈=,sin的图像呢？问题2.画函数图象的基本方法是什么？问题3.画函数xy sin=在[]π2,0上的图象如何取点呢？问题 4.在坐标系中，能准确的描出⎪⎪⎭⎫⎝⎛233，π这个点吗？问题 5.在[]π20，上任取一个值x，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx,并画出点问题1：生：描点法师：Rx∈，范围太大，不好操作，如何简化？生：先画[]π2,0∈x的图象师：非常好，这一特性从我们刚刚复习的正弦函数的定义和诱导公式一体现了。
问题2.生：描点法师：描点法和图象变换问题3.生：取.2332160⎪⎪⎭⎫⎝⎛，），，），（，（ππ问题4.生：不能师：如何解决这个问题呢？生：正弦函数的定义师：回答得非常好，根深叶茂，定义是一切知识的出发点，下面请同学们看问题5.问题5.生：先画个单位圆师：好，如何找到π2呢，请一位同学到前面来和老师一起动手操作。
在事先准备好的圆上找到一点，转一圈.学生找到π2，再进一步找到32πππ，，等。
这一过程体现了“曲化直”的化设置意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识把学生推向问题的中心，让学生动手操作。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
1_4_1正弦、余弦函数的图象教案
正弦、余弦函数的图象知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些相关问题. 水平目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法.德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神. 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 教学难点：作余弦函数的图象. 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角. 2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）， P 与原点的距离r (02222>+=+=y x yx r )，则比值ry叫做α的正弦，记作：r y =αsin比值r x叫做α的余弦，记作：rx =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这个段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．ry)(x,αP根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．所以在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚能够. 3.讲解范例：例1 作以下函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，(2) y=-cosx.y=cosxy=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11yx-11o xy解：三、小结：本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法；2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系. 四、练习：在同一直角坐标系内画出和的图象.3sin()2y x =-πcos y x =。
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象+教学设计2023-2024学年高一上数学人教A版2019必修一
问题2：描点法是画函数图象的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点、怎样描点画图呢？学生活动：学生可能会说，对于自变量x 在[0, 2π] 上随意取一些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线.教师提示：这样作图应该能够得到正弦函数图象的大致形状，但是三角函数中会出现无理数，这样作图明显不够精确，而且也没有利用到三角函数的定义，缺少了三角函数定义和图象之间的内在联系，所以需要寻求更精确、并且利用到三角函数定义的方法.问题3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在[0, 2π]上任取一个值x0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0 ，并准确画出点T(x, sin x)预设：请大家看图，在平面直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，且单位圆与x 轴正半轴的交点为A(1, 0) ．在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转x0 弧度至点B ．根据弧度制的定义= ,x既是经AOB 的大小，也是弧AB 的长度；根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标y0 = sin x0 ．由此，以x0 为横坐标，y0 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0 , sin x) ．在没有信息技术的情况下，可以用“手工绕线法”完成，同学们可以课下思考.设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解；通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.问题4：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能类比指数函数、对数函数图象的画法，画出y = sin x ，x e [0, 2π] 的图象吗？师生活动：师生共同讨论方案，教师指导并完善方案.方案1：在区间[0, 2π] 内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接.教师点评：随意取值，横坐标x可能会出现比较多的无理数，不容易在x 轴上准确定位；而且根据弧度制的定义，x的值是弧AB的长度，不容易平移，所以在单位圆上定位x弧度的角的终边时，存在一定困难.方案2：x取1 、2 、3 等值，再按照上述方式绘制图像.教师点评：1 、2 、3 等弧度数在x 轴上可以准确定位，但是在单位圆上定位这些弧度的角的终边时，仍然存在上述的问题.方案3：x取比较熟悉的特殊角，如、、等.教师点评：[0, 2π] 内的这些特殊角是大家比较熟悉的，在x 轴上比较容易定位，但是在单位圆上怎样确定点B 的位置呢？究竟取哪些、怎样取特殊角，才能即简便又准确呢？方案4：在区间[0, 2π] 内取等分点，最为简便准确.预设：如图，把x 轴上[0, 2π] 这一段分成12 等份，即每个象限3 等分，从而使x0 的值分别为0 ，，，，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12 等分，再按照上述方法依次画点T(x0 , sin x) ，就能准确定位出每个x在单位圆上所对应的终边位置，从而可以准确地画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．师生活动：学生用上述方法绘制图象．教师用几何画板演示上述图象的生成过程，初步得到y = sin x ，x E [0, 2π] 的图象，再借助信息技术取任意多的点，并连续成线．设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施；利用信息技术得到更多图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理．问题5：根据函数y = sin x ，x E [0, 2π] 的图象，你能想象正弦函数y = sin x ，x E R 的图象吗？依据是什么？请画出该函数的图象．预设：根据公式一sin(c + k. 2π) = sin c ，其中k E Z ，可知函数y = sin x ，x E [2kπ, 2(k +1)π] ，k E Z 且k 子0 的图象与y = sin x ，x E [0, 2π] 的图象形状完全一致．因此将函数y = sin x ，x E [0, 2π] 的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y = sin x ，x E R 的图象．如图所示．教师指出：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：绘制函数y = sin x ，x E R 的图象，让学生体会从有限到无限的推广过程，并培养学生说理的习惯．问题6：对函数的研究，能够快速又比较准确的做出其简图，往往起重要的作用．