第30、31课时 函数模型及其应用
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
函数模型及其应用
函数概念与基本初等函数
选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图； (2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象； (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳 函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
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第二章
函数概念与基本初等函数
[通关练习] 1．某公司为确定下一年度投入某种产 品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位： 千元)对年销售量 y(单位：t)的影响． 根 据近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销 售量 y 关于年宣传费 x 的函数模型最适合( A．y＝ax＋b C．y＝a· bx B．y＝a＋b x D．y＝ax2＋bx＋c )
第二章
函数概念与基本初等函数
函数模型的应用
[典例引领] 1 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1＋k2)x2(k>0) 20 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有 关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)， 其飞行高度为 3.2 千 米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说 明理由．
答案：B
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第二章
函数概念与基本初等函数
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 C．甲、乙两人的速度相同
答案：D
B．乙比甲跑的路程多 D．甲比乙先到达终点
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第二章
函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人 员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时， 奖励 4 万元． 若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x ＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________ 万元．
函数模型及其应用
函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示 解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0，使0xa <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二 教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元 答案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 . 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h 与时间t 的函数关系为h ＝130t －5t 2，则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]解析 令h ≥0，解得0≤t ≤26，故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只. 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1).当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一 用函数图像刻画变化过程1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像是( )答案 B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图像所给数据，逐个验证选项.根据图像知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对. 思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 题型二 已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟.答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.答案 4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q 2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.答案 5解析 根据图像求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝米.答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5 760.综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6 104万美元.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是 . 答案 300解析 由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元. 