18.1.2 第3课时 三角形的中位线
18.1.2三角形中位线
1、已知：如图E、F分别为AB、AC的中点， (1)若∠B=65°， 则∠AEF = 6。5°
(2)若BC =10cm，则EF = 5 ㎝。
A
(3)若EF =6cm， 则BC =12 cm。
E
F
B
C
2.图中有平行四边形吗? 中点
中点
中点
拓展应用
3、已知如图所示，在ABC中， AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证： AE、DF互相平分.
复习与回顾
1、三角形中线的定义 在三角形中，连接一个顶点和它的对
边中点的线段叫做 三角形的中线。
2、画出△ABC中所有的中线
A
DE称做三 角 形的什么呢？
中点D
中点E
B
中点F
C
探究新知
1、你能给“三角形中位线”下一个定义吗？
定义：连接三角形两边中点的线
段叫做三角形的中位线。
A
2、三角形的中位线 与中线有什么区别？
所以四边形BCFD是平行四边形 则有DE//BC,DE= EF= 1 BC
2
三角形中位线定理：三角形中位线平行于 第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理有两个结论： （1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半。
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。
D
A E
DE和边BC关系
B
C
位置关系：DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
议一议
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E
是AC的中点。
则有：DE∥BC,Biblioteka DE 1 BC 2A
分析:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
18.1.2_三角形中位线定理
平行线间的距离处处相等
∟
∟
∟
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
（1）如图，S BC AE CD AF （2）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。
F
A E D F
A
D
B
C
E
B
C
练习： 1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有 （ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A E
C
5
10 O C
D
D B F
1、已知，如图AD是△ABC的中线，EF是 中位线，求证：AD与EF互相平分
A
E
F
B
D
C
练习： 6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的 一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、 BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结 OF . A D 求证：AB＝2OF.
D
C
E
B
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M A D F
B N
E
C
练习： 3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点， 过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点. 求证：四边形AECF是平行四边形.
㎝.
C
D
E
平行四边形--三角形的中位线定理
18.1.2(3.1)--三角形的中位线定理一．【知识要点】1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
二．【经典例题】1．如图3，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= °．2.如图，点分别是三边上的中点．若的面积为12，则的面积为 ．3.如图，E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予以证明。
4.如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD=BC ，∠CBD=45°，∠ADB=105°，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。
D E F ，，ABC △ABC △DEF△5.如图，∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，点E在BC上，CD=CE，点P，M，N分别为AB，AD，BE 的中点，试探究:PM与PN之间的数量关系和位置关系.6.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．8B．7C．6D．57．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接DC，点M，P，F分别为DE，DC，BC的中点，△ADE可以绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，则△PMF的面积S的变化范围是．三．【题库】【A】1.在ABCD中，点O是对角线AC.BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=______________．2．如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离= ．3.如图，A.B两点被池塘隔开，在AB外选一点C ，连结AC 和BC，并分别找出AC 和BC的中点M.N，如果测得MN=20 m，那么 A.B两点的距离是，依据是．4.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.【B】1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，AB CDO E交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长为 ．3．如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（ ） A. 2 B. 3 C.25D. 4 4.已知：三角形的各边分别为8cm ,10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长_____. 5. 如图，ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．【C 】1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为 （ ） A ．17B ．16C ．15D ．142．如图，在矩形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、DC 上的点，E 、F 分别是AP 、PQ 的中点．BC =12，第24题图FE DCBADQ =5，在点P 从B 移动到C （点Q 不动）的过程中，则下列结论正确的是 ( )A. 线段EF 的长逐渐增大,最大值是13B. 线段EF 的长逐渐减小，最小值是6.5C. 线段EF 的长始终是6.5D. 线段EF 的长先增大再减小，且6.5≤EF ≤133.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠C ＝60°，∠ABD ＝30°AE ⊥BD 于点E ，F 是CD 的中点. 求证：四边形AEFD 是平行四边形.3.如图①，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4cm ，E ，F ，G 分别是AB ，AA 1，AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm 2．4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交于点E ，F ，现给出一下四个结论：①AE ＝CF ，②△EPF 是等腰直角三角形，③S 四边形AEPF＝，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时始终有EF ＝AP （点E 不与A 、B 重合），上述结论中是正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【D 】1.已知,在平行四边形ABCD 中,连接对角线AC , ∠CAD 的平分线AF 交CD 于点F ，∠ACD 平分线CG 交AD 于点G, AF.CG 交于点O,点E 为BC 上一点,且 ∠BAE=∠GCD, （12分） (1)如图1,若△ACD 是等边三角形,OC=2 ,求平行四边形ABCD 的面积; (2)如图2,若△ACD 是等腰直角三角形∠CAD=90O, ,求证：CE + 2 OF = AC:2.（绵阳2018年第18题）如图，在△ABC 中，3=AC ，4=BC ,若AC ，BC 边上的中线BE ，垂直相交于O 点，则=AB __________。