你能画出函数y = sin x ，x [0, 2π] 图象的简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动：教师引导学生观察图象，共同确定关键点.预设：在函数y = sin x ，x [0, 2π] 图象上，以下五个点：(0, 0) ，( , 1) ，(π, 0) ，( , 1) ，(2π, 0) 在确定函数图象时起关键作用，它们是函数图象的最大值点、最小值点以及零点．描出这五个点，函数y = sin x ，x [0, 2π] 的图象形状就基本确定了．因此，在精度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来，得到正弦函数的简图，这种方法非常实用，方便有效，称为“五点法”.设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便方法.5 分钟（三）余弦函数的图象问题7：我们已经能够做出正弦函数的图象，你能做出余弦函数的图象吗？师生活动：此时学生可能会跃跃欲试，想用类似的方法画余弦函数的图象．对此教师应予以肯定，并进一步追问.追问1：如果仍然采用之前的方法，如图，此时单位圆上点B 的横坐标为cos x，那么将它作为点T 的纵坐标，还容易平移吗？显然不太方便.追问2：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所以你能否通过已经得到的正弦函数的图象，通过变换得到余弦函数的图象？师生活动：学生比较容易想到y = cos x = sin(x) ，教师要引导学生分析，此时的图象变换比较困难，要选择比较简洁的公式.预设：通过比较进行选择．从数的角度和操作性上，可以选择诱导公式cos x = sin(x + ) ，得：y = cos x = sin(x + ) ，x e R ．而函数y = sin(x + ) ，x e R 的图象可以通过正弦函数y = sin x ，x e R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就能得到余弦函数的图象.教师指出：余弦函数y = cos x ，x e R 的图象叫余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线.追问3：你能利用点的坐标，解释这种平移变换吗？预设：设函数y = sin x 图象上任意一点为(m, n) ，即sin m = n ．则在函数y = sin(x + ) 上，当x + = m ，即x = m 一时，函数值也为n ，所以函数y = sin(x + ) 图象上有对应点(m 一, n) ，是将点(m, n) 向左平移了个单位得到的，所以只要将π曲线的图象关于y 轴对称，所以选取区间[一 π, π]比较合理.预设：选取 (一 π, 一1) ， (一 , 0) ， (0, 1) ， ( , 0) ， (π, 一1)这五 个点为关键点.设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法 ”.5 分钟（四）例题例 1：画出下列函数的简图： （1） y = 1+ sin x ，x e [0, 2π] ； （2） y = 一 cos x ，x e [0, 2π] .追问：你能利用函数 y = sin x ， x e [0, 2π] 的图象，通过图象 变换得到 y = 1+ sin x ， x e [0, 2π] 的图象吗？ 同样 ，利用函数y = cos x ， x e [0, 2π] 的 图 象 ， 通 过 怎 样 的 变 换 就 能 得 到 y = 一 cos x ， x e [0, 2π] 的图象？设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟 练“五点法 ”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图像变换，深化 对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好铺垫.2 分钟（五）小结及作业小结：思考下列问题：（1）我们是如何做出正弦曲线、余弦曲线的？（2）如何用“五点法 ”做出正弦函数、余弦函数的简图？ （3）做函数图象有哪些基本方法？布置作业：教科书第 200 页练习 1 、2 、3 题.。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计正弦函数、余弦函数的图象一、教学目标 （一）学习目标1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象.2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图.3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征，能利用其解决三角不等式等问题. （二）学习重点正弦函数和余弦函数图像的作法. （三）学习难点1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.2.运用图象变换法作余弦函数图象. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第30页到32页.（2）想一想：用三角函数线如何画正弦函数的图象. （3）画一画：三角函数线. 2.预习自测（1）给定角α，画出它的的正弦线、余弦线.（2）任意给定一个实数x ,有 唯一确定的值 x sin (或x cos )与之对应,由这个对应法则所确定的函数sin y x =(或cos y x =)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为R .（3）用五点法作图，在正弦函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上,起关键作用的5个点为:()0,0 、_,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭____、___(),0π___、___3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭____、___()2,0π__.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点()P x y ，，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段 PM 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α的余弦线.（2）函数图像的画法（描点法）：列表、描点、连线. 【设计意图】回顾旧知，让探究始于思维邻近发展区. 2.问题探究探究一 如何得到正弦函数sin y x =的图象？学生方法：列表描点法.（步骤：列表，描点，连线）如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算机或数学用表得来的，大多是近似值，因此不易描出对应点的准确位置，画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象. 【设计意图】利用已有知识经验解决新问题. （一）正弦函数的图象（1）几何法：用单位圆中的正弦线----几何画法；第一步：列表.在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x 轴上任意取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起把⊙1O 分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙1O 上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段1O B 对应于2π角的正弦线).第二步：描点.把x 轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2π角的点)，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合(例如，把正弦线1O B 向右平移，使点1O 与x 轴上的点2π重合).第三步：连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来.xy2π3π2ππ2BO 1OA我们看到的这段光滑曲线就是函数sin y x =在[]0,2x π∈上的函数.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数sin y x =在221(0)x k k k Z k ππ∈∈≠［，＋］，且上的图象与函数sin y x =在[]0,2x π∈上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象向左、右平行移动(每次π2个单位长度)，就可以得到正弦函数sin y x =在x R ∈上的图象.xy5π4π3π2ππ-π-3π-2π-4x-5πO这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数sin y x =在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点：精确度较高但步骤繁琐.