答案 3 300解析 设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升 答案 B解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A.85元 B.90元 C.95元 D.100元答案 C解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大.4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280)， 则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年 答案 D解析 设从2016年起，过了n (n ∈N ＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3D.26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.7.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时). 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 所以当x ＝20时，S max ＝400.10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元， 则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96， 匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ， 即v ＝40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x ＝ . 答案5－12解析 由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 14.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0， 解得0<x <150. 依题意，单套丛书利润 P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x＝x －100150－x－30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0<x <150， 所以150－x >0， 则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )12th⎛⎫⎪⎝⎭，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要 min. 答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃， 得37－21＝(85－21)·1612h⎛⎫⎪⎝⎭，∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫⎪⎝⎭，∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图像，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4； 由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时).。
函数模型及其应用教案
函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。
三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。
四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。
五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。
六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。
而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。
今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。
2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。
数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。
（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。
它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。
（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。
指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。
3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。
函数模型及其应用
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4 x
y y=xn =x
y=ax =a o 1 x
y=logax =log
例１． 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日 销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本， 若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1)，则每个蛋糕的出厂价相应提 高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利 润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y. （Ⅰ）写出y与x的关系式； （Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？
函数模型及其应用
所谓“模型” 通俗的解释就是一种固定的模式或类型 所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定的模式或类型 我们学过的几类常见的函数模型有： 我们学过的几类常见的函数模型有：
这些函数的解析式、 这些函数的解析式、 图象、性质， 图象、性质，以及增 长趋势的差异你都掌 握了吗？ 握了吗？