人教版八年级数学下册18.1.3三角形的中位线(教案)
2.注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们在解决问题时的分析能力。
3.更多地鼓励学生参与课堂讨论和实践活动，提高他们的合作意识和交流能力。
4.针对学生的个体差异，制定更具针对性的教学计划，帮助每个学生克服学习难点。
b.难点2：对于定理应用范围的识别，可以通过设置不同类型的题目，让学生练习识别三角形中位线的模型，如隐藏在复杂图形中的中位线，或是需要通过添加辅助线才能发现的中位线。
c.难点3：设计练习题时，从基础题开始，逐步增加难度，如先让学生计算已知中位线长度的三角形边长，再让学生解决需要证明中位线性质的问题，最后进行一些综合性的应用题目，让学生在解决问题的过程中逐步深化对中位线定理的理解。
5.培养学生的合作意识和交流能力：设置小组讨论和课堂交流环节，促进学生合作探究，提升表达和交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形中位线的定义：理解三角形中位线是连接顶点和对边中点的线段，强调中位线是三角形内部的一条特殊线段。
-中位线定理：掌握中位线平行于第三边，并且等于第三边长度的一半的性质，能够准确运用定理进行计算和证明。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形中位线的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，加深了对三角形中位线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课解三角形中位线的基本概念。三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段，它具有平行于第三边且等于第三边长度一半的性质。这一性质在解决三角形相关问题中具有重要作用。
人教版八下数学 18.1.2 第3课时 三角形的中位线
DF∥BE且交BC于点F. 求∠1的大小.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=70°，∴∠ADC=∠ABC=70°，
∴AD∥BC，∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠EBC=70°÷2=35°，
2
A
D
E
B
C
状元成才路
拓展延伸
如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB 上的中线，BD与CE相交于点O，试探究BO与OD 的大小关系.(提示：分别取OB、OC的中点M、N)
解：OB=2OD， 如图，取OB、OC的中点M、 N，连接EM、MN、ND.∵E、D 分别为△ABC的中点，
状元成才路
解：∵ ABCD的对角线互相平分，
（OC=
1 2
AC，OD=
1 2
BD），
且和为36，
∴OC+OD=
1 2
（AC+BD）=
1 ×36=18，
2
又∵ ABCD的对边相等，∴DC=AB=11，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29.
答：△OCD的周长为29.
状元成才路
4.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD 上，且AF=CE. 求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF 都是平行四边形.
∴AD＝∥ EF，EF＝∥ BC， ∴AD＝∥ BC， ∴四边形ABCD是平行四边形.
状元成才路
7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面
积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？
人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《 三角形的中位线》教学设计
人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《三角形的中位线》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《三角形的中位线》是初中数学的重要内容，主要介绍了三角形的中位线的性质和作用。
本节课的内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及特殊三角形的性质的基础上进行学习的，为后续学习三角形的全等、相似等知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质以及特殊三角形的性质，具备了一定的观察、分析、推理的能力。
但是，对于三角形的中位线的性质和作用，以及如何运用中位线解决问题，学生可能还不够了解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、推理等活动，发现并理解三角形的中位线的性质，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的中位线的性质，能够运用中位线解决问题。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、推理的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中位线的性质。
2.难点：如何运用中位线解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等活动，发现并理解三角形的中位线的性质。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.三角板。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同的特点？你想到了哪些与三角形有关的性质？2.呈现（10分钟）利用PPT展示三角形的中位线的定义和性质，引导学生观察并思考：三角形的中位线有什么特殊的性质？它们之间有什么关系？3.操练（10分钟）学生分组合作，利用三角板和直尺，画出三角形的中位线，并测量它们的长度。
然后，引导学生进行推理：如何证明三角形的中位线等于第三边的一半？4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导。
三角形的中位线(第3课时)(教案)八年级数学下册(人教版)