思考：用前面的方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?(2) 用五点法作正弦函数的简图在函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：3()(,)()0()(,01,0212,0)2ππππ， ， ， -， ,事实上，描出这五个点后，函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象，捕捉这种周期函数图象的关键信息，归纳简图作法的关键节点与图象大致走势，培养学生的图形直观，归纳总结的能力. 探究二 如何得到余弦函数cos y x =的图象?（二）余弦函数的图象●活动①：你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?（1）图象变换法：利用图象平移，sin()cos 2x x π+=，将正弦函数sin y x =的图象向左平移2π个单位即可得到余弦函数cos y x =的图象.由诱导公式可知：()sin()2=cossin 2y x x x ππ==＋＋余弦函数cos y x x R =∈，与函数2)sin(y x x R π=∈＋，是同一个函数.而2)sin(y x x R π=∈＋，的图象可通过将正弦曲线向左平行移动2π个单位长度而得到.现在看到的曲线也就是余弦函数cos y x =在x R ∈上的图象，即余弦曲线. （2）五点法：●活动②：类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出]2,0[,cos π∈=x x y 的简图x x cos同样，可发现在函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点是以下五个：0,1013()(,)()(,)()02,122ππππ， ， ，-， ， 与画函数]2,0[,sin π∈=x x y 的简图类似，通过这五个点，可以画出函数]2,0[,cos π∈=x x y 的简图.●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1用“五点法”作出下列函数的简图(1) []12sin 0,2y x x π=∈＋，； (2) []2cos 0,2.y x x π=+∈， 【知识点】五点法作三角函数的图象 【数学思想】数形结合x yx y o【思路点拨】在[]0,2 π上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【解题过程】（1）列表：x 0 2ππ 32π 2π sin x 0 1 0 -1 0 12sin x +131-11在直角坐标系中描出五点 ()30,1,3,1,1,2,122()()ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， ， ，，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到[]12sin 0,2y x x π+∈＝，的图象.（2）列表：x 0 2ππ32π2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x +32123描点连线，如图【设计意图】（1）巩固新知；（2）从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础. 同类训练用五点法作函数2cos()3y x π=+的简图.【知识点】五点法作()cos y A x ωϕ=+的函数图像 【数学思想】数形结合，函数复合 【思路点拨】令03x π+=，2π，π，32π，2π可得275-,36363x πππππ＝， ， , 【解题过程】（1）列表：3x π+2π π32π2π x 3π-6π 23π 76π 53π2cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 0-2 0 2（2）描点连线xy5π37π62π3π6-π3O【设计意图】 在例1的基础上做变式拓展，培养整体思想与复合函数的思想. ●活动4 强化提升、灵活应用例3 画出sin y x =的简图，并根据图像写出12y ≥时x 的集合. 【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用 【数学思想】数形结合【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值.【解题过程】利用“五点法”作出sin y x =的简图，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作x 轴的平行线，在[]0,2π上直线12y =与正弦曲线交于1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.在[]0,2π内，满足12y ≥时x 的集合为566x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.因此，当x R ∈时，若12y ≥，则x 的集合为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力.例3 判断方程 04xcos x －＝根的个数.【知识点】三角函数图像的应用 【数学思想】函数方程与数形结合【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【解题过程】设()() 4xf xg x cos x ＝，＝，在同一直角坐标系中画出()()f x g x 与的图象，如图：由图可知，()()f x g x 与的图象有三个交点，故方程 04xcos x －＝有三个根.【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力. 3. 课堂总结 知识梳理（1） 正弦函数图象的几何作图法.（2） 正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）. （3） 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象. 重难点归纳（1）正、余弦函数图象的简单应用.(难点) （2）正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点) （三）课后作业 基础型 自主突破1.下列叙述正确的是（ ）①,]02[y sinx x π∈＝，的图象关于点()0P π，成中心对称； ②,]02[y cosx x π∈＝，的图象关于直线x π＝成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线11y y ＝和＝-所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个 D.3个【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识.【解题过程】分别画出函数,]02[y sinx x π∈＝，和,]02[y cosx x π∈＝，的图象，由图象观察可知①②③均正确.【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可. 【答案】D.2.用五点法作函数2sin 1y x =-的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是（ ） A.322ππππ0,, ,，2； B.3424ππππ0, , , ，； C.ππππ0, , 2, 3，4； D.26323ππππ0, ,,,. 【知识点】五点法作图的应用【解题过程】与作函数sin y x =的图象所取的五点的横坐标一样. 【思路点拨】 结合五点法作函数sin y x =的图象即可解答. 【答案】A.3.将余弦函数cos y x = 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数sin y x =-的图象，则m ＝( ) A.2π B. π C. 32π D. 34π 【知识点】图象变换的应用【解题过程】根据诱导公式得，33sin cos cos 22y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故欲得到sin y x =-的图象，需将cos y x =的图象向右至少平移.，32π个单位长度.【思路点拨】 利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答 【答案】C.4.