二次函数(第4课时)教案
初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)
初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质（4课时）一元复始，万象更新。
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教学目标【知识与技能】使学生明白得并把握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探究过程,明白得并把握函数y=a(x -h)2+k的性质,培养学生观看、分析、推测、归纳并解决问题的能力.【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习适应.重点难点【重点】确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,明白得函数y=a(x-h) 2+k的性质.【难点】正确明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.教学过程一、问题引入1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?(函数y=x2+1的图象能够看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?(函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+ 1)2-1有哪些性质?(函数y=-(x+1)2-1的图象能够看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)二、新课教授问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?师生活动:教师引导学生作图,巡视,指导.学生在直角坐标系中画出图形.教师对学生的作图情形作出评判,指正其错误,出示正确图形.解:(1)列表:xy=-x2y=-(x+1)2y=-(x+1)2-1-3--2-3-2-2---1-0-100--1--2-32-2--3--8-9(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.问题2:观看图象,回答下列问题.函数开口方向对称轴顶点坐标y=-x2向下x=0(0,0)y=-(x+1)2向下x=-1(-1,0)y=-(x+1)2-1向下x=-1(-1,-1)问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x 2的图象之间的关系吗?师生活动:教师引导学生认真观看上述图象.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.函数y=-(x+1)2-1的图象能够看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?师生活动:教师引导学生积极摸索,并适当提示.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.问题4:你能发觉函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?师生活动:教师组织学生讨论,互相交流.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.当x-1时,函数值y随x的增大而增大;当x-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.三、典型例题【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?师生活动:教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.学生积极摸索、解答.指名板演,教师讲评.解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).由这段抛物线通过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,解得a=-,因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),当x=0时,y=2.25,也确实是说,水管的长应为2.25 m.四、巩固练习1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.【答案】函数y=2(x-1)2的图象能够看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y =2(x-1)2-2的图象.2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出那个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).五、课堂小结本节知识点如下:一样地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y= ax2向上(或下)向左(或右)平移,能够得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要依照h、k的值来确定.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;(2)对称轴是x=h;(3)顶点坐标是(h,k).教学反思本节内容要紧研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清晰地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有紧密的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就能够得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y =a(x-h)2+k有两种平移方法:方法一:y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k方法二:y=ax2y=ax2+k单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
第4课时：二次函数的图象与性质(3)
第六章 二次函数 第4课时：二次函数的图象与性质（3）班级 姓名 学号 学习目标：1、经历把函数2ax y =的图象沿x 轴、y 轴平移后得到函数k m x a y ++=2)(的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图象的形状、大不都没有改变，只是位置发生了变化．2、能说出函数k m x a y ++=2)(的图象是如何由抛物线2ax y =平移得到的，并能说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等性质． 问题探索：问题1：思考与探索：函数2)1(2++=x y 的图象是抛物线吗？练一练：回答下列问题：①抛物线21)1(32++=x y 是由抛物线23x y = 怎样平移得到的？ ②抛物线2)32(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样平移得到的？③抛物线1)23(22+-=x y 由抛物线22x y =怎样平移得到的？④抛物线1)1(212---=x y 是由抛物线221x y -=怎样平移得到的？⑤抛物线21)1(32++=x y 是由抛物线2132-=x y 怎样平移得到的？⑥抛物线2)32(212-+-=x y 是由抛物线2)32(21--=x y怎样平移得到的？问题2：先填表再思考问题：请思考归纳二次函数k m x a y ++=2)(的性质 练一练：指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及函数值与自变量值变化关系 （1）()5222+-=x y ； （2）()245.02++=x y ； （3）3)1(52---=x y ．问题3：(1)已知抛物线2ax y =与c x y +-=232的形状、开口方向相同，且将抛物线2ax y =沿y 轴平移2个单位就能与抛物线c x y +-=232完全重合，则a ＝_________，c ＝__________．(2)一条抛物线其形状、开口方向与抛物线22x y =相同，对称轴与抛物线2)2(-=x y 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是_______________．(3)已知二次函数k x y +-=2)1(3的图象上有三个点A(1,2y )，B(2, 2y )，C(3,5y -)，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A . 321y y y >>B . 312y y y >>C . 213y y y >>D . 123y y y >>(4)已知抛物线k h x a y +-=21)(与2)1(22-+=x y 的开口方向和形状都相同，最低的坐标是（―2，―1）．求1y 的解析式，并说明抛物线1y 是怎样由2y 平移得到的； (5)已知二次函数2)1)(3(2+--=x k y ，求：①当k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？