18.1.2第三课时三角的中位线一、核心素养目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、教学重点、难点重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线.难点：中位线定理的证明方法.三、教学过程做一做你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？探究观察上图，你能发现△ABC 的中位线DE 与边BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与BC 之间有什么数量关系？猜想：DE ∥BC ，且DE=21BC. 动态演示定理证明如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点.求证：DE ∥BC ，且DE=21BC. 证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF.∵ AE=EC ，DE=EF∴ 四边形ADCF 是平行四边形∴ CF ∥BD ，CF=BD∴ 四边形DBCF 是平行四边形∴ DF ∥BC ，DF=BC又∵ DE=21DF ∴ DE ∥BC ，且DE=21BC 你还有其它证法吗？证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连接FC.∵ AE=CE ，∠AED=∠CEF∴ △ADE ≌△CFE (SAS)∴ AD=CF ，∠ADE=∠F∴ AD ∥CF∴ BD ∥CF ，BD=CF∴ 四边形BCFD 是平行四边形∴ DF ∥BC ，DF=BC又∵ DE=21DF ∴ DE ∥BC ，且DE=21BC 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.几何符号语言：∵ DE 是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC ，且DE=21BC. 练习1.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？解：连接DE ，DF ，EF ，可以得到，□DECF ，□BEFD ，□ADEF ，3个平行四边形.理由如下：∵ DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线∴ DE ∥AC ，DE=21AC ，DF ∥BC ，DF=21BC ，EF ∥AB ， EF=21AB ∴ DE ∥FC ，DE=FC ，DF ∥BE ，DF=BE ，EF ∥AD ，EF=AD∴ 四边形DECF ，BEFD ，ADEF 是平行四边形2.如图，直线 l 1∥l 2，在 l 1，l 2上分别截取AD ，BC ，使AD=BC ，连接AB ，CD. AB 和CD 有什么关系？为什么？ 解：AB ∥CD ，AB=CD. 理由如下：∵ l 1∥l 2∴ AD ∥BC又∵ AD=BC∴ 四边形ABCD 是平行四边形3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，测量出DE的距离，然后根据三角形的中位线定理可知AB=2DE.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思本节课，通过做一做引出三角形的中位线，又从动画演示和理论上进行了验证中位线的性质定理.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。
18.1.2三角形的中位线
变式：如图,在四边形
AOBC中,D、E、F、G、 分别是AO、0B、BC、CA G 的中点，四边形DEFG是 什么四边形？为什么？
F O D E E B
结论： 顺次连结四边
A 形各边中点所得四边形 是平行四边形。
D O
（全效47页第15题）
（全效45页例2）
如图四边形ABCD为平行四边形，AD＝a， BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点． (1)求证：DF＝FE； (2)若AC＝2CF，∠ADC＝60°，AC⊥DC， 求BE的长．
例1：已知： D、E、F分别为△ABC的边AB、
AC、BC的中点。
A D B F E
（3）若△ABC的面积是 20，则 △DEF的面是 5 ，
△DEF的面积是△ABC的面积的 1/4 。
C
(4）连结AF，则AF是△ABC的 中线 ，AF与DE的 互相平分 关系是_______ 结论:（1）三角形三条中位线围成的三角形周长是原三角 形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一 。 （2）三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
回忆：三角形的中线
在三角形中，连结一个顶点和它的对边中 点的线段叫做 三角形的中线。
两个中点D、 E的连线段DE叫 什么呢？
中点 D
A
E中点
顶点 B
C顶点
先看图，再认真思考答问题： 1、你能给“三角形中位线”下一个定义吗？
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、一个三角形有几条中位线？ 答：三条。 3、三角形的中位线与中线有什么区别？ 中点 D 答：中位线是连结三角 形两边中点的线段； 中线是连结一个顶点和 B 它的对边中点的线段。 F
; 。
18.1.2三角形的中位线(教案)
还有一个值得注意的问题是，课后我问了几个学生关于今天学习的难点，他们表示在理解中位线性质证明的部分感到困难。这提醒我，可能需要专门安排一节课，用更多的时间来详细讲解和演练这个证明过程，让学生们能够逐步消化这个难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）源自1.讨论主题：学生将围绕“三角形中位线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
我也观察到，在小组讨论环节，学生们对于将三角形中位线应用到实际问题中表现出很大的兴趣。他们提出了很多有创意的想法，这让我感到非常欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论时偏离了主题，这可能是因为我对讨论方向的引导不够明确。在接下来的教学中，我会更加注意引导学生的讨论，确保他们的思考能够围绕核心知识点进行。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形中位线的定义、性质和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对三角形中位线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-掌握三角形中位线的性质：重点强调中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
八年级数学下册第十八章平行四边形平行四边形平行四边形的判定三三角形的中位线教案新人教
18.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线一、教学目的：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE ∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵ AH=HD，CG=GD，∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴ HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC 的周长是 cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列各式：2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1m （x+y ）中，是分式的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】3x x +，a b a b +-，()1x y m +分母中含有字母，因此是分式； 2a b-，5yπ+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选C ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式． 2．已知 21x y =⎧⎨=⎩是方程组 1,{ 5.ax by x by -=+=的解，则a 、b 的值分别为（ ）A ．2 , 7B ．－1 , 3C ．2 , 3D ．－1 , 7【答案】C 【解析】把 2{1x y ==代入方程组 1,{5.ax by x by -=+=，得 21,{2 5.a b b -=+=，解得2{3a b ==. 