函数sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y =-的交点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【知识点】正弦函数图象的应用 【数学思想】数学结合【解题过程】在[]0,2π内使1sin 2x =-的角71166x ππ为和所以sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y=-有2个交点.【思路点拨】画出sin[]0,2y x xπ=∈，的图象与直线12y=-即可解答【答案】B5. 用“五点法”作出函数(sin02)y x xπ=-≤≤的简图.【知识点】“五点法”作图【数学思想】【解题过程】列表，描点、连线，如图所示.【思路点拨】利用关键的“五点”作图【答案】上图所示能力型师生共研6.函数cos cos0,2[]y x x xπ=∈＋，的大致图象为（）【知识点】函数图象的应用【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由题意得32cos,02,2230,22x x xxyπππππ≤≤≤≤<<⎧⎪=⎨⎪⎩或【思路点拨】函数解析式含绝对值，一般原则去绝对值符号，画出分段函数图象，图象问题的选择题也可利用函数性质，例如单调性，对称性等解答.【答案】D7.求函数2sin1y x=+的定义域.【知识点】函数图象的应用【数学思想】数形结合 【解题过程】要使2sin 1y x =+有意义，则必须满足2sin 10x +≥，结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：【思路点拨】利用正弦函数图象或三角函数线法.【答案】722,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭8.方程2co 0s x x -=的实数解的个数是__________.【知识点】余弦函数图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】作函数2cos y x y x ==与的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.【思路点拨】作函数2cos y x y x ==与的图象.【答案】2自助餐1.以下对于正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是( )A.在2,22[]x k k k πππ∈∈Z ＋，上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线11y y ＝和＝-之间D.与y 轴仅有一个交点【知识点】正弦函数图象的应用.【解题过程】逐一判断.【思路点拨】利用正弦函数图象【答案】B2.用“五点法”作函数cos 2y x =的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.322ππππ0, , , ，2B.3424ππππ0, , , ， C.0234ππππ，， ， ， D.26323ππππ0,, , , 【知识点】“五点法”作余弦函数图象.【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】令320222x ππππ＝， ， , 和，得30,424x ππππ＝， ， , 【思路点拨】利用作余弦函数图象的关键五点.【答案】B3.点,2M m π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数sin y x =的图象上，则m 等于( )A.0B.1C.－1 D .2【知识点】正弦函数的图象.【数学思想】【解题过程】由题意sin 1 1.2m m m π=∴-∴-，＝，＝-【思路点拨】点代入函数解析式.【答案】C4.在[]0,2π内，不等式3sin 2x <-的解集是( )A.(0,)πB. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 45,33πππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】正弦函数的图象应用.【数学思想】数形结合思想【解题过程】画出[]sin 0,2y x x π=∈，的草图如下：【思路点拨】画出草图解不等式.【答案】C。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
正弦函数与余弦函数的图象与性质教案教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的性质。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图象1.3 绘制正弦函数的图象第二章：余弦函数的定义与图象2.1 余弦函数的定义2.2 余弦函数的图象2.3 绘制余弦函数的图象第三章：正弦函数的性质3.1 周期性3.2 奇偶性3.3 最大值和最小值3.4 相位变换第四章：余弦函数的性质4.1 周期性4.2 奇偶性4.3 最大值和最小值4.4 相位变换第五章：正弦函数和余弦函数的应用5.1 振动现象的应用5.2 波动现象的应用5.3 温度变化的应用教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 采用图象绘制法，让学生通过绘制图象来加深对函数的理解。
3. 采用实例分析法，通过实际应用来让学生掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生绘制函数图象的准确性。
3. 学生对正弦函数和余弦函数性质的理解程度。
4. 学生解决实际问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT。
2. 函数图象绘制软件。
3. 实际应用案例资料。
教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 讲解正弦函数的定义，引导学生理解正弦函数的概念。
1.2 利用函数图象绘制软件，演示正弦函数的图象。
1.3 学生动手绘制正弦函数的图象，加深对函数的理解。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 讲解余弦函数的定义，引导学生理解余弦函数的概念。
2.2 利用函数图象绘制软件，演示余弦函数的图象。
2.3 学生动手绘制余弦函数的图象，加深对函数的理解。
第三章：正弦函数的性质3.1 讲解正弦函数的周期性，引导学生理解周期性的概念。
3.2 讲解正弦函数的奇偶性，引导学生理解奇偶性的概念。
3.3 讲解正弦函数的最大值和最小值，引导学生理解最大值和最小值的概念。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。
1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。
(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。
1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。
2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。
(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。
2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。
第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。
3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。
(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。
3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。
(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。
3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。
(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。
第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。
4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。
(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。
正弦函数、余弦函数的图象 教学设计