②当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？(=x y课后作业：1、（1）把抛物线23x y =向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2)1(32--=x y B ．2)1(32++=x y C ．1)2(32++=x y D ．1)2(32+-=x y（2）把抛物线24x y -=向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2)1(42---=x y B ．2)1(42-+-=x y C ．2)1(42++-=x y D ．1)2(42+--=x y（3）把抛物线223x y -=向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．1)1(232+--=x y B ．1)1(232++-=x yC ．1)1(232---=x yD ．1)1(232-+-=x y（4）把抛物线2)1(2+-=x y 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．222+-=x yB ．1)3(22++-=x yC ．222--=x yD ．2)2(22++-=x y（5）抛物线2)1(22+-=x y 的顶点坐标是 （ ）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（2，－1）D ．（2，1） （6）抛物线1)2(32-+-=x y 的顶点坐标是 （ ） A ．（2，－1） B ．（－2，－1） C ．（－1，2） D ．（－1，－2）(7)、若A ),413(1y -、B ),1(2y -、C ),35(3y 为二次函数9)2(2++-=x y 的图象上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜2y ＜1yC ．3y ＜1y ＜2yD ．2y ＜1y ＜3y2、已知函数： ①1212-=x y ，②21)1(32+--=x y ，③232+-=x y ， ④2)23(322-+=x y ，⑤422--=x y ，⑥2)31(2---=x y ．（1）图象开口向上的函数是 ，图象开口向下的函数是 ；（2）图象对称轴是y 轴的函数是 ，图象对称轴与y 轴平行的函数是 3、写出下列函数的图象的顶点坐标和对称轴的位置 （1）1)2(22++=x y ；（2）2)3(432+--=x y4、将抛物线32+=x y 向右平移２个单位再向上平移1个单位后,求所得的抛物线的顶点坐标.5、一个二次函数的图象向下平移3个单位长度再向左平移2个单位后，得到二次函数y=225x -的图象，试写出原二次函数的表达式．6、已知抛物线k m x a y ++=2)(中，21||=a ，最高点的坐标是（25,1-），求这条抛物线．7、已知一次函数的图象过抛物线2)1(2++=x y 的顶点和坐标原点．（1）求一次函数的关系式；（2）判断点（－2，5）是否在此抛物线的图象上．8、能否适当地上下平移函数221x y =的图象，使得到的新的图象过点（4，－2）？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．9、已知),(b a 是抛物线2x y =上的一点．甲同学说：“点),(b a -一定也在2x y =的图象上”．乙同学说：“我不但知道点),(b a -在抛物线2x y =上，而且我还知道点),(b a --也一定在2x y -=的图象上”．你认为甲、乙两同学的说法正确吗？请发表你的看法．。
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
22.1 二次函数的图象和性质(第4课时)
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
（1，3）
y/m
O1 2 3 x/m
321
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题22.1，第5题（2）（3），第7题（1）．
十、课后反思
是x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的
最高点，a越小，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
小组合作
达标测评
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池
象特征和性质．
通过对二次函数 的探究，你能说出二次函数 的图象特征和性质
吗？
归纳：ห้องสมุดไป่ตู้
一般地，当a＞0时，抛物线 的对称轴
是x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的
最低点，a越大，抛物线的开口越小．当x＜h时，y随
x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大．
归纳：
一般地，当a＜0时，抛物线 的对称轴
课题
22.1二次函数的图象和性质（第4课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本课是在学生已经学习了二次函数y = ax 2，y = ax 2 + k的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函
数图象和性质研究的延续．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法
高中数学 高三一轮第二章第4课时 二次函数与幂函数(教案)
1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x）＝ax2＋bx ＋c(a≠0）.②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）。
③零点式：f(x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)。
（2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0）f(x)＝ax2＋bx＋c（a<0)图像定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增；在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x＝－错误!对称（1）定义：形如y＝xα（α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数.（2）幂函数的图像比较（3）幂函数的性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图像过定点（1,1）；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1）和（0，0),且在（0，＋∞）上单调递增；④当α〈0时，幂函数的图像都过点(1,1），且在(0，＋∞）上单调递减。
【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b］的最值一定是错误!.( ×）(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数.( ×)（3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √）(4)函数y＝2x12是幂函数.（×）(5）如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √)(6）当n〈0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数。
（×)1。
已知a，b，c∈R，函数f（x）＝ax2＋bx＋c。
若f （0)＝f（4)>f(1)，则( )A.a>0，4a＋b＝0 B。
a<0，4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D。
a〈0,2a＋b＝0答案A解析因为f（0)＝f（4)〉f（1），所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A。
