第二章趸缴纯保费2

A
1 x:n
——趸缴纯保费
2－4
定期寿险趸缴纯保费的厘定
（x）在x+k到x+k+1 岁之间死亡的概率。

厘定： A
1 x:n
= E ( zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k
k =0 k ＋1 k 1 x:n
n −1
⇒ lx A
在x岁时lx个 参保人缴纳 的总保费
= ∑ v ⋅ d x+k
k ＋1 k =0
n −1
未来n年内保险人 赔付所有保险金 的总现值
2－5
现值随机变量的方差

公式：
Var ( zk ) = E ( z ) − E zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k − E ( zk ) 2 (( EZ ( EZ
2 k 2 2 k =0 n −1
2(k+1) 2 k k
第二节
死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定
1
死亡年末赔付

死亡年末赔付的含义
死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件 发生的当年年末给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年 末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变 量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的“整值剩余寿命加1”。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险 精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方 式。

2－2
定期寿险趸缴纯保费：基本符号


设(x)投保n年定期寿险，保险金额为1元，保险 金在死亡年度末给付。 K = [T ] —— x 岁投保的人取整余寿 bK +1 —— 保险金在死亡年末给付函数，即

vK +1
——折现函数
2－3
基本符号

Z = z K +1 ——保险赔付金在签单时的现值，即
2－15
例2.6答案
解：所求的趸缴纯保费为：
10000 A35:5| = 10000 A
1 35:5|
+ 10000 A
1 35: 5|
= 55.25 + 7425.51 = 7478.06 （元）
2－16
习题1


(x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单 规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范 围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1 qx = 0.5, i = 0, Var ( z ) = 0.1771， 元， 试求 qx +1
其趸缴纯保费。
2－8
例

（35）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为 1万元，保险金在死亡的保单年度末给付，按附录 二（P296）的中国人寿保险业经验生命表（1990 －1993）（男女混合）和利率6%计算其趸缴
纯保费。
2－9
答案
解：所求的趸缴纯保费为：
10000 A
1 35:5|
= 10000∑ v
2
x
+ e px )
2
2－18
习题3
P(Z = bv) = qx , P(Z = ev) = px P(Z2 = b2v2 ) = qx , P(Z2 = e2v2 ) = px E(Z) = bvqx + evpx E(Z2 ) = b2v2qx + e2v2 px Var(Z) = E(Z ) −( E(Z)) = b v qx + e v px −( bvqx + evpx ) = v2qx px (b − e)2
2－17
习题2 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x） 死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e 元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. C.
px qx v ( b + e )
2
2
B.
px qx v ( b − e )
2
2
px qx v ( b − e
2 2
2
)
D. v
2
(b q
A = m x:n
1 1 1 A + A = A x:m ⋅ Ax + m:n m x:n m x:n
2－7
例2.5

一个55岁的男性，投保5年期的定期寿险，保险金 额为1000元，保险金在死亡的保单年度末给付， 按附录二（P296）的中国人寿保险业经验生命表 （1990－1993）（男女混合）和利率6%计算
终身寿险 延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险
Ax = ∑ v k +1 ⋅k p x ⋅ qx + k
k =0 ∞
m m
1 1 A1 = A − A x :n x :m + n x :m
Ax = Ax − A1 x :m
1 1 A x :n = A x + A x:n :n
2－10
例

纯粹生存保险
设（35）岁的人投保5年期的纯粹生存保 险，保险金额为1万元，按附录二的中国人 寿保险业经验生命表（1990－1993）（男 女混合）和年利率6%计算其趸缴纯保费。
2－11
答案
解：所求的趸缴纯保费为：
10000 A
1 35: 5|
= 10000 ⋅ v ⋅5 p35
5
l40 = 10000 ⋅ v ⋅ l35
5
1 966271 = 10000 × × 5 (1 + 6%) 972396 = 7425.51 （元）
2－12
生存者利益（生者利）

如果上例中的投保人不是投的纯粹生存保险而是 在银行储蓄，为保证5年后从银行得到本利和 10000元，则必须开始在银行存入（假设复利下 且利率为6%）： 10000
+ 10000 A
1 35: 5|
= 1.029709 × 55.25 + 7425.51 = 7482.40 （元）
2－26
已知10000 ⋅ A
1 35:5 |
= 55 .25,10000 A
1 35: 5 |
= 7425 .51
2－25
例2.7答案
解：
i 0.06 = = = 1.029709 δ ln(1 + i ) ln 1.06 i
所求的趸缴纯保费为：
10000 A35:5| = 10000 ⋅ ⋅ A
i
δ
1 35:5|
s −1 0 1
i
δ
Ax
2－23
两全保险
Ax:n | = A
1 x:n |
+A
1 x: n |
=
i
δ
A
1 x:n |
+A
1 x: n |
2－24
例2.7

（35）岁的人投保5年期的两全保险，保险金 额为1万元，保险金死亡即刻给付，根据附录二 的中国人寿保险业经验生命表（1990－ 1993）（男女混合）以及死亡均匀分布假定， 按年实际利率6%计算趸缴纯保费。
2 2 2 2 2 2 2
2－19
课后作业
P55:4、5、9
2－20
第三节
死亡即付寿险与死亡年末赔 付寿险的趸缴纯保费的关系
21
死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系



对于年末给付保险金的寿险，其趸缴纯保费 的计算要容易、简便。 但立即给付保险金的寿险模型与实务更接 近。 因此，我们希望找出两者之间的关系，将立 即给付型寿险趸缴纯保费的计算转化成年末 给付型寿险趸缴纯保费的计算。
(1 + 6%)

5
≈ 7472.58 （元）
两种不同投资，尽管终值都一样，但现值不一 样。搞保险投资交付的钱（7425.51）比在银 行储蓄投入的要少，但风险更大。
2－13
生存者利益（生者利）


过积累生息。 在n年后存活的是 l x + n 人，于是死去了l x − l x + n人， 这部分死去的人在n年末不可能领到保险金，也不 退还当初所缴的保费。他们当初购买保险的支出被 尚存者分享。 z 保险中把这种尚存活的人分享期内死亡者利 益的情况称为生存者利益，简称“生者利”。 因此，投保纯粹生存保险既可获得储蓄利息 利益，又可获得生者利。
2－14
1 l 开始投保生存保险时， x 个人缴付 l x ⋅ A x: n | 后，通
例2.6

n年两全保险
（35）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为 1万元，保险金在死亡的保单年度混合）和年利率6%计算其趸缴纯保
费。

记
2
2
2 ( k +1) A1 = v ⋅k p x ⋅ q x + k ∑ x:n | k =0
n −1
1 2 A1 ：将 A 中的 δ → 2 δ , 即 v → v x :n | x :n |

等价方差为： Var ( zk ) = A
2
1 x:n
− (A )
1 2 x:n
2－6
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
k =0
4
k +1
d 35+ k ⋅ l35
2 3 4 5
vd 35 + v d 36 + v d 37 + v d 38 + v d 39 = 10000 × l35
1028 1113 1212 = 10000 × [ + + 2 1 + 6% (1 + 6%) (1 + 6%)3 1324 1449 + + ] ÷ 972396 4 5 (1 + 6%) (1 + 6%) = 52.55 （元）