函数来源于实际又服务于实际， 函数来源于实际又服务于实际，客观世 界的变化规律， 界的变化规律，常需要不同的数学模型来描 这涉及到函数的应用问题. 述，这涉及到函数的应用问题
练习２ 练习２： 我国工农业总产值计划从2000年到 年到2020年翻两番，设平均每年增长率为，则 年翻两番， １．我国工农业总产值计划从 年到 年翻两番 设平均每年增长率为， （ ） 20 20 20 19 A. (1 + x) = 4 B． (1 + x) = 3 C． (1 + x ) = 2 D． (1 + x) = 4 ． ． ． 有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量 年后翻两番， 年后翻两番， ２．有一片树林现有木材储蓄量为 ，要力争使木材储蓄量20年后翻两番 即达到28400 cm3．（ ）求平均每年木材储蓄量的增长率．（ ）如果平均每年 ．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（ ．（2） 即达到 ．（ 增长率为8%，几年可以翻两番？ 增长率为 ，几年可以翻两番？
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
函数模型及其应用复习课件
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
指数与对数互化
01
指数式与对数式的互化
指数式y=a^x可以转化为对数式x=log_a(y)，对数式y=log_a(x)可以转
化为指数式a^y=x。
02
指数方程与对数方程的解法
解指数方程时，可以通过两边取对数的方法将方程转化为对数方程；解
对数方程时，可以通过换底公式将方程转化为指数方程。
03
指数函数与对数函数的复合
三角函数图像与变换
三角函数的基本图像 （正弦函数、余弦函 数、正切函数等）
复合三角函数的图像 与性质
图像的平移、伸缩、 对称等变换
三角函数在实际问题中应用
01
02
03
04
利用三角函数模型解决周期性 问题（如振动、波动等）
利用三角函数模型解决最值问 题（如角度最大、距离最短等
）
利用三角函数模型解决与角度 有关的问题（如方向角、仰角
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
高中数学 函数模型及其应用
高中数学：函数模型及其应用在数学的世界里，函数是一个重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
而在高中数学中，函数模型及其应用成为了学生们必须掌握的重要内容。
一、函数模型的理解函数，对于很多人来说，可能是一个复杂的概念。
但实际上，函数却是极其普遍的存在。
在我们的日常生活中，函数无处不在。
比如，身高随着年龄的增长而增长，这就是一个函数关系。
在这个例子中，年龄是自变量，身高是因变量。
再比如，购买商品时，价格随着数量的增加而增加，这里数量是自变量，价格是因变量。
函数模型，就是用来描述这种变量之间关系的数学工具。
它将生活中的各种关系，转化为数学公式，使我们能更好地理解和分析这些关系。
二、函数模型的应用函数模型的应用广泛存在于我们的生活中。
比如，在商业领域，公司需要根据市场需求和价格来决定生产量。
这就需要使用函数模型来预测市场的趋势，从而做出最佳的决策。
在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数模型，它描述了力、质量和加速度之间的关系。
而在生物学中，细胞分裂的模型也是一个函数，它描述了细胞数量随时间的变化情况。
三、高中数学中的函数模型在高中数学中，我们主要学习了一些基本的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
这些函数模型可以帮助我们解决生活中的很多问题。
比如，线性函数可以帮助我们解决速度和时间的问题，二次函数可以帮助我们解决几何图形的问题，而指数函数和对数函数则可以帮助我们解决增长和衰减的问题。
四、总结函数模型是高中数学中的一个重要内容。
它不仅可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们更好地理解这个世界。
因此，学生们应该积极学习函数模型及其应用，努力提高自己的数学素养。
高中数学函数的概念课件课件标题：高中数学函数的概念课件一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
讲函数模型及其应用课件
土木工程、航空航天工程等，通过建立数学模型，可以模拟和分析各种
工程系统的性能和行为。
函数模型在人工智能领域的应用
机器学习 机器学习是人工智能领域的一个重要分支，函数模型在机 器学习中扮演着重要的角色，如线性回归、逻辑回归、支 持向量机等算法都是基于函数模型的。
深度学习 深度学习是机器学习的一种，它通过建立复杂的神经网络 模型来模拟人类的学习过程，神经网络的训练和优化过程 实际上就是求解一系列的函数模型。
函数模型可以用来描述自然规律 和现象，例如气候变化、生态平
衡、物种繁衍等。
科学研究
在自然科学领域中，函数模型广 泛应用于各种科学实验和研究中，
例如物理学、化学、生物学等。
预测和预防
通过建立函数模型，科学家可以 预测自然灾害和环境变化，并采
取相应的预防措施。
工程领域中的应用
机械设计
在机械设计中，函数模型可以用来描述力学、热 学等物理现象，例如压力、温度等。
函数模型的优化与改进
参数调整
根据实际需求和数据反馈，调整 模型中的参数以优化模型性能。
模型融合
将多个模型进行融合，综合多个模 型的优点，提高模型的预测精度。
模型泛化
通过增加数据集、改进模型结构等 方式，提高模型对未知数据的预测 能力。
04
函数模型的实际应用案例
经济领域中的应用
描述经济现象
投资决策分析
三角函数模型的应用
三角函数模型在物理学中有广 泛应用，如描述简谐振动、交 流电等周期性变化的现象。
在解决几何问题时，三角函数 也常被用于计算角度、长度等 量，如正弦定理、余弦定理等。
三角函数模型还可以用于信号 处理、图像处理等领域，如傅 里叶变换等。
函数函数模型及其应用课件
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
讲函数模型及其应用课件
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
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在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