华东师大版九年级数学下册同步教案 第26章二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．2．会利用对称性画出二次函数的图象．重点通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．一、创设情境,引入新课我们已经发现,二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象,可以由函数y＝2x2的图象先向________平移________个单位,再向________平移________个单位得到,因此,可以直接得出：函数y＝2(x－3)2＋1的开口________,对称轴是____________,顶点坐标是________．那么,对于任意一个二次函数,如y＝－x2＋3x －2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗？二、探究问题,形成概念例1 通过配方,确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图．解y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x2－2x＋1－1)＋6＝－[2(x－1)2－2]＋6＝－2(x－1)2＋8因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x＝1,顶点坐标为(1,8)．由对称性列表：x …－2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－2x 2 ＋4x ＋6… －10 0 6 8 6 0 －10 …描点、连线,如图所示． 回顾与反思：(1)列表选值时,应以对称轴直线x ＝1为中心,函数值可由对称性得到．(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点．探索：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴____________,顶点坐标____________．例2 已知抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上,求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0；(2)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0.解 y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9＝(x －a ＋22)2＋9－（a ＋2）24,则抛物线的顶点坐标是[a ＋22,9－（a ＋2）24],当顶点在y 轴上时,有a ＋22＝0,解得a ＝－2；当顶点在x 轴上时,有9－（a ＋2）24＝0,解得a ＝4或a ＝－8.所以,当抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是－2,4,8.三、练习巩固1．函数y ＝x 2－2x ＋3的图象的顶点坐标是( )A ．(1,－4)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,3)2．抛物线y ＝－14x 2＋x －4的对称轴是( ) A ．直线x ＝－2 B ．直线x ＝2C ．直线x ＝－4D ．直线x ＝43．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )A ．ab>0,c>0B ．ab>0,c<0C ．ab<0,c>0D ．ab<0,c<04．把抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( )A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6 C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6四、小结与作业小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－b2a,顶点坐标是(－b2a,4ac－b24a)．作业1．布置作业：教材P18“练习”中第1,2,3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法,教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成,并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．。
27.2 二次函数的图象与性质(3)(第4课时)
27．2 二次函数的图象与性质（3）(第4课时)一、知识回顾：请填写下表：函数开口方向 对称轴 顶点坐标 y 的最值增减性在对称轴左侧 在对称轴右侧y=ax 2a ＞0 a ＜0 y=ax 2+ca ＞0 a ＜0我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象 平移 所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？二、实践与探索1. 函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象有什么关系？(1)在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2和y=(x+3)2的图象； 列表： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=(x+3)2… …思考：（2）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?（3）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时,它们所对应的自变量的值有什么关系?（4）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.2、在直角坐标系中作出函数y=-3(x+1)2和y=-3(x-1)2的图象，利用上面的方法观察函数，y=-3(x+1)2 ，y=-3(x-1)2与函数y=x 2的图像的关系，与同学交流你的看法. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=(x-3)2 … …观察下图,思考并回答下列问题: ①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗? ③抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴是 ; 抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 . ④抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,即当x 时, y 随着x 的增大而 ;在对称轴(x=1)右侧,即当x 时, y 随着x 的增大而 .当x= 时,函数y 有最 值是;抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,即当x< 时, y 随着x 的增大而 ;在对称轴(x=-1)右侧,即当x 时, y 随着x 的增大而 .当x= 时,函数y 有最 值是 . 三、整理知识点 1．y ＝ax 2 y ＝ax 2＋k y ＝a (x-h)2 开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练1．填表图象（草图） 开口 方向 顶点 对称轴最值 对称轴 右侧的增减性y ＝12x 2y ＝－5 (x ＋3)2y ＝3 (x －3)22．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．4．将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________．（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 . （3）将二次函数y=2x 2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. ⑷将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .（5）将函数y=3（x －4）2的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ；将函数y=3（x －4）2的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 ；（6）把抛物线y=a （x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h ）2的图象，则 a= ，h= .若抛物线y= a （x-4）2的顶点A ，且与y 轴交于点B ，抛物线y= - 3（x-h ）2的顶点是M ，则SΔMAB= .（7）将抛物线y=2x 2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.（8）函数y=3（x+6）2的图象是由函数 的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x= 时，y 有最 值是 .五、课内小结 六、课外作业：A1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．5．抛物线y=2(x-3)2的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线y= 向 平移 个单位得到的．6．函数y= -2x 2，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．5.函数y= -5(x -4)2的图象。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时湘教版九年级下册
3. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所 用的时间x（单位：min)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x +43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强.
