《几何基础》第4章教学辅导

第4章教学辅导
为了便于学习者方便、快捷地掌握《几何基础》的主要内容，本文精选了《几何基础》课程的26个类型题进行讲解．重点讲解解题技巧、关键步骤、所用的理论、要注意的问题． 第４章 射影变换
1．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使
1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．
解 [理论]利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系3
1
x x x =
，3
2x x y =
和简比公式BC AC ABC =)(．
这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ， 设),(y x C =， 利用BC AC ABC =
)(．则
11
5
-=+-x x ，解得2=x ， 10
1-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,21
,2(．
因为B A C 2
1
21+=
，所以 1=λ． [说明]１）B A C μλ+'=，代入点得
)0,1()1,5()2
1
,2(-+'=μλ，
运算得
⎪⎩⎪
⎨⎧'=-'=λμλ2
152，
解得
21='λ，2
1=μ， 于是
1='
=
λμ
λ． ２）将1=λ代入B A C λ+=，得
)
1,4()0,1()1,5()0,1()1,5()2
1
,2(=-+=-+=λλ，
是否矛盾？ 实际上，)1,4()2
1
,
2(22==C ，C 2与C 表示同一点的齐次坐标． [注意] 以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐
次坐标可以表示为
B A B A X λλ
μ
'+=+
=． 实际是
B A X λλ
'+=1
．
2．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．
解 [理论] 两直线0332211=++x a x a x a 与0332211=++x b x b x b 的交点为
=3
2
132
1
3
2
1b b b a a a u u u ),,(122131132332b a b a b a b a b a b a --- 两点),,(321a a a 与),,(32b b b 的连线为
=3
2
132
1
3
21b b b a a a x x x 0)()()(312212311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a [注意]两直线0143=++y x 与02=+y x 的齐次坐标形式分别为
043321=++x x x ，0221=+x x ，
交点为
1
2
143
321u u u )5,2,1(--= 于是，过点)5,2,1(--与点)0,1,2(的直线方程为
12
521
3
21
--x x x 05105321=--=x x x
即 05105321=--x x x ，
或 02321=--x x x ．
3．设D B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ， 求点C 的坐标．
解 [理论] 定理 4.6，四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则
=
),(cd ab 2
1
λλ． 因为)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则由
D B A ==+)1,0,1(2
1
21， 于是12=λ．
设B A C 1λ+=，已知2),(2
1==λ
λ
CD AB ，
于是得21
=λ，
所以
B A
C 2+=)3,1,3(-=．
[注意] 以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次
坐标可以表示为B A B A X λλ
μ
'+=+
=． 4．求证)1,3(1P ，)5,7(2P ，)4,6(3P ，)7,9(4P
成调和共轭． 解 [注意] 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法．
解法１ [理论] 四点1P ，2P ，3P ，4P
成调和共轭的充要条件是),(4321P P P P 1-=． ),(4321P P P P )
)(()
)((14232413x x x x x x x x ----=
1-=
所以，)1,3(1P ，)5,7(2P ，)4,6(3P ，)7,9(4P
成调和共轭． 解法２ [理论]利用定理4.1 ， 取A ，B 为基点，将A ，B ，C ，D 四点的坐标
依次表示为a ，b ，b a 1
λ
+，b a 2
λ
+，则),(CD AB 2
1λ
λ
=
．
1P ，2P ，3P ，4P 的齐次坐标分别为)1,1
,3(1P ，)1,5,7(2P ，)1,4,6(3P ，)1,7,9(4P ，可以将3P ，4P 写作)4,16,24(3P ，)2,14,18(4---P ，于是由定理4.1，
2133P P P +=，2143P P P
-=， 所以
),(4321P P P P 3
3
-=
1-=． 5．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XZ 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．
证明 [理论]利用定理4.9 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过
这个对角点的两边和对角三角形的两边．
定理4.10 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点． 如图，对四线形ABCD ，根据定理4.10 可知，在对角线AC 边上的四点L Y C A ,,,调
和共轭，即1),(-=YL AC ．
在四点形YBZL 中，LB 与YZ
交于N ，
设MN 与YL 交于C '，由定理4.9可知，过对角点 M 有一组调和线束，即MA 、C M '和MY 、ML 于是1),(-='YL C A ，所以，点C 应与点C '
重合，即CM BL YZ ,,共点．
6．若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ，Q ，R ，二顶点B 与C 各在定直线上移动，求证顶点A 也在一条直线上移动．
证明 [理论]利用定理4.15 两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的
公共线自对应．
定义4.10 若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应．
如图所示，取Q 为透视中心，则 Λ),,,(21 B B B ),,,(21 C C C ， 于是 Λ),,,(21 B B B P ),,,(21 C C C R ． 在这两个射影线束中，PR 是自对应元素， 所以，由定理4.15，
Λ),,,(21 B B B P ),,,(21 C C C R ，
题图
第5题图
第6A
由定义4.10，两个透视对应的线束对应直 线的交点 ,,,21A A A 共线，即顶点A 也在一 条直线上移动．。