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三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。
题型1：一次函数模型因一次函数y二kx b（k = 0）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当k 0时，函数值的增长特点是直线上升；当k ： 0时，函数值则是直线下降。
例1:某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台，B地8台。
已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元，从乙地到A地、B地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x台至A地，求总运费y关于x的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的方案和最低运费题型2:二次函数模型二次函数y =ax2• bx • c （a=0）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k.0）。
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。
例3:某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
(新课标)人教版高中教材目录
(新课标)人教版高中教材目录——数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换1必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式======================================================== 选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图2选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线3选修4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式4(新课标)人教版高中教材目录——政治必修1 经济生活【第一单元生活与消费】第一课神奇的货币揭开货币的神秘面纱信用工具和外汇第二课多变的价格影响价格的因素价格变动的影响第三课多彩的消费消费及其类型树立正确的消费观综合探究正确对待金钱【第二单元生产、劳动与经营】第四课生产与经济制度发展生产满足消费我国的基本经济制度第五课企业与劳动者公司的经营新时代的劳动者第六课投资理财的选择储蓄存款和商业银行股票、债券和保险综合探究做好就业与自主创业的准备【第三单元收入与分配】第七课个人收入的分配按劳分配为主体多种分配方式并存收入分配与社会公平第八课财政与税收国家财政征税和纳税综合探究提高效率促进公平【第四单元发展社会主义市场经济】第九课走进社会主义市场经济市场配置资源社会主义市场经济第十课社会发展观和小康社会的经济建设全面建设小康社会的经济目标又好又快科学发展第十一课经济全球化与对外开放面对经济全球化积极参与国际经济竞争与合作综合探究经济全球化与中国5【第一单元公民的政治生活】第一课生活在人民当家作主的国家人民民主专政：本质是人民当家作主政治权利与义务：参与政治生活的基础和准则政治生活：有序参与第二课我国公民的政治参与民主选举：投出理性一票民主决策：作出最佳选择民主管理：共创幸福生活民主监督：守望公共家园综合探究有序与无序的政治参与【第二单元为人民服务的政府】第三课我们政府是人民的政府政府的职能：管理与服务政府的责任：对人民负责第四课我国政府受人民的监督政府的权力：依法行使权力的行使：需要监督综合探究政府的权威从何而来【第三单元发展社会主义民主政治】第五课我国的人民代表大会制度人民代表大会：国家权力机关人民代表大会制度：我国的根本政治制度第六课我国的政党制度中国共产党执政：历史和人民的选择中国共产党：以人为本执政为民共产党领导的多党合作和政治协商制度：中国特色的政党制度第七课我国的民族区域自治制度及宗教政策处理民族关系的原则：平等、团结、共同繁荣民族区域自治制度：适合国情的基本政治制度我国的宗教政策综合探究社会主义民主政治的特点和优势【第四单元当代国际社会】第八课走近国际社会国际社会的主要成员：主权国家和国际组织国际关系的决定性因素：国家利益第九课维护世界和平促进共同发展和平与发展：时代的主题世界多极化：不可逆转我国外交政策的宗旨：维护世界和平促进共同发展6【第一单元文化与生活】第一课文化与社会体味文化文化与经济、政治第二课文化对人的影响感受文化影响文化塑造人生综合探究聚焦文化竞争力【第二单元文化传承与创新】第三课文化的多样性与文化传播世界文化的多样性文化在交流中传播第四课文化的继承性与文化发展传统文化的继承文化在继承中发展第五课文化创新文化创新的源泉和作用文化创新的途径综合探究建设“学习型社会”【第三单元中华文化与民族精神】第六课我们的中华文化源远流长的中华文化博大精深的中华文化第七课我们的民族精神永恒的中华民族精神弘扬中华民族精神综合探究铸牢中华民族的精神支柱【第四单元发展中国特色社会主义文化】第八课走进文化生活色彩斑斓的文化生活在文化生活中选择第九课推动社会主义文化大发展大繁荣坚持先进文化的前进方向建设社会主义精神文明第十课文化发展的中心环节加强思想道德建设思想道德修养与科学文化修养综合探究感悟当代中国的先进文化7必修4 生活与哲学【第一单元生活智慧与时代精神】第一课美好生活的向导生活处处有哲学关于世界观的学说第二课百舸争流的思想哲学的基本问题唯物主义和唯心主义第三课时代精神的精华真正的哲学都是自己时代的精神上的精华哲学史上的伟大变革综合探究走进哲学问辩人生【第二单元探索世界与追求真理】第四课探究世界的本质世界的物质性认识运动把握规律第五课把握思维的奥妙意识的本质意识的作用第六课求索真理的历程人的认识从何而来在实践中追求和发展真理综合探究求真务实与时俱进【第三单元思想方法与创新意识】第七课唯物辩证法的联系观世界是普遍联系的用联系的观点看问题第八课唯物辩证法的发展观世界是永恒发展的用发展的观点看问题第九课唯物辩证法的实质与核心矛盾是事物发展的源泉和动力用对立统一的观点看问题第十课创新意识与社会进步树立创新意识是唯物辩证法的要求创新是民族进步的灵魂综合探究坚持唯物辩证法反对形而上学【第四单元认识社会与价值选择】第十一课寻觅社会的真谛社会发展的规律社会历史的主体第十二课实现人生的价值价值与价值观价值判断与价值选择价值的创造与实现综合探究坚定理想铸就辉煌思想政治选修1 