（1）ห้องสมุดไป่ตู้在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什
么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10min时，学生的接受能力是多少？ （3）多长时间时，学生的接受能力最强？
解析：(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的 图象由y=3x2向左平移1个单位得y=3(x+1)2.它是轴对称图 形.它的对称轴和顶点坐标分别是直线x=-1和(-1,0)
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象由二次函数y=-3x2的图
象向右平移2个单位再向上平移4个单位而得. 对于二次函数y=3(x+1)2,当x≥-1时,y的值随x值的增大 而增大.当x≤-1时,y的值随x值的增大而减小.二次函数 y=3(x+1)2+4的增减性与y=3(x+1)2相同.
4ac b 2 个单位 (当 4ac b 2 >0时向上平 体上(下)平移 | | 4a 4a
4ac b 2 <0时,向下平移)得到的. 移;当 4a
2a
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k
a>0 a<0
开口方向
向上 向下
对称轴
x=h x=h
顶点坐标
（h,k） （h,k）
2.2
二次函数的图象与性质
第4课时
1.经历把函数y＝ax2的图象沿x轴、y轴平移得到函数y＝ a(x+h)2＋k的图象的探究过程，图象变换的实质
第4课时二次函数学案
第4课时二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质预习学案
课型：新授课出题人：刘萍审题人：鞠华龙上课时间：
一、学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝a（x-h）2的联系．
学习重点：掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并会应用
学习难点：二次函数y＝a（x-h）2的性质的应用
二、阅读课本：P7—8
三、探索新知：请在观察教材P8页上的图像后回答问题．
①抛物线y＝－1
2＋1)2，y＝－
1
2
x2，y＝－
1
2
(x－1)2的形状大小____________．
②把抛物线y＝－1
2
x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
1
2
(x＋1)2；
把抛物线y＝－1
22向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
1
2
(x＋1)2．
四、整理知识点
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．。
数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编收集整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步发展估算能力。
（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。
（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学方法学生合作交流学习法。
教具准备投影片三张第一张：（记作§2.8.2A）第二张：（记作§2.8.2B）第三张：（记作§2.8.2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。
但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。
本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。
数学《二次函数》优秀教案篇2一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
新华师大版九年级下册初中数学 课时4 二次函数的图像与性质 教案
第二十六章二次函数26.2 二次函数的图像与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.把数学问题与实际问题相联系的过程.点法画函数y＝12(x－2)2＋1的图象1.一位同学在练习中用描时，画出如图2－2－64所示的图象，你能帮他分析一下原因吗？师生活动：出示问题情境，让学生自主思考．2.请同学们画出二次函数y＝12(x－2)2＋1的图象的草图.师生活动：学生独立完成，教师对学生作业进行展示评价，强调先确定顶点，再按图象对称性进行取值.(1)你能直接画出二次函数y＝x2－2x＋4的图象吗？若不能，应该如何思考？(2)你能把二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？(3)请画出二次函数y＝(x－1)2＋3的图象的草图．思考：y＝(x－1)2＋3与y＝x2－2x＋4这两个函数有什么关系？【探究1】师：你知道吗(多媒体出示引入问题)，当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示．图2－2－65问题：经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？本题转化为数学问题，即求在二次函数h＝－5t2＋150t＋10中，当t为何值时，h最大？最大值是多少？如何解决最大值问题？用配方法．先化成顶点式，再确定最值，利用二次函数顶点式y＝a(x－h)2＋k(a<0)，当x＝h时，y有最大值，最大值是k.请同学们试着完成此题．(教师巡视学生解决问题的过程，对学习有困难的学生给予帮助)解：h＝－5t2＋150t＋10＝－5(t2－30t－2)＝－5(t2－30t＋152－152－2)＝－5(t－15)2＋1135，∴当t＝15时，h有最大值，最大值是1135.∴经过15 s，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135 m.小结：解决二次函数的最值问题时，可以用配方法先将一般式化成顶点式，再确定其最值．【探究2】 求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴和顶点坐标公式． 请将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 利用配方法化成顶点式，再写出它的图象的对称轴和顶点坐标．解：把y ＝ax 2＋bx ＋c 的右边配方，得y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b a x ＋c a)(提取二次项系数) ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a (配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a .(整理) ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝－b 2a ， 顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a). 总结：①提取二次项系数；②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数．利用一分钟时间记忆对称轴和顶点坐标公式.【探究3】 联系生活(二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的应用)．图2－2－66所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y ＝9400x 2＋910x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？(3)你是怎样计算的？与同伴进行交流． 图2－2－66分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流．分析：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是所有的对应点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即y不变，x换为－x代入计算即可．例1求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标．例2已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．例3用6 m长的铝合金做一个形状如图2－2－67所示的矩形窗框，当做成长、宽各为多少时，才能使做出的窗框透光面积最大？图2－2－67例4 如图2－2－68，一小球从斜坡点O处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画.图2－2－68(1)求小球到达的最高点的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标.例5有心理学家研究发现，学生对某概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题：(1)x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？(2)经过多长时间，学生的接受能力最强？总结：①提取二次项系数；②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数．利用一分钟时间记忆对称轴和顶点坐标公式.1．课本P41随堂练习2．课本P41习题2.5中T2、T3、T4.。
九年级数学下册第30章第4课时二次函数y=ax_h2 k的图像和性质教案(含教学反思)新版冀教版
(函数y＝－ (x－1)2＋2的图像可以看成是将函数y=－ x2的图像向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