《1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》教学设计授课：张文龙电话：134********邮箱：307417851@单位：许昌高级中学一、教学内容解析本节的主要内容是在学习了弧度制、任意角的三角函数、三角函数线和诱导公式的基础上研究正弦函数、余弦函数的图象，为进一步学习函数的性质，函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及其性质做准备，有着承前启后的作用和意义.二、教学目标解析1.理解用三角函数线作[]sin ,02y x x π=∈，图象的方法.2.会根据正弦函数R ,sin ∈=x x y 的图象及关系式)2sin(cos π+=x x ，作出函数R x x y ∈=,cos 的图象.3.熟练掌握用“五点作图法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并会利用图形平移和对称变换解决一些有关问题. 三、教学重难点解析教学重点：正弦函数、余弦函数的图象，“五点作图法”作简图. 教学难点：正弦函数、余弦函数图象的应用. 四、教学过程分析（一）创设情境师：前面我们学习过任意角的三角函数，那么我们先来回顾一下，任意角的三角函数的定义是什么？生：代数定义：若角α的终边与单位圆的交点坐标设为P （x,y ），则ααcos ,sin ==x y ；几何定义：由点P 向x 轴引垂线，垂足为M ，则有向线段ααcos ,sin ==OM MP .课件展示：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有：MP y ==αsin ，OM x ==αcos有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线.师：这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数sin y x =（或cos y x =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R.遇到一个新的函数，我们非常自然的是画出它的图象.观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助于图象研究它的性质.所以本节课我们就来研究下正弦函数、余弦函数的图象.设计意图：采用温故知新的方式，不仅可以调动学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了知识上与思想上的准备.（二）探究图象师：作函数图象的方法有哪些？ 生：①列表描点法；②图象变换法探究一：如何作出函数R x x y ∈=,sin 的图象？1.先画sin ,[0,2]y x x π=∈的图象，选取哪些点？作图准确吗？2.如何较为精确的描点呢？先让学生在[]π2,0∈x 内尝试描点作图.教师先肯定学生的思维和方法的正确性，然后再指出不足和可以改进的几点如，指出2322、是无理数，坐标描点不够精确.教师抛出问题：如何较为精确的表示正弦值呢？设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，为再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验.师：下面我们观察动画演示.（动画演示）利用三角函数线画]2,0[,sin π∈=x x y 的图象.设计意图：通过观察作图，让学生体会如何画正弦函数的图象. 师生共同探讨如何扩展到整个定义域内的图象.利用诱导公式一：)(sin )2sin(Z k x k x ∈=+π,只要将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象向左、右平行移动（每次π2个单位长度），就可以得到正弦函数R ,sin ∈=x x y 的图象.探究二:如何作出函数R x x y ∈=,cos 的图象？ 师：你能得到余弦函数的图象吗？生：根据诱导公式)2sin(cos π+=x x ,可以把正弦函数R x x y ∈=,sin 的图象向左平移2π个单位长度，即得余弦函数R x x y ∈=,cos 的图象. 教师动画演示正弦函数和余弦函数的图象，并总结：正弦函数sin y x =的图象和余弦函数cos y x =的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．设计意图：使学生经历类比正弦函数图象作图过程，体验知识的产生形成过程让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.探究三:如何快捷地作出正弦函数、余弦函数的图象？师：是不是每次作图都需要把12个点都画出来呢？能不能找几个关键点，减少作图的时间？正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，哪些点起关键作用？ 生：图象的最高点(2π,1)，图象的最低点(23π,-1)，函数图象与x 轴的交点(0,0)，(π,0)，(2π,0).师：余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，哪些点起关键作用？ 生：图象的最高点(0,1)，(π2,1)，图象的最低点(π,-1)，函数图象与x 轴的交点(2π,0)，(23π,0). 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图．（三）例题探究画出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的简图.设计意图：通过例题检验学生对五点作图法的掌握情况，同时教师强调答题步骤来提高学生的解题规范.教师追问：还有其它方法得到所求函数的图象吗？学生小结：函数值加减，图象上下移动；自变量加减，图象左右移动. （四）展示自我1.用五点法作出]2,0[,cos π∈-=x x y 的简图；2.用五点法作出]611,6[,sin ππ-∈=x x y 的简图.设计意图：总结出五点作图法的关键点有时候并不是一定只取五个. （五）挑战自我3.判断方程4cos xx =的根的个数.设计意图：通过这道题，让学生掌握利用两个函数图象的交点判断方程解的个数，同时让学生再次体会图象的特征. 五、课堂小结这节课你有什么收获？有什么疑惑？设计意图：在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象的认知.培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系.教师总结：同学们，观察正弦函数余弦函数的图象，我们可以发现，它们的图象不仅重复而且对称，不是平稳向前，而是有起有伏，这些变化中一定蕴藏着某种规律.这就是我们下节课要学习的正弦函数、余弦函数的性质. 六、布置作业1.书面作业：课本第46页习题1.4：A 组第1题 2.预习作业：课本第34-35页 正弦函数、余弦函数的性质：周期性.设计意图：根据本节课教学的重点和难点，让学生在数学上都得到发展.预习作业有助于学生更好把握下节课的内容与本节课之间的联系.板书设计§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、函数siny x x R=∈的图象二、函数cosy x x R=∈的图象三、五点作图法四、例题探究五、展示自我1、2、3、六、挑战自我6。
【教案】正弦函数、余弦函数的图像教学设计(第1课时)必修第一册
课题：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第一课时）一、教学内容：正弦函数、余弦函数的图像二、教学目标：（一）、了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．达成上述目标的标志是：学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期［0,2π］内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因；能说出正弦函数、余弦函数图象的五个特殊点，并能用五点法绘制正弦函数的图象.（二）、正、余弦函数图象的区别与联系达成上述目标的标志是：先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到只要将函数y=sinx图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y=cosx的图象.（三）、正、余弦函数图象的简单应用．达成上述目标的标志是：会用“五点法”作出与正、余弦函数相关的函数简图．三、教学重点及难点（一）重点：正弦函数、余弦函数的图象．（二）难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法；探究正、余弦函数图象间的联系．四、教学过程设计问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案. 预设的答案如下.研究的线路图：函数的定义——函数的图象——函数的性质.绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，再画正弦函数y=sinx，x∈R的图象．