人教版编号1 选修1-1 3.1.1 变化率问题导学案
3.1.1变化率问题
由例题二可知， 求y =f ( x)在 x，x x 上的平均变化率的一般步骤为：
第一步：先求y f ( x x) f ( x);
y f ( x x) f ( x) 第二步：计算 . x x
注意：例题二计算平均变化率的方法， 在为后一节定义导数做考：
这一节我们学习了求y =f ( x)在 x，x x 上 的平均变化率。假设x 0，那么这个
x，x x x，此时的这个平均变化率
y =f ( x)在x处的瞬时变化率。
上面这个说法对不对，请发表一下你的看法！
解：这位车手在前三秒钟内赛车车速的平均变化 率是 120 0 40 m s
30
赛车车速度的平均变化率=
速度的增量 时间的增量
问题二：回忆一下吹气球的过程，可以发现，随 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越 来越慢。请问：当空气容量V从0增加到1L时， 气球半径的平均变化率？（半径r的单位是:dm)
y f ( x2 ) f ( x1 ) = x x2 x1
表示什么？
y f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 = 表示 x x2 x1 连接两点的线段所在直线的斜率。
例题二：求函数y x2 x在区间[3,3 x]上的平均变化率。
解： y f (3 x) f (3) (3 x) 2 32
解：当空气容量V从0增加到1L时，气球半径的 平均变化率为 r (1) r (0) 0.62 dm
1 0 L
半径的增量 气球半径的平均变化率= 体积的增量
定义： 如果上述两个问题中的函数关系用 y f ( x) 表示， 那么问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 表示，我们把这个式子称为函数 y f ( x) 从 x1 到 x 2 的平均变化率。 注意：习惯上令增量y f ( x2 ) f ( x1 ) ，x x2 x1 于是， 平均变化率可以表示为 y x
人教版数学选修1-1第3章3.1.1+2
选修1-1
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念
3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。
高中数学3.1.1变化率问题教案新人教A版选修1-1
1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 2. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和
数学意义；
四 . 教学难点： 平均变化率的概念．
五 . 教学准备
1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料； 2. 向有经验的同事请教； 3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困
h（单位： m）与起跳后的
时间 t （单位： s）存在怎样的函数关系 ？
o 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h( 单位： m)与起跳后的时
t
间 t （单位： s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.
） 如何计算运动员的平均速度？并分别计 算０≤ t ≤０ .5 ，1≤ t ≤ 2， 1.8 ≤ t ≤2 ，2≤ t ≤ 2.2 ，时
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教 A 版选修 1-1
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教 A 版选修 1-1
学校： 班级： 教师： 日期：
一 . 设计思想 ：
（ 1） 用逼近的思 想 考虑问题的思考方法． （ 2）用已知探究未 知的思考方法
二 . 教学目标
1．会求函数在某点处附近的平均变化率 2．了解平均变化率的几何意义； 3．理解平均变化率的概念； 4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体 会数学的博大精深以及学习数学的意义。
③概述本章的主要内容， 以及导数工
具的作用和价值．
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教 A 版选修 1-1
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教 A 版选修 1-1
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_1
3.1.1变化率问题教学设计一、教材分析本节内容选自课程标准实验教科书人教A版选修1-1第三章第一节的内容。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
平均变化率是为了导数的引入做过渡性的铺垫，理解平均变化率并以此为基础再到瞬时变化率的过程，是理解导数思想的关键环节。
二、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．三、教学目标知识与技能：1.理解平均变化率的概念；2.通过具体的事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程.过程与方法：1.通过动手计算培养学生的观察、分析、比较和归纳能力；2.通过对实际问题的探究使学生体会从特殊到一般的数学思想.情感、态度与价值观：感受数学模型在刻画客观世界的过程，体会数学在生活中的意义与作用.四、教学重点、难点重点：平均变化率概念的归纳；难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程.五、教学方法引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率.六、教学过程（一）、合作探究探究1：问题1：2010年至2012年这2年内我国人均GDP 平均每年增加多少美元？ 2010年至2017年这7年内我国人均GDP 平均每年增加多少美元？思考1：如何从数学角度刻画2010年至2017年这7年我国人均GDP“猛增”？【设计意图】通过创设情境，引导学生感受生活中数学的意义，构建模型，归纳数学知识.探究2：现某市某年3月和4月某天日最高气温记载（注：3月18日为第一天）问题2：如何表示3月18日到4月18日、4月18日到4月20日的温度变化？思考2：如何从数学角度刻画气温“陡增”？【设计意图】：从数学实际背景出发，进一步引导学生利用现有知识解决问题，让学生意识到事物变化的快慢程度.探究3：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 问题3：当V 从0增加到1时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？思考3：如何从数学的角度描述气球的膨胀快慢？【设计意图】通过生活实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上构建新知识，深刻体会平均变化率概念的构建.问题4：由探究得出平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f (x )，如何计算其平均变化率？归纳出结论：平均变化率的概念【设计意图】让学生结合实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程.问题5： 观察函数f (x )的平均变化率xyx x x f x f ∆∆=--1212)()( ，你能联想到什么？【设计意图】从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想.（二）、精讲释疑例1：已知函数f (x ) =2x +1、g (x ) =-2x , 分别计算在区间 [-3, -1]、[0, 5]上 f (x )及 g (x )的平均变化率．思考：一次函数y =kx +b (k ≠0)在区间[m,n ]上的平均变化率有什么特点？例2：求2x y =在0x x =附近的平均变化率.（三）、训练检测1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率.（四）、课堂小结 通过节课你收获了什么？ 知识层次： 思想层次：。
高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74t (d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T (℃)210教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
二、教学目标分析1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。
三、重点与难点分析:根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。
2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。
依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情[情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_6