九年级数学下册教案新版冀教版:
二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质
教
学
目
标
知识
和
能力
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程
和
方法
让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
情感
态度
价值观
教学重点
确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质
教学难点
正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图像，并将它与函数y=2(x－1)2的图像作比较吗?
教学要点
1．在学生画函数图像时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
四、课堂练习：
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
2.2《二次函数的图像与性质》（4课时教案）
《二次函数的图象与性质》教案教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：什么叫做二次函数？生：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.问题2：画函数图象的主要步骤是什么？生：（1）列表，（2）描点，（3）连线问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？生：一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？二、探究交流，获取新知操作：请你画出二次函数y=x2的图象.（1）观察y=x²的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：x …-3-2-10 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …（2）在直角坐标系中描点：（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x²的图象.议一议：对于二次函数y=x2的图象.（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.生：抛物线（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？生：图象与x轴有交点.交点坐标是 (0，0).（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？生：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.因为抛物线上的最低点坐标是 ( 0，0 ) .（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.生：图象是轴对称图形. 它的对称轴是y轴.对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称……师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.做一做：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.（1）列表：x …-3-2-10 1 2 3 …y …-9-4-1-1-4-9…（2）在直角坐标系中描点：（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x²的图象.议一议：说说二次函数y=-x²的图象有哪些性质,与同伴交流.（1）图象与x轴交于原点（0，0）.（2）y≤0.（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. （4）当x=0时，y最大值=0.（5）图象关于y轴对称.读一读：让同学们自主学习课本第33页至34页“二次函数的广泛应用”.让学生感悟到数学知识与实际问题的联系，用函数知识能解决实际生活中的很多问题.三、知识拓展1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列问题：（1）抛物线y=2x2的开口方向是怎样的？（2）抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？（3）当x为何值时, y随着x的增大而增大；当x为何值时, y随着x的增大而减小.（4）函数y有最大值还是最小值？为什么？，当x＜0时，y随x的2.给出下列四个函数：○1y=x，○2y=-x，○3y=x2，○4y=1x增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个四、自我小结，获取感悟1.二次函数y=±x2的图象是什么形状？2.二次函数y=±x2有哪些性质？（1）位置与开口方向；（2）顶点坐标与对称轴；（3）增减性与最值.五、布置作业课本第34～35页：习题2.2的第1、2题.《二次函数的图象与性质》教案（2）教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：函数图象开口对称顶点形状方向轴坐标y=x2抛物线向上y轴（0，0）y=-x2抛物线向下y轴（0，0）2.画一画在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，x …-3-2-10 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=2x2…188 2 0 2 818…二、探究交流，获取新知思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=2x2抛物线向上y轴（0，0）y=2x2抛物线向上y轴（0，0）画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=12x2的图象.探索交流：二次函数y=x²的图象与y=2x²、y=12x²的图象有什么相同和不同？相同点：函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=x²抛物线向上y轴（0，0）y=2x²抛物线向上y轴（0，0）y=12x²抛物线向上y轴（0，0）不同点：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.做一做：在下列平面直角坐标系中，作出y=-x²和y=-2x²的图象.生：动手操作画图，思考：它们与二次函数y=x²和y=2x²的图象又有什么异同？生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x²和y=-2x²的图象开口向下.探究：函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.师生共同总结：y=ax2(a≠0)的图象与性质特征，探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.生：学生动手操作，老师巡视,结论：1.二次函数y =2x 2+2由二次函数y =2x 2的图象向上平移2个单位； 2.二次函数y =2x 2-2由二次函数y =2x 2的图象向下平移2个单位. 共同交流：二次函数y =-3x 2+12, y =-3x 2-12的图象与二次函数y =-3x 2 的图象有什么关系？生：让学生总结出它们之间的关系.思考：二次函数y =ax 2 (a ≠0) 的图象与y =ax 2+c (a ≠0) 的图象有什么异同？老师点拨：y =ax 2及y =ax 2+c (a ≠0) 的图象和性质： y =ax 2+c 的图象是由y =ax 2的图象上下平移得到的， 当c ＞0 时，向上平移c 个单位； 当c ＜0 时，向下平移︱c ︱个单位.函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y =ax 2抛物线a ＞0向上a ＜0向下y 轴（0，0）y =ax 2+c 抛物线a ＞0向上a ＜0向下y 轴 （0，c ）四、随堂练习1.将抛物线y =-x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）. A . y =-(x +2)2 B .y =-x 2+2 C .y =-x 2+2 D . y =-(x -2)22.在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-1 与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03.坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图象，其顶点坐标为（ ） A. （0，-2） B . （1，-24） C .（0，-48） D .（2，48） 4．将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________． 5．小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21100S v，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车__________有危险（填“会”或“不会”）.五、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？六、布置作业P：习题2.3 .课本36《二次函数的图象与性质》教案（3）教学目标知识与技能1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.过程与方法1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.情感、态度与价值观1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.