故选C.3 ） A ．﹣3 B ．3或﹣3C ．9D ．3【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，(0)(0)a a a a ⎧=⎨-<⎩．|3|3=-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式2a 化简规律：当a ≥0时，2a ＝a ；当a ≤0时，2a ＝﹣a ． 4．如图，在44⨯的正方形网格中，123∠∠∠，，的大小关系是（ ）A ．123∠>∠>∠B ．123∠=∠>∠C ．123∠<∠=∠D ．123∠=∠=∠【答案】B【分析】利用“边角边”证明△ABG 和△CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ABG=∠DCH ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CBG=∠BCH ，从而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM ，结合图形判断出∠BCH>∠EDM ，从而得到∠2>∠3，即可得解．【详解】解：如图，∵BG=CH ，AG=DH ，∠AGB=∠CHD=90°， ∴△ABG ≌△CDH ， ∴∠ABG=∠DCH ， ∵BG//CH ， ∴∠CBG=∠BCH ， ∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM ， 但∠BCH>∠EDM ， ∴∠2>∠3， ∴∠1=∠2>∠3， 故选B ． 【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定和性质；把∠1、∠2、∠3拆成两个角，能利用全等三角形和平行线得出相关角相等，是解题关键．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A．352294x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．354494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：①（2a + b）(m + n)；②2a(m + n)+b(m + n)；③m(2a+ b)+n(2a + b)；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【答案】D【分析】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．【详解】①（2a+b）（m+n），本选项正确；②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；④2am+2an+bm+bn，本选项正确，则正确的有①②③④．故选D ． 【点睛】此题考查了整式乘法，灵活计算面积是解本题的关键． 7．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（ ） A ．m+2＞n+2 B ．2m ＞2nC ．＞D ．m 2＞n 2【答案】D【解析】试题分析：A 、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B 正确； C 、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C 正确；D 、当0＞m ＞n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D 错误； 故选D ．【考点】不等式的性质．8．用反证法证明命题：“在△ABC 中，∠A 、∠B 对边分别是a 、b ，若∠A>∠B ，则a>b”时第一步应假设（ ）． A ．a < b B ．a = bC ．a ≥ bD ．a ≤ b【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在ABC 中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则.a b >” 第一步应假设a b ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9．将100个数据分成①-⑧组，如下表所示： 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数4812241873那么第④组的频率为（ ） A ．0.24 B ．0.26 C ．24 D ．26【答案】A【分析】先根据数据总数和表格中的数据，可以计算得到第④组的频数；再根据频率＝频数÷总数进行计算．【详解】解：根据表格中的数据，得第④组的频数为100−（4＋8＋12＋1＋18＋7＋3）＝1，所以其频率为1÷100＝0.1． 故选：A ． 【点睛】本题考查频数、频率的计算方法．用到的知识点：各组的频数之和等于数据总数；频率＝频数÷总数． 10．若方程322133x mxx x-++=---无解，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．-1或53- C ．3 D ．-1或3【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程后，分析无解的情况，求得m 值．【详解】方程两边乘最简公分母3x -后，合并同类项，整理方程得()12m x +=-，若原分式方程无解，则10m +=或3x =， 解得1m =-或53-． 【点睛】本题考查分式方程无解的两种情况，即：1.解为增根．2.整式方程无解 二、填空题11．在实数范围内，使得3x +有意义的x 的取值范围为______． 【答案】3x ≥-【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内，使得3x +有意义， 则1+x≥0， 解得：x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于【答案】6【解析】试题分析：由全等可知：AH ＝DE ，AE ＝AH ＋HE ，由直角三角形可得：222AE DE AB +=，代入可得.考点：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等 13．若2·8n ·16n ＝222，求n 的值等于_______． 【答案】1【分析】将8和16分别看成342,2 代入，然后再根据同底数幂的运算法则运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：34222(2)(2)2nn ，即：1342222n n，∴172222n ，∴1722n，解得：3n =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =且//AD BC ，8AB =，5AD =，AE 平分DAB ∠交BC 的延长线于F 点，则CF =_________．【答案】3 ；【分析】由//AD BC ，AE 平分DAB ∠，得到∠EAB=∠F ，则AB=BF=8，然后即可求出CF 的长度. 【详解】解：∵//AD BC ， ∴∠DAE=∠F ， ∵AE 平分DAB ∠， ∴∠DAE=∠EAB ， ∴∠EAB=∠F ， ∴AB=BF=8，∵5AD BC ==，∴853CF CF BC =-=-=； 故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握所学的性质，得到AB=BF.15．一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 是常数）的图像如图所示．则关于x 的方程4kx b +=的解是_______．【答案】x=1【分析】根据一次函数y=kx+b 与y=4轴的交点横坐标即为对应方程的解． 【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=4的交点坐标是（1，4）， ∴关于x 的方程kx+b=4的解是：x=1 故答案为x=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解两条直线交点的横坐标即为对应方程的解是解答本题的关键．16．