3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。
新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。
对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。
目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。
教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。
两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。
平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。
另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。
例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。
学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。
本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。
这也是这节课面临一个难点。
教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。
部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。
班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。
技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。
教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。
2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：3.1.2导数的概念
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念A 级 基础巩固 一、选择题1．假如函数y ＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：依据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝（2a ＋b ）－（a ＋b ）2－1＝a ＝3.答案：C2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝ 2(Δx )2＋4Δx ，所以 ΔyΔx＝2Δx ＋4. 答案：C3．始终线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，则Δs Δt为( )A. 从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度 解析：由瞬时速度的求法可知， Δs Δt表示在t 时刻时该物体的瞬时速度． 答案：B4．函数f (x )在x 0处可导，则 f （x 0＋h ）－f （x 0）h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 解析：由于f ′(x 0)＝f （x 0＋h ）－f （x 0）h，所以 f ′(x 0)仅与x 0有关，与h 无关． 答案：B5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0解析：f ′(0)＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx＝（Δx ）2－3Δx Δx＝(Δx －3)＝－3. 答案：C二、填空题6．如图，函数f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是________．解析：函数f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－33－1＝－1.答案：－17．设函数y ＝x 2＋2x 在某点的导数等于3，则该点的坐标是________． 解析：f ′(x )＝（x 0＋Δx ）2＋2（x 0＋Δx ）－x 20－2x 0Δx＝2x 0＋2，又2x 0＋2＝3，所以x 0＝12.所以该点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，548．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为－2，则limf ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12k －f （x 0）k＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12k －f （x 0）k＝－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12k －f （x 0）－12k ＝－12f ′(x 0)＝－12×(－2)＝1. 答案：1 三、解答题9．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3（t －3）2，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解：(1)由于Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)由于从1 s 到(1＋Δt )s 的位移为Δs ＝29＋3[1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以平均速度为ΔsΔt ＝3（Δt ）2－12Δt Δt ＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为Δs Δt＝ (3Δt －12)＝－12(m/s)．10．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解：Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝ 12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，所以 Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.所以 y ′|x ＝3＝ Δy Δx＝ (2Δx ＋16)＝16.B 级 力量提升1．设函数f (x )在点x 0四周有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a ＋b Δx .所以 f ′(x 0)＝ (a ＋b Δx )＝a .答案：C2．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________．解析：ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)， 所以 ΔV ΔR ＝4π3（m 3－1）m －1＝283π.所以 m 2＋m ＋1＝7.所以 m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：23．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解：由导数的定义知， f ′(x )＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx＝3x 2.由于f ′(x )＋2＝g ′(x )，所以 2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0， 解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。
3.1.1变化率问题
3.1.1 变化率问题【学习目标】1.理解函数平均变化率的概念；2.会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】掌握函数的平均变化率【学习难点】函数的平均变化率一．自主学习阅读人教版选修1-1课本72页-74页二．问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t和21≤≤t的平均速度v在5.00≤≤t这段时间里，___________.；在21≤≤t这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（3）从中你能得到结论什么结论？三．引出概念平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf--表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
2．若设12xxx-=∆,谁也不能随随便便成功，它来自彻底的自我管理和毅力. . 勿将今天的事拖到明天.谁也不能随随便便成功，它来自彻底的自我管理和毅力. . 勿将今天的事拖到明天.)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)。