教学重点与难点重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：根据你所学知识回答下列各问题，1.函数y=12x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最__值是________.2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？二、探究交流，获取新知请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）y=2x2（2）y=2(x-1)2完成下表：x …-4-3-2-10 1 2 3 4 …2x2……2(x-1)2……观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.（2）二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）（3）二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？生：当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小. （4）你能发现二次函数y =2(x -1)2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系吗？ 生：二次函数y =2(x -1)2的图象是由二次函数y =2x 2的图象向左平移1个单位得到的. 结论：二次函数y =2x 2，y =2(x -1)2，y =2(x +1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y =2x 2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y =2(x -1)2的图像；将函数y =2x 2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y =2(x +1)2的图像.想一想：由二次函数y =2x 2的图象，你能得二次函数y =2x 2-12，y =2(x +3)2，y =2(x +3)2-12的图象吗？生：由二次函数y =2x 2的图象向下平移12个单位长度可得二次函数y =2x 2-12的图象；由二次函数y =2x 2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y =2(x +3)2的图象；由二次函数y =2x 2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移12个单位长度，能得二次函数y =2(x -3)2-12的图象. 归纳总结：二次函数y =a (x -h )2+k 与二次函数y =ax 2的图象有什么关系？二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是由二次函数y =ax 2的图象先向左(或向右)平移|h |个单位长度，再向上(或向下)平移|k |个单位长度得到的.H ＜0时，图象向左平移；h ＞0时，图象向右平移. k ＜0时，图象向下平移；k ＞0时，图象向上平移.一般地，平移二次函数y =ax 2的图象便可得到二次函数y =a (x -h )2+k 的图象. 因此，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：开口方向 对称轴 顶点坐标y =a (x -h )2+k向上（a ＞0）直线x =h （0，0）向下（a ＜0）三、随堂练习 1.回答下列问题：图 象特征二 次函 数（1）二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）对于二次函数y=-3(x+2)2.当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A. y=(x-2)2+1B. y=(x+2)2+1C. y=(x-2)2-3D. y=(x+2)2-33.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_____________.4.将抛物线y=-12x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．5.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…，则E（x，x2-2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到（）A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位六、自我小结，获取感悟1.y=a(x-h)2+k的图象特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.七、布置作业课本第39页：习题2.4.《二次函数的图象与性质》教案（4）教学目标知识与技能1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.过程与方法1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.情感、态度与价值观1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点与难点重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：二次函数y=-2 (x-3)2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.当x=_________时，y有最_______值，是__________；当x___________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小. 它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k（1）当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是__________________.当x=_________时，y有最_____值是_______；当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小.（2）当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.当x=_________时，y有最_______值是______；当x_______时，y随x 的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小.问题3：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？二、探究交流，获取新知请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.解：y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2-2+5=2(x-1)2+3三、例题讲解例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析：要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y=a(x-h)2+k 的形式.解：y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）.做一做：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y =3x 2-6x +7 （2）y =2x 2-12x +8生：学生解答，教师巡视，发现问题即时解答. 例2:求二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴和顶点坐标. 生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨. 解：把二次函数y =ax 2+bx +c 的右边配方，得：y =ax 2+bx +c=a (x 2+bax)+c =a [x 2+2·ba x+(2b a )2-(2b a )2]+c=a (x +2b a)2+244ac b a -因此，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线 x =-2b a ，顶点坐标为（-2ba，244ac b a -）.点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式 四、随堂练习1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y =9400x 2+910x +10表示，而左、右两条抛物线关于y 轴对称. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标（1）y =2x 2-12x +3； （2）y =-5x 2+80x -319； （3）y =2(x -12)(x -2)； （4）y =3(2x +1)(2-x ). 合作交流：二次函数图象与系数a 、b 、c 之间有何关系？ a 决定抛物线的形状、开口方向当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下，a 越大抛物线的开口越小.b影响对称轴的位置当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.c确定抛物线与y轴的交点位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c=0时，抛物线经过坐标原点，当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上五、挑战自我：1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是（）A.图象的开口向下B.当x＞1时，y随x的增大而减小C.当x＞1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-12.（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A.B.C.D.3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( )A.最小值-2B.最小值-3C.最小值-4D.最大值-44.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A(-1，0)，B，顶点为P，求△P AB的面积.六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？七、布置作业课本第41页：习题2.5。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第4课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第4课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上，进一步探讨二次函数的性质。