科学社会主义常识思想政治选修2 经济学常识思想政治选修4 科学思维常识思想政治选修5 生活中的法律常识思想政治选修6 公民道德与伦理常识8(新课标)人教版高中教材目录——历史必修一第一单元古代中国的政治制度第一课夏、商、西周的政治制度第二课秦朝中央集权制度的形成第三课从汉至元政治制度的演变第四课明清君主专制的加强第二单元古代希腊罗马的政治制度第五课古代希腊民主政治第六课罗马法的起源与发展探究活动课“黑暗”的西欧中世纪——历史素材阅读与研讨第三单元近代西方资本主义政治制度的确立与发展第七课英国君主立宪制的建立第八课美国联邦政府的建立第九课资本主义政治制度在欧洲大陆的扩展第四单元近代中国反侵略、求民主的潮流第十课鸦片战争第十一课太平天国运动第十二课甲午中日战争和八国联军侵华第十三课辛亥革命第十四课新民主主义革命的崛起第十五课国共的十年对峙第十六课抗日战争第十七课解放战争第五单元从科学社会主义理论到社会主义制度的建立第十八课马克思主义的诞生第十九课俄国十月革命的胜利第六单元现代中国的政治建设与祖国统一第二十课新中国的民主政治建设第二十一课民主政治建设的曲折发展第二十二课祖国统一大业第七单元现代中国的对外关系第二十三课新中国初期的外交第二十四课开创外交新局面第八单元当今世界政治格局的多极化趋势第二十五课两极世界的形成第二十六课世界多极化趋势的出现第二十七课世纪之交的世界格局必修二第一单元古代中国经济的基本结构与特点第一课发达的古代农业第二课古代手工业的进步第三课古代商业的发展第四课古代的经济政策第二单元资本主义世界市场的形成和发展第五课开辟新航路第六课殖民扩张与世界市场的拓展第七课第一次工业革命第八课第二次工业革命第三单元近代中国经济结构的变动与资本主义的曲折发展第九课近代中国经济结构的变动第十课中国民族资本主义的曲折发展第四单元中国特色社会主义建设的道路第十一课经济建设的发展和曲折第十二课从计划经济到市场经济第十三课对外开放格局的初步形成第五单元中国近代社会生活的变迁第十四课物质生活与习俗的变迁第十五课交通工具和通讯工具的进步第十六课大众传媒的变迁探究活动课中国民生百年变迁（20世纪初～21世纪）──历史展览第六单元世界资本主义经济政策的调整第十七课空前严重的资本主义世界经济9危机第十八课罗斯福新政第十九课战后资本主义的新变化第七单元苏联的社会主义建设第二十课从“战时共产主义”到“斯大林模式”第二十一课二战后的苏联经济改革第八单元世界经济的全球化趋势第二十二课战后资本主义世界经济体系的形成第二十三课世界经济的区域集团化第二十四课世界经济的全球化趋势必修三第一单元中国传统文化主流思想的演变第1课“百家争鸣”和儒家思想的形成第2课“罢黜百家，独尊儒术”第3课宋明理学第4课明清之际活跃的儒家思想第二单元西方人文精神的起源及其发展第5课西方人文主义思想的起源第6课文艺复兴和宗教改革第7课启蒙运动第三单元古代中国的科学技术与文学艺术第8课古代中国的发明和发现第9课辉煌灿烂的文学第10课充满魅力的书画和戏曲艺术探究活动课中国传统文化的过去、现在与未来──历史小论文第四单元近代以来世界的科学历程第11课物理学的重大进展第12课探索生命起源之谜第13课从蒸汽机到互联网第五单元近代中国的思想解放潮流第14课从“师夷长技”到维新变法第15课新文化运动与马克思主义的传播第六单元20世纪以来中国重大思想理论成果第16课三民主义的形成和发展第17课毛泽东思想第18课新时期的理论探索第七单元现代中国的科技、教育与文学艺术第19课建国以来的重大科技成就第20课“百花齐放”“百家争鸣”第21课现代中国教育的发展第八单元19世纪以来的世界文学艺术第22课文学的繁荣第23课美术的辉煌第24课音乐与影视艺术第一单元梭伦改革第1课雅典城邦的兴起第2课除旧布新的梭伦改革第3课雅典民主政治的奠基石第一单元资料与注释第1课改革变法风潮与秦国历史机遇第2课“为秦开帝业”──商鞅变法第3课富国强兵的秦国第二单元资料与注释第1课改革迫在眉睫第2课北魏孝文帝的改革措施第3课促进民族大融合第三单元资料与注释第1课社会危机四伏和庆历新政第2课王安石变法的主要内容第3课王安石变法的历史作用第四单元资料与注释探究活动课一历史上的改革与发展10第五单元欧洲的宗教改革第1课宗教改革的历史背景第2课马丁·路德的宗教改革第3课宗教改革运动的扩展第五单元资料与注释第六单元穆罕默德·阿里改革第1课18世纪末19世纪初的埃及第2课穆罕默德·阿里改革的主要内容第3课改革的后果第六单元资料与注释第七单元1861年俄国农奴制改革第1课19世纪中叶的俄国第2课农奴制改革的主要内容第3课农奴制改革与俄国的近代化第七单元资料与注释探究活动课二古老文化与现代文明第八单元日本明治维新第1课从锁国走向开国的日本第2课倒幕运动和明治政府的成立第3课明治维新第4课走向世界的日本第八单元资料与注释第九单元戊戌变法第1课甲午战争后民族危机的加深第2课维新运动的兴起第3课百日维新第4课戊戌政变第九单元资料与注释探究活动课三改革成败的机遇与条件选修二近代社会的民主思想与实践第一单元专制理论与民主思想的冲突第1课西方专制主义理论第2课近代西方的民主思想第二单元英国议会与国王的斗争第1课英国议会与王权矛盾的激化第2课民主与专制的反复较量第三单元向封建专制统治宣战的檄文第1课美国《独立宣言》第2课法国《人权宣言》第3课《中华民国临时约法》探究活动课一撰写历史短评──试评辛亥革命和《中华民国临时约法》第四单元构建资产阶级代议制的政治框架第1课英国君主立宪制的建立第2课英国责任制内阁的形成第3课美国代议共和制度的建立第五单元法国民主力量与专制势力的斗争第1课法国大革命的最初胜利第2课拿破仑帝国的建立与封建制度的复辟第3课法国资产阶级共和制度的最终确立第六单元近代中国的民主思想与反对专制的斗争第1课西方民主思想对中国的冲击第2课中国资产阶级的民主思想第3课资产阶级民主革命的酝酿和爆发第4课反对复辟帝制、维护共和的斗争第七单元无产阶级和人民群众争取民主的斗争第1课英国宪章运动第2课欧洲无产阶级争取民主的斗争第3课抗战胜利前中国人民争取民主的斗争第4课抗战胜利后的人民民主运动探究活动课二近代时期人民对民主的追求与斗争──学习编辑历史报纸1112(新课标)人教版高中教材目录——地理必修1第一章行星地球第一节宇宙中的地球第二节太阳对地球的影响第三节地球的运动第四节地球的圈层结构第二章地球上的大气第一节冷热不均引起大气运动第二节气压带和风带第三节常见天气系统第四节全球气候变化第三章地球上的水第一节自然界的水循环第二节大规模的海水运动第三节水资源的合理利用第四章地表形态的塑造第一节营造地表形态的力量第二节山岳的形成第三节河流地貌的发育第五章自然地理环境的整体性与差异性第一节自然地理环境的整体性第二节自然地理环境的差异性必修2第一章人口的变化第一节人口的数量变化第二节人口的空间变化第三节人口的合理容量第二章城市与城市化第一节城市内部空间结构第二节不同等级