人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图316[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图317k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图318[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。
人教版高中数学选修1-1教案学案：3.1.1变化率问题
变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
二、预习内容[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题4] 平均变化率=∆∆x f 12)()(x x x f x f --表示什么?三、提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案h tof (x 1)△y =f (x 2)-f (x 1)△x = x 2-x 1f (x 2x 1x 2AB一、学习目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）T(月)W(kg) 63912 11A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy∆∆课后练习与提高1、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
人教版数学高二选修1-1《变化率问题》学案
§3.1.1变化率问题[自学目标]:了解导数概念的实际背景[重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解[难点]:平计算均变化率的[教材助读]:1、我们把式子 称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率2、习惯上用x ∆表示 ，即x ∆= 可把x ∆看作是相对于1x 的一个增量，可以用1x x +∆代替2x ，类似地，y ∆= 。
于是平均变化率可表示为[预习自测]问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量” 可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
人教版高中数学选修1-1教案3.1.1变化率问题
位：）存在函数关系() . .如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其
运动状态?
思考计算：
和
的平均速度
在
这段时间里，
；
在
这段时间里，
探究：计算运动员在
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
ห้องสมุดไป่ตู้
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数() 的图像，结合图形可知，
课堂小结： ．平均变化率的概念 ．函数在某点处附近的平均变化率 布置作业：
，
问题 高台跳水 平均变化率的概念 板书设 表示,称为函数()从到的平均变化率 计 设, 则平均变化率为 例 例
§变化率问题
问题 气球膨胀率
以实例引入平均变化率的概念，利于学生对此概念的理解和掌握。在给出平均
教学反
变化率概念以后，再结合实例说明可以取正，也可以取负。
§变化率问题
项目
内容
课题
教学 目标
（共课时）
．理解平均变化率的概念； ．了解平均变化率的几何意义； ．会求函数在某点处附近的平均变化率
修改与 创新
教学重、 难点
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．
教学 准备
多媒体课件
一、导入新课：
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对
分析:
，
⑴ 当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
⑵ 当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐 变小了．
思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多 少?
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[键入文字] 曹县三中高二数学文导学案
§3.1.1 变化率问题
制作人 沙德刚 审核 高二数学组 2017.02
【学习目标】1.了解函数平均变化率的概念．2．掌握函数平均变化率的求法．
【预习导航】认真阅读课本P72-74
[探究1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________； 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________； 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________；
思考：吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径 增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
[探究2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________； 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________；
在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________；
问题：计算运动员在49
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0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
（1）运动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是 。
试试：设()y f x =，1x 是x 轴上的一个定点，在X 轴上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果求它们的比值
y
x
∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 说明：关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)函数f(x)在x 1处有定义．
(2)Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx ＝x 2－x 1，则
Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f(x 1)－f(x 2)．即：平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要一致。
[探究3] 观察函数()y f x =的图象，平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?
说明：x
y
∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范
围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点
)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率
例、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(米)与起跳后的时间t （秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10. 当t 从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度。
课后练习1．已知函数()12+==x x f y ，则当1.0,2=∆=x x 时，y ∆的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44
2.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x 2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )
A ．－4
B ．－8
C ．6
D ．－6
3．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.41 B ．2 C ．0.3 D ．0.2
4．一物体的运动方程是 23t s +=，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( )
A ．0.41
B ．3
C ．4
D ．4.1
5.若函数()132+=x x f 的图像上一点()11，及邻近一点()y x ∆+∆+1,1，则x
y
∆∆等于（ ）
A. 4
B. 4x
C. 6+3x ∆
D. 4+2()2
x ∆ 小结：
气球的体积V （单位：L ）与半径r （单位：dm)之间的函数关系是： 3343()()34V V r r r V ππ
=⇔=h t
o。