通过本节课的学习，学生将能够理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等概念，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的性质，学生可能还存在着一些模糊的认识，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等概念。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴的确定。
2.运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解二次函数的性质。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示二次函数的性质。
3.提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固和加深对二次函数性质的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.练习题和答案。
3.教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾二次函数的一般形式和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用多媒体展示二次函数的图象，引导学生观察和分析二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
通过实例来阐述这些性质的运用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个二次函数，根据其一般形式确定其顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并运用这些性质解决实际问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对二次函数性质的理解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：如何判断一个二次函数的图象是否关于某条直线对称？如何判断两个二次函数的图象是否相同？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，加深对二次函数性质的理解。
人教初中数学 《二次函数的图象和性质(第4课时)》教案 (公开课获奖)
22.1 二次函数的图象和性质教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．D CA BD CABDC A BⅢ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
二次函数的图像和性质(第4课时)课件-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
新知巩固
1.二次函数y=2(x+5)2的图像由抛物线y=2x2向 左_平移 5 个单位得到的.
4
2.二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y=-3x2向__平移__个单位得到的.
右
y=2(x-3)2
3.将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后就得到函数 ________的图像.
4.将二次函数y=-3(x-2)2的图像向左平移3个单位后就得到函数__________的图像.
y=-3(x+1)2
新知巩固
2-2的图像，
5. 将函数y=2x2的图像向___平移___个单位就得到函数y=2x
2
下
2的图像．
归纳总结
二次函数y=a(x＋m)2（a ≠ 0）的性质：
y＝a(x＋m)2
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(－m，0)
(－m，0)
对称轴
直线x＝－m
直线x＝－m
最值
增减性
开口大小
当x=－m时，y最小值=0
当x=－m时，y最大值=0
当x＜－m时，y随x的增大而减小；当x＞－m时，y随x的增大而减小；
将函数的图像向___平移___个单位就得到函数y=2(x-3)
右
3
6. 二次函数y=-3(x+4)2的图像开口_____，顶点坐标是________，是由
向下
（-4，0）
抛物线y=-3x2向____平移____个单位得到的，对称轴是________，当
4
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时说课稿
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时，主要讲述了二次函数的图象和性质。
这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生对数学图形理解和研究的深化。
二次函数的图象和性质不仅涉及到函数的图形表现，还包括了函数的解析表达式以及各种性质。
这些内容对于学生来说，既有新鲜感，又有挑战性。
通过这部分的学习，学生可以更深入地理解函数的概念，提高他们的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经接触过一次函数和二次函数的基本概念，对函数的图形和性质有一定的了解。
但是，他们对二次函数的图象和性质的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。
此外，学生对于数学图形的理解和分析能力参差不齐，需要在教学过程中给予不同的关注和引导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生对数学图形的理解和分析能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、探索问题的习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质。
2.教学难点：二次函数的性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导发现法、小组合作法等多种教学方法，结合多媒体课件、黑板等教学手段，以学生为主体，教师为引导，充分调动学生的积极性，提高他们的学习效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析、归纳，培养他们的数学思维能力。
3.实践：让学生通过小组合作，探究二次函数的性质，提高他们的实践能力。
4.巩固：通过典型例题的讲解和练习，巩固学生对二次函数图象和性质的理解。
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二次函数（第4课时）教案
教学目标：
1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2
的图象。
2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，明白得函数y ＝a(x －h)2
的性质，
明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2
的图象的关系。
重点难点：
重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，明白得二次函数y ＝a(x －h)2
的
性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2
的图象的关系是教学的重点。
难点：明白得二次函数y ＝a(x －h)2的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2
的图象与二
次函数y ＝ax 2
的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出咨询题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2
－1的图象，并回答：
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分不讲出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)讲出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2
的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析咨询题，解决咨询题
咨询题1：你将用什么方法来研究上面提出的咨询题?