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．【答案】（323【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P （3232）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．【答案】1或83．【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得x值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出x值【详解】当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝1．当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝41.5＝83故答案为1或83．【点睛】本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算三、解答题18．解方程组（1）212x y y x -=⎧-=⎨⎩（2）()12513xy x y⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩【答案】（1）{35x y ==；（2）2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】（1）先用①+②算出x,再带入求y 即可；（2）先用②×2-①算出x,再带入求y 即可.【详解】（1）212x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①+②，得x=3，把x=3代入②得：y-3=2，解得：y=5，所以原方程组的解为：{35x y ==；（2）整理得：2252x y x y ①②+=⎧⎨+=-⎩②×2-①得：9x=-6，解得：x=23-，把x=23-代入①得：-23+2y=2，解得：y=4 3所以方程组的解为：2343xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.19．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．【答案】证明见解析．【分析】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠1=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．【详解】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠1．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠1=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，21D CAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形和全等三角形，是解题的关键．20．老陶手机店销售A 型和B 型两种型号的手机，销售一台A 型手机可获利1200元，销售一台B 型手机可获利1400元．手机店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍设购进A 型手机x 台，这100台手机的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式．（2）该手机店购进A 型、B 型手机各多少台，才能使销售利润最大．【答案】（1）200140000y x =-+，（2）25台A 型手机，75台B 型手机．【分析】（1）由总利润等于销售A ，B 型手机获得的利润之和，从而可得答案；（2）由B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍列不等式求解x 的范围，再利用函数的性质求解最大的销售利润即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：()12001400100200140000y x x x =+-=-+．（2）根据题意得：1003x x -≤，解得25x ≥，200140000y x =-+，2000-<，y ∴随x 的增大而减小， x 为正整数，∴当25x =时，y 取最大值，则10075x -=，即商店购进25台A 型手机，75台B 型手机才能使销售利润最大．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．21．如图，已知正比例函数12y x =和一个反比例函数的图像交于点(2A ，)m ．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若点B 在x 轴上，且△AOB 是直角三角形，求点B 的坐标．【答案】（1）2y x =；（2）点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先由点A 在正比例函数图象上求出点A 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）由题意可设点B 坐标为（x ，0），然后分∠ABO=90°与∠OAB=90°两种情况，分别利用平行于y 轴的点的坐标特点和勾股定理建立方程解答即可．【详解】解：（1）∵正比例函数12y x =的图像过点（2，m ）， ∴m=1，点A （2，1），设反比例函数解析式为k y x=， ∵反比例函数图象都过点A （2，1），∴12k =，解得：k=2， ∴反比例函数解析式为2y x=； （2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 坐标为（x ，0），若∠ABO=90°，则B （2，0）；若∠OAB=90°，如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则222OA AB OB +=，∴()2222121x x ++-+=，解得：52x =，∴B 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上，点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握正比例函数与反比例函数的基本知识是解题的关键． 22．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 是BC 边上的中点，怎样求AD 的取值范围呢？我们可以延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，然后连接BE （如图①），这样，在△ADC 和△EDB 中，由于AD DE ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB ，∴AC＝EB ，接下来，在△ABE 中通过AE 的长可求出AD 的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE -<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD ∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BDCDN BDE DN ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN ⊥=EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN =在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF -<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE ∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC ∴GAE CBE ∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBEAE BE AEG BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC ∴==,BC CF DF AD==CF DF BC AD AG AD∴+=+=+，即CD GD=GE CE=CE ED∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．