城市的服务功能第三节城市化第三章农业地域的形成与发展第一节农业的区位选择第二节以种植业为主的农业地域类型第三节以畜牧业为主的农业地域类型第四章工业地域的形成与发展第一节工业的区位因素与区位选择第二节工业地域的形成第三节传统工业区与新工业区第五章交通运输布局及其影响第一节交通运输方式的布局第二节交通运输布局变化的影响第六章人类与地理环境的协调发展第一节人地关系思想的演变第二节中国的可持续发展实践必修3第一章地理环境与区域发展第一节地理环境对区域发展的影响第二节地理信息技术在区域地理环境研究中的应用第二章区域生态环境建设13第一节荒漠化的防治──以我国西北地区为例第二节森林的开发和保护──以亚马孙热带林为例第三章区域自然资源综合开发利用第一节能源资源的开发──以我国山西省为例第二节河流的综合开发──以美国田纳西河流域为例第四章区域经济发展第一节区域农业发展──以我国东北地区为例第二节区域工业化与城市化──以我国珠江三角洲地区为例第五章区际联系与区域协调发展第一节资源的跨区域调配──以我国西气东输为例第二节产业转移──以东亚为例选修1 宇宙与地球第一章宇宙第一节天体和星空第二节探索宇宙第三节恒星的一生和宇宙的演化第二章太阳系与地月系第一节太阳和太阳系第二节月球和地月系第三节月相和潮汐变化第三章地球的演化和地表形态的变化第一节地球的早期演化和地质年代第二节板块构造学说第三节地表形态的变化选修2 海洋地理第一章海洋概述第一节地球上的海与洋第二节人类对海洋的探索与认识第二章海岸与海底地形第一节海岸第二节海底地形的分布第三节海底地形的形成第三章海洋水体第一节海水的温度和盐度第二节海水的运动第四章海－气作用第一节海－气相互作用及其影响第二节厄尔尼诺和拉尼娜现象第五章海洋开发第一节海岸带的开发第二节海洋资源的开发利用第三节海洋能的开发利用第四节海洋空间的开发利用第六章人类与海洋协调发展第一节海洋自然灾害与防范第二节海洋环境问题与环境保护14第三节维护海洋权益加强国际合作选修3 旅游地理第一章现代旅游及其作用第一节现代旅游第二节现代旅游对区域发展的意义第二章旅游资源第一节旅游资源的分类与特性第二节旅游资源开发条件的评价第三节我国的旅游资源第三章旅游景观的欣赏第一节旅游景观的审美特性第二节旅游景观欣赏的方法第三节中外著名旅游景观欣赏第四章旅游开发与保护第一节旅游规则第二节旅游开发中的环境保护第五章做一个合格的现代游客第一节设计旅游活动第二节参与旅游环境保护选修4 城乡规划第一章城乡发展与城市化第一节聚落的形成和发展第二节城市化与城市环境问题第二章城乡合理布局与协调发展第一节城市空间形态及变化第二节城镇布局与协调发展第三节城乡特色景观与传统文化的保护第三章城乡规划第一节城乡规划的内容及意义第二节城乡土地利用与功能分区第三节城乡规划中的主要布局第四章城乡建设与人居环境第一节城乡人居环境第二节城乡商业与生活环境第三节城乡公共服务设施与生活环境选修5 自然灾害与防治第一章自然灾害与人类活动第一节自然灾害及其影响第三节人类活动对自然灾害的影响第二章中国的自然灾害第一节中国自然灾害的特点第二节中国的地质灾害第三节中国的水文灾害第四节中国的气象灾害第五节中国的生物灾害第三章防灾与减灾第一节自然灾害的监测与防御第二节自然灾害的求援与求助第三节自然灾害中的自救与互救15。
第30、31课时 函数模型及其应用
第30、31课时函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A 、B 距离在起步价以内时，选择第二种方案； 当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案； 当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以； 当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． ［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度 （1－ba ）10·m ％总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？ 解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）． 因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2． 总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解． 第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．5～7km B．9～11km C．7～9km D．3～5km答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）A．5B．10C．14D．15答案：C3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），∴x＝25时，S有最大值2500m2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（x N*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32 a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3 （x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．第30、31课时函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价． 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。