设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个内容的学习进程，形成整体观念.问题2:在［0,2π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？师生活动:方法1：一起作图探讨，如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.追问：如何科学地将单位圆上每一点对应的图像画出？师生活动:若把x轴上从0到２π这一段分成12等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．方法2：利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象.设计意图：通过正弦函数的定义，得到点的坐标，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.进一步熟悉，描点连线成图，即点动成线的作图过程.问题3:根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R 的图象吗？师生活动:由诱导公式一可知，函数y=sinx，x∈［２kπ，２（k＋１）π ］，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx，x∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =sinx ， x ∈R 的图象（图5.4.4）．知识梳理：正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve ），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问：确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动:观察图5.4.3，在函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，−1)，（2π，0） 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．知识梳理：在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种作图方法近似地称为“五点（画图）法”，今后作简图是非常实用的．设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.问题4:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象吗？师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系 研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x+π2)得，y=cosx=sin(x+π2),x∈R．追问1：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？师生活动:函数y=sin(x+π2),x∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx，x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.设(x0,y0）是函数y=cosx图象上任意一点，则有y0=cosx0=sin(x0+π2).令x0+π2=t0，则y0=sinxt0，即在函数y=sinx图象上有对应点（t0，y0）.比较两个点：（x0，y0）与（t0，y0）.因为x0+π2 =t0即x0=t0-π2.所以点（x 0，y 0）可以看做是点（t 0，y 0）向左平移π2个单位得到的，只要将函数y =sinx 图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y =cosx 的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y =cosx ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线（cosinecurve ）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两 个函数图象之间的联系性的认识.问题5:类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出y =cosx ，x ∈［－π，π］的简图吗?师生活动:画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到余弦曲线的简图．设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”． 问题6:例题分析：如何用“五点法”作出下列函数的简图？(1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝-cos x ，x ∈[0,2π].师生活动:老师点拨：在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．预设学生：在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．追问：你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cos x，x∈[0,2π] 的图象？师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法"画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.五、课堂小结1．正弦函数和余弦函数的图象．正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数最高点、最低点与x轴的交点．3．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．六、目标检测设计（一）课前预习整理1、正弦曲线和余弦曲线1．可以利用单位圆中的______线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做__________和__________．整理2、正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图 “五点法”作图的一般步骤是______⇒______⇒______. 设计意图:预习知识，引发思考．（二）课堂检测1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．用“五点法”画出y ＝cos （3π2－x ），x ∈[0,2π]的简图．设计意图:强化知识目标3 课后作业：（1）教科书第200页练习题.（2）习题5.4/1.设计意图：巩固知识，提升动手操作能力.七、教学反思。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
正弦函数与余弦函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义及其在直角坐标系中的图象。
2. 掌握正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、对称性、奇偶性等。
3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义及图象。
2. 正弦函数和余弦函数的周期性及其应用。
3. 正弦函数和余弦函数的对称性及其应用。
4. 正弦函数和余弦函数的奇偶性及其应用。
5. 正弦函数和余弦函数的性质在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象与性质。
2. 难点：正弦函数和余弦函数性质的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。
2. 利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，增强学生的直观感受。
3. 运用例题解析，引导学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
4. 开展小组讨论，促进学生对正弦函数和余弦函数性质的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入：通过实例引入正弦函数和余弦函数的图象和性质。
2. 讲解：讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。
3. 演示：利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，引导学生观察和分析。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固正弦函数和余弦函数的性质。