23．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE= 12 AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE ，∴△ADF ≌△CEF(AAS)，∴DF=EF ；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，得到△AEC ，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC ．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CE 12=AC ． ∵点G 是AC 的中点，∴CE=AG=EG=AD ，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG ，∴AD ∥GE ，∴四边形ADEG 是菱形．【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．先化简（22444a a a -+-﹣2a a +）÷12a a -+，再从a≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值． 【答案】21a --，1 【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解． 【详解】解：原式＝2(2)2(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+-⋅⎢⎥-++-⎣⎦， 22()221a a a a a a -+=-⋅++-， 2221a a a +=-⋅+-， 21a =--. ∵a≤1的非负整数解有0，1，1，又∵a≠1，1，∴当a ＝0时，原式＝1．【点睛】此题考察分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.25．已知一次函数y=2x+b.(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b 的值;(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b 的值.【答案】（1）±4；（2）5【解析】（1）分别求出一次函数y=2x+b 与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b 的值；（2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b 求出b 的值．【详解】解：（1）令x=0代入y=2x+b ，∴y=b ，令y=0代入y=2x+b ，∴x=-2b ， ∵y=2x+b 的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴12×|b|×|-2b |=4， ∴b 2=16，∴b=±4；（2）联立214y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得：13x y =-⎧⎨=⎩， 把（-1，3）代入y=2x+b ，∴3=-2+b ，∴b=5，【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b 的值，本题属于基础题型．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，P 是AD 上任意一点，连接BP 、CP 并延长分别交AC 、AB 于点E 、F ，则图中的全等三角形共有（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判断及性质可知有以下7对三角形全等：△ABD ≌△ACD 、△ABP ≌△ACP 、△ABE ≌△ACF 、△APF ≌△APE 、△PBD ≌△PCD 、△BPF ≌△CPE 、△BCF ≌△CBE ．【详解】①∵AB AC =，D 是BC 的中点，由等腰三角形三线合一可知：BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥，∴()ABD ACD AAS ≌②由AB AC =，BAD CAD ∠=∠,AP AP =，∴(ABP ACP SSS ≌）③由②可知，ABE ACF ∠=∠，∵ABE ACF ∠=∠，AB AC =，BAE CAF ∠=∠，∴()ABE ACF ASA ≌④由③可知，AFP AEP ∠=∠，∵AFP AEP ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，AP AP =∴()APF APE AAS ≌⑤由①可知，ADB ADC ∠=∠，BD CD =，又∵PD PD =，∴()PBD PCD SAS ≌⑥由③⑤可知，AFP AEP ∠=∠，BP CP =，∴BFP CEP ∠=∠ ，又∵BPF CPE ∠=∠ ，()BPF CPE AAS ≌⑦由⑤可知BCF CBE ∠=∠，由⑥可知BFP CEP ∠=∠，又∵BC CB =∴()BCF CBE AAS ≌∴共7对全等三角形，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS SAS AAS ASA HL 、、、、）是解题的关键．2．周长38cm 的三角形纸片ABC （如图甲），AB AC =,将纸片按图中方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE （如图乙），若DBC ∆的周长为25cm ，则BC 的长为（ ）A ．10 cmB ．12cmC ．15cmD ．13cm【答案】B 【分析】由折叠的性质可得AD=BD ，由△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，可列出两个等式，可求解．【详解】∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，∴AD=BD ，∵△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，∴AB+AC+BC=38cm ，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm ，∴AB=13cm=AC∴BC=25-13=12cm故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．32，26，210，…，10，按下列方式进行排列：，2，；4，，…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，1 ）A ．（5，4）B ．（4，4）C ．（4，5）D ．（3，5）【答案】B…∵19×2＝38，4行，第4个数字．故选：B ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．4．下列算式中，正确的是（ ）A ．a 4•a 4＝2a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2【答案】D【分析】根据同底数相乘（或相除），底数不变指数相加（或相减）；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．【详解】解：A 、原式＝a 8，故A 错误．B 、原式＝a 3，故B 错误．C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，故C 错误．D 、原式＝9a 4b 2，故D 正确故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式．5．如图，在OAB 和OCD 中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明()AOC BOD SAS ≌，即可证明AC BD =;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ,再证明()OCG ODH AAS ≌即可证明MO 平分BMC ∠.