人教A版数学必修一第30课时 函数模型应用举例.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第30课时 函数模型应用举例课时目标1.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等社会生活中普遍使用的函数模型．2．通过实例感受函数在生活中的应用．识记强化1．常用的函数模型(1)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)指数函数模型：y ＝ma x ＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)．(3)对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)．(4)幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．2．解实际应用题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理清数量关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．某商场把某种商品按标价的八折售出，仍可获利30%，若这种商品的进价为100元，则标价是( )A ．128元B ．158元C ．162.5元D ．178元答案：C解析：设标价为x ，则实际售价为80%x ，获利30%，所以80%x －100100＝30%⇒x ＝162.5. 2．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，再用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地的最大面积为( )A.l 212B.l 23C.l 26D ．l 2 答案：A解析：设宽为x ，则长为l －3x ，故面积S ＝x (l －3x )＝－3⎝⎛⎭⎫x －l 62＋l 212有最大值l 212. 3．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．6 mD ．12 m答案：A解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·(24－4x )2＝x ·(12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S 有最大值为18.4．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )A ．0点到3点只进水不出水B ．3点到4点不进水只出水C ．4点到6点不进水不出水D ．以上都不正确答案：A解析：设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时2个进水口均打开进水但不出水，故A 正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B 不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C 不正确．5．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.m 11B.m 12C.12m －1D.11m －1答案：D6．今有一组数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似的表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2 答案：C解析：取t ＝1.99≈2，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B 得v ＝log 122＝－1≠1.5；代入C 得v ＝22－12＝1.5；代入D 得v ＝2×2－2＝2≠1.5，故选C. 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.3010)．答案：4解析：设至少要清洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x ≤1100，解得x ≥1lg 2≈3.322，所以至少要清洗4次．8．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系为________．答案：y ＝20×⎝⎛⎭⎫1920x解析：第一次倒完后，y ＝19；第二次倒完后，y ＝19×1920＝192201； 第三次倒完后，y ＝19×1920×1920＝193202； …第x 次倒完后，19x20x －1＝20×⎝⎛⎭⎫1920x . 9．如图一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针转动一周，再回到点A .若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则A ，P 两点间的距离y 与点P 运动的路程x 之间的函数关系式是________．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4解析：①当点P 在AB 上，即0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当点P 在BC 上，即1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2，所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2.③当点P 在DC 上，即2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ，根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2，所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10.④当点P 在AD 上，即3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距A 城市x km 的D 处建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最小？解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]，即y ＝152x 2－500x ＋25000(10≤x ≤90)． (3)由y ＝152x 2－500x ＋25000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋500003(10≤x ≤90)， 则当x ＝1003时，y 最小． 即当垃圾处理厂建在距A 城市1003km 时，才能使垃圾处理费用最小． 11．(13分)某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q (单位：千克)与e x 成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．