(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2
的图象，并加以观看)
咨询题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2
的图象吗? 教学要点
1．让学生完成下表填空。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x 2
y ＝2(x －1)2
2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。
咨询题3：现在你能回答前面提出的咨询题吗? 教学要点
1．教师引导学生观看画出的两个函数图象．依照所画出的图象，完成以下填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标 y ＝2x 2
y ＝2(x －1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1)
2
与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2
的图象能够
看作是函数y ＝2x 2
的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。
咨询题4：你能够由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2(x －1)2
的性质吗? 教学要点
1.教师引导学生回忆二次函数y ＝2x 2的性质，并观看二次函数y ＝2(x －1)2
的图象； 2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增
大；当x ＝______时，函数取得最______值y ＝______。
三、做一做
咨询题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y ＝2(x ＋1)2与函数y ＝2x 2
的图象，并比较它们的联系和区不吗? 教学要点
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； 2．请两位同学上台板演，教师讲评；
3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y ＝2(x ＋1)2与函数y ＝2x 2
的图象开口方向
相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y ＝2(x ＋1)2
的图象能够看作是将函数y ＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。
它的对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标是(－1，0)。
咨询题6；你能由函数y ＝2x2的性质，得到函数y ＝2(x ＋1)2
的性质吗? 教学要点
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x ＜－1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞－1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝一1时，函数取得最小值，最小值y ＝0。
咨询题7：在同一直角坐标系中，函数y ＝－13(x ＋2)2
图象与函数y ＝－13x 2的图象有何
关系?
(函数y ＝－13(x ＋2)2
的图象能够看作是将函数y ＝－13x 2的图象向左平移2个单位得到
的。
)
咨询题8：你能讲出函数y ＝－13(x ＋2)2
图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y ＝－13(x 十2)2
的图象开口向下，对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标是(－2，0))。
咨询题9：你能得到函数y ＝13
(x ＋2)2
的性质吗?
教学要点
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大； 当x ＞－2时，函数值y 随工的增大而减小；当x ＝－2时，函数取得最大值，最大值y ＝0。
四、课堂练习： P11练习1、2、3。
五、小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y ＝a(x －h)2的图象与函数y ＝ax 2
的图象有什么联系和区不?
2．你能讲出函数y ＝a(x －h)2
图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收成和体会。
六、作业
1．P19习题26．2 1(2)。
2．选用课时作业优化设计。
第二课时作业优化设计
1．在同一直角坐标系中，画出以下各组两个二次函数的图象。
(1)y ＝4x 2与y ＝4(x －3)2
(2)y ＝12(x ＋1)2与y ＝12
(x －1)2
2．函数y ＝－14x 2，y ＝－14(x ＋2)2和y ＝－14
(x －2)2。
(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；
(2)分不讲出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试讲明，分不通过如何样的平移，能够由函数y ＝－1/4x2的图象得到函数y ＝－1
4(x
＋2)2和函数y ＝－14
(x －2)2
的图象?
(4)分不讲出各个函数的性质。
3．函数y ＝4x 2，y ＝4(x ＋1)2和y ＝4(x －1)2。
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分不讲出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试讲明：分不通过如何样的平移，能够由函数y ＝4x 2的图象得到函数y ＝4(x ＋1)2
和
函数y ＝4(x －1)2
的图象，
(4)分不讲出各个函数的性质．
4．二次函数y ＝a(x －h)2
的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?。