【详解】解：∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD 中，OA OBAOC BOD OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOC BOD SAS ≌，∴,OCA ODB AC BD ∠=∠=，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：,AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG 和ODH 中，OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OCG ODH AAS ≌，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确；正确的个数有3个；故选B ．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 6．用科学记数法表示0.0000018=（ ）A ．61.810-⨯B ．61.810⨯C ．51.810-⨯D ．71810-⨯【答案】A【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000018=61.810-⨯．故选A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．如图，在ABC 中，点D 是BC 延长线上一点，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B 等于（ ）．A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【答案】D 【分析】利用外角的性质解答即可．【详解】∵ ∠ACD ＝∠B ＋∠A ，∴∠B ＝∠ACD －∠A ＝120°－70°＝50°，故选：D ．【点睛】本题考查外角的性质，属于基础题型．8．如图，为了弘扬中华民族的传统文化，我校开展了全体师生学习“弟子规”活动．对此学生会就本校“弟子规学习的重要性”对1000名学生进行了调查，将得到的数据经统计后绘制成如图所示的扇形统计图，可知认为“很重要”的人数是（ ）。
18123三角形的中位线定理教案
18.1.2 平行四边形的判定（第3课时）课时说明：本节课主要研究三角形两边中点的连线——三角形的中位线的定义及其性质，拓展学生对于平行四边形判定定理的运用，体会数学中的转化思想.学习目标：（1）灵活地运用平行四边形的判定定理；（2）了解三角形中位线的定义，利用平行四边形的判定定理证明其性质定理，体会数学中的转化思想；（3）灵活地运用三角形中位线性质解决实际问题.学习重点：三角形中位线性质的证明与应用.复习引入：问题1：什么是三角形的中线？在一个三角形中有多少条中线？答：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线；在一个三角形中共有三条中线.问题2：三角形的中线有哪些性质？答：①三角形的中线平分一个三角形的面积；②三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心.探究新知：探究1：如果把一个三角形分割成四个全等的三角形，请问你是如何切割的？（答案如右图）追问：图中有几个平行四边形？你是如何判定的？抽象图形：探究2：如果将探究1所得的图形进行简化，可以看作是将三角形两边中点的连线. 如右图，线段DE 和边BC 之间有什么关系？（三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线）推理论证：猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.如（探究2）图，已知点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC. 证法1：（教材P48详解）证法2：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．问题3：三角形的中位线性质是什么？在一个三角形中有多少条中位线？答：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；在一个三角形中有三条中位线.问题4：你能够证明前面探究1中的四个三角形全等吗？基础练习：1.（填空）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20 m ，那么A ，B 两点的距离是 m ，理由是 ．2.如图，在平行四边形ABCD 中，AD=8，点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，则EF= .例题讲解：例1：如图（1），在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：因为已知点E ，F ，G ，H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连接AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．变式：已知：如右图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．AC、BC的中点，BF=2，BD=3，求平行四边形BDEF的周长.学案检测：1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC、AB的中点，则EF=（）A. 3B. 4C. 8D. 62.如右图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC，交AB于点E，若BC=4，则EB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.如下图，在矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、PR的中点，当点P在BC上从点B向C移动而R不动时，则下列结论成立的是（）A. 线段EF 的长度逐渐增大B. 线段EF 的长度逐渐减小C. 线段EF 的长度不会改变D. 线段EF 的长度不能确定。
18.1.2 三角形中位线定理 正式稿3
证明： 取AB的中点G，连接CG，DG.
∴ AB=2AG． ∵ AB∥CD，AB=2CD ， ∴ AG∥CD，AG=CD． ∴ 四边形AGCD是平行四边形． 又 E是AC的中点， ∴ E是DG的中点．
同理 F是CG的中点． ∴ EF是△GCD的中位线． ∴ CD=2EF．
练习 如图，已知AD是△ABC的中线，E为AC上 一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE. 求证：BF=AC.
八年级 下册
18.1.2 三角形中位线定理
复习导入
平行四边形的性质？ 边： 平行四边形的对边平行.
平行四边形的对边相等. 角： 平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线： 平行四边形的对角线互相平分.
复习导入
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？ 具体有哪些方法？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
证明：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，CG. ∵ AD是△ABC的中线， ∴ BD=DC． 又 DG=AD， ∴ 四边形ABGC是平行四边形． ∴ AC∥BG， AC=BG． ∴ ∠EAF=∠BGF．
∵ AE=FE， ∴ ∠AFE =∠EAF． ∵ ∠AFE=∠BFG， ∴ ∠BGF=∠BFG． ∴ BF=BG． ∴ BF=AC．
A
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=11，OC
1
AC，OD
1
B
BD.