(1)求该工厂的日销售利润y (单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x (单位：元)的函数关系式；(2)若t ＝5，当每千克蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 为100e 4元？解：(1)设日销量q ＝k e x (25≤x ≤40)，则k e 30＝100， ∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e 30ex (25≤x ≤40)， ∴y ＝100e 30(x －20－t )e x(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)ex ＝100e 4，则x －25＝e x －26， 根据函数y ＝x －25与y ＝e x －26的图象(如图所示)．可求得方程x －25＝e x －26的解为x ＝26，∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润为100e 4元．能力提升12．(5分)某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠的增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列选项中与沙漠增加数y (公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x 答案：C13．(15分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂单价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝(60－0.02)(x －100)＝62－x 50； 当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60 0<x ≤100，62－x 50 100<x <550，51 x ≥550，)(x ∈N ) (3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为y 元，则 y ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x 0<x ≤100，22x －x 250 100<x <550，11x x ≥550，)(x ∈N )．当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．。
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是一致的，看禁止就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。
函数模型及应用教案
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：三种函数模型
知识点二：函数模型解决实际问题
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置
ห้องสมุดไป่ตู้1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课堂小结
家长签字：日期：年月日
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
学校
年级
高一
次数
第次
科目
数学
教师
侯忠职
日期
时段
课题
函数模型及应用
教学重点
1、掌握三种函数模型知识点，能熟练所学知识解决问题
2、掌握三种函数模型的知识点，能在生活中运用三种函数模型解决实际问题
教学难点
1、三种函数模型
2、运用三种函数模型解决生活中的实际问题
教学目标
1、掌握三种函数模型，灵活解题
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第30、31课时函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A 地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A 、B 距离在起步价以内时，选择第二种方案； 当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案； 当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以； 当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． ［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度 （1－ba ）10·m ％总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？ 解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）． 因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2． 总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．5～7km B．9～11km C．7～9km D．3～5km答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）A．5B．10C．14D．15答案：C3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），∴x＝25时，S有最大值2500m2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（x N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32 a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3 （x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14t＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．第30、31课时函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价． 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。