5. 应用：运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
7. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对正弦函数和余弦函数定义、图象和性质的理解程度。
2. 练习题：评估学生运用正弦函数和余弦函数性质解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评估学生在团队合作中提出观点、分析问题和解决问题的能力。
七、教学反馈与调整：1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对正弦函数和余弦函数图象与性质的掌握程度。
2. 针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和讲解。
3. 调整教学方法和进度，确保学生能够扎实掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。
正弦函数、余弦函数的图象-教学设计【教学参考】
中学课时教案第周第课时签审：签审日期：年月日教学过程教一、情景引入：“单摆漏斗的沙的轨迹”阅读课本，想一想：1.该曲线是什么曲线？2.有办法画出该曲线的图象吗？根据沙漏我们可以直观的看出正弦以及余弦函数的图象，那么接下来就用已经学过的正弦线画出比较精确的正弦函数的图象.二、新课探究探究1：利用正弦线画出比较精确的正弦函数的图象（1）得到函数y=sin x，x∈[0,2π）的图象（2）得出y=sin x, x∈R的图象由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以y=sin x，x∈[0，2π）y=sin x，x∈[2kπ,2(k+1)π）， k∈Z且k≠0的图象形状完全一致.只要将y=sinx，x∈[0，2π）的图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到y=sinx，x∈R的图象.我们称之为正弦曲线.学过程探究2：作余弦函数y=cosx,x∈R的图象（教师注意引导过程）根据y=cosx=sin(x+π/2)，可将函数y=sinx，x∈R向左平移π／2个单位就可得y=cosx，x∈R的图象.我们称之为余弦曲线.探究3：五点法（教师引导学生找出关键点）（1）画出正弦曲线y=sin x，x∈[0，2π]上的图象的五个关键点分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；（2）画出余弦曲线y=cos x，x∈[0，2π]上的图象的五个关键点分别为(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接.【例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1+sin x， x∈[0，2π]；(2)y＝－cos x，x∈[0，2π].思路点拨：列表：让x的值依次取0，π2，π，3π2，2π→。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(教案)
正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】知识与技能：1．了解利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；2．会用“五点法”作正弦、余弦函数的简图；3．了解正弦曲线与余弦曲线之间的关系．过程与方法：学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，了解用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点.情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想.【教学重点】五点法画正弦函数、余弦函数的图象．【教学难点】用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．【教学方法】讲授、启发、诱导发现教学．【教具】多媒体、实物投影仪【教学实录】一．课题导入师:同学们，通过前面的学习，我们知道，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应。
由这个法则所确定的函数y=sin x (或y=cos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，师: 正弦函数和余弦函数的定义域是多少？生：定义域为R师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图象来研究它的性质。
那么以往我们作函数图象最基本的方法是什么？生：描点法师: 这节课我们来研究正弦函数和余弦函数的图象。
（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）下面我们首先来研究正弦函数y=sin x，x∈[0,2π]的图象。
二．讲授新课1．利用单位圆中的正弦线作函数的图象师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？生：列表、描点、连线．师:那么在列表的时候往往存在这样一个思维方式，首先给出函数的定义域是什么，要在定义域内选取适当的自变量，什么叫适当的自变量呢？一般地，如果我们能知道函数的基本形状，我们就选取影响函数形状的关键点，用这些点列表，再描点，再连线就得到了它的草图。
就比如说，我们所学习的y =sin x 在[0,2π]的图象如何作，因为我们还不知道这个函数的样子如何？那么我们就只有尽量在[0,2π]内多选一些自变量，我们可以选哪些呢？生1：0，2π，π，32π，3π，6π 生2：30︒，60︒，45︒，生3：56π，23π，2π师：非常好，也就是我们可以尽量多选取[0,2π]内的特殊角，然后得到相应的函数值，再在直角坐标系内描点，最后再用平滑的曲线把它们连起来。
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《正弦函数和余弦函数的图象》教学设计作者：邢晓燕来源：《中国信息技术教育》2017年第04期创新整合点适当选用信息技术，突出重点，突破难点：①课上播放Flash动画“绳子抖动”和视频“简谐运动”，将教学内容以实例展开，使学生对正弦曲线和余弦曲线有一个直观的印象，体会数学在生活中的应用。
②a.演示自制PPT课件，帮助学生理解利用正弦线画y=sinx，x∈[0，2π]的图象的方法，使问题变得直观，易于突破难点；b.演示几何画板课件，呈现随着等分点的增加，出现的变化情况；c.演示平移任意角正弦线所得图象。
通过a、b、c三步演示，结合设计问题，在探究过程中，提高学生对研究过程的参与程度，突破学习难点。
③演示PPT课件，呈现由正弦曲线得到余弦曲线的过程，引导学生体会图象变换方法；呈现正弦曲线和余弦曲线的异同，进一步明确图象的特点；帮助学生寻找确定图象的关键点，为“五点法”作图做好铺垫。
④利用几何画板的动态演示功能，对例题的教学进行变式与深化。
使用信息技术有效地突出重点，突破难点。
教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》（人教A版）第一章第四节第一课时的内容。
正弦函数、余弦函数图象的学习，为正弦函数和余弦函数的性质、正切函数的图象与性质、函数图象的研究做准备，是《三角函数》一章的重要内容，是高考的重点考查内容。
学情分析从学生知识看，在《数学（必修1）》中，学生已经学习了指数函数、对数函数和幂函数等，熟悉研究函数的基本思路，学生清楚研究函数性质必须借助函数图象，对本节内容的学习非常重视。
学生在学习了三角函数定义、诱导公式和三角函数线的基础上，在以往研究函数图象经验的指导下，可以实现对正弦函数和余弦函数的图象特征进行探究。
从学生现有的学习能力看，通过以往对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。
通过教师启发式引导，学生能完成本节课的学习。
教学目标知识与技能目标：借助单位圆中的正弦线画函数y=sinx，x∈[0，2π]图象；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，能利用图象解决一些简单问题；逐步把握正弦函数、余弦函数图象的形状特征，明确图象间关系。
过程与方法目标：通过正弦函数、余弦函数图象的获得，经历直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，在这一过程中，培养数形结合思想、由特殊到一般思想。
情感态度与价值观目标：在探索与互动交流的过程中，在主动参与学习的过程中，获得良好的学习体验和情感体验。
教学环境与准备PPT课件、几何画板课件、Flash动画、电子白板。