又∵AC＋BD=36， 2
2
∴OC+OD= 1 (AC＋BD)=18.
∴△OCD的周2 长为OC+OD+CD=18+11=29.
O C
11. 如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC，∠ABC与 ∠B′有什么关系？线段AB′与线段AC′呢？为什么？
18.1.2 第3课时 三角形的中位线
∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法 2：证明：延长 DE 到 F，使 EF=DE．连接 FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE_____△CFE． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形 BCFD 是___________________. ∴DF_______BC.
7.如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F 分别为 AB，CD 的中点， 求 EF 的长．
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6
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、AC 的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；
（2）已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8，则△ DEF 的周长为_____________.
5
教学备注
4.在△ABC 中，E、F、G、H 分别为 AC、CD、 BD、 AB 的中点，若 A D=3，BC=8，则四边形 EFGH 的周长是______________.
例 5 如图，等边△ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使
CF= 1求证：DE=CF； （2）求 EF 的长．
4
教学备注 配套 PPT 讲授 3.探究点 2 新 知讲授 （见幻灯片 19-25）
针对训练
1. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，点 D，E，F 分别是 AB，BC，
三角形的中位线定理的应用
新人教部编版初中八年级数学18.1.2 第3课时 三角形的中位线
目
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要点归纳 典例导学 当堂检测
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知识要点 三角形的中位线 三角形的中位线
连接三角形两边 中点 的线段叫做 定义
三角形的中位线.
长冲中位线
基本图形
三角形的中位线平行于
证明：连接 AC. ∵G，H 分别是 CD，DA 的中点， ∴HG∥AC，HG＝12AC. 同理 EF∥AC，EF＝12AC， ∴GH∥EF，GH＝EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
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方法点拨：当题目中出现线段的中点时，一 般连接这些中点，考虑用三角形的中位线定 理来解决.本题还可以再连接 BD，利用两组 对边互相平行的四边形是平行四边形来解决.
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例 如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别 是 AB，BC，CD，DA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
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分析：
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1.如图，DE 是△ABC 的中位线.若 BC＝8，则 DE 的长为( B )
A.2 B.4 C.6
D.8
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2.如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 点 E 是边 AD 的中点.若 OE＝3，则 CD 的长为 6 .
八年级下册数学教学课件18.1.2 第3课时 三角形的中位线
A
D
Hale Waihona Puke EBC猜想：位置关系：DE//BC 数量关系：DE＝12 BC
课程讲授
1 三角形的中位线
探究：如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点.
求证：DE//BC，
DE=
1 2
BC.
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC， A
DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF，
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
三角形的中位线
新知导入
想一想：平行四边形的判定有哪些？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平
行
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
四
边 形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
新知导入
做一做：请同学们按要求画图： 画任意△ABC中，画AB，AC边中点D，E，连接DE．
A
D
E
B
C
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫 做三角形的中位线．
课程讲授
1 三角形的中位线
探究：如图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置
随堂练习
2.(中考·营口)如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC， 若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是 (C ) A．∠ECDAECF ＝112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC＝30° D．AB＝ 2CD
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18.1.2 平行四边形的判定
第3课时三角形的中位线
1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是() A．18米B．24米C．28米D．30米
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE ＝60°，则∠C的度数为()
A．50°B．60°C．70°D．80°
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()
A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 3
4．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC 的周长为10，则△DEF的周长为____．
5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD 的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.
6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．
(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；
(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？
证明你的猜想．
7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；
(2)请证明你的结论．
8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关
10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．
11．如图，△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．
12．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．
13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点
H.求证：GH∥BC且GH＝1
2BC.
15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF＝GC.
方法技能：
1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．
2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．
3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．
易错提示：
对三角形中位线的意义理解不透彻而出错
答案：
1. C
2. C
3. A
4. 5
5. 8
6. (1) 20
(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中
点，∴DE∥AB，DE＝1
2AB，AF＝
1
2AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四
边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形
(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝1
2AC，GH∥AC
且GH＝1
2AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形
8. D
9. C
10. 2
11.
1 22016
12. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝1
2BD，EH∥BD，同理可证FG＝
1
2BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边
形EFGH是平行四边形
13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND ＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41
14. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE
的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝1
2BC
15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝1
2AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB
＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝1
2DC＝
1
2AB，∴FH＝EC，
∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。