教学过程环节1：创设情境通过播放Flash动画“绳子抖动”（如下页图1）和视频“简谐运动”（如下页图2），使学生对正弦函数和余弦函数的图象有直观印象，揭示课题，给出正弦函数、余弦函数定义：①函数y=sinx叫正弦函数，定义域为R；②函数y=cosx叫余弦函数，定义域为R。
设计意图：利用信息技术创设情境，将教学内容以实例展开，使学生了解知识产生的背景，同时体会到数学来源于生活。
环节2：图象画法师：我们研究函数的基本思路是什么？教师启发学生思考，归纳定义，画出图象，观察图象，总结性质，继而进行性质的应用。
设计意图：引导学生使用研究函数的基本思路来研究三角函数。
（1）代数描点法作图问题1：用代数描点法作函数图象的步骤是什么？如何用代数描点法作图？学生列表、描点、连线（如图3），并发现点、的纵坐标可由三角函数值表查出，但数值不够精确，导致描点后所画图象误差大，考虑几何方法。
设计意图：引导学生，使其发现使用代数描点法画图，误差较大，从而引出几何描点法的必要性。
（2）几何描点法作图问题2：如何用几何方法在直角坐标系中作出点？教师引导学生采用平移正弦线的方法（如图4），在坐标系中描点，再验证为正弦函数y=sinx图象上的点。
设计意图：在引导学生分析正弦函数图象上的点（x，y）与单位圆中的圆心角x及其对应的正弦线y之间关系的基础上，利用单位圆中的正弦线，描出正弦函数图象上的一个点C，为用几何描点法作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象做准备，为攻克难点做准备。
问题3：如何用几何描点法画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象？学生知道需要描出更多点，教师用自制PPT课件演示作图过程。
学生用几何描点法作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象（如图5），步骤如下：第一步：在x轴上取点O1，以O1 为圆心作单位圆交x轴于点A，以A为起点将单位圆12等分；第二步：在x轴非负半轴上，以O为起点取长度为2π的线段，将线段12等分，每个等分点对应刚才的一个角；第三步：单位圆中作出角的终边，作出相应正弦线；第四步：平移正弦线，使起点与x轴上的点重合，得到13条正弦线的13个终点；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx，x∈[0，2π]的图象。
教师演示自制PPT课件，呈现用平移正弦线的方法作出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象过程，在演示过程中，设计问题，引导学生参与分析过程，攻克难点。
设计意图：通过演示课件（将单位圆12等分），呈现用平移正弦线的方法绘制函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的过程，通过设计问题，学生口答，提高学生对研究过程的参与程度，更为有效地攻克教学难点。
接着，教师演示几何画板课件，学生观察随着等分点的增加，出现的变化情况。
问题4：刚才是把单位圆12等分，下面看看增加等分数，会有什么变化？学生观察几何画板课件（如上页图6、图7、图8）发现：随着等分数（n=16、35、100）的增加，点越来越密集，精确度越来越高，越接近曲线形状。
师：我们已经将单位圆100等分，点非常密集，接近曲线形状，所描的点都是具体的点，那么，对于任意角平移正弦线，会怎样呢？教师演示几何画板课件（如图9、图10），呈现平移任意角正弦线的结果。
设计意图：利用正弦线画y=sinx，x∈[0，2π]的图象，是本节课的难点之一，教师通过演示PPT课件和几何画板课件，结合设计问题，引导学生思考，提高学生对探究过程的参与程度，有效地攻克教学难点。
问题5：怎样才能得到y=sinx， x∈R的图象？学生思考，并回答：因为终边相同角的同一三角函数值相等，即sin（x+k·2π）=sinx，k∈z，也就是给x加上2π的整数倍所得正弦值与原来一样，所以y=sinx，x[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象的形状完全相同，只是位置不同。
于是，只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象。
设计意图：通过问题形式，引发学生思考如何由y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到y=sinx，x∈R的图象，教师对学生的猜想追问依据，对学生的回答进行补充，可以从正弦线“周而复始”的变化规律解释，也可以从诱导公式解释，继而利用PPT课件演示平移的过程，对猜想予以验证。
（3）图象变换法作图问题6：如何借助正弦函数图象作出余弦函数的图象？学生思考，并口答：由于y=cosx=sin（+x），而y=sin（+x），x∈R的图象可以由正弦函数y=sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度得到，因此只需将函数y=sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度就可以得到函数y=cosx，x∈R的图象。
余弦函数y=cosx，x∈R的图象，也叫余弦曲线（如图11）。
设计意图：通过问题形式引发学生思考，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，继而使用PPT课件演示平移的过程，使学生明确应用图象变换作出y=cosx，x∈R 的图象的方法。
问题7：正弦曲线和余弦曲线有何异同？如何区分？学生思考，并回答：正弦曲线和余弦曲线形状相同，位置不同（如上页图12），当x=0时，sinx=0，cosx=1。
设计意图：通过问题形式引发学生思考正余弦曲线的异同，为正余弦函数的性质的学习做准备。
采用学生判断之后教师操作验证的方式，利用PPT课件直观呈现，通过对比，帮助学生认识正弦函数、余弦函数图象的形状特征，区分图象间关系。
（4）“五点法”作图问题8：你有什么办法，可以很快画出正弦函数在整个定义域上的图象？学生思考后得到认知：先很快画出y=sinx，x∈[0，2π]图象，再平移即可。
对于画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象，代数描点法误差大，几何描点法精确但步骤繁琐，要寻求新的方法。
师生共同探讨后得出结论：找出体现图象形状特征的关键点，用平滑曲线连接，取点原则是保持图象形状，不改变性质。
这些关键点是图象的最高点、最低点和与x轴的交点，坐标分别是（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）（如上页图13）。
设计意图：引出五点法画图的必要性，明确y=sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈R图象间的关系。
利用PPT的动画功能，凸显“五点”，使学生进一步明确图象特征，为“五点法”作正余弦曲线做准备。
师：只要描出这五个点，y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状就基本确定了，以后先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就能得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。
当精确度要求不太高时，常采用五点法。
下面，请画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象。
学生利用五点作图法为大家演示作图（如图14），完成后阐述作图体会及作图的注意事项，其他同学补充（或对出现的错误进行纠正），教师对其总结。
设计意图：培养学生动手操作能力，明确作图的注意事项。
问题9：你能类比刚才的作法，作出y=cosx，x∈[0，2π]的图象吗？学生观察图象，得出五个关键点是（0，1）、（，0）、（π，-1）、（，0）、（2π，1）。
师：请画出y=cosx，x∈[0，2π]的图象。
学生动手作图（如图15），教师总结。
设计意图：类比正弦函数，学会用“五点法”作y=cosx，x∈[0，2π]的简图，巩固“五点法”作简图的方法，培养学生动手实践能力。
环节3：效果检测教师出示例题1：画出函数y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象；学生作图。
教师引导学生反思研究函数y=1+sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈[0，2π]的图象之间有何联系，将定义域扩充为R呢？教师利用几何画板动画验证学生的猜想，并总结：函数y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象可由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向上平移1个单位得到；定义域扩充为R后道理相同。
教师进一步深化：y=k+sinx。
设计意图：例题1采用了学生动手作图、反思研究、总结、深化四个环节，使学生在主动参与学习的过程中，通过作图巩固“五点法”，通过反思研究复习图象变换